2019年数学高考一模试题(及答案)

2019年数学高考一模试题(及答案)

一、选择题

1．若圆与圆22

2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）

A ．21

B ．19

C ．9

D ．-11

2．2

5

3

2()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80

B ．-80

C ．40

D ．-40

3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31

44

AB AC - B ．13

44

AB AC - C ．

31

44+AB AC D ．

13

44

+AB AC 4．如果

4

2

π

π

α<<

，那么下列不等式成立的是（ ）

A ．sin cos tan ααα<<

B ．tan sin cos ααα<<

C ．cos sin tan ααα<<

D ．cos tan sin ααα<<

5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22

221x y a b

+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，

使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )

A ．2,13??

????

B ．12,32??????

C ．1,13??

????

D ．10,3

?? ??

?

6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．

19

B ．

29

C ．

49

D ．

718

7．函数3

2

()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞

B ．(,2)-∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,2)

8．函数2

||()x x f x e -=的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径

的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2

D ．5

11．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．

22

B ．1

C ．2

D ．2

12．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8

π

个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ．

B ．

C ．0

D ．4

π-

二、填空题

13．已知函数2

1,1

()()1

a x x f x x a x ?-+≤=?

->?

，函数()2()g x f x =-，若函数()()

y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．

14．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则

12

m n

+的最小值为 15．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在

空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 16．已知直线

：与圆

交于

两点，过

分别作的垂线与

轴交于

两点.则

_________.

17．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______

. 18．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则ABC △的面积为__________.

19．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

20．在ABC ?中，若13AB =，3BC =，120C ∠=?，则AC =_____．

三、解答题

21．已知直线352:{1

32

x t l y t

=+

=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点

的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ?的值.

22．如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.

（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A ?PB ?C 的余弦值.

23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：

①； ②； ③

.

判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.

（Ⅱ）将直径尺寸在

之外的零件认定为是“次品”.

①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；

②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.

24．已知2256x ≤且21log 2x ≥

，求函数22

()log log 2

2

x x

f x =?的最大值和最小值． 25．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0

2000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以

下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所

示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000

8000的人数；

（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽

取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．

26．已知A 为圆2

2

:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足

2.BP BA =

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ?面积的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

试题分析：因为()()2

2

226803425x y x y m x y m +--+=?-+-=-,所以

250m ->25m ?<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆

心距离等于半径和)可得

1=9m ?=,故选C.

考点：圆与圆之间的外切关系与判断

2．C

解析：C 【解析】 【分析】

先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】

2532()x x -

展开式的通项公式为:53

251()2()r r

r r T C x x

-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为252

30(42)T C ==-.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.

3．A

解析：A 【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11

22

BE BA BC =

+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到

3144BE BA AC =

+，下一步应用相反向量，求得31

44

EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得

()

111111

222424BE BA BD BA BC BA BA AC =

+=+=++ 11131

24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31

44

EB AB AC =

-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

5．C

解析：C

【解析】

如图所示，

∵线段PF1的中垂线经过F2，

∴PF2＝12

F F＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c.

∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝

1

[,1)

3

c

a

∈.选C.

【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,

a b c的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

6．C

解析：C

【解析】

试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）

（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；

164

369 p==

考点：古典概型的计算.

7．D

解析：D

【解析】

【分析】

对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.

【详解】

32'2

()31()363(2)002

f x x x f x x x

x x x

-=-

=+∴=<

-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】

2

||()x x f x e

-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;

由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A

【点睛】

图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】

由于1a >，所以1x

x

a y a -=??

= ???

为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】

本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】

设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又

||PQ OF c ==，||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

A ∴为圆心||2

c

OA =．

,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==．

e ∴=A ．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】

根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2c

a

==， 故选C ． 【点睛】

理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

12．B

解析：B 【解析】

得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππ????????

??=+

+=++ ? ??????

??????

?，显然.4π?= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，

sin 24x π?????++ ???????选择合适的?值通过诱导公式把sin 24x π???

??++ ??????

?转化为余弦函数

是考查的最终目的. 二、填空题

13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3

【解析】 【分析】

由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】

由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，

当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，

解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤??

-≤??-≠-?

