最新2019届高三下学期开学考试数学(文)试题

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2019-2020年高三下学期开学考试数学(文)试题含答案

2019-2020年高三下学期开学考试数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高，球的表面积和体积公式，，其中为球的半径，第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知，则（）A. B. C. D.3．若，则（）A. B. 0 C. D. 14. 已知向量, 向量，则的最大值，最小值分别是( )A．4，0 B．，4C．，0 D．16，05. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.6. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最小值的是（）A. B.C. D.7．执行右边的程序框图，若，则输出的为（）A．B．C．D．8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（）A. B. C. D.9. 已知函数，若的图像的一条切线经过点，则这条切线与直线及轴所围成的三角形面积为（）A. B.1 C. 2 D.10. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部11. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以的右焦点F为圆心，半径为4的圆经过A,O两点（O为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.12. 已知函数对定义域内的任意都有，且当时导函数满足，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2019学年度第二学期高三年级开学测试数学试题(文科)

2019---2019学年度第二学期高三年级开学测试数学试题（文科）一．选择题（每小题5分，共40分）1. 已知集合A 、B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（）A. A BB. B AC. AB B = D. A B A =2.在等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知2313a a =，则45SS 等于（） A.815 B.40121 C.1625D.57 3. 已知l 是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中真命题是（）A.若//l α，//l β，则//αβB.若βα⊥，//l α，则β⊥lC.若α⊥l ，//l β，则βα⊥D.若//l α，βα//，则//l β 4.已知点),1(),4,2(a B A -，若ABO ∠为钝角，则a 的取值范围是（）A.(1,2) B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(1,3)D.(,1)(3,)-∞+∞5.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是（） A .4i <? B .5i <? C .5i ≥? D .6i <?6. 在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则c o s C 的值为（）A1665B 5665C 1665或 5665D 1665-7.直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l的倾斜角为θ,4πθ≥则|F A |的取值范围是（）A .)23,41[B. 13(,442+C .]23,41(D .]221,41(+ 8.已知函数0)()()1(1)1(|1|1)(2=++⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=c x bf x f x x x x x f 的方程，若关于有且仅有3个实数根=++232221321x x x x x x ，则、、 ( )A.5B.2222b b +C.3D.2222cc + 二．填空题（每小题5分，共30分）9. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的________________条件.10.某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如右图所示，则这个容器的容积为 .11.已知a =()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则的大小关系为___________.12.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 .13.已知{}n a 是递增数列,且对任意()*∈Nn 都有n n anλ+=2恒成立,则实数λ的取值范围是。

2019届山东省高三下学期起初考试文科数学试卷【含答案及解析】

2019届山东省高三下学期起初考试文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数（其中，是虚数单位），则的值为（A）______________________________ （B）______________ （C）______________________________ （D）2. 集合，，若，则（A）____________________ （B）___________ （C）___________ （D）3. 已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（A） ______________ （B）_________ （C） ______________ （D）4. 函数，，则任取一点，使得≥的概率为（A）____________________________ （B）____________________________ （C）______________ （D）5. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（A），____________________________（B），（C），______________________________（D），6. 已知数列，若点 ) 在经过点的定直线上，则数列的前项和（A ） ________________________ （B ） ____________________ （C ）____________________________ （D ）7. 给出下列命题：① 设为非零实数，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；② 在中，若，则；③ 命题“ ”的否定为“ ”；④ 命题“若≥ 且≥ ，则≥ ”的逆否命题为“ ，则且”.其中真命题的个数是（A）____________________________ （B）____________________ （C）______________ ________ （D）8. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度9. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（A） ________________________ （B） ____________________ （C） ____________________ （D）10. 已知定义在上的函数对任意的都满足，当≤ 时，，若函数，且至少有6个零点，则取值范围是（A）____________________________________________ （B）（C）______________________________________ （D）二、填空题11. 已知，________________________ .12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________ .13. 若，则的取值范围是______________ .14. 运行如下图所示的程序框图，当输入时的输出结果为，若变量，满足，则目标函数的最大值为________________________ .15. 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数的对称中心也是函数的一个对称中心；③存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心；④若函数，则.其中正确命题的序号为______________ （把所有正确命题的序号都填上）.三、解答题16. 某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为，，，课题组用分层抽样的方法从中抽取个城市进行空气质量的调查.（Ⅰ）求每组中抽取的城市的个数；（Ⅱ ）从已抽取的个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率.17. 已知，， .（Ⅰ）求当时，函数的单调递增区间；（Ⅱ）设的图象在轴右侧的第一个最高点的坐标为，第一个最低点的坐标为，坐标原点为，求的余弦值 .18. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点 .（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.19. 已知数列是递增的等比数列，且， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和 .20. 已知函数（为自然对数的底数) .（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围 .21. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线交椭圆于，两点 .（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合)，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

