2019届高三数学考试试卷
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212xy+=的左焦点为F，过点(2,0)M-的直线l与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求'AB的取值范围. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.【朝阳】19.（本小题满分14分）AB过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；解：（Ⅰ） 因为,ab ==2221，所以,a bc ===11 所以离心率c e a ==（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y 显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+ 所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212 所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y - 所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+，12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+ 所以 |'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x yB x y 当直线l 是x 轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420， 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=222222)222t t t ====-+++ 因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线与直线OP 的位置关系，并说明理由. （19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==. .........................4分 （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，AB由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则 同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B ky y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分【朝阳】19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =. 19. （本小题满分14分）AB解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =. 18.（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=--()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠. 因为OF AB ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值. 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分 解得2a =，c =C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C的内部，得m 又因为(2,0)A -，所以直线AM的斜率0(022AM m m k -==∈+， …………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)2AM k ∈.……………… 6分 （Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=.所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. …………… 7分 令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ yk x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -.由002()2y FP x =-+，002()2y FQ x =-- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值.……………… 14分【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -．所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+，与抛物线24y x =联立得： 2000840x y y x y -+=， 2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．。
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-文科数学(考试版)
文科数学试题 第1页（共6页） 文科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|2019年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集R U =，集合{|3}A x x =>，{|ln 1}B x x =>，则()U A B =ðA ．[e,)+∞B ．[3,)+∞C ．(1,3]D ．(e,3]2．设实数,m n 满足35ii 1im n ++=-，则2m n += A ．3 B ．2C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 满足：310a =，722a =，则数列1{(1)}n n a +-⋅的前40项和为A ．60-B ．60C ．120-D ．1204．运行如图所示的程序框图，m 为常数，若输出的k 的值为2，则m=A ．503B ．507C ．103D ．10075．设函数2||4()3x x f x =，则函数()f x 的图象大致为6．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-7．设定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)(1)f x f x +=-，若(1)1f =，则62()i f i ==∑A ．0B ．1C ．41D ．428．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与M '关于x 轴对称，12M F MF '⊥.若122,,MF MF bk k a成等比数列（其中1MF k 2,MF k 分别是直线12,MF MF 的斜率），则双曲线C 的离心率为A ．2B C D ．3文科数学试题 第3页（共6页） 文科数学试题 第4页（共6页）9．欧拉三角形定义如下：ABC △的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形.已知ABC △中，3,2AB AC BC ===，ABC △的垂心为P ，,,AP BP CP 的中点分别为111,,A B C ，111A B C △即为ABC △的欧拉三角形，往ABC △中随机投掷一点，该点落在11PA B △或11PB C △内的概率为A ．19B ．18C ．532D ．96410．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC =，点D 是线段1AA 的中点，O 是ABC △的中心，则直线OD与直线1BC所成角的余弦值为A ．5 B ．5 C ．5 D ．511．已知函数()2cos()f x x ωϕ=+π(0,0)2ωϕ><<的图象的一条对称轴为π3x =，ϕ满足条件π3tan 2sin()2ϕϕ=+，则ω取得最小值时函数)(x f 的最小正周期为A．π2 B ．π5C ．πD．4π512．已知圆锥OO '如图所示，,,,A B C D 在圆O '上，其中2OA =，则四棱锥O ABCD -体积的最大值为A ．9B ．27 C ．27 D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了调研甲、乙、丙三个地区公务员的平均工资，研究人员拟采用分层抽样的方法在这三个地区中抽取m 名公务员进行调研.已知甲、乙、丙三个地区的公务员人数情况如下表所示，且甲地区的公务员被抽取了15人，则丙地区的公务员被抽取了____________人.14．设实数,x y 满足3302930x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =-的最大值为____________.15．已知圆C 过点(6,0),(6,8)-，且与x 轴交于点,M N .若||6MN =，则圆C 的圆心坐标为____________.16．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，10100S =.若数列{}n b 满足1(21)12nii n ni b a =+-=∑，则满足8k k b S ≥的k 的最小值为____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，63=b ，22a c +- sin sin tan A C B 112=. （1）求内角B 的大小；（2）求)2)(2(b c a b c a -+++的最大值. 18．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,,M N P 分别是棱111,,BC CC B C 上的点，且1190AMN A PC ∠=∠=︒. （1）求证：1AM B C ⊥；（2）若ABC △为等边三角形，124AA AB ==，求三棱锥1M A PN -的体积.文科数学试题 第5页（共6页） 文科数学试题 第6页（共6页）19．（本小题满分12分）为了了解某校高三年级800名学生的体能状况，研究人员在该校高三学生中抽取了10名学生的体能测试成绩进行统计，统计结果如图所示（满分100分），已知这10名学生体能测试的平均成绩为85分.（1）求m 的值以及这10名学生体能测试成绩的方差；（2）若从上述成绩在90分以下的学生中随机抽取3名，求恰有1人成绩为82分的概率；（3）为了研究高三男、女生的体能情况，现对该校高三所有学生的体能测试成绩进行分类统计，得到的数据如下表所示：试判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否超过80分与性别具有相关性.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：20．（本小题满分12分）已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点(2,0)-且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若点P 在椭圆C 上，且1,,N F P 三点共线，求证：点M 与点P 的横坐标相同.21．（本小题满分12分）已知函数1()ln f x m x x x=--. （1）若4m =，求证：函数()f x 有且仅有2个零点； （2）若关于x 的不等式2()0ef x +≤在(0,)+∞上恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围.参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099,ln 5 1.609===.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 在点),(00y x P 处的切线l 的极坐标方程为θθρsin 2cos 323-=.（1）求切线l 的直角坐标方程及切点P 的直角坐标；（2）若切线l 和曲线:2C 016sin 6cos 342=+--θρθρρ相交于不同的两点B A ,，求1||PA +1||PB 的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||1|f x x mx =-++.（1）若3m =，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若不等式()4f x x ≤-的解集包含[1,3]，求实数m 的取值范围.。
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-文科数学(试卷及答案)
，则函数
f
(x)
的图象大致为
C． 10 3
D． 100 7
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号更多首发资源尽在 QQ 群 879275384 填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
e
值范围.
