高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一

一、填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为

（2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ?=

?

（3）交换积分次序，

2

220

(,)y y dy f x y dx

?

?

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=?

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=??

--+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交

（2）设是由方程

222

2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5

z =所围成的闭区域，将

2

2()x

y dv

Ω

+???在柱面坐标系下化成三次积分为（）

22

5

3

d r dr dz

πθ?

??.

24

5

3

d r dr dz

πθ?

?? 22

5

3

50

2r

d r dr dz

πθ?

??.

22

5

20

d r dr dz

π

θ?

??

（4）已知幂级数，则其收敛半径（）

2112

2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（）

()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分）

1、 求过直线1L :1231

01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程

2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z x ??，z

y ?? 3、 设

22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2

D

x dxdy ??

4、 求函数

22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分

阅卷人

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点(0,0)O 到

(,2)A π的一段弧

6、求微分方程x

xy y xe '+=满足11x y ==的特解

四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-??

ò，其中∑由圆锥面22

z x y =+与上半球面

222z x y =--所围成的立体表面的外侧(10)' 2、（1）判别级数11

1(1)3n n n n ∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数

1

n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

2

4x y z -=

的定义域为； （2）已知函数xy

z e =，则在(2,1)处的全微分dz =；

（3）交换积分次序，

ln 1

(,)e x dx f x y dy

??

＝；

（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =?；

（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为.

二．选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为300x y z x y z ++=??

--=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）； 02π3π4π（2）设是由方程33

3z xyz a -=确定，则z

x ?=?（）；

2yz xy z -2yz z xy -2xz xy z -2xy

z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）； 2()x ax b e +2()x ax b xe +2()x ax b ce ++2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所

围成的闭区域,将dv

Ω???在球面坐标系下化成

三次积分为（）；

A

22

20

sin a

d d r dr

π

πθ???

?? B.

220

0a

d d rdr

π

πθ??

??

20

a

d d rdr

π

πθ??

??.

220

sin a d d r dr

ππ

θ?????

（5）已知幂级数1212n

n

n n x ∞

=-∑，则其收敛半径

（）.

211

22

三．计算题（每题8分，共48分）

5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1

:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方

程.

6、 已知(sin cos ,)x y

z f x y e +=，求z x ??，z

y ??.

7、 设

22

{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算

arctan

D

y

dxdy x ??.

8、 求函数

22

(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x

x L

e

y y dx e y dy

-+-?

，其中L 为沿上

半圆周

222

(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 8、求微分方程3

2

(1)1y y x x '-=++的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin 3n n

n

n π∞

-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞

=∑的和函数.

2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??，∑为抛物面

22

z x y =+(01)z ≤≤的下侧 高等数学（下）模拟试卷三

一．填空题（每空3分，共15分）

1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.

2、2

2

(2)lim 332n n n n →∞++-=.

3、已知

2

ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy =. 4、定积分

1200621

(sin )x x x dx -+=

?

.

5、求由方程5

7

230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy

dx =

.

二．选择题（每空3分，共15分）

1、2x =是函数

22

132x y x x -=-+的间断点 （A ）可去（B ）跳跃 （C ）无穷（D ）振荡

得分

阅卷人

得分

2

、积分

10

?

=.

(A)∞(B)-∞

(C)0(D)1

3、函数

1x

y e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。 （A ）单调增加；（B ）单调减少；

（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、

1sin x

tdt

?

的一阶导数为.

（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -

5、向量{1,1,}a k =-r 与{2,2,1}b =--r

相互垂直则k =.

（A ）3（B ）-1（C ）4（D ）2

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1、求极限1

23lim(

)

21x x x x +→∞+-

2、求极限30sin lim

x x x x →-

3、已知ln cos x

y e =，求dy dx

四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

1、已知221t x y t ?=

???=-?，求22

d y dx

2、计算积分2

cos x xdx

?

3、计算积分

10

arctan xdx

?