2019届山东省淄博实验中学高三下学期开学考试数学(文)试题解析

绝密★启用前2019届山东省淄博实验中学高三下学期开学考试数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（） A ．3,1x y ==- B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-答案：D解对应方程组，即得结果解：由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 点评：本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（） A ．2- B ．2C ．1i -D ．1i +答案：B因为 1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称,所以 21z i =-,所以121+12z z i i （）（）=⋅-=,故选B.3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-答案：C本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 解：如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=，设内切圆的半径为r，则51213r r-+-=，解得2r=.所以内切圆的面积为24rππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C．点评：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1BB的中点，用过点1,,A E C的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．答案：C取1DD中点F，连接1,AF C F．平面1AFC E为截面，然后即可得出侧视图.解：取1DD中点F，连接1,AF C F．平面1AFC E为截面．如下图：故选：C 点评：本题考查的是三视图的知识，较简单，解题的关键是把截面作出来.5．若命题“2000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．][(),12,-∞-⋃+∞ B ．()(),12,-∞-⋃+∞C ．[]1,2- D ．()1,2-答案：C根据题干的到命题等价于2220x mx m +++≥恒成立，故只需要判别式小于等于0即可. 解：若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题,则命题等价于2220x mx m +++≥恒成立，故只需要()2=44201 2.m m m ∆-+≤⇒-≤≤故答案为C. 点评：这个题目考查了由命题的真假求参数的范围问题，是基础题.6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u v u u u v，则ED =u u u v（）A ．1233AD AB -u u uv u u u vB ．2133AD AB +u u uv u u u vC ．2133AD AB -u u uv u u u vD ．1233AD AB +u u uv u u u v答案：C画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v进行分解后可得结果．解：画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v =-=-+=-．故选C ．点评：应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.解：由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A. 点评：本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.8．若关于x 的不等式210x kx +->在[]1,2区间上有解，则k 的取值范围是（） A ．(),0-∞ B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭答案：D用分离参数法得出不等式k ＞1x ﹣x 在x ∈[1，2]上成立，根据函数f （x ）=1x﹣x 在x ∈[1，2]上的单调性，即可求出k 的取值范围．解：关于x 的不等式x 2+kx ﹣1＞0在区间[1，2]上有解， ∴kx ＞1﹣x 2在x ∈[1，2]上有解，即k ＞1x﹣x 在x ∈[1，2]上成立；设函数f （x ）=1x ﹣x ，x ∈[1，2]，∴f ′（x ）=﹣21x﹣1＜0恒成立，∴f （x ）在x ∈[1，2]上是单调减函数，且f （x ）的值域为[﹣32，0]，要k ＞1x ﹣x 在x ∈[1，2]上有解，则k ＞﹣32，即实数k 的取值范围为（﹣32，+∞）．故答案为：D 点评：（1）本题主要考查了不等式的有解问题，考查利用导数求函数的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法，本题利用的是分离参数法，解题效率比分类讨论法解题效率高.9．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为 A ．30° B ．60°C ．90°D ．120°答案：B作出异面直线所成的角，然后求解即可．解：因为几何体直三棱柱，BC ∥B 1C 1，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，AB AC ⊥，连结111,A C A C AC O ⋂=，取BC 的中点H,连结OH ，则直线1A B 与1AC 所成的角为就是,AOH ∠ ．设112AB AC AA BC ===，．易得2,2AO AH OH === ，三角形AOH 是正三角形，异面直线所成角为60°．故选B ．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．10．将()cos()||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于2x π=对称，则ϕ=（） A ．512π-B ．3π-C ．3πD ．512π 答案：B函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象经过放缩变换与平移变换后可得1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由1226k ππϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得结果.解：函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π后得到1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于2x π=对称， 1226k ππϕπ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3k πϕπ=-，当0k =时，3πϕ=-，故选B.点评：本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 11．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案：B 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B12．函数()266,033,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（）A ．(]4,6B ．()4,6C ．11,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B根据题意画出图像，由图可知23,x x 关于直线x 3=对称，所以236x x +=，再由图像得到1x 的范围，从而得到结果. 解：作出函数()f x 的图象，不妨令123x x x << ，由图可知23,x x 关于直线x 3=对称，所以236x x += 当0x ≥时，()f x 的最小值为()33f =-；当0x <时，由333x +=-得2x =-此时是1x 的最小取值，所以120,x -<<，故而()1234,6x x x ++∈. 故选B. 点评：这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.二、填空题13．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2020a t =（t 为常数），则2018201720162015S S S S +--=__________（用t 表示）．答案：t由201820172016201520182016201720152018201720172016S S S S S S S S a a a a +--=-+-=+++结合12n n n a a a --=+即可得出答案解：201820172016201520182016201720152018201720172016S S S S S S S S a a a a +--=-+-=+++ 201920182020a a a t =+==故答案为：t 点评：本题考查的是递推公式和前n 项和的知识，较简单.14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=()sin αβ+=__________．答案：1将题干中的两式平方相加得到22(sin cos cos sin )4αβαβ++=，再由两角和的正弦公式得到结果. 解：22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=Q 22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=, sin()1αβ∴+=.故答案为：1. 