参考数据： ln 2 0.693, ln 3 1.099, ln 5 1.609 .
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目
计更多首发资源尽在 QQ 群 879275384 分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
2
3
3 tan 2 sin( π ) ，则 取得最小值时函数 f (x) 的最小正周期为 2
π
A．
2
π
B．
5
C． π
4π
D．
5
12．已知圆锥 OO 如图所示， A, B, C, D 在圆 O 上，其中 OA 2 ，则四棱锥 O ABCD 体积的最大值为
地区
甲
乙
丙
公务员人数
600
900
400
x 3y 3 0
14．设实数
x,
y
满足
x
2
y
9
，则 z x y 的最大值为____________.
x 3 0
15．已知圆 C 过点 (6, 0), (6, 8) ，且与 x 轴交于点 M , N .若 | MN | 6 ，则圆 C 的圆心坐标为____________.
2019届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)
2019届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，，则的元素个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，从而求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．【详解】，，的元素个数为4.故选B.【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义，考查运算求解能力，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则化简即可.【详解】. 故答案为B.【点睛】本题考查了复数的乘方、减法运算，考查了学生的运算能力，属于基础题.3.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得出的值.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查分段函数值的计算，要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.设、满足约束条件，目标函数，则（）A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合思想得出最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得答案.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，得点.化目标函数的解析式得，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想，属于中等题.5.已知函数与的部分图像如图所示，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据最值分析出A的值，再根据周期分析出的值.【详解】因为A＞0,所以由题得故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知单位向量的夹角为，且，若向量，则（）A. 9B. 10C. 3D.【答案】C【解析】【分析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案.详解】向量夹角，由可得，向量为单位向量即,可得，则，故选C.【点睛】本题考查向量的模的计算方法，属于基础题.7.函数f(x)=4x-lnx的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，分别令导函数大于0和小于0求出的范围，即可求出函数的最小值．【详解】解：令得；令得所以当时函数有最小值为故选．【点睛】求函数的最值，一般利用函数的导函数的符号判断出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值,属于基础题．8.设的内角、、的对边分别是、、，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由结合正弦定理得出，再将代入可得出，即可计算出的值.【详解】，由边角互化思想可得.，即，所以，，，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理边角互化思想求边的比值问题，考查计算能力，属于中等题.9.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图所示直观图连接，为中点．将直观图转换成两三棱锥，则体积．由直观图线面关系知．原直三棱柱的体积为．两体积比值为．故本题答案选．点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.10.已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出a，b，c得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可．【详解】实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），可得a＝，c＝2，则b＝，不妨B（0，），则△BF1F2的重心G，双曲线的渐近线方程为：y＝x的距离为：d＝．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.已知函数，若对任意，任意x∈R，不等式恒成立，则k的最大值为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得，，根据不等式恒成立的转化关系可得，等价于，等价于，其中为关于的一次函数，故分别代入和即可求出k的最大值【详解】因为，所以，则不等式恒成立等价于，设，则，解得.答案选D.【点睛】本题考查不等式恒成立的转化，以及利用函数的单调性求参数最值，难点在于对不等式恒成立进行转化，属于难题.12.设为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上.若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆柱的两个底面圆周上的每个点都在球的表面上，可确定球心O，再根据已知条件，求出球的半径，即可得球的表面积.【详解】如图，设下底面的中心为O2，圆柱底面半径为r，高为h，则，解得，由，解得，根据题意，结合球和圆柱的几何性质，可知圆心在O1O2的中点上，球O的半径，故圆O的表面积为 .故选B.【点睛】本题考查了几何体的外接球的表面积，解决这类问题，常用方法有：截面法，构造直角三角形法和补形法.本题应用了构造直角三角形法，关键是确定出球心的位置，求出球的半径.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13.偶函数满足当时，，则_____．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再利用偶函数的定义可得出的值.【详解】由题意可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，考查计算能力，属于基础题.14.从编号为、、、的个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为、、，则样本中最大的编号为_____．【答案】【解析】【分析】计算出样本间隔，然后将样本总容量除以间隔得出样本的组数，即可得出样本中最大的编号.【详解】样本间隔为，即样本共有个组，则最大的编号为，因此，样本的最大编号为.故答案为：.【点睛】本题考查系统抽样中样本编号的计算，解题时要熟悉系统抽样中编号的特点，考查计算能力，属于基础题.15.若为锐角，则当取得最小值时，_____.【答案】【解析】【分析】利用，得到等号成立的条件，直接利用二倍角的正切公式计算即可.【详解】为锐角，，，当且仅当，即时，等号成立，此时，故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了基本不等式求最值时等号成立的条件，属于综合题.16.已知圆与直线交于、两点，过、分别作轴的垂线，且与轴分别交于、两点，若，则_____．【答案】或【解析】【分析】设点、，则有、，可得出，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合可求出实数的值.【详解】设点、，由，消去，得，，解得.由韦达定理知，，，所以，整理得，解得或，满足.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，涉及弦长的计算，常用几何法（弦心距、弦长的一半、半径长满足勾股定理）以及代数法（将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理求解）来计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题每道试题考生都必须作答第22.23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.设为等差数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）若、、成等比数列，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）求出的表达式，利用、、成等比数列，求出的值，由此可计算出的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，为等差数列的前项和，，.∴，解得，，；（2）由（1）知．、、成等比数列，，即，解得，因此，．【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．【详解】（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d＝，∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量单位：进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：求频率分布直方图中a的值；以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在的概率；已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表？【答案】（1）；（2）0.62；（3）12.08吨【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a．（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备1208吨月饼恰好能满足市场需求．【详解】由，解得．消费者月饼购买量在的频率为：，费者月饼购买量在的概率为．由频率分布直方图得人均月饼购买量为：，∴万克吨，∴该超市应准备吨月饼恰好能满足市场需求．【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．20.椭圆的左、右顶点分别为，，过点作直线交直线于点，交椭圆于另一点．（1）求该椭圆的离心率的取值范围；（2）若该椭圆的长轴长为，证明：（为坐标原点）．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先表示出离心率的表达式，结合m的范围可求；（2）根据椭圆的长轴长为可得椭圆的方程，求出的表达式，结合韦达定理可求.【详解】（1）解：，又，，．（2）证明：椭圆的长轴长为，，易知，，设，，则，，直线的方程为，即，代入椭圆方程，得．由韦达定理得．，，．【点睛】本题主要考查椭圆离心率的范围及椭圆中的定值的证明，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.21.已知函数.（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若过点可作曲线的三条切线，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数h(x)求导，由函数h(x)在区间上单调递减可得恒成立，列不等式组解出即可得到答案；（2）设切点坐标，写过点（a,b）的切线方程，过点可作三条切线转为方程有三个不等实根，构造函数判单调性根据函数的单调性和极值即可得到答案.