4

、计算积分?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'求函数

42

341y x x =-+的凹凸区间及拐点。 2、(8)'设1

1

01()10

1x x x

f x x e +?≥??+=?

?

(1)f x dx -? 3、（1）求由2y x =及

2

y x =所围图形的面积；(6)' （2）求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。(6)'

高等数学（下）模拟试卷四

一．填空题（每空3分，共15分）

1

、函数1

y x =

.

2、

,0

ax e dx a +∞->?

=.

3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy =.

4、定积分1

2

1sin 1x

dx x -+?=.

5、函数

43

341y x x =-+的凸区间是. 二．选择题（每空3分，共15分）

1、1x =是函数

211x y x -=

-的间断点 （A ）可去（B ）跳跃

（C ）无穷（D ）振荡

2、若0

()

0,(0)0,(0)1,lim

x f ax a f f x →'≠==-==

(A)1(B)a

(C)-1(D)a -

3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是。

（A ）单调增加；（B ）单调减少；

（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。

4、已知向量{4,3,4}a =-r 与向量{2,2,1}b =r

则a b ?r r 为.

（A ）6（B ）-6 （C ）1（D ）-3

5、已知函数()f x 可导，且

0()f x 为极值，()

f x y e =，则

x x dy dx

==

.

（A ）0()

f x e （B ）

0()

f x '（C ）0（D ）0()f x

三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1、求极限

10

lim(1-)

k x

x kx +→

2、求极限

12cos 2

sin lim

sin x

x t dt

x x

→?

3、已知

1lnsin

x

y e

=，求dy dx

四．计算题（每题6分，共24分）

1、设10y

e xy --=所确定的隐函数()y

f x =的导数0

x dy

dx

=。

2、计算积分

arcsin xdx ?

3

、计算积分

0π

?

4

、计算积分

,0

a >?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'已知2223131at x t at y t ?=??+??=?

+?，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，1ln ln 1a b a

a b b -<<

- 3、（1）求由3

y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'

（2）求所围图形绕

y 轴旋转一周所得的体积。(6)'

高等数学（下）模拟试卷五

一．填空题（每空3分，共21分）

1．函数y y x z )ln(-=的定义域为。

2．已知函数2

2

y x

e

z +=，则=

dz 。

3．已知xy e z =，则=

??)

0,1(x

z

。

4．设L 为12

2=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=?ds L 2。

5．交换积分顺序?

?=

x e

dy y x f dx ln 0

1

),(。

6.级数∑∞

=-1)1(n n

n 是绝对收敛还是条件收敛？。

7．微分方程x y sin ='的通解为。 二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（）条件。

A ．充分非必要

B ．必要非充分

C ．充分必要

D ．既非充分，也非必要

2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（）。 A ．6πB ．4πC ．2πD ．3π 3．幂级数∑∞

=-1)5(n n n

x 的收敛域为（）。

A ．

[)6,4B ．()6,4C ．(]6,4D ．[]6,4

4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠

)()

(21x y x y 常数，则下列（）是其通解（21,c c 为任意常数）。

A ．)()(211x y x y c y +=

B ．)()(221x y c x y y +=

C ．)()(21x y x y y

+=D ．)()(2211x y c x y c y +=

5．

???Ω

zdv 在直角坐标系下化为三次积分为（），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3

z z ==所围的闭区域。

A ．

033

3

dx dy zdz

?

??B ．

333

dx dy zdz

?

??C ．

303

3

dx dy zdz

?

??D ．

330

3

dx dy zdz

?

??