点评：1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化;2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos2α，cos 2α＝1－sin 2α.15．已知双曲线2221(0)x y m m-=>的上支交抛物线24y x = 于,A B 两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点,C F 为抛物线的焦点，且，115FA FB FC+=则 m ＝_______.答案：1联立抛物线方程和双曲线方程，运用韦达定理，求得渐近线方程，联立抛物线方程求得C 的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得m 的值．解：联立222214x y my x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得x 2﹣4m 2x +m 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得()()22222444410m m m m ∆=-=->，x 1+x 2＝4m 2，x 1x 2＝m 2，由渐近线y ＝xm和抛物线y 2＝4x 可得x ＝0和x ＝4m 2，即C 的横坐标为4m 2，抛物线y 2＝4x 的焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，由抛物线的定义可得1231,1,1AF x BF x FC x =+=+=+，115FA FB FC +=，即为111x ++211x +＝2514m +，即有2222441m m m +++＝2514m+，化为16m 4﹣13m 2﹣3＝0，解得m 2＝1，即m ＝1．故答案为：1．点评：本题考查双曲线的方程和性质，注意运用抛物线的定义和方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222(cos cos )a b a B b A -=+，且ABC ∆的面积为25，则ABC ∆周长的最小值为__________．答案：10+在ABC ∆中，由余弦定理化简求得222a b c =+，即2A π∠=，再根据面积公式求得50bc =，进而利用基本不等式，即可求解周长的最小值. 解：在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222222222(cos cos )()22a c b b c a a b a B b A a b ac bc+-+--=+=⋅+⋅，即2222222222()22a c b b c a a b a b c ac bc+-+--=⋅+⋅=，即222a b c=+，即2A π∠=，所以三角形的面积为125502S bc bc ==⇒=，则ABC ∆的周长为10l b c =+≥=，当5b c ==时取得等号，所以ABC ∆的周长最小值为10. 点评：本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理求解三角形问题，同时考查了三角形面积公式和基本不等式求最小值问题，其中解答中根据余弦定理求得2A π∠=，在利用面积公式求得50bc =，然后利用基本不等式求最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档试题.三、解答题17．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.答案：（1）92n a n =-；（2）5.（1）根据等差数列{}n a 的公差为-2，且1342,,a a a +成等比数列列出关于公差d 的方程，解方程可求得d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知1292n n b n -=-+，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.解：（1）1342,,a a a +Q 成等比数列，()()()2111426a a a ∴-=+-，解得：17a =，92n a n ∴=-. （2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-L L ，()212812n n n -=--- 2281n n n =+--，显然当4n ≤时，0n S <，580S =>,又因为5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5. 点评：本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18．已知如图1所示，在边长为12的正方形11AA A A '，中，111////BB CC AA ，且13,4,AB BC AA =='分别交11,BB CC 于点P 、Q ，将该正方形沿11,BB CC ，折叠，使得1A A '与1AA 重合，构成如图2所示的三棱柱111ABC A B C -，在该三棱柱底边AC 上有一点M ，满足(01)AM kMC k =<<；请在图2中解决下列问题：（1）求证：当34k =时，//BM 平面APQ ；（2）若14k =，求三棱锥M APQ -的体积．答案：（1）证明见解析；（2）145（1）过M 作//MN CQ 交AQ 于N ，连接PN ，证明四边形MNPB 为平行四边形，然后得出//BM PN 即可.（2）易得AB BC ⊥，然后用1112325M APQ P AMQ V V AM CQ --==⨯⨯⨯⨯算出即可. 解：（1）证明：在下图中，过M 作//MN CQ 交AQ 于N ，连接PN ，所以//MN PB ，∴MNPB 共面且平面MNPB 交平面APQ 于PN ， ∵33,47MN AM k CQ AC ===又7CQ =，∴3,3MN MN PB AB ====， ∴四边形MNPB 为平行四边形，∴//BM PN ，PN ⊂平面APQ ，BM ⊂/平面APQ ，∴//BM平面APQ；（2）因为3,4AB BC==，所以5AC=，从而222AC AB BC=+，即AB BC⊥．因为14k=．所以1AM=．所以1112143255M APQ P AMQV V AM CQ--==⨯⨯⨯⨯=点评：在算三棱锥的体积的时候要利用图形的特点，看把哪个侧面当成底面更好算一些. 19．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A，试估计A的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用e a bxy+=作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表（表中lni iY y=，101110iiY Y==∑）：①根据回归方程类型及表中数据，建立y关于x的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,ˆˆˆni i i ni i u v nuvv u unu βαβ==-==--∑∑； ②参考数据： 2.951.750.550.65 1.85e19.1,e 5.75,e 1.73,e 0.52,e 0.16--≈≈≈≈≈．答案：（1）0.40；（2） 3.550.3ˆe x y-= 0.29万元 ⑴由频率分布直方图可得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(]812，的频率为0.0740.28⨯=，在(]1216，的频率为0.0340.12⨯=，从而得出A 的概率 ⑵①求出Y 关于x 的线性回归方程为ˆY a bx =+，，分别求出a 和b ，继而求出y 关于x的回归方程②分别求出对应的频率，然后计算平均佣金解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(]8,12的频率为0.0740.28⨯=，在(]12,16的频率为0.0340.12⨯= 所以()0.280.120.40P A =+=．（2）①由a bxy e+=得ln y a bx =+，即Y 关于x 的线性回归方程为ˆYa bx =+．因为1011022211079.7510 5.5 1.90.338510 5.51ˆ0i i i i i x Y x Y b x x==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑， ()1.9ˆˆ0.3 5.5 3.55aY b x =-⋅=--⨯= 所以Y 关于x 的线性回归方程为 3.5503ˆ.Yx =-，即y 关于x 的回归方程为 3.550.3ˆe xy -=②根据①中的回归方程 3.550.3ˆe xy-=和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在(]04，的平均成交价格为 3.550.32 2.95e e 19.1-⨯=≈，对应的频率为0.2；使用时间在(]48，的平均成交价格为 3.550.36 1.75e e 5.75-⨯=≈，对应的频率为0.36；使用时间在(]812，的平均成交价格为 3.550.3100.55e e 1.73-⨯=≈，对应的频率为0.28；使用时间在(]1216，的平均成交价格为 3.550.3140.65e e 0.52-⨯-=≈，对应的频率为0.12；使用时间在(]1620，的平均成交价格为 3.550.318 1.85e e 0.16-⨯-=≈，对应的频率为0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()()0.219.10.36 5.754%0.28 1.730.120.520.040.1610%⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.290920.29=≈万元点评：本题主要考查了非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题。