【详解】（1）解：，依题可得：，即对恒成立.设，则，解得，所以.（2）证明：设过点与曲线相切的直线与曲线的切点为，因为，所以切线方程，代入点，得，整理得：，因为过点可作曲线三条切线，所以方程有三个不同根.令，则在，上单调递增，在上单调递减.因为方程有三个不同根，所以的图像与轴有三个交点，则故.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究方程根的个数问题.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中,圆C的方程为,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线l的参数方程为为参数．求圆C的直角坐标方程化为标准方程和直线l的极坐标方程；若l与圆C的一个交点为异于原点,l与直线的交点为Q,且求a的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)消去中的参数,再根据极坐标中与的关系化简圆的方程即可.(2)利用极坐标中的几何意义可求得,再求得直线l与直线的交点坐标从而求得再求得,利用即可求得a的值.【详解】(1)由,得,易得直线l的极坐标方程为,由圆C的方程为，,易得,化简得圆C的直角坐标方程为(2)因为直线方程的极坐标方程为,代入得,则,又与直线的交点得,则,从而,解得．【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标间的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.选修4-5：不等式选讲23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将代入函数的解析式，再将函数写成分段函数的形式，进而可求出不等式的解集；(2)由将原不等式进行转化，即可求出结果.【详解】（1）当时，，故不等式的解集为（2）∵∴则，解得故的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的基本定理，熟记定理和灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.2019届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，，则的元素个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，从而求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．【详解】，，的元素个数为4.故选B.【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义，考查运算求解能力，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则化简即可.【详解】. 故答案为B.【点睛】本题考查了复数的乘方、减法运算，考查了学生的运算能力，属于基础题.3.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得出的值.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查分段函数值的计算，要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.设、满足约束条件，目标函数，则（）A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合思想得出最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得答案.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，得点.化目标函数的解析式得，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想，属于中等题.5.已知函数与的部分图像如图所示，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据最值分析出A的值，再根据周期分析出的值.【详解】因为A＞0,所以由题得故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知单位向量的夹角为，且，若向量，则（）A. 9B. 10C. 3D.【答案】C【解析】【分析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案.详解】向量夹角，由可得，向量为单位向量即,可得，则，故选C.【点睛】本题考查向量的模的计算方法，属于基础题.7.函数f(x)=4x-lnx的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，分别令导函数大于0和小于0求出的范围，即可求出函数的最小值．【详解】解：令得；令得所以当时函数有最小值为故选．【点睛】求函数的最值，一般利用函数的导函数的符号判断出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值,属于基础题．8.设的内角、、的对边分别是、、，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由结合正弦定理得出，再将代入可得出，即可计算出的值.【详解】，由边角互化思想可得.，即，所以，，，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理边角互化思想求边的比值问题，考查计算能力，属于中等题.9.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图所示直观图连接，为中点．将直观图转换成两三棱锥，则体积．由直观图线面关系知．原直三棱柱的体积为．两体积比值为．故本题答案选．点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.10.已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出a，b，c得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可．【详解】实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），可得a＝，c＝2，则b＝，不妨B（0，），则△BF1F2的重心G，双曲线的渐近线方程为：y＝x的距离为：d＝．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.已知函数，若对任意，任意x∈R，不等式恒成立，则k的最大值为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得，，根据不等式恒成立的转化关系可得，等价于，等价于，其中为关于的一次函数，故分别代入和即可求出k的最大值【详解】因为，所以，则不等式恒成立等价于，设，则，解得.答案选D.【点睛】本题考查不等式恒成立的转化，以及利用函数的单调性求参数最值，难点在于对不等式恒成立进行转化，属于难题.12.设为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上.若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆柱的两个底面圆周上的每个点都在球的表面上，可确定球心O，再根据已知条件，求出球的半径，即可得球的表面积.【详解】如图，设下底面的中心为O2，圆柱底面半径为r，高为h，则，解得，由，解得，根据题意，结合球和圆柱的几何性质，可知圆心在O1O2的中点上，球O的半径，故圆O的表面积为 .故选B.【点睛】本题考查了几何体的外接球的表面积，解决这类问题，常用方法有：截面法，构造直角三角形法和补形法.本题应用了构造直角三角形法，关键是确定出球心的位置，求出球的半径.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13.偶函数满足当时，，则_____．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再利用偶函数的定义可得出的值.【详解】由题意可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，考查计算能力，属于基础题.14.从编号为、、、的个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为、、，则样本中最大的编号为_____．【答案】【解析】【分析】计算出样本间隔，然后将样本总容量除以间隔得出样本的组数，即可得出样本中最大的编号.【详解】样本间隔为，即样本共有个组，则最大的编号为，因此，样本的最大编号为.故答案为：.【点睛】本题考查系统抽样中样本编号的计算，解题时要熟悉系统抽样中编号的特点，考查计算能力，属于基础题.15.若为锐角，则当取得最小值时，_____.【答案】【解析】【分析】利用，得到等号成立的条件，直接利用二倍角的正切公式计算即可.【详解】为锐角，，，当且仅当，即时，等号成立，此时，故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了基本不等式求最值时等号成立的条件，属于综合题.16.已知圆与直线交于、两点，过、分别作轴的垂线，且与轴分别交于、两点，若，则_____．【答案】或【解析】【分析】设点、，则有、，可得出，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合可求出实数的值.【详解】设点、，由，消去，得，，解得.由韦达定理知，，，所以，整理得，解得或，满足.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，涉及弦长的计算，常用几何法（弦心距、弦长的一半、半径长满足勾股定理）以及代数法（将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理求解）来计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题每道试题考生都必须作答第22.23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.设为等差数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）若、、成等比数列，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）求出的表达式，利用、、成等比数列，求出的值，由此可计算出的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，为等差数列的前项和，，.∴，解得，，；（2）由（1）知．、、成等比数列，，即，解得，因此，．【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF ﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．【详解】（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d＝，∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量单位：进行了问卷调查，得到如下频率分布直。
北京市西城区2019届高三上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x为二次函数，其对称轴为x＝﹣1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y＝ln|x|，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝cos x为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD2．故选：C．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题．4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z＝x+3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：A．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）。