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

1、已知0ln =-+xy e z z

，求y z x z ????,。

2、求过点)2,0,1(且平行直线

32211z

y x =

-+=-的直线方程。 3、利用极坐标计算??+D d y x δ)(22，其中D 为由

42

2=+y x 、0=y 及x y =所围的在第一象限的区域。

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分dy y x xy dx e y x L )sin 52()(22++++?，其中L 为圆域D ：

422≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1、求函数1

3321

),(23++--=y x y x y x f 的极值。

2、求方程x

e y dx dy

-=+满足20

==x y 的特解。

3、求方程282x

y y y e '''+-=的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.） 1．函数arccos()z y x =-的定义域为。

2．已知函数ln()z xy =，则()2,1z

x ?=

?。

3．已知

()

22sin z x y =+，则=dz 。

4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2L

ds =

?。

5

．将1220

()dx f x y dy

+?

?

化为极坐标系下的二重积分。

6.级数∑∞

=-12

)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？。

7．微分方程2y x '=的通解为。

二、选择题：（每题

3分,共15分.）

1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（）条件。

A ．必要非充分，

B ．充分，

C ．充分必要，

D ．既非充分，也非必要，

2．直线22:

1

10x y z l -+==

与平面:23x y z π++=的夹角为（）。 A ．6πB ．3πC ．2πD ．4π

3．幂级数2

13n

n n x n ∞

=∑的收敛域为（）。

A ．(3,3)-

B ．[3,3]-

C ．(3,3]-

D ．[3,3)-

4.设*()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程()y p x y '''+()q x y + 0=的通解，则下列（）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。

A ．()y x

B ．*()()y x y x -

C ．*()y x

D ．*

()()y x y x +

5．

2

z dv

Ω

???在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中Ω为2222

x y z R ++≤的上半球体。

A ．

22

R R

d rdr z dz

πθ???B ．

220

R r

d rdr z dz

πθ???

C

．

22

R

d dr z dz

πθ?

?D

．

220

R

d rdr dz

πθ?

?

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

1、已知3

35z xyz -=，求y z x z ????,

2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。

3、计算

22()D

x y dxdy +??，其中D 为

y x =、0y =及1x =所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

1、计算曲线积分2()(sin )L x y dx x y dy --+?，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(到)1,1(的一

段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??ò，其中∑是由

22

0,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1、求函数1

231

63),(232++-+=y y x x y x f 的极值。

2、求方程x

dy

y e dx -=满足0

1x y ==的特解。

3、求方程=+'-''y y y 65(1)x

x e +的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一．填空题（每空3分，共24分）

1

．二元函数z =

2．一阶差分方程

12135t t y y +-=

的通解为 3．

y z x =的全微分=dz _

4．0ydx xdy -=的通解为________________

5．设x y

z arctan

=，则z x ?=?______________________

6．微分方程250y y y '''-+=的通解为

7．若区域{}

4|),(2

2≤+=y x y x D ，则??=

D dxdy 2

8．级数012n

n ∞

=∑的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的条件

（A ）充分而非必要（B ）必要而非充分 （C ）充分必要（D ）既非充分也非必要

2

．累次积分

10

(,)dx f x y dy

??

改变积分次序为

(A)

110

(,)dy f x y dx

??（B

）

10

(,)dy f x y dx

??

（C ）

210

(,)y dy f x y dx

??

（D ）

211

(,)y

dy f x y dx

?

?

3．下列函数中，是微分方程356x

y y y xe

'''-+=的特解形式(a 、b 为常数)

（A ）x e b ax y 3)(+=（B ）x e b ax x y 3)(+=

（C ）x e b ax x y 32)(+=（D ）x ae y 3=

4．下列级数中，收敛的级数是

（A ）

∑

∞

=+1

121

n n （B ）121n n

n ∞

=+∑（C ）1(3)2n n n ∞=-∑（D ）1(1)n n n

∞

=-∑

5．设2

2

2

4x y z z ++=，则z x ?=

? (A)x z (B)2x z -(C)2x z -(D)x

z -

三、求解下列各题（每题7分，共21分）

1.设2ln ,,34x z u v u v x y y ===-而，求y z

x z ????,

2.判断级数

132n

n

n n ∞

=∑的收敛性 3.计算

2

2

x

y D

e dxdy

+??，其中D 为

221x y +≤所围区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

1.求微分方程1

ln y y x

x '-=的通解.