2019-2020年高三下学期开学数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高三下学期开学数学试卷(文科) 含解析一•选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)集合A={x| — 1 < x W 2} , B={x| x v 1}，贝U A AB=({x| x v 1} B . {x| —1 W x w 2}2i2 )=( )1 - i1.A.2.A.3.为了解某地区中小学生的视力情况，事先已经了解到该地区小学、初中、—2i B. —4i C. 2i D. 4iC. {x| —1 < x< 1})D . {x| —1 < x v 1}力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( A .简单的随机抽样C.按学段分层抽样4 .命题?A. ? x o€ C. ? x o€ 5.A ABC cosB=(拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视)B .按性别分层抽样D .系统抽样x €( 0, +8), lnx 丰 x —(0, +8), lnX0=x0- 1(0, +8), lnx°=x0 —11”的否定是(B. ? X0? (0,D. ? x0? (0,)+m), lnx o=x o —1+8), Inx°=x o —1的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则)6.已知实数C D4 (Qoy满足七丫I 2D . 0输出则z=4x+y的最大值为(C. 2A . 10B .7.执行如图所示的程序框图, s的值为(结束A JB 匚C -&某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（1++ i1\__9.以点(3,- 1 )为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )2 2 2 2 2 2A. (x- 3) + (y+1) =1B. (x+3) + (y- 1) =1C. (x+3) + (y- 1) =2D.(x -2 23) + (y+1) =2 10•如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1, 0）.且点C与点D在函数x+1,垃Ao_丄討］疋<0的图象上.若在矩形ABCDA .( - s, 0] B.(-汽1] C . [ - 2, 1] D . [ - 2, 0]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13 .若向量五=（1, - 3）, |茨| =|，饭？逗=0，则|运| =.14. 在等差数列｛ a n｝中，已知a3+a3=10,则3a5+a7=_侧观图14T C.16f (x)= 内随机取一点，则该点取自空白部分11•设|AB| =F为抛物线_( )V30A .B . 612C：y =3x的焦点，过F且倾斜角为30 °勺直线交于C于A , B两点，则12.已知函数C. 12D. 7 二(x) ln(x+l)t.，若|f (x)| > ax,则a的取值范围是（15. 已知函数f (x ) =axl nx , x €( 0, +^),其中a 为实数，f'(x )为f (x )的导函数，若 f (1) =3，则a 的值为_.2 216. 已知抛物线y 2=4x 与双曲线r - ' =1 (a >0, b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲/ b 2 线的一个交点，且 AF 丄x 轴，则双曲线的离心率为三、解答题(本大题共 5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)2 2 217. 在△ A BC 中，角 A . B . C 所对的边分别为 a. b. c ,已知 sin B+sin C=sin A+sin BsinC . (1)求角A 的大小；18. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2个红球A 1, A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球纳，a 2和2个白球b 1, b ?的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.19. 在三棱锥P -ABC 中.侧梭长均为4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC . BC 的中点.〔I )求证：平面 PAC 丄平面 ABC .(n)求三棱锥 P -ABC 的体积；(川)求二面角 C - AD - E 的余弦值.2 220. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1：' (a >b >0)的左焦点为F 1 (- 1,a b0),且点 P (0, 1)在 C 1 上. (1) 求椭圆C 1的方程；2(2) 设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2： y =4x 相切，求直线I 的方程. 21. 已知函数f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-［处取得极值. (1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性. ［选修4-1 :几何证明选讲］(2)若 cosB^ —,a=3,求c 值.22. 如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(n)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.［选修4-4 :坐标系与参数方程］t COS G23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：. (t为参数，t z0),其中O w a n,在以y=tsindO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=2si n0, C3 :p=2 cos 0.(1 )求C2与C3交点的直角坐标；(2 )若C i与C2相交于点A , C i与C3相交于点B，求| AB|的最大值.［选修4-5 :不等式选讲］24. 已知函数f (x) =| x+a|+| x - 2|(1 )当a=- 3时，求不等式f (x)> 3的解集；(2)若f (x)w | x-4|的解集包含［1，2］，求a的取值范围.2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中高三(下)开学数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•)1 集合A={x| - 1 < x w 2} , B={x| x v 1}，则A nB=( )A . {x|x v 1}B . {x| - 1 w x< 2} C. {x| - 1 w x w 1} D . {x| - 1 w x v 1}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集和数轴即可求出A nB.【解答】解：A AB={ x| - 1 w x w 2} A(x|x v 1}={x| - 1 w x w 2,且x v 1} ={x| — 1 w x v 1}. 故选D .2i 22. ^—7)=( )A. - 2i B . - 4i C . 2i D . 4i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(亠^)2=—■< 一= - 2i .1 _ 1 - 21 1 1 • 1故选：A .3. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A .简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D .系统抽样【考点】分层抽样方法.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C .4. 命题? x €( 0, +8), I nx丰x -1”的否定是( )A . ? x o€( 0, +m), Inx o=x o- 1B . ? x o? (0, +m), Inx o=x o- 1C . ? x o€( 0, +8), Inx o=x o-1D . ? x o? (0, +8), Inx o=x o-1【考点】命题的否定.【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题? X €( 0, +8), I nx 丰 x- 1”的否定是？ X o€( 0, +8), I nx o=x o- 1;故选：A.5. A ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=( )A. --B.丄C.D.』4 4 4 3【考点】余弦定理；等比数列.【分析】根据等比数列的性质，可得b=二a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案.2【解答】解：△ ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac,由c=2a，贝U b=©a,a2 + c2 _b2J「2a2 3COsB=―药~，故选B .6. 已知实数x, y满足* y〉0 ，则z=4x+y的最大值为( ),K+y<2A. 10B. 8C. 2D. 0【考点】简单线性规划.【分析】画出足约束条件y>0的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值.【解答】解：已知实数x、y满足y>0 ,x+y<2在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是 A ( 0, 0), B (0, 2), C (2, 0),由图可知，当x=2 , y=0时，4x+y的最大值是8.故选：B.}计算并输出S 的值为.