海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案)
2019届海南省高三年级第二次联合考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|}A x y x ==-，{|lg }B y y x ==，则AB =（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．RD ．(,0]-∞2.已知复数(3)(1)z m m i =-+-在复平面内对应的点在第二象限，则整数m 的取值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．04.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+ 6.设x ，y 满足约束条件36060360x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．81盏B ．112盏C ．114盏D ．162盏 8.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．17B ．33C ．65D ．129 9.将曲线sin(2)()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π-10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则C 的离心率为（ ）A ．43 B ．54 C ．169 D ．251611.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．甲、丁 D ．丙、丁12.在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==，2BC =，点G 为ABC ∆的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.若1x =是函数3()af x x x=+的一个极值点，则实数a = ． 14.如图，小林从位于街道A 处的家里出发，先到B 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于C 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为 ．15.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为 ．（附：若2(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）16.已知F 是抛物线C ：212x y =的焦点，P 是C 上一点，直线FP 交直线3y =-于点Q .若2PQ FQ =，则PQ = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，且sin 1B ≠. （1）求角C ；（2）若5sin 3sin B A =，且ABC ∆的面积为1534，求ABC ∆的周长. 18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？满意 不满意 合计 A 类用户B 类用户合计附表及公式：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB AD =，3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=，求二面角Q BD C --的大小.20.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离与到x 轴的距离分别为1d ，2d ，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,2)-的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求AB . 21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若3()(3)f x k x x >-对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2260x y x +-=，直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围.2019年高考调研测试 数学试题参考答案（理科）一、选择题1-5: BCAAA 6-10: CDCDB 11、12：DB二、填空题13. 3 14. 9 15. 0.8185 16. 8三、解答题17.解：（1）由2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，得2cos cos cos B C B -=. ∵sin 1B ≠，∴cos 0B ≠， ∴1cos 2C =-，∴23C π=. （2）∵5sin 3sin B A =，∴53b a =， 又ABC ∆的面积为4，∴1sin 244ab C ab ==，∴15ab =，∴5a =，3b =.由余弦定理得2222cos 49c a b ab C =+-=，∴7c =. 故ABC ∆的周长为53715++=. 18.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 19.（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PDBD D =，∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知，BC ⊥平面PBD ，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设BD =，则1AD =，令PD t =，则(1,0,0)A，B，(C -，(0,0,)P t，1(,)222t Q -， ∴(1,0,)AP t =-，1(,)22t BQ =-. ∴2112t AP BQ +⋅==，∴1t =.故11()22DQ =-，11(,)22BQ =-. 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102211022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令1x =，得(1,0,1)n =.易知平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则cos ,2m n <>==，∴二面角Q BD C --的大小为4π. 20.解：（1）设(,)M x y，则1d =2d y =，则222212344d d x y +=+=，故Ω的方程为2214x y +=（或2244x y +=）. （2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而AB =214k=+， 又点O 到直线AB的距离d =所以AOB ∆的面积12S d AB ==，t =，则0t >，244144t S t t t==≤++， 当且仅当2t =，即274k =（满足0∆>）时等号成立， 所以当AOB ∆的面积最大时，274k =，2AB ==. 21.（1）证明：11'()11f x x x =++-，∴由'()2f x =得2221x =-，解得0x =，又(0)0f =，∴直线2y x =与曲线()y f x =相切.（2）解：设3()()(3)g x f x k x x =--，则22223(1)'()1k x g x x +-=-，当(0,1)x ∈时，22(1)(0,1)x -∈，若k ≥22)0x >，则'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上递增，从而()(0)0g x g >=.此时，(f 在(0,1)上恒成立.若23k <-，令'()0g x x =⇒(0,1)=，当x ∈时，'()0g x <；当x ∈时，'()0g x >.∴min ()g x g =(0)0g <=， 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[,)3-+∞.22.解：（1）依题意，曲线C ：22(3)9x y -+=，故曲线C 的参数方程是33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），因为直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3R πθρ=∈.（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，把6πθ=代入6cos ρθ=，得1ρ=)6A π，把3πθ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以(3,)3B π，所以121sin 2AOB S AOB ρρ∆=∠13sin()3364ππ=⨯-=. 23.解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-.（2）由（1）得()12f x x =--.不等式2()4f x k k ≥--恒成立，只需2min ()4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤，海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案).所以k的取值范围是[1,2]。
2019届高三理科数学测试卷(二)附答案
2019届高三文科数学测试卷（二）附答案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20A x x =->，{}2320B x x x =-+<，若全集U A =，则U B =ð（ ） A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．总体由编号为00，01，02，...，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9列的随机数表：2635796250321149197373399746732 274861987164414871620 747742979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．493．设i 是虚数单位，若复数()5i12ia a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=，则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．665．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 的分别为10，4，则输出的a =（ ）A ．0B ．14C ．4D ．26．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．MN AB ∥D ．MN ∥平面ABCD7．函数()()e e cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ）A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元9．点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点，1F 、2F 分别为左、右焦点．12PF F △的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．210．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，则ϕω=（ ）A ．π12-B ．π12C ．π6 D ．π6-11．已知函数()()2e 0x f x x x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e -∞B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”，若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式为1122n n n a a ++-=，且12a =，若函数{}n a 的前n 项和为n S ，则33S =（ ） A ．