2019年高考数学模拟试题含答案

2019年高考数学模拟试题含答案

一、选择题

1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24

B ．16

C ．8

D ．12

2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．

12

B ．

13 C ．

16

D ．

112

3．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14

-

B ．

14

C ．23

-

D ．

23

4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+

D ．0.3 4.4y x =-+

5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张

卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

23

D ．

34

6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．

54

钱 B ．

43

钱 C ．

32

钱 D ．

53

钱 8．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),

n =(1,2)下的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(0,-2)

C ．(-2,0)

D ．(0,2)

9．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．

53

B ．

35

C ．

37

D ．

57

10．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥；

②若m α⊥，n α，则m n ⊥；

③若,m n 是异面直线，m α?，m β，n β?，n α，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④

B ．①②③

C ．①③④

D ．①②④

11．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x

y a -=与log a y x =-的图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1

B ．﹣2

C ．6

D ．2

二、填空题

13．若双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程

是___________.

14．已知函数2

1,1()()

1

a x x f x x a x ?-+≤=?

->?，函数()2()g x f x =-，若函数()()

y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1

()tan 2

g x x =

的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．

16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则ABC △的面积为__________. 17．计算：1726

cos()sin 43

ππ-

+=_____． 18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ?=______．

19．已知α，β均为锐角，4

cos 5α=

，1tan()3

αβ-=-，则cos β=_____． 20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．

三、解答题

21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.

22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214

y x =的焦点，离心率为

25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.

23．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

附：参考数据与公式 2.63≈，若 ()2

~,X N

μσ，则①

()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③

(33)0.9973P X μσμσ-<+=.

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (

)2

,N μσ

，其

中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：

（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?

（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?

24．已知A 为圆2

2

:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足

2.BP BA =

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ?面积的最小值.

25．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。

【详解】

根据题意，可分三步进行分析：

（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2

22A =种情

况；

（2）将这个整体与英语全排列，有2

22A =中顺序，排好后，有3个空位；

（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224?=种， 所以不同的排课方法的种数是22416??=种，故选B 。 【点睛】

本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

求得基本事件的总数为222

422226C C n A A =?=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，

基本事件的总数为222

42222

6C C n A A =?=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1

3

m p n ==，故选B. 【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,

则()()()222

3241

cos 2324

k k k C k k

+-=

=-?? ，选A.

解析：A 【解析】

试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心

，故排除选项B ；故选A ．

考点：线性回归直线.

5．B

解析：B 【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2

46C 种，数学之和为偶数的有13,24

++两种，所以所求概率为1

3

，选B ． 考点：古典概型．

6．B

解析：B 【解析】

试题分析：{1,2,6)M N ?=.故选B. 考点：集合的运算.

7．B

解析：B 【解析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则

22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又

225,

a d a d a a d a d -+-+++++=1a

,则4

422633a a d a a ??-=-?-

== ???

,故选B.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由224λμλμ-+=??

+=?解得0

2λμ=??=?

∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).

解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5

sin 3

A a

B b == . 本题选择A 选项.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】

①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；

②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α?，m β，n β?，n α时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】

本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】

由于1a >，所以1x

x

a y a

-=??

= ???

为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】

本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.

12．C

解析：C 【解析】

试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．

解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．

点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题

解析：y =±

【解析】 【分析】

由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1

223

a c =?，再据222c a

b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】

∵双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，

∴1

223

a c =

?，3c a =，又222c a b =+，∴b =

∴渐近线方程是b

y x a

=±=±，故答案为y =±． 【点睛】

本题考查双曲线的几何性质即双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x

a =±属于基础题．

14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3

【解析】 【分析】

由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】

由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，

当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，

解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤??

-≤??-≠-?

，解得13a ；

当1x >时，由2

()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11

11

a a ->??+>?，解得2a >，

综上可得：实数a 的取值范围为(]

2,3. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐

解析：

4

【解析】 【分析】

画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】

画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1

tan 2y x y x =??

?=??

，

解得π3B ? ??

，所以1π2ABC

S ?=?=.

【点睛】

本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.

16．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去 解析：3【解析】 【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=， 即212c =

解得3,23c c ==- 所以243a c ==

113sin 43236 3.222

ABC S ac B ?=

=?= 【点睛】

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

17．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函

数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：

32

+ 【解析】 【分析】

利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式

17π26ππ2πcos

sin cos 4πsin 8π4343????=+=+++ ? ?????π2π32cos sin 43+=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.

18．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答

解析：2 【解析】 【分析】

过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1

AD AB 12

=

=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1

cos A AC

=

，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ?的值． 【详解】

过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．

Rt △ACD 中，1

AD AB 12

=

=， 可得cosA=

11

,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC

=∴?=?=??==2． 故答案为2 【点睛】

本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．

19．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题 解析：

910

50

【解析】 【分析】

先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】

由于α为锐角，且4cos 5α=

，故2

3sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4

ααα=

=.由()tan tan 1

tan 1tan tan 3

αβαβαβ--=

=-+?，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故

22

222

cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++910

50

=. 【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.

20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10

{(1)5

a q a q q +=+=，解得18

{12

a q ==.所

以2(1)

1712(1)22212

1

18()22n n n n n n n

n a a a a q

--++++-==?=，于是当3n =或4时，12

n

a a a 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用

三、解答题

21．(1) ； (2)36000；（3）

.

【解析】 【分析】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，

计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×

0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.

由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

22．（Ⅰ）2215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又5

c a ==，由此求出椭圆C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为()0,1

则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由5

c e a ===

，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】

（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解.

【详解】

（1）由频率分布直方图可得：

120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =?+?+?+?+?+?+?=；

（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；

（ii ）0.9545

(12.14)(2)0.50.97732

P X P X μσ≥=≥-=+

≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，

记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B

恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率

()()

100010000.997310.9973k

k

k P X k C -==-

()()()()

10010.97731

110.9773P X k k P X k k =-?=>=-?-得10010.9773978.2773k

所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，

()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有

可能是978位. 【点睛】

此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.

24．(1) 22

1

4

x y += (2) 3.2 【解析】 【分析】

（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；

（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ?面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ?的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】

解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12

x x =

，

又因为点A 在圆上，

所以得2

214

x y +=，

故动点P 的轨迹方程为2

214

x y +=.

（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且2

21114

x y +=，

当10x =时，11y =±，此时()33,0,2

POQ Q S ?=； 当10x ≠时，1

1

,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即1

1

,OQ x k y =- 故1133,x Q y ??-

???

，

OP ∴=

OQ ==，

22

111

1322POQ

x y S OP OQ y ?+==?①， 2

21114x y +=代入① 2111143334

322POQ

y S y y y ???-=?=- ? ???

()101y <≤

设()()4

301f x x x x

=

-<≤ 因为()24

f x 30x

'=-

-<恒成立， ()f x ∴在(]

0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即3

2

POQ S ?≥, 综上：POQ S ?的最小值为3.2

【点睛】

本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，

常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.

25．120o C =,c = 【解析】

试题分析：解：（1）()()1

cos cos cos 2

C A B A B π??=-+=-+=-??，所以120C =

（2）由题意得{

2

a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-??=+-

=()(2

2

2

2

210a b ab a b ab ++=+-=-=

∴10AB

考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用

点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题