•【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2不满足条件k > 4, k=3 不满足条件k > 4, k=4 不满足条件k > 4, k=5只兀 1满足条件k >4, S=sin —,6 2-77 •执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）Vi【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件 k > 4,Et+lA •输出S 的值为. 2故选：D .8某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(D 14B —— .棱柱、棱锥、棱台的体积.由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可. 解：几何体是四棱台，下底面是边长为 2的正方形，上底面是边长为 1的正方形,故选B . 9•以点(3,- 1 )为圆心且与直线 3x+4y=0相切的圆的方程是()22 2 2 2 2A . (x - 3) + (y+1) =1B . (x+3) + (y - 1) =1C . (x+3) + (y - 1) =2D .(x -2 23) + (y+1) =2 【考点】圆的标准方程.【分析】根据题意，求出点(3,- 1)与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合圆的标准方程形式即可得到本题答案.【解答】解：设圆的方程是(x - 3) 2+ (y+1) 2=r 2 •••直线3x+4y=0相与圆相切|9・4丨.•.圆的半径r==1因此，所求圆的方程为(x - 3) 2+ ( y+1) 2=1侧视图俯视厦1C .【考点】【分析】【解答】棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为 V=丄-;;j ：■ ：/ ;十工X 广"=丄.故选：A.2，2， 10.如图，矩形 ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1, 0).且点C 与点D 在函数Ix>01 _ / 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自空白部分-yx+l, X<01 3 •••矩形的面积S=3 x 2=6，阴影三角形的面积 S= _ x 3x 仁一，•••所求概率P=1 -=.423【解答】解：由y 2=3x 得其焦点F (才，0),准线方程为2则过抛物线y =3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为代入抛物线方程，消去 y ，得16x 2- 168x+9=0 . 设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)nt[ 163 21 则 X 1+X 2=33 3 3 21所以 |AB|=X 1+ .+X 2+ . = .+?+=12f (x)=[【考点】【分析】几何概型.由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得.解：由题意可得 B (1, 0),把x=1代入y=x + 1可得y=2，即 3个定点为(0, 把x=0代入y=x + 1可得y=1，即图中阴影三角形的第令-.x+1=2 可解得 x= - 2，即 D (- 2, 2),C (1, 2), 1), 2C ： y =3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于11.设F 为抛物线 |AB|=( )A .警B . 6【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程, 关系，由弦长公式求得|AB|.C 于A , B 两点，则C . 12D . 7-利用根与系数的3x= -.y=ta n30 ° (x -订)半 (x -.).故选：CA • ( - s, 0]B . ( - s, 1]C . [ - 2, 1]D • [ - 2, 0]【考点】其他不等式的解法.【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得I 的斜率，进而数形结合可得a 的范围.【解答】解：由题意可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 I 和x 轴之间符合题意，直线I为曲线的切线，且此时函数 y=|f (x ) |在第二象限的部分解析式为y=x 2-2x ,求其导数可得y=2x - 2,因为x w 0,故y'w- 2,故直线I 的斜率为-2, 故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可，即a € [ - 2, 0] 故选：D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13•若向量乔=(1, - 3), |=|，乔？丽=0，则|忑| = ___________________ • 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解：设丽=(x , y ), •••向量o?= (1,- 3), |齐| =|忑|，忑？廷=0,-=〔：］L :?= (2, 4)或(-4, 2)•• | J |= 「一: '■• 故答案为：匚14. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】根据等差数列性质可得： 3a 5+a 7=2 (a 5+a 6)=2 (Os+a g ). 【解答】解：由等差数列的性质得：3a 5+a 7=2a 5+ (a 5+a 7)=2a 5+ (2a 6)=2 (a 5+a 6)=2 (a 3+a g ) =20,12•已知函数 (x):-x +2x, ln(x+l) t' ，若|f (x ) | >ax ,则a 的取值范围是( x>0I ；■= (3, 1), (— 3,- 1) •故答案为：20.15. 已知函数f (x) =axl nx , x €( 0, +^),其中a为实数，f'(x)为f (x )的导函数，若f (1) =3，则a的值为_.【考点】导数的运算.【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可.【解答】解：I f' (x) =a (1+lnx ), f' (1) =3,••• a (1+ln1) =3,解得a=3,故答案为：3.2 216. 已知抛物线y2=4x与双曲线’--」=1 (a> 0, b>0)有相同的焦点F，点A是两曲a2线的一个交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为 ______ .【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c,根据AF丄x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e.【解答】解：•••抛物线y2=4x的焦点(1, 0)和双曲线的焦点相同，• c=1 ,•/ A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0,•••|AF|=2,••• A (1, 2),•••点A在双曲线上，1 4 .••一 .一 ,a b•/ c=1 , b2=c2- a2,a= - 1,••• e=：=1+ ",故答案为：1+ 一.三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)2 2 217. 在△ A BC 中，角A . B . C 所对的边分别为a. b. c,已知sin B+sin C=sin A+sin BsinC .(1)求角A的大小；(2 )若cosB= =, a=3,求 c 值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)利用余弦定理表示出cosA，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出cosA 的值，即可确定出A的度数；(2)由cosB 的值求出sinB 的值，再由cosA 与sinA 的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin (A+B ),把各自的值代入求出 sin (A+B )的值，即为sinC 的值，利用正弦定理求出c 的值即可.2 2 2【解答】解：(1)由正弦定理可得 b 2+c 2=a 2+bc .T A €( 0, n) , . A = —3 ； (2 )由(1)可知，si nA=^Z2••• cosB= , B 为三角形的内角,3.sin B=\36.3X V3+2V2由正弦定理一^=^_,得c=—"'---sinA sinCsinA18•某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2个红球A i , A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a i , a ?和2个白球b i , b ?的乙箱中, 各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【分析】(I)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；(n)在(I)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的. 【解答】解：(I)所有可能的摸出的结果是：{ A 1, a 1} , { A 1, a 2} , { A 1, b 1} , { A 1, b 2} , { A 2, a 1} , {A 2, a 2},{A 2 , b 1}, {A 2 , b 2} , {B , a 1} , {B , a 2} , { B , b 〔}, { B , b 2}；(n)不正确.理由如下：由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{ A 1 , a 1} , { A 1 , a 2} , { A 2 , a 1} , { A 2 , a 2},共 4 种,41••冲奖的概率为厂一不中奖的概率为：1 - 丁 _故这种说法不正确.19. 在三棱锥 P -ABC 中.侧梭长均为 4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC. BC 的中点. 