3821+B ．3922+C ．3822+D ．392第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b ，其中3=a ，2=b ，且()+⊥a b a ，则向量a ，b 的夹角为______．14．已知曲线cos sin y a x x =+在π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为π102x y -+-=，则实数a =______．15．下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有正确的序号）①已知a ∈R ，两直线1:1l ax y +=，2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12l l ∥”的充分条件；②“0x ∀≥，22x x >”的否定是“00x ∃≥，0202x x <”；③“1sin 2α=”是“π2π6k α=+，k ∈Z ”的必要条件； ④已知0a >，0b >，则“1ab >”的充要条件是“1a b>”16．已知三角形PBD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2PD BD ==，120BDP ∠=︒，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos cos 2cos sin C A B A B +=， （1）求tan A ；（2）若25b =，AB 边上的中线17CD =，求ABC △的面积．18．（12分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且2AC AD CD DE ====，1AB =．（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ⊥平面CDE ，并证明； （2）在（1）的条件下，求多面体ABCDF 的体积．19．（12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(]8,16”为事件A ，试估计A 的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x （单位：年）表示二手车的使用时间，y （单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用e a bx y +=作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表（表中ln i i Y y =，101110i i Y Y ==∑）；x yY101i ii x y =∑101i i i x Y =∑1021ii x=∑5.5 8.7 1.9 301.4 79.75 385①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，...，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-， ②参考数据： 2.95e 19.1≈， 1.75e 5.75≈，0.55e 1.73≈，0.65e 0.52-≈， 1.85e 0.16-≈．20．（12分）已知M 是直线:1l x =-上的动点，点F 的坐标是(1,0)，过M 的直线'l 与l 垂直，并且'l 与线段MF 的垂直平分线相交于点N ． （1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）设曲线N 上的动点A 关于x 轴的对称点为'A ，点P 的坐标为(2,0)，直线AP 与曲线C 的另一个交点为B (B 与'A 不重合)，是否存在一个定点T ，使得T 、A '、B 三点共线?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知a ∈R ，函数()e x f x ax =-（e 2.71828...≈是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()e 22ln x F xf x ax x a =--++在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，求a 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若点()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，求221211ρρ+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．高三文科数学（二）答案一、选择题．1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】A12．【答案】B二、填空题．13．【答案】5π614．【答案】1-15．【答案】①③④16．【答案】16π三、解答题17．【答案】（1）tan2A=；（2）当2c=时，1sin42ABCS bc A==△；当6c=时，12ABCS=△．【解析】（1）由已知得()cos cos cos cosπcos cosC A B A B A B+=-++⎡⎤⎣⎦()cos cos cos sin sinA B A B A B=-++=，所以sin sin2cos sinA B A B=，因为在ABC△中，sin0B≠，所以sin2cosA A=，则tan2A=．（2）由（1）得，5cos5A=，25sin5A=，在ACD△中，2222cos22c cCD b b A⎛⎫=+-⋅⋅⋅⎪⎝⎭，代入条件得28120c c-+=，解得2c=或6，当2c=时，1sin42ABCS bc A==△；当6c=时，12ABCS=△．18．【答案】（1）见解析；（2）23．【解析】（1）F为线段CE的中点．证明如下：由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB ED∥，设H是线段CD的中点，连接FH，则12FH DE∥，且12FH DE=，∵12AB DE∥，且12AB DE=，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF AH∥，∵AH CD⊥，AH DE⊥，CD DE D=I，∴AH⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE．（2）∵ABCDF A BCD F BCD B ACD B CDFV V V V V----=+=+11332333ACD CDFS AB S AH=⨯⨯+⨯⨯=+=△△，∴多面体ABCDF的体积为23．19．【答案】（1）0.40；（2）0.29万元．【解析】（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(]8,12的频率为0.0740.28⨯=，在(]12,16的频率为0.0340.12⨯=，所以()0.280.120.40P A=+=．（2）①由e a bxy+=得ln y a bx=+，即Y关于x的线性回归方程为ˆY a bx=+因为1011022211079.7510 5.5 1.9ˆ0.338510 5.510i i i i i x Y x Ybx x==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑， ()ˆˆ 1.90.3 5.5 3.55aY bx =-=--⨯=， 所以Y 关于x 的线性回归方程为ˆ 3.550.3Y x =-， 即y 关于x 的回归方程为 3.550.3ˆe x y-=； ②根据①中的回归方程 3.550.3ˆe x y-=和图1，对成交的二手车可预测： 使用时间在(]0,4的平均成交价格为 3.550.32 2.95e e 19.1-⨯=≈，对应的频率为0.2； 使用时间在(]4,8的平均成交价格为 3.550.36 1.75e e 5.75-⨯=≈，对应的频率为0.36； 使用时间在(]8,12的平均成交价格为 3.550.3100.55e e 1.73-⨯=≈，对应的频率为0.28； 使用时间在(]12,16的平均成交价格为 3.550.3140.65e e 0.52-⨯-=≈，对应的频率为0.12； 使用时间在(]16,20的平均成交价格为 3.550.318 1.85e e 0.16-⨯-=≈，对应的频率为0.04； 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：()0.219.10.36 5.754%⨯+⨯⨯()0.28 1.730.120.520.040.1610%+⨯+⨯+⨯⨯0.290920.29=≈万元．20．【答案】（1）24y x =；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知：NM NF =，即曲线C 为抛物线，焦点坐标为(1,0)F ， 准线方程为:1l x =-，∴点N 的轨迹C 的方程24y x =．（2）设2,4a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2,4a A a ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率224824AP a ak a a ==--， 直线AB 的方程()2428ay x a =--，由()224428y xay x a ⎧=⎪⎨=-⎪-⎩，整理得：()22880ay a y a ---=， 设()22,B x y ，则28a y ⋅=-，则28y a =-，2216x a =，则2168,B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2,4a A a ⎛⎫'- ⎪⎝⎭'222841684A Baa a k a a a -+==-+-，∴A B '的方程为22484a a y a x a ⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭， 令0y =，则2x =-，直线A B '与x 轴交于定点()2,0-， 因此存在定点()2,0-，使得T ，A '，B 三点共线．21．【答案】（1）见解析；（2）4ln 2．【解析】（1）∵()e x f x ax =-，∴()e x f x a '=-，当0a ≤时，在()0f x '>上R 恒成立，()f x 增区间为(),-∞+∞，无减区间； 当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，()f x 的增区间为()ln ,a +∞，减区间为(),ln a -∞．（2）函数()()()e 22ln 2ln x F x f x ax x a ax x a =--++=--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()22ax F x a x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0F x '<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，函数()F x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()112ln ln 402222aa F x F a ⎛⎫>=--=-> ⎪⎝⎭，∴0a ≤时，函数()F x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点；②当0a >时，令()'0F x =得，2x a= 令()'0F x >，得2x a >，令()'0F x <，得20x a<<， 因此，函数()F x 的单调递增区间是2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是20,a ⎛⎫⎪⎝⎭．