2.计算二重积分

()D

I x y dxdy

=+??，其中D 是由直线

,1y x x ==及x 轴围成的平面区域.

3.求函数

32

(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值. 4.求幂级数

214n n

n x n ∞

=?∑的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、{(,)|0,0}x y x y x y +>->

2、2

2y

x y -+3

、4102(,)x dx f x y dy ??

4

5、312x x

y C e C e -=+ 二、选择题：（每空3分，共15分）1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解：

12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →

→

=-=2'

∴平面方程为320x y z -++=8'

2、解：令2

2u xy

v x y ==2'

3、解：:0202D r θπ

≤≤≤≤，3' 4．解：22

2(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ?=+++=??=+=??得驻点1(,1)2

-4' 22

20,40A e AC B e =>-=>∴Q 极小值为11(,1)22f e -=-8'5．解：

223sin ,y P xy x Q x e =+=-，有2,P Q x y x ??==∴

??

曲线积分与路径无关2'

积分路线选择：

1:0,L y x =从0π→，2:,L x y π=从02→4' 6．解：

11

,x x

y y e P Q e x x '+=?==2' ∴通解为11

()()[()][]dx dx P x dx

P x dx x x

x y e Q x e dx C e e e dx C --???

?=+=+??4'

代入11x y ==，得1C =，∴特解为

1[(1)1]x y x e x =-+8' 四、解答题

1、解：

2

2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv

∑

Ω

Ω

+-=+-=????????ò4'

方法一：原式＝

2340

cos sin 2d d dr π

ππ

θ???=

?

??

10'

方法二：原式＝

21

1

20

00

2(1)2r

d rdr r r dr ππ

θπ=-=

?

??10'

2、解：（1）令

1

1

(1)

3n n n n u --=-1111131lim lim 1333

n n n n n n n n u n n u n -∞

+-→∞→∞=+=?=<∴∑收敛，4'

1

11

(1)3n n n n

∞

--=∴-∑绝对收敛。6'

（2）令

111

1

()()

n

n n n s x nx x nx xs x ∞

∞

-=====∑∑2'

高等数学（下）模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、2

2

2

{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+<2、2

2

2e dx e dy +3、

10

(,)y e

e

dy f x y dx

?

?

4

、1

1)125、12()x

y C C x e =+

二、选择题：（每空3分，共15分）1. A 2.B 3.B D .A 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解：

12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→

==-2'

∴直线方程为242

31x y z --==

-8' 2、解：令sin cos x y

u x y v e

+==2' 3、解：

:001

4

D r π

θ≤≤

≤≤，3'

4．解：(,)260

(,)10100x y f x y x f x y y =-=???

=+=?

?得驻点(3,1)-4' 220,200A AC B =>-=>∴Q 极小值为(3,1)8f -=-8'

5．解：sin 2,cos 2x

x P e y y Q e y =-=-，

有cos 2,cos ,x x P

Q

e y e y y

x ??=-=??2'

取(2,0),

:

0,A a OA y x =从02a →4'

∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +?＝22

0a a ππ-=8'

6．解：3

2

1

,(1)1P Q x x =-=++2' ∴通解为

11

3()()112[()][(1)]dx dx P x dx

P x dx

x x y e Q x e dx C e x e dx C --++???

?=+=++??4'

四、解答题

1、解：（1）令

1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin

23lim lim 1

32sin 3n n n n n n n n

u u π

π+++→∞→∞==<4'

1

2sin 3n

n n π∞=∴∑收敛，11(1)2sin 3n n n

n π∞

-=∴-∑绝对收敛6' （2）令

1()n n x s x n ∞

==∑

111

1()1n n n n x s x x n x ∞

∞-=='??'===

?-??∑∑，2' 2、解：构造曲面1

:1,z ∑=上侧

高等数学（下）模拟试卷三参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

1.10

X x ≤≠且；2.1a ；3.2dx ；；5.20,3??????或20,3?? ???

