高等数学复习题与答案

中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。

2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .3． 极限limsinsin x x x x→=021。

4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。

5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。

7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。

8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=⎰xdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。

14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Df dxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 .18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x Λ . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .21.当n=_________时，方程ny x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。

22. 若44⨯阶矩阵A 的行列式为*||3,A A =是A 的伴随矩阵,则*||A =__________. 23.设A n n ⨯与B m m ⨯均可逆，则C =00⎛⎫⎪⎝⎭A B 也可逆，且1C -＝ . 24.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3213A ，且X E AX 3=-，则X = .25．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 ．26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________.27. n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 . 28. 给定向量组()()(),231,0,111321===αααb a，若321,,ααα线性相关，则a ，b 满足关系式 .29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .30 向量γ=(2,1)T可以用α=(0,1)T与 β=(1,3)T线性表示为 .31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b 有无穷组解的 条件.32. 设A 为m ×n 矩阵,非齐次线性方程组=Ax b 有唯一解的充要条件是r(A)r(A |b )= .33.已知n 元线性方程组AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 ．34.设0λ是方阵A 的一个特征值，则齐次线性方程组()0x =-A E 0λ的 都是A 的属于0λ的特征向量.35.若3阶矩阵A 的特征值为1，2，-3，则1-A 的特征值为 .36.设A 是n 阶方阵，|A|≠0,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ,则()E A 23*+必有特征值=λ.37.,分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量,则与 的内积（,）= .38.二次型32414321),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 .39. 矩阵4202401A λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵,则λ的取值范围是_________.40. 二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是_____.41. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 . 42. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B =U . 43. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 . 44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6， 那么击中目标k 次的概率为 (05k ≤≤).45. 设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}P =1P =2,X X =则{}P =3X = .46. 设随机变量X 的分布密度为01()120xx f x a xx ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，则a = . 47. 若二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为Y X 1 2 1 1/163/16 2ab且X ，Y 相互独立，则常数a = ,b = .48. 设X 的分布密度为()f x ，则3Y X =的分布密度为 .49. 二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为则α与β应满足的条件是 ，当X ，Y 相互独立时，α＝ .50. 设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(0,1).X N Y N 令Z = -Y + 2X +3，则()D Z = .51. 已知随机变量X 的数学期望2()1,()4E X E X ==.令Y ＝2X －3，则()D Y = .二、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3 2． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A . 2)1ln(xx x y -=与x x g )1ln(-= B . 2ln x y =与x g ln 2= C . x y 2sin 1-=与x g cos = D . )1(-=x x y 与)1(-=x x y4. 设)(x f 在0x x =处间断，则有（ ） (A) )(x f 在0x x =处一定没有意义；(B) )0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→≠)；(C) )(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0x f x x ；(D) 若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小5．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x xxx f 在x = 0处连续，则k = ( )．A ．-2B ．-1C ．1D ．26.若)1()(--=x x ae xf x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a （ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）e （D ）e -17．函数22224)2ln(y x y x z --+-+=的定义域为（ ）．A ．222≠+y xB ．422≠+y xC ．222≥+y xD ．4222≤+<y x 8．二重极限4220lim y x xy y x +→→（ ） （A ）等于0 （B ）等于1 (C) 等于21（D ）不存在 9.利用变量替换xyv x u ==,，一定可以把方程z y z yx z x =∂∂+∂∂化为新的方程（ ）． (A)z u z u=∂∂ (B)z v z v =∂∂ (C)z vzu =∂∂ (D)z uzv=∂∂ 10．若)()(x f x f --=，在),0(+∞内,0)('',0)('>>x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内（ ）. (A ) ;0)('',0)('<<x f x f (B ) ;0)('',0)('><x f x f (C ) ,0)('',0)('<>x f x f (D ) ,0)('',0)('>>x f x f 11.设0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且0)0(=f ，12sin 2)(lim2=→xx f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）.（A ）不可导 （B ）可导，且0)0(≠'f （C ）取得极大值 （D ）取得极小值 12.设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ， 则当b x a <<时，有（ ）.（A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 13.='=⎰-)(,)()(,)( x F dt t f x F x f xe x则且是连续函数设( ).（A ）)()(x f e f e x x----（B ）)()(x f e f e x x+---（C ）)()(x f e f ex x ---（D ）)()(x f e f ex x+--14.设[]2,1)(在x f 上具有连续导数，且1)(,1)2(,1)1(21-===⎰dx x f f f ，则='⎰21)(dx x f x （ ）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-215.设[]b a x f ,)(在上二阶可导，且.0)(,0)(,0)(<''<'>x f x f x f 记⎰=badx x f S 1)( ))((2a b b f S -=， )(2)()(3a b b f a f S -+=，则有（ ）.（A ）321S S S << （B ）132S S S << （C ）213S S S << （D ）231S S S << 16.设幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛. 则此级数在2=x 处( ).（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）收敛性不能确定 17.下列命题中,正确的是（ ）. （A ）若级数∑∑∞=∞=11n nn n vu 与的一般项有),2,1(Λ=<n v u n n 则有∑∑∞=∞=<11n n nn vu（B ）若正项级数∑∞=1n n u 满足∑∞=+=≥11),,2,1(1n n nn u n u u 则Λ发散 （C ）若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u（D ）若幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为)0(+∞<<R R ，则R a a n n n =+∞→1lim.18.设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a （ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定19. 微分方程()()dy dx dy dx y x +=-+的通解是（ ）（A ）();ln c y x y x =+++ （B ）();ln c y x y x =++- （C ）();ln c y x y x =+-+ （D ）().ln c y x y x =+--20. 设)(x f y =满足微分方程055=+'-''y y y ，若()()0,000='<x f x f ，则函数()x f 在点0x （ ）（A ）取极大值； （B ）取极小值； （C ）附近单调增加； （D ）附近单调减少. 21. 函数()x y y =在点x 处的增量满足 ()()012→∆∆++∆=∆x x o x xy y且()π=0y ，则()=1y （D ）（A ）;2π （B ）;π （C ）;4πe （D ）.4ππe22. 若含有s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r ，则必有( ). (A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r<s23. 已知向量组1234(1,1,1,0),(0,,0,1),(2,2,0,1),(0,0,2,1)k αααα====线性相关,则k =( )(A) 1- (B) 2- (C) 0 (D) 1 24． 向量组12,,,s αααL 线性相关的充分必要条件是( ) (A) 12,,,s αααL 中含有零向量(B) 12,,,s αααL 中有两个向量的对应分量成比例(C) 12,,,s αααL 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示 (D) 12,,,s αααL 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示25.对于向量组12(,,,),r αααL ，因为120000r +++=αααL ，所以12,,,r αααL 是[ ].( A )全为零向量; ( B )线性相关;( C )线性无关; ( D )任意.26. 设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB=O ，则必有 （ ） (A) A=O 或B=O (B)|A |=0或|B |=0 ( C) A+B=O (D) |A |+|B |=027．若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝mC ．秩(A ） 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )28．若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解。