（i ）当212a ≥，即时04a <≤， 函数()F x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()112ln ln 42222aa F x F a ⎛⎫>=--=- ⎪⎝⎭，要使函数()F x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，则ln 402a -≥，得4ln 2a ≤；（ii ）当212a <，即4a >时， 函数()F x 的单调递减区间是20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是21,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()min 2222ln 2ln 42ln F x F a a a a a ⎛⎫==--=-+- ⎪⎝⎭，设()2ln 42ln g a a a =-+-，∴()2210ag a a a-'=-=<，∴()g a 在()4,+∞上单调递减，∴()()()g 42ln 42ln 44ln 422ln 2lne 0g a <=-+-=-=-<， 而当120e a x a <=<时，()0e aaF x a =+>， ∴函数()F x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，不合题意．综上，要使函数()()()e 22ln x F x f x ax x a =--++在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，则a 的最大值为4ln 2． 22．【答案】（1）见解析；（2）54． 【解析】（1）将31,M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得π1cos 33πsin 3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=， 即21a b =⎧⎨=⎩，∴曲线1C 的普通方程为2214x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=．将点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．（2）∵曲线1C 的普通方程为2214x y +=，点()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，∴222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，∴22221211cos sin 4θθρρ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22sin 5cos 44θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤． 【解析】（1）()34f x x x =-++， ∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③， 解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，可以作出()21,4347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。
山东省菏泽市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(B)(解析版)
2018-2019学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}的真子集的个数是（）A．8B．7C．4D．32．（5分）sin15°+cos165°的值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．或4．（5分）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6B．7C．8D．95．（5分）已知实数a，b满足等式2017a＝2018b，下列关系式不可能成立的是（）A．0＜a＜b B．a＜b＜0C．o＜b＜a D．a＝b6．（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于（）A．B．C．2D．47．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．28．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，S n为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a4＝﹣5，则的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④12．（5分）非零向量，的夹角为，且满足||＝λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为4，则λ＝（）A．1B．3C．D．二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题卡上)13．（5分）曲线y＝2ln（x+2）在点（﹣1，0）处的切线方程为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．（5分）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是．16．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f（x）＝ln（x2）可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解关于的不等式：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0（a＜0）．18．（12分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）＝﹣，求f（θ﹣）的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为a1＝1，且．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（a n+2）﹣log23，求数列的前n项和T a．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点点N在线段AD上．（1）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥面BMN；（2）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值．21．（12分）已知以椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x+2上，A、B在椭圆C上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R．（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．2018-2019学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}的真子集的个数是（）A．8B．7C．4D．3【分析】先求出集合A＝{0，1}，由此能求出集合A的真子集的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}＝{0，1}，∴集合A的真子集的个数是：22﹣1＝3．故选：D．【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）sin15°+cos165°的值为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为sin15°﹣cos15°＝sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°），再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果．【解答】解：sin15°+cos165°＝sin15°﹣cos15°＝sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝﹣﹣﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，以及诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．或【分析】根据便可得出，结合条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出向量的夹角．【解答】解：；∴＝0；∴；又；∴的夹角为．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围．4．（5分）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（）A．6B．7C．8D．9【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，可得x M＝9，则M到y轴的距离是：9．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（5分）已知实数a，b满足等式2017a＝2018b，下列关系式不可能成立的是（）A．0＜a＜b B．a＜b＜0C．o＜b＜a D．a＝b【分析】分别画出y＝2017x，y＝2018x，根据实数a，b满足等式2017a＝2018b，即可得出．【解答】解：分别画出y＝2017x，y＝2018x，实数a，b满足等式2017a＝2018b，可得：a＞b＞0，a＜b＜0，a＝b＝1．而0＜a＜b成立．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等A．B．C．2D．4【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为b：b＝R＝2，长轴为：2a，则2a cos60°＝2R＝4，∴a＝4∵a2＝b2+c2，∴c＝＝2，∴椭圆的焦距为4；故选：D．【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．7．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．2【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg（2x•8y）＝lg2，∴2x+3y＝2，∴x+3y＝1．∵x＞0，y＞0，∴＝＝2+＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．故选：C．【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．8．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用逆推方法求出函数y＝sin2x的图象，变换为函数的图象的方法，即可得到正确选项．【解答】解：函数y＝sin2x的图象，变换为函数＝的图象，只需向右平移个单位，所以为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象，向左平移个单位．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，注意图象变换的逆应用．注意自变量的系数与方向．9．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】令x＝c，则代入y＝±x可得y＝±，根据△OAB的面积为，求出双曲线的离心率即可．【解答】解：F为右焦点，设其坐标为（c，0），令x＝c，则代入y＝±x可得y＝±，∵△OAB的面积为，∴＝，∴＝，∴e＝故选：D．【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，S n为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a4＝﹣5，则的最小值是（）A．B．C．D．【分析】据题意，由等差数列的通项公式可得（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），解可得a1、d的值，进而讨论可得a1、d的值，即可得＝，令≥且≥，求出n即可求出最小值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，且a4＝﹣5，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），a4＝a1+3d＝﹣5解得d＝﹣2，a1＝1，当d＝﹣2时，S n＝n+＝﹣n2+2n，则＝，令≥且≥，解可得2+≤n≤3+，即n＝4时，取得最小值，且＝﹣；故选：A．