高中数学 2.4线性回归方程同步检测(2) 苏教版必修3

2.4《线性回归方程》同步检测（2）
1．有下列关系：
①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中有相关关系的是________．(填序号)
解析 其中②⑤为确定性关系，不是相关关系．
答案 ①③④
2．下列命题：
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研
究．
其中正确的命题为________．
解析 两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆
的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．
答案 ③④⑤

3．由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么
下面说法正确的是________．

①直线y^＝bx＋a必经过点(x，y)；
②直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；

③直线y^＝bx＋a的斜率为i＝1nxiyi－n x yi＝1nxi2－n x2；

④直线y^＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的总离差平方和i＝1n[yi－(
bx
i
＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线．
解析 ②错误；线性回归方程不一定经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一个
点，它只是该坐标平面上所有直线中与这些点的离差平方和最小的直线．
答案 ①③④
4．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直
线方程为________．
解析 由题意可知，这四个点都在直线y＝x＋1上，此直线与所有点的离差平方和最小

(为0)，故y与x之间的回归直线方程为y^＝x＋1.
答案 y^＝x＋1
5．工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确
的是________．
①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；
②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；
③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；
④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．

解析 回归直线斜率为80，∴x每增加1，y^增加80，即劳动生产率提高1千元时，工
资提高80元．
答案 ②
6．(1)如图是两个变量统计数据的散点图，判断这两个变量之间是否具有相关关系；

(2)对一名男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄(岁) 1 2 3 4 5 6
身高(cm) 78 87 98 108 115 120
画出散点图，并判断这名男孩的年龄与身高是否有相关关系．
解 (1)不具有相关关系．从图可以看出，散点图中各散点零散的分布在坐标平面内，
不呈线形．
(2)作出散点图如下：
由图可知，这名男孩的年龄与身高具有相关关系．
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7．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉________后，剩下的4组数据相关性增强．

解析 去除(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强．
答案 (4,10)
8．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够得出变量x，y具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是
________．
解析 按照做回归分析的步骤可知顺序应为②⑤④③①
答案 ②⑤④③①
9．一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x(单位：cm)
与身高y(单位：cm)进行测量，得如下数据：
x 20 21 22 23 24 25 26 27 28
29

y 141 146 154 160 169 176 181 188 197
203

作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：x＝24.5，y＝171.5，

i＝110 (xi－x)(yi－y)＝577.5，
i
＝1

10
(xi－x)2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸

脚印，量得每个脚印长26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高为________cm.
解析 由已知得b＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝7，a＝y－b x＝0，故y^＝7x.当
x
＝26.5时，y＝185.5.
答案 185.5
10．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知具备线

性相关关系，线性回归方程为y^＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析 只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y^≥0，所以10.47－1.3x≥0，
解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案 8
11．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x千件 2 3 5 6
成本y万元 7 8 9 12
(1)画出散点图．
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)
解 (1)散点图如图：

(2)设y与产量x的线性回归方程为
y^＝bx＋a，x
＝2＋3＋5＋64＝4，

y
＝7＋8＋9＋124＝9，

b
＝i＝1nxiyi－n x yi＝1nxi2－n x2＝1.10

a＝y－b x
＝9－1.10×4＝4.60

∴所求的线性回归方程为：
y^＝1.10x
＋4.60.

12．某校高一(1)班的5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：
学生 A B C D E
总成绩x 482 383 421 364 362
数学成绩y 78 65 71 64 61
(1)作出散点图；
(2)求数学成绩y关于总成绩x的线性回归方程．

解 (1)散点图如图所示：

(2)列表：
i 1 2 3 4
5

xi 482 383 421 364
362

yi 78 65 71 64
61

xiyi 37 596 24 895 29 891 23 296
22 082

设所求的线性回归方程是y＝a＋bx

∴x＝2 0125，y＝3395，i＝15xi2＝819 794，


i
＝1

5
xiy
i
＝137 760.

b
＝i＝15xiyi－5x yi＝15xi2－5x2

＝137 760－5×2 0125×3395819 794－5×2 01252
≈0.132 452，
a＝y－bx
＝3395－0.132 452×2 0125

≈14.501 315.
∴回归方程为y＝0.132 452x＋14.501 315.
13．(创新拓展)一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来
的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下
表是抽样试验结果：
转速x/(rad/s) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数y/件 11 9 8 5
(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速
应该控制在什么范围内？

解 (1)x＝12.5，y＝8.25，i＝14xiyi＝438，i＝14xi2＝660，

则b＝i＝14xiyi－4x·yi＝14xi2－4x2≈0.728 6，
a＝y－b x
＝－0.857 5.

∴回归直线方程为y＝0. 728 6x－0.857 5.
(2)要使y≤10，则0. 728 6x－0.857 5≤10，∴x≤14.901 9.因此，机器的转速应该
控制在15转/s以下．