〔I ）求证：平面 PAC 丄平面 ABC .由余弦定理:cosA=b 2+c 2- 2bcsinC=sin (A+B ) =sinAcosB +cosAsinB= •匚'匚二（H ）求三棱锥 P -ABC 的体积；（川）求二面角 C - AD - E 的余弦值.B【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法. 【分析】（I ）禾U 用等腰三角形的性质即可得到 0P 丄AC ,再利用勾股定理的逆定理即可得到 0P 丄0B ,禾U 用线面垂直的判定定理即可证明；（II ）由（1）可知0P 丄平面ABC ，故0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P= 二直角三角形ABC 的面积S=】f 汇，再利用-即可得出.（III ）过点E 作EH 丄AC 于H ，过点H 作HM 丄AD 于M ，连接ME ，由平面PAC 丄平面 ABC , EH 丄AC , EH?平面ABC ，可得EH 丄平面PAC ,于是ME 丄AD （三垂线定理），可得/ EMH 即为所求的二面角的平面角.利用直角三角形的边角关系求出即可. 【解答】证明：（I ）： PA=PB=PC=AC=4 , 取AC 的中点0,连接0P , 0B ，可得：0P 丄AC ,— ■ 八h —汀— [ .,••• AC 2=AB 2+BC 2,.・.A ABC 为 Rt △. •••0B=0C=2 , PB 2=OB 2+0P 2,.・.0P 丄 0B .又• AC AB0=0 且 AC 、0B?面 ABC , • 0P 丄平面 ABC , 又••• 0P?平面PAC ,•平面 PAC 丄平面 ABC .）（□）由（I ）可知：0P 丄平面ABC ,••• 0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P=- 一. 直角三角形ABC 的面积S =g 「M 「叮碍】• V p -ABC =+心莎C =-.-1（川）方法一：过点 E 作EH 丄AC 于H ,过点H 作HM 丄AD 于M ,连接 ME ，•平面PAC 丄平面 ABC ,平面PAC 门平面 ABC=AC , EH 丄AC , EH?平面 ABC , ••• EH 丄平面PAC ,「. ME 丄AD （三垂线定理）， •••/ EMH 即为所求的二面角的平面角. ••• E , D 分别为中点，EH 丄AC , •••在 RT A HEC 中：匚，.,5在RT A HMA 中；在RT A HME中，"_ J，「亠45_—卡二=2 220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C i：一’ - (a>b>0)的左焦点为F i (- 1,a L0),且点P (0, 1)在C i上.(1)求椭圆C i的方程；2(2)设直线I同时与椭圆C i和抛物线C2：y =4x相切，求直线I的方程.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.2 2【分析】(1 )因为椭圆C i的左焦点为F i(- 1,0),所以c=1，点P( 0,1 )代入椭圆~+^=1, 得b=1，由此能求出椭圆C i的方程.(2)设直线I 的方程为y=kx+m，由~2~ + y=\得(1+2k2) x2+4kmx+2m2-2=0 .因为2 2 2 2直线I与椭圆C i相切，所以△ =16k2m2- 4 ( 1+2k2) (2m2-2) =0.由此能求出直线I的方程.【解答】解：(1)因为椭圆C i的左焦点为F i (- 1, 0),所以c=1 ,2 2 1点P ( 0, 1)代入椭圆- •，得=一，即b=1 ,异A所以a2=b2+c2=22所以椭圆C 1的方程为■.--2(2)直线I 的斜率显然存在，设直线I 的方程为y=kx+m ,2/ -卜--,消去 y 并整理得(1+2k 2) x 2+4kmx+2m 2- 2=0 , 尸 kx+m因为直线I 与椭圆C 1相切，所以△ =16k 2m 2 - 4 (1+2k 2) (2m 2- 2) =0 整理得2 k 2 - m 2+仁0①2_ Y，消去 y 并整理得 k 2x 2+ ( 2km - 4) x+m 2=0因为直线l 与抛物线C 2相切，所以△ = (2km - 4) 2 - 4k 2m 2=0 整理得km=1②综合①②，解得*所以直线1的方程为丁 ■一 _,： ■ ' ■.或■. 乙£3 2421. 已知函数f (x ) =ax +x ( a € R )在x= 处取得极值.(1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性. 求导数，利用f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-二处取得极值，可得f ' ( - ^)=ax 3+x 2 ( a € R )在x=- 处取得极值， J)=0，••• 3a? ] +2? (-〕)=0,1• a =；(2)由(1)得 g (x ) = C. x 3+x 2) e x ,••• g' (x ) = (_!X 2+2X ) e x + (一x 3+x 2) e x = x (x+1) (x+4) e x ,由* 【分析】(1) =0,即可确定(2 )由 (1) 【解答】解:a 的值；得g (x ) = (=X 3+X 2) e x ，利用导数的正负可得 g (x )的单调性.(1)对 f (x )求导得 f ' (x ) =3ax 2+2x . ••• f (x) •-f'(—2 2 2令g' (x) =0 ,解得x=0 , x= - 1 或x= - 4,当x v- 4时，g' (x)v 0,故g ( x)为减函数；当-4v x v- 1时，g' (x)> 0，故g (x)为增函数；当-1 v x v 0时，g'( x) v 0，故g (x)为减函数；当x>0时，g ' (x)> 0，故g (x)为增函数；综上知g (x)在(-a,- 4 )和(-1, 0)内为减函数，在(-4，- 1)和(0, +8)为增函数.［选修4-1 :几何证明选讲］22•如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(H)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I)连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出/ C= / AGD，从而得到/ C+ZDGE=180 °由此能证明C, E, G, D四点共圆.(H)由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长.【解答】(I)证明：连接BD，则/ AGD= / ABD ,•••/ ABD +/ DAB=90 ° / C+Z CAB=90 °•••/ C=Z AGD ,•Z C+Z DGE=180 °• C, E, G, D四点共圆.…(n)解：••• EG?EA=EB2,EG=1,GA=3 ,• EB=2,又••• F为EB的三等分点且靠近E,2 4•二，二，又••• FG?FD=FE?FC=FB2,o•FC，CE=2 …2_ 2 2P ¥代入可得直角坐标方尸 P sin 。

2019届高三开学考数学(文科)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，求出集合，再解不等式，求出集合，最后求并集即可. 【详解】解不等式得，即；解不等式得，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3.已知两个非零单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（）A. 在方向上的投影为B.C. ，D. 不存在，使【答案】A 【解析】【分析】根据向量投影的定义可判断A ；根据向量的数量积可判断B ，C ，D. 【详解】因为两个非零单位向量，的夹角为，所以在方向上的投影为;故A 错；又，所以；故B 正确；因为，所以，故C 正确；因为，因此不存在，使，故D 正确.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的概念和计算公式即可，属于基础题型.4.安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果. 【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型. 5.若，则有（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】构造函数，得出函数的单调性，根据，即可得出结果.【详解】令，则在R上单调递增，又，所以，解，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.6.过抛物线的焦点的直线交于，点处的切线与，轴分别交于点，，若的面积为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先设，再求出点处的切线方程，进而求出，坐标，得到的面积，即可求出点坐标，求出的长.【详解】因为过抛物线的焦点的直线交于，所以设，又，所以，所以点处的切线方程为：,令可得，即；令可得，即,因为的面积为，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 47B. 48C. 39D. 40【答案】A【解析】【分析】按照程序框图逐步执行，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，执行循环体；，执行循环体；，执行循环体；，结束循环，.输出.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，按程序逐步执行即可，属于基础题型.8.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.9.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设点在第一象限、点在第四象限，，解三角形即可.【详解】不妨假设点在第一象限、点在第四象限，.则易知，，∴，在中，，，∴.