【点评】本题考查等差数列的第n项与前n项和的积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．11．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x＝时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L＝f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V ＝h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．12．（5分）非零向量，的夹角为，且满足||＝λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为4，则λ＝（）A．1B．3C．D．【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出．【解答】解：•＝||×λ||×cos＝2，2＝λ22向量组，，共有3种情况，即（，，），（，，），（，，）向量组，，共有3种情况，即（，，），（，，），（，，）∴•+•+•所有可能值中的最小值为42，∴或，解得λ＝，故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题卡上)13．（5分）曲线y＝2ln（x+2）在点（﹣1，0）处的切线方程为2x﹣y+2＝0．【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．【解答】解：y＝2ln（x+2）的导数为y′＝，可得切线的斜率为k＝2，即有曲线在（﹣1，0）处的切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0．故答案为：2x﹣y+2＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三边为a，b，c，则由题意得：ab＝4，ac＝4，bc＝4，解得：a＝2，b＝2，c＝2，所以球的直径为：＝2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为＝8π故答案为：8π．【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．15．（5分）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（，）．【分析】由b2＝a（a+c）利用余弦定理，可得c﹣a＝2a cos B，正弦定理边化角，在消去C，可得sin（B﹣A）＝sin A，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．【解答】解：由b2＝a（a+c）余弦定理，可得c﹣a＝2a cos B正弦定理边化角，得sin C﹣sin A＝2sin A cos B∵A+B+C＝π∴sin（B+a）﹣sin A＝2sin A cos B∴sin（B﹣A）＝sin A∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵，，那么：则＝sin A∈（，）故答案为：（，）【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f（x）＝ln（x2）可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是①③④．【分析】根据优美函数”，定义依次判断各命题即可得出答案；【解答】解：①对于任意一个圆O，其过圆心的对称轴由无数条，所以其“优美函数”有无数个；②函数f（x）＝ln（x2）的定义域为R，值域为（0，∞）不可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1+sin x，根据y＝sin x的图象可知可以将圆分成优美函数，图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x+1只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，不对，有些中心对称图形不一定是“优美函数”，比如“双曲线”；故答案为：①③④．【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称性，正确理解新定义是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解关于的不等式：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0（a＜0）．【分析】把二次项的系数变为大于0，进而分类讨论可求出不等式的解集．【解答】解：ax2+（1﹣a）x﹣1＞0可得（ax+1）（x﹣1）＞0，即（x+）（x﹣1）＜0，当﹣＜1时，即a＜﹣1时，不等式的解为﹣＜x＜1，当﹣＞1时，即﹣1＜a＜0，不等式的解为1＜x＜﹣，当﹣＝1时，即a＝﹣1时，不等式的解集为空集，故当a＜﹣1时，不等式的解集为（﹣，1），当﹣1＜a＜﹣1时，不等式的解为（1，﹣），当a＝﹣1时，不等式的解集为空集．【点评】对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．18．（12分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）＝﹣，求f（θ﹣）的值．【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由，得，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由图象，得，…（2分）∵最小正周期，∴，…（4分）∴，由，得，k∈Z，∴，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴．…（7分）（2）由，得，∵，∴，又∵，∴，∴，…（10分）∴＝＝．…（14分）【点评】本题主要考查了y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，周期公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为a1＝1，且．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（a n+2）﹣log23，求数列的前n项和T a．【分析】（Ⅰ）a n+1＝2（a n+1），变形为：a n+1+2＝2（a n+2），利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．利用错位相减法即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+1＝2（a n+1），∴a n+1+2＝2（a n+2），则数列{a n+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴，即．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，∴．∴，，∴，则．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点点N在线段AD上．（1）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥面BMN；（2）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值．【分析】（1）连结点AC，BN，交于点E，连结ME，推导出四边形ABCN为正方形，由此能证明直线PA∥平面BMN．（2）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值．【解答】证明：（1）连结点AC，BN，交于点E，连结ME，∵点N为线段AD的中点，AD＝4，∴AN＝2，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝2，∴四边形ABCN为正方形，∴E为AC的中点，∴ME∥PA，∵PA⊄平面BMN，∴直线PA∥平面BMN．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，∵∠BAD＝90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，得：B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），∵M为PC的中点，∴M（1，1，2），设AN＝λ，则N（0，λ，0），（0≤λ≤4），则＝（﹣1，λ﹣1，﹣2），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣4），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），⇒∵直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，|cos＜＞|＝＝．解得λ＝1，则N（0，1，0），＝（﹣2，1，0），＝（﹣1，1，2），设平面BMN的法向量＝（x，y，z），＝﹣x+y+2z＝0，＝﹣2x+y＝0，令x＝2，得＝（2，4，﹣1），cos＝∴平面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知以椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x+2上，A、B在椭圆C上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．【分析】（1）由两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，得出b＝c，于是得出，然后利用圆心到直线的距离等于圆的半径列出等式，并代入关系式可得出a、b、c的值，即可得出椭圆C的方程；（2）根据矩形对边互相平行，设直线AB的方程为y＝x+m，并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，由△＞0得出m的取值范围，列出韦达定理，利用弦长公式得出|AB|的表达式，利用两平行直线的距离公式得出直线AB和CD的距离，即为|BC|，再由|AB|+|BC|＝列出有关m的方程，即可求出m的值，于是可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意知，以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2＝a2，圆心到直线x+y+1＝0的距离，①∵以椭圆C的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，所以，b＝c，，代入①式得b＝c＝1，．因此，所求椭圆的方程为；（2）设直线AB的方程为y＝x+m，代入椭圆C的方程，整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，由△＞0，得，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，．，易知，则由知，所以，由已知可得，即，整理得41m2+30m﹣71＝0，解得m＝1或，所以，直线AB的方程为y＝x+1或．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，考查了弦长公式与距离公式，考查计算能力，属于中等题．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R．（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．【分析】（1）首先求解导函数，然后分类讨论求解实数a的值即可；（2）首先求解导函数，然后进行二次求导，结合二阶导函数的解析式讨论函数的零点个数即可．【解答】解：（1），当0＜a≤1时，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为增函数，∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令得（舍去），当1＜a＜3时，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3），若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，若x∈（a，3）有f’（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得．