二．选择题：（每空3分，共15分）1.;2.;3.;4.;5..A D A A C

三．计算题：

1.

()

()

1

()420lim 11k k

k

kx

x kx kx e ?-'

'

--→=-?-=

2.

122222cos 3

2

0sin (sin cos )(sin )

lim

lim 3x

x x t dt x x x

x '

'

'

→→---===∞

?

3.

1

1lnsin lnsin 422211111cos cot

1sin x x dy e e dx x x x x

x '

'

??=-=- ?

??

四．计算题：

1.

2130

0;0,0;

0y x y x dy y e y y xy x y dx

e x

'''

==''--====

=-； 2.

原式

222sin sin (1)

xarc x xarc x x ''

=-=+-?

3.原式

33323122

2

2

2

4(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππ

π

π'

''==-=

???

4.

原式

223210

'

'

'

?===?。

五．解答题: 1．

2111224612,2,,,,:43120,1355

t a a y t k x y x y a t '

'

'

''

'===-==+-=-1切线法线：3x-4y+6a=0

[]22211ln ln 1()ln ,,,0,ln ln (),,a b f x x x b a a b a b a b b a a a b b ζζ'

''-=∈>>-=-<<<<-设.

（1）

2

42

32220

4

4x S x dx '

'

'

??=== ?

???

（2）、

8

25

8

2

2233003644455y V y dy y y πππ

'''

????=-=-= ? ??????

高等数学（下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

1.24x ≤≤；

2.13；

3.dx ；

4.2

3；5.64

12125x y ++。

二．选择题：（每空3分，共15分）

1.C ；

2.D ；

3.B ；

4.B ；

5.C 。

三．1.

23

332

5322(2)333111222lim lim 111111222x x

x x x x x x e x x x ?'

'

-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?

--- ???

????

g

2.2

22222002sin 1cos 12

lim

lim 336x x x x x

x ''

'

→→-===

3.331(sin )cot cos x x x x

x

dy e e e e dx e ''

=?-?=-

四．

1.

222

2

3

221

1,d y t y t t dx t '

''

-'=-=

=；

2.

42

2

22

sin sin sin 2sin 2cos 2sin x d x x x x xdx

x x x x x c

'

'

==-?=+-+??

3.

21

21

2120

0201ln(1)ln 2

arctan 1424

2

x x x x dx x ππ

'

''

+=-?=-=

-

+?

4.

2212

10

sin 2,22t x t t tdt t π

π'

'

'

'

??===+=

????。 五．解答题

1.()3222121212,3624,20,3220033y x x y x x x x '

'

''''=-=-==????-∞+∞ ? ?????24为拐点，

，、，为凹区间，， 为

凸区间

2.

121

12

001011

,111(1),(2)(2)ln ln(1)ln (2)

11,1

1x

x x

x

x x f x dx dx e e x e x x e ?≥??'''-==+=-++?+?

3.（1

）、

)

1

3

31

24222

021

3

33

x x dx x ''

'

??==-=

?

???

（2）、

()1

251

44220

32510

x x x V x x dx

πππ'

'

'

??=-=-=

?

???

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

1

、

{}0,),(≠>y y x y x ，2、

dy ye dx xe y x y x 2

22222+++，3、0,4、2π，

5、?