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出，位置，以及的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.10.若关于的方程在区间上有且只有一解，则正数的最大值是（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】先将方程有且只有一解问题转化为函数与在区间上有且只有一个交点的问题，数形结合的思想即可求出的范围.【详解】因为可变为，所以方程在区间上有且只有一解可化为与在区间上有且只有一个交点,如图，由已知可得：设函数的最小正周期为，则，，∴.故选B【点睛】本题主要考查正弦函数图像，解题关键是运用数形结合的思想，将方程有且只有一解问题转化为函数与在区间上有且只有一个交点的问题，属于常考题型.11.已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的图象经过点先求出，的值，得到函数表达式；接下来分析该几何体为矩形绕轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为，结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.【详解】由，及得，，，，如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，所以于是圆柱的体积，当且仅当，即时，等号成立.故选B【点睛】本题主要考查旋转体的体积，结合基本不等式与体积公式即可求解，属于常考题型.12.正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线可知外接球半径，过作，为垂足，当垂直截面时，截面圆半径最小，进而得出面积.【详解】由，，两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴,过作，为垂足，,在中，，，∴，当垂直截面时，截面圆半径最小.，.故选C【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题，只需确定垂直截面时，截面圆半径最小，即可求解，属于常考题型.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13.若，则________．【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.14.若实数满足条件，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再由的几何意义是直线的纵截距的相反数，平移直线，根据图形可得结论.【详解】作出约束条件表示的可行域如图：的几何意义是直线的纵截距的相反数，由，可得交点坐标为，平移直线根据图形可知，当直线在经过时，取得最大值，最大值为7.故答案为7【点睛】本题主要考查线性规划，解题关键是作出出可行域，对目标函数进行平移，找出最优解，属于基础题型.15.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由与平面所成的角为，求出球的半径，进而可求出结果.【详解】设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型.16.在中，内角所对的边分别为．若，，且的面积等于，则________．【答案】【解析】【分析】由，，且的面积等于3，分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得出结果.【详解】因为，的面积等于，由，根据正弦定理可得，①由余弦定理可得，②由三角形面积公式得③由①②③得，，，.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求解，属于常考题型.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17.已知数列满足，．（I）证明是等比数列，并求的通项公式；（II）证明：．【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）由得，即可证明数列是等比数列；进而可求出的通项公式；（II）先由裂项相消法求，进而可证明结论成立.【详解】（I）由得。

2019届高三数学下学期开学考试试题文

吉林省长春外国语学校2019届高三数学下学期开学考试试题文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知，复数，( )A．B．C．D．2.已知集合，，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．3. 已知向量a，b，若a∥b，则实数的值为 ( )A． B． C． D．4. 若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．5.在等差数列中，若，，则的值是（）A． B．C． D．6.函数y＝x sin x＋1x2的部分图象大致为( )7.已知平面，和直线，，则下列说法正确的是（）A.若∥，∥，且∥，则∥B. 若，，且∥，则∥C. 若，，且∥，则∥D.若，，，则8.数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的为（）A. 5B. 6C. 7D. 8已知实数，满足，实数，满足，则是的（11.已知双曲线的左焦点为，离心率为，是双曲线的右支上的动点，若（为焦半距），且的最小值为，则双曲线的方程式 ( )A. B. C. D.12. 已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

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第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知,a b R ∈，复数21ia bi i+=+，a b +=( ) A ． 2 B ．1 C ．0 D ．2-2. 已知集合{}22M x x x =<+，{}N x x a =>，若M N ⊆，则a 的取值范围为（） A ．](,1-∞- B ．](,2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)1,-+∞ 3. 已知向量a (1,2)=，b (,1)m =-，若a ∥b ，则实数m 的值为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12 D ． 12- 4. 若4cos 5α=-，且α为第二象限角，则tan α=（） A ．43- B ．34- C ．43D ．345. 在等差数列{}n a 中，若3453a a a ++=，88a =，则12a 的值是（） A ．64 B ．31 C ． 30 D ．156. 函数y ＝x sin x ＋1x 2的部分图象大致为( )7. 已知平面α，β和直线a ，b ，则下列说法正确的是（） A.若a ∥α，b ∥β，且α∥β，则a ∥b B. 若a α⊂，b β⊂，且a ∥b ，则α∥βC. 若a α⊥，b β⊥，且a ∥b ，则α∥βD.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ 8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3 再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的i 为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 89. 已知实数x ，y 满足:p 22(1)(1)1x y -+-≤，:q 实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10. 在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )11. 已知双曲线:C 22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点为1F ，离心率为5，P 是双曲线C的右支上的动点，若(,2)Q c a （c 为焦半距），且1PF PQ +的最小值为8，则双曲线C 的方程式 ( )A. 2212y x -= B. 2212x y -= C. 2214y x -= D. 2214x y -= 12. 已知函数ln ()x f x x=，若方程2()()1f x tf x +=-有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（）A ．(,)e -∞-B ．1(,)e e -∞--C ．(,2)-∞-D ．1(,2)e e---第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. 点)2,3(A 是圆9)1()2(22=-+-y x 内一点，则过点A 的最短弦长为． 14.函数()sin f x x x ωω=(0)ω>的图像在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为1112π，则实数ω= ． 15.在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为．16. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →||CA →＋y ·CB →||CB→，则xy 的最大值为．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若21,432==S a ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令14log +=n n a b ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n b b 的前n 项和n T ．18. （12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.（Ⅰ）求证：P A ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面P AC ；（Ⅲ）当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积.19.