当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）．综上知，．（2）∵函数，令g（x）＝0，得．设，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为．又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g（x）有且仅有一个零点；③当时，函数g（x）有两个零点；④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；当时，函数g（x）有两个零点．【点评】点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的零点个数，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列格式的运算结果为实数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数运算化简每个选项即可求解【详解】对A,对B,对C,对D,故选：D【点睛】本题考查复数的运算，熟记运算法则是关键，是基础题2.设集合，，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A,再依次验证选项即可.【详解】因为，可以依次验证选项，得到当时，.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目.3.在平行四边形中，,,则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 先求,再求,即可求D 坐标 【详解】，∴，则D(6,1)故选：A【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题 4.若函数，则（ ）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】A 【解析】 【分析】，可得，结合，从而求得结果.【详解】∵，∴，∵，∴， 故选A.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用. 5.从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.6.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.7.设满足约束条件则的最大值为（）A. 7B. 5C. 0D.【答案】A【解析】【分析】作出约束条件对应的可行域，利用线性规划的知识，通过平移即可求得的最大值.【详解】如图，作出约束条件表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最大值7，故选A.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，注意目标函数的形式，属于简单题目.8.在中，为边上一点，若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先在三角形中用余弦定理计算出的值，然后在三角形中用余弦定理求得的长.【详解】在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，由余弦定理得.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.9.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C.D.【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题10.若直线与曲线相切，则（）A. 3B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11.已知函数，则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=1时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题12.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，先确定F的位置，由互相垂直，构造以为棱的长方体，求其外接球半径即可求得球的表面积【详解】过做面B,∴面NF,∴FN 为到直线的距离，则,设解得x=,互相垂直, 以为棱的长方体球心即为O，则球的表面积为4故选：D【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】将函数按照自变量的范围分两种情形分析，根据一次函数的单调性可以求得函数在上的值域为，结合指数函数的单调性可以求得在上的值域为，两者取并集求得结果.【详解】因为在上的值域为，在上的值域为，故的值域为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关分段函数的值域的求解问题，注意分段来处理即可，属于简单题目.14.小张要从种水果中任选种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为________．【答案】【解析】【分析】确定基本事件个数即可求解【详解】由题从种水果中任选种的事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的基本事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为故答案为15.若，，则__________．【答案】-1【解析】【分析】根据,利用两角差的正切公式计算即可得结果.【详解】.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】由点为上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可【详解】为上一点,,解得m=1,则B(1,0),∴PB中垂线方程为+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),,∴外接圆的标准方程为故答案为【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设为等差数列的前项和，已知，.（1）求；（2）设，求数列的前19项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意，列出关于和的方程组，求解之后利用等差数列的求和公式求得结果；（2）求得的通项公式，之后应用裂项相消法求和得结果.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设，则，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的通项公式和求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题目.18.如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，.（1）证明：平面平面.（2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）两者平行，且.【解析】【分析】（1）利用平面，证得平面，得到，利用余弦定理证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（2）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得,同理证得,所以平面平面，由此证得平面.利用求得三棱锥的体积.【详解】(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因为，所以AD⊥BB1．在△ABD中，由余弦定理可得，，则，所以AD⊥BC，又，所以AD⊥平面BB1C1C，因为，所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．(2)解：A1C与平面ADB1平行．证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1E∥AD．同理可证CE∥B1D．因为，所以平面ADB1∥平面A1CE，又，所以A1C∥平面ADB1．因为AA1∥BB1，所以，又，且易证BD⊥平面AA1D，所以．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题.19.某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为）的学生给父母洗脚的百分比进行了调查统计，绘制得到下面的散点图.由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明.建立关于的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年纪代码为）给父母洗脚的百分比.附注：参考数据：参考公式：相关系数若，则与的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）详见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）计算得，代入计算公式求值即可判断与的线性相关程度；（2）由公式计算求带入回归直线求得进而求得回归方程，将x=7代入直线，即可确定百分比【详解】（1）因为所以，所以，因为所以，所以由于与的相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.(2)因为，所以所以回归方程为将，代入回归方程可得，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为.【点睛】本题考查相关系数r,回归直线方程，熟练运用公式计算是关键，是基础题20.已知是抛物线：上一点，为的焦点.（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列.（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距.【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）先求出p,再由焦半径公式求出，，即可证明；（2）与联立由韦达定理代入，求得，再写出的垂直平分线的方程即可求得截距【详解】（1）证明：∵在抛物线：上，∴，∴. ∴，，，∵，∴，，依次成等比数列.（2）与联立，得，则，解得.由韦达定理，得，，则，即.从而，线段的中点坐标为，的垂直平分线的方程为，令，得，故所求截距为4.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，准确计算是关键，是中档题.21.已知函数.讨论的单调性.若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】讨论当，时导数符号变化情况求得单调性由的讨论知：时，,解；时，<0,解符合；当时，，构造函数，，求导判单调性解a的不等式；时，,解a 范围，则问题得解【详解】（1）当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，所以，解得②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递增.所以对恒成立，则符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增.所以.设函数，，易得知时，所以，故对恒成立，即符合题意.当时，在上单调递减.所以对恒成立，则符合题意.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，导数与函数单调性与最值，不等式有解问题，分类讨论思想，明确分类标准，不重不漏是关键，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【解析】【分析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题。