?e e y

dx

y x f dy ),(1

，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B

三、解：1、令xy e z z y x F z

-+=ln ),,(1'ΛΛΛ

2、所求直线方程的方向向量可取为{

}3,2,1-2'ΛΛΛ 则直线方程为：32

21

1-=-=-z y x 7'ΛΛΛ 3、原式

??=2

34

dr

r d π

θ4'ΛΛΛ

四、解：1、令

52,2,

sin 52),(,),(22+=??=??++=+=y x Q y y P y x xy y x Q e y y x P x 3'ΛΛΛ

原式dxdy y P

x Q D

)(

??-??=??6'ΛΛΛ 2、)1(此级数为交错级数1'ΛΛΛ

因01lim =∞

→n n ，111+>n n

),2,1(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛6'Λ

ΛΛ

(2)此级数为正项级数1'ΛΛΛ

因

13133)1(lim 2

12<=++∞→n n n n n 4'ΛΛΛ故原级数收敛6'ΛΛΛ 五、解：1、由

033),(2

=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(-2'ΛΛΛ 在

)3,1(处

1

)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A

因,02

<-B AC ，所以在此处无极值5'ΛΛΛ

在)3,1(-处

1

)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A

因0,02

<>-A B AC ，所以有极大值

215

)3,1(=

-f 8'ΛΛΛ

2、通解

?

+?=--?dx

dx

x e c dx e e y 1][3'ΛΛΛ

特解为

x

e x y -+=)2(8'ΛΛΛ 3、1)其对应的齐次方程的特征方程为0822=-+r r

有两不相等的实根4,221-==r r

所以对应的齐次方程的通解为x

x e c e c y 4221-+=（21,c c 为?常数）3'L L L

)2设其特解*()x y x ae =

将其代入原方程得

252,5x x ae e a -==-

故特解

*2

()5x

y x e =-6'ΛΛΛ )3原方程的通解为2412x

x

y c e c e

-=+2

5x

e -7'L L L

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

1、{}11),(+≤≤-x y x y x ，

2、21

，3、

dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22

222+++,

4、22，

5、1

220

0()d f r rdr

π

θ??，6、绝对收敛，7、c x y +=2

（c 为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D 三、解：

1、令53),,(3

--=xyz z z y x F 2'ΛΛΛ

2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'ΛΛΛ

则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6'ΛΛΛ

3、原式

dy

y x dx x

??+=0

2210

)(4'ΛΛΛ

四、解：1、令

2(,),(,)(sin ),

1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'ΛΛΛ

原式

1

1

20

(0)(1sin )x dx y dy

=--+??6'ΛΛΛ

2、令z R y Q x P ===,,2'ΛΛΛ

原式

()P Q R dv

x y z Ω???=++??????5'ΛΛΛ 3、)1(此级数为交错级数1'ΛΛΛ 因0

ln 1lim =∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ

故原级数收敛5'ΛΛΛ

(2)此级数为正项级数1'ΛΛΛ

因

1

3

43sin 43sin

4lim 11>=++∞→n

n n n n ππ

4'ΛΛΛ故原级数发散5'ΛΛΛ 五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，04),(2

=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(--3'ΛΛΛ

在)0,1(-处

4

)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A

因

0,02

>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5'ΛΛΛ 在

)4,1(-处4

)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A

因

,02

<-B AC ，所以在此处无极值7'ΛΛΛ 2、通解1[]dx dx

x y e e dx c e -??=+?3'

ΛΛΛ

特解为

(1)x

y x e =+7'ΛΛΛ 3、)1对应的齐次方程的特征方程为0652=+-r r ,有两不相等的实根3,221==r r

所以对应的齐次方程的通解为x

x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数）3'L L L

)2设其特解x e b ax x y )()(*+=

将其代入原方程得

15

2321,,24ax a b x a b -+=+==

故特解

*15

()()24x

y x x e =+6'L L L )3原方程的通解为x x e c e c y 3221+=15()24x

x e ++7'L L L

高等数学（下）模拟试卷七参考答案

一．填空题：（每空3分，共24分）

{}22

(,)|025x y x y <+<23

()35t t y C =?+1ln y y yx dx x xdy -+y Cx =221y x y +12(cos 2sin 2)x y e C x C x =+8π二．选择题：（每题3分，共15分） 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

1.解：2

2223ln(34)(34)z z u z v x x x y x u x v x

y x y y ?????=+=-+

?????-………(4分) 22

3224ln(34)(34)z z u z v x x x y y u y v y y x y y ?????-=+=--?????-………(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）