高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业 年级 学号 姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（ ）1. 收敛的数列必有界.（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设2)1(x x f =-，则=+)1(x f .2. 若1212)(11+-=xxx f ，则=+→0lim x .3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .4. 设yxxy u +=, 则=du . 5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f xf x F f +==',则=')1(F .7. 若),1(2)(02x x dt t x f +=⎰则=)2(f .8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞⎰dx e x 20.10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D5221,1 . 三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数.3. 求不定积分dx x x ⎰-)1(1.4. 计算定积分dx x x ⎰-π53sin sin .5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程yxy y 2-='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x fdt t f dt t f x F x xb⎰⎰+=0)(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.二、 填空题.（每题2分，共20分）1.442++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+21n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，21limn n n →∞+=0 由迫敛性定理知： ))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ =0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y101022111++++++='∴x x x y y )(10()1(++='∴x x y )10102211++++++x x x 3.解：原式=⎰-x d x112=⎰-x d x 2)(112=2c x +arcsin4.解：原式=dx x x ⎰π23cos sin=⎰-2023sin cos πxdx x ⎰ππ223sin cos xdx x=⎰-2023sin sin πx xd ⎰ππ223sin sin x xd=2025][sin 52πx ππ225][sin 52x -=4/55.解： 02832=--='y x x f x 022=-='y x f y故 ⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==22y x当 ⎩⎨⎧==0y x 时8)0,0(-=''xxf ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆ 且A=08<-∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f当 ⎩⎨⎧==22y x 时4)2,2(=''xxf ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--⨯=∆ ∴无法判断6.解：D={}y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(⎰⎰⎰⎰=∴102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y=dy x yy y y 2][sin 10⎰ =dy y y y )sin (sin 1⎰-=⎰+-11cos ]cos [y yd y=⎰-+-110cos ]cos [1cos 1ydy y y=1sin 1- 7.解：令xy u =，xyv =；则21≤≤u ，31≤≤v v vuu vv v uuv y y x x J v uvu 212221=-==∴ 3ln 212131===⎰⎰⎰⎰Ddv v du d A σ 8.解：令 u y =2，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dxdx+⎰-⎰==⎰-)4(22c dx xe e x x +-=⎰-)2(222c e xe e x x x ++=--四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设 21arcsinarctan )(xx x x f +-=222222211111111)(xx x x x x xx f ++-+⋅+--+=' =0c x f =∴)( +∞<<∞-x令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即：原式成立。

2.解： ],[)(b a x F 在 上连续 且 dt t f a F ab⎰=)(1)(<0,dt t f b F b a ⎰=)()(>0故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.又 )(1)()(x f x f x F +=' 0)(>x f 2)(≥'∴x F即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.《高等数学》专业 学号 姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.4. 方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题2分，共20分）1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .2. 设xx x f 3arcsin )21ln()(+=，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.3. 设xtt tx x f 2)11(lim )(+=∞→，则)(x f '' .4.已知)(x f 在ax =处可导，且Aa f =')(，则=--+→hh a f h a f h )3()2(lim.5. 若2)]([cos )(2x f dxdx x f =，并且1)0(=f ，则)(x f . 6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g7. 若2sin x y =，则=)(2x d dy ；=dxdy.8. 设⎰=xx tdt x f 2ln )(，则=')21(f . 9. 设yx ez 2=，则=)1,1(dz.10. 累次积分dy y x f dx x R R )(202022-⎰⎰-化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）1. ⎰⎰+→xx tx dtt t dtt 0sin 010sin )1(lim; 2. 设1ln 22-=xxe e y ，求y '; 3. dx x x x ⎰+-2sin 1cos sin ;4