（12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．数学二等奖学生得分语文二等奖学生得分7 91 4 8 9 4 7 62 0 39频率.. 科目：语文O 频率 .0 .0 .0 科目：数学O20. （12分）已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2.（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过F (1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C 于点G ，H 和M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.21.（12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为22312cos ρθ=+，直线l 的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+. （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．23.选修4－5: 不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()2,g x af x x a R =--∈.（Ⅰ）当0a =时，若()1g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．数学试卷（文科）参考答案一、选择题二、填空题13.14.216.3三、解答题17. 【解析】Ⅰ由题意，设公比为(1)q q>，则()⎪⎩⎪⎨⎧=--=21114311qqaqa………………2分解得⎩⎨⎧==411qa或⎪⎩⎪⎨⎧==41161qa（舍）……………………………………………………5分所以14nna-=…………………………………………………………………………6分Ⅱ由题意，4log4nnb n==，所以122112(1)1n nb b n n n n+==-++（）………9分所以12341n n nT b b b b b b-=++++++L=1111111111121223344511n n n n-+-+-+-++-+--+L（）=1211n-+（）=21nn+……………………………………………………12分18. 【解析】(1)证明因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以P A⊥平面ABC. 又因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD.(2)证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知P A⊥BD，又AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC.又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC.(3)解因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12P A＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝13DE ·S △BDC ＝16BD ·DC ·DE ＝13.19. 【解析】（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是24.04.026.01.01=---，所以考生总人数为：5024.012=（人）． ………………………………………2分所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：4)238.016.01(50=⨯--⨯（人）． ………………………………………3分（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x 、2x 、21s 、22s ，88592909384811=++++=x ，…………………………………………4分85587868489792=++++=x ，…………………………………………5分225425472222221=++++=s ， ………………………………………6分6.115112462222222=++++=s ． ………………………………………7分所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．……………………………………8分（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人………………………………………9分设两科成绩都是一等奖的3人分别为1A 、2A 、3A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是1B 、2B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，所以随机抽取两人的基本事件为：21A A 、31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A C A 3、21B B 、C B 1、C B 2共15种． …………………………………10分而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为：21A A 、31A A 、32A A 共3种．……11分所以两人的两科成绩均为一等奖的概率51153==P . …………………………12分20. 【解析】(1)解设点P 的坐标为(x ，y )，∴点Q 的坐标为(0，y ). ∵2P A →·PB →＝|PQ →|2，P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，|PQ →|＝|x |， ∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.同理，MN 中点E 2的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2＋2，k k 2＋2， ∴12E E k ＝－3k2(k 2－1)，∴12E E l 的方程为y －kk 2＋2＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －2k 2＋2，即y ＝－3k 2(k 2－1)⎝⎛⎭⎫x －23， ∴直线E 1E 2恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0；当两直线的斜率分别为0和不存在时，12E E l 的方程为y ＝0，也过点⎝⎛⎭⎫23，0. 综上所述，12E E l 过定点⎝⎛⎭⎫23，0.21. 【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x -'=-=，………………2分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………3分（Ⅱ）1()ln a h x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………4分 ① 当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； …………………5分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ……………6分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln a h x x a x x +=+-在[]1,e 上的最小值小于零. …………………7分由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0ea h a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ……………………8分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ……………………9分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. …………………11分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ……………………12分22. 【解析】解：(1)C 1：3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.(2)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|cos θ＋3sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ－42＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－42≥22＝2当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2. 法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．23. 【解析】解：(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2||x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时取等号，实数b ∈[－1，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2， 0<x <12x －2， 1≤x ≤22， x >2，当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x －2＝0；当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；故当x ＝1时， y ＝g (x )取得最小值0.。