，解得13a ；

当1x >时，由2

()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11

11a a ->??+>?

，解得2a >，

综上可得：实数a 的取值范围为(]

2,3. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

14．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误

解析：8 【解析】

∵函数log 1

1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中

0mn >，

∴21m n +=，又0mn >，

∴0m >，0n >，∴()12124 248n m

m n m n m n m n

+=+?+=++≥（），（当且仅当

1

22

n m ==

时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

15．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8

解析：1：8 【解析】

考查类比的方法，111112

22221111

314283S h

V S h V S h S h ??＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 16．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的

解析：4 【解析】 试题分析：由

，得

，代入圆的方程，整理得，解得

，所以

，所以

．又直线的倾斜角为

，由平面几何知识知在梯

形

中，

．

【考点】直线与圆的位置关系

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

17．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模 解析：3【解析】 【分析】 【详解】

∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，

∴021cos601a b ?=??=.

∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=

+=+?+=++=

故答案为

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =? 常用来求向量的模．

18．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去

解析：【解析】 【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=， 即212c =

解得c c ==-

所以2a c ==

11

sin 222

ABC S ac B ?=

=?= 【点睛】

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

19．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??

+<<+∈????

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x ， 解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππ

ππ+<<+∈. 20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确

定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计

解析：1 【解析】 【分析】

由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】

由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

21．（1）；（2）.

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2

=2cos ρρθ，再根据

222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程

代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ?的值.

试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2

=2cos ρρθ①

将222

=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为

2220x y x +-=，②

（2）将35132x y t

?=+????=??

代入②得2

53180t t ++=，

设这个方程的两个实根分别为12,,t t

则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ?==.

考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用. 22．（1）见解析；（2）3

3

- 【解析】 【详解】

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．

又AB ?平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，

AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F

xyz .

由（1）及已知可得22A ?? ?

???，2P ? ??，2,1,02B ?? ? ???，22C ??- ? ???

. 所以2222PC ??

=-- ? ???

，(

)

2,0,0CB =

，2222PA ?=- ??

，()0,1,0AB =.

设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则

0,0,n PC n CB ??=?

?=?即22

0,

2220,x y z x ?-+-=???=?

可取(0,1,2n =--.

设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则

0,0,m PA m AB ??=??=?即220,

22

0.x z y -=??=?

可取()1,0,1m =. 则3

cos ,n m n m n m ?=

=-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3

3

- 【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 23．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②

.

【解析】 【分析】

（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出。②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取值的概率，进而求出。

【详解】 （I ）

，

，

，

，

，

，

由图表知，

，

，，

所以该设备的级别为丙级.

（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，

依题意，～

，故

.

②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，

，

，

，

故.

【点睛】

对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A 发生的次数 ，其

期望为）利用公式得出

。

24．最小值为1

4

-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得

21

log 32

x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值

由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即

21

log 32

x ≤≤ ()()()2

22231log 1log 2log 24f x x x x ?

?=-?-=-- ??

?.

当23log ,2x = ()min 1

4

f x =-，当2lo

g 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】

熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．

25．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3

5

． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】

（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为

26

40026040

?

=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3?=，所以男生的人数为为200.36?=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友

中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2

615n C ==种，

至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，

∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263

15

C P C =-=．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

26．(1) 2

214

x y += (2) 3.2

【解析】

（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；

（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ?面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ?的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】

解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12

x x =

， 又因为点A 在圆上，

所以得2

214

x y +=，

故动点P 的轨迹方程为2

214

x y +=.

（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且2

21114

x y +=，

当10x =时，11y =±，此时()33,0,2

POQ Q S ?=； 当10x ≠时，1

1

,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即1

1

,OQ x k y =-

故1133,x Q y ??-

???

，

OP ∴=

OQ ==，

22

111

1322POQ

x y S OP OQ y ?+==?①，

2

21114x y +=代入① 2111143334

322POQ

y S y y y ???-=?=- ? ???

()101y <≤

设()()4

301f x x x x

=

-<≤ 因为()24

f x 30x

'=-

-<恒成立， ()f x ∴在(]

0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即3

2

POQ S ?≥, 综上：POQ S ?的最小值为3.2

【点睛】

本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.