最新2019届高三下学期开学考试数学(文)试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知,a b R ∈，复数21i

a bi i

+=

+，a b +=( ) A ． 2 B ．1 C ．0 D ．2-

2. 已知集合{

}

2

2M x x x =<+，{}

N x x a =>，若M N ?，则a 的取值范围为（ ） A ．](,1-∞- B ．](

,2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)1,-+∞ 3. 已知向量a (1,2)=，b (,1)m =-，若a ∥b ，则实数m 的值为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12 D ． 12

- 4. 若4

cos 5α=-

，且α为第二象限角，则tan α=（ ） A ．43- B ．34- C ．4

3

D ．3

4

5. 在等差数列{}n a 中，若3453a a a ++=，88a =，则12a 的值是（ ） A ．64 B ．31 C ． 30 D ．15

6. 函数y ＝x sin x ＋1

x 2的部分图象大致为( )

7. 已知平面α，β和直线a ，b ，则下列说法正确的是（ ） A.若a ∥α，b ∥β，且α∥β，则a ∥b B. 若a α?，b β?，且a ∥b ，则α∥β

C. 若a α⊥，b β⊥，且a ∥b ，则α∥β

D.若αβ⊥，a α?，b β?，则a b ⊥ 8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力， 是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素 之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想： 对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3 再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循 环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜 想设计的一个程序框图，则输出的i 为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

9. 已知实数x ，y 满足:p 22

(1)(1)1x y -+-≤，:q 实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?

，则p 是q 的

（ ）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

10. 在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )

11. 已知双曲线:C 22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左焦点为1F ，离心率为5，P 是双曲线C

的右支上的动点，若(,2)Q c a （c 为焦半距），且1PF PQ +的最小值为8，则双曲线C 的方程式 ( )

A. 22

12y x -= B. 2212x y -= C. 22

14y x -= D. 2214

x y -= 12. 已知函数ln ()x f x x

=，若方程2

()()1f x tf x +=-有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．(,)e -∞-

B ．1(,)e e -∞--

C ．(,2)-∞-

D ．1(,2)e e

---

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. 点)2,3(A 是圆9)1()2(2

2

=-+-y x 内一点，则过点A 的最短弦长为 ． 14.

函数()sin f x x x ωω=(0)ω>的图像在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为

1112

π

，则实数ω= ． 15.在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =+与圆22

1x y +=有公共点的概率

为 ．

16. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →

＝x ·CA →||CA →＋y ·CB →

||

CB

→，则xy 的最大值为 ．

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若21,432==S a ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令14log +=n n a b ，求数列?

??

???+12n n b b 的前n 项和n T ．

18. （12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，

P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.

（Ⅰ）求证：P A ⊥BD ；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面P AC ；

（Ⅲ）当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积.

19.（12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例

淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．

（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，

将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析； （Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的

考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．

数学二等奖

学生得分

语文二等奖 学生得分

7 9

1 4 8 9 4 7 6

2 0 3

9

频率

.

. 科目：语文

O 频率 .0 .0 .0 科目：数学

O

20. （12分）已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ， 且2P A →·PB →＝|PQ →|2.

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过F (1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C 于点G ，H 和M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.

21.（12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a

g x a x

+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.(10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为2

2

312cos ρθ=

+，直线l 的极坐标方程为4

sin cos ρθθ

=+. （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．

23.选修4－5: 不等式选讲

已知函数,1

()1,01x x f x x x

≥??

=?<

（Ⅰ）当0a =时，若()1g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．

数学试卷（文科）参考答案一、选择题

二、填空题

13.14.216.3

三、解答题

17. 【解析】Ⅰ由题意，设公比为(1)

q q>，则()

?

?

?

?

?

=

-

-

=

21

1

1

4

3

1

1

q

q

a

q

a

………………2分

解得

?

?

?

=

=

4

1

1

q

a

或

??

?

?

?

=

=

4

1

16

1

q

a

（舍）……………………………………………………5分

所以1

4n

n

a-

=…………………………………………………………………………6分

Ⅱ由题意，

4

log4n

n

b n

==，所以

1

2211

2

(1)1

n n

b b n n n n

+

==-

++

（）………9分

所以

12341

n n n

T b b b b b b

-

=++++++

L

=

11111111111

21

223344511

n n n n

-+-+-+-++-+-

-+

L

（）

=

1

21

1

n

-

+

（）=

2

1

n

n+

……………………………………………………12分

18. 【解析】(1)证明因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以P A⊥平面ABC. 又因为BD?平面ABC，所以P A⊥BD.

(2)证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知P A⊥BD，

又AC∩P A＝A，AC，P A?平面P AC，所以BD⊥平面P AC.

又BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC.

(3)解因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE.

因为D为AC的中点，所以DE＝

1

2P A＝1，BD＝DC＝ 2.

由(1)知P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，

所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝13DE ·S △BDC ＝16BD ·DC ·DE ＝1

3.

19. 【解析】（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是24.04.026.01.01=---， 所以考生总人数为：

5024

.012

=（人）

． ………………………………………2分 所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：4

)238.016.01(50=?--?（人）． ………………………………………3分

（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x 、2x 、2

1s 、2

2s ，

88592

909384811=++++=x ，…………………………………………4分

855

87

868489792=++++=x ，…………………………………………5分

22542547222222

1

=++++=s ， ………………………………………6分

6.115

11246222222

2

=++++=s ． ………………………………………7分

所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．

……………………………………8分

（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人

………………………………………9分

设两科成绩都是一等奖的3人分别为1A 、2A 、3A ，只有数学一科为一等奖的2人分

别是1B 、2B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，所以随机抽取两人的基本事件为：21A A 、

31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A C A 3、21B B 、C B 1、

C B 2共15种． …………………………………10分

而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：21A A 、31A A 、32A A 共3种．……11分

所以两人的两科成绩均为一等奖的概率5

1

153==P . …………………………12分

20. 【解析】(1)解 设点P 的坐标为(x ，y )，∴点Q 的坐标为(0，y ). ∵2P A →·PB →＝|PQ →|2，P A →

＝(－2－x ，－y )，

PB →＝(2－x ，－y )，|PQ →

|＝|x |， ∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2， 化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时， 设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， l MN ：y ＝－1

k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，

联立?????

x 2

4＋y 2

2＝1，y ＝k (x －1)，

消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.

∴x 1＋x 2＝4k 2

2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.

∴GH 中点E 1的坐标为? ????2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.

同理，MN 中点E 2的坐标为????2k 2＋2，k k 2＋2， ∴12E E k ＝－3k

2(k 2－1)

，

∴12E E l 的方程为y －k

k 2＋2＝－3k 2(k 2

－1)????x －2k 2＋2， 即y ＝－3k 2(k 2

－1)????

x －23， ∴直线E 1E 2恒过定点????

23，0；

当两直线的斜率分别为0和不存在时，12E E l 的方程为y ＝0，也过点????23，0. 综上所述，12E E l 过定点????23，0.

21. 【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11

()1x f x -'=-

=

，

………………2分

所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………3分 （Ⅱ）1()ln a

h x x a x x

+=+

-， 22221(1)(1)[(1)]

()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==

………………4分 ① 当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； …………………5分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，

所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ……………6分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln a

h x x a x x

+=+

-在[]

1,e 上的最小值小于零. …………………7分 由（Ⅱ）可知

①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，

所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0e

a

h a +=+-<可得2e 1e 1a +>

-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1

e 1a +>

-； ……………………8分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，

所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ……………………9分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<

故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>

此时，(1)0h a +<不成立. …………………11分

综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1

e 1a +>-或2a <-. ……………………12分

22. 【解析】解：(1)C 1：3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.

(2)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离

d ＝

|cos θ＋3sin θ－4|2

＝

????2????12cos θ＋32sin θ－42

＝

????

2sin ?

???θ＋π6－42

≥

2

2

＝2当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π

3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2.

法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．

23. 【解析】解：(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤|x －1|＋b

－b ≤|x －1|＋|x －2|

|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时取等号，实数b ∈[－1，＋∞)．

(2)当a ＝1时，g (x )＝?????1

x

＋x －2， 02

，当0

x

＋x －2>2

x ·1

x

－2＝0；当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；故当x ＝1时， y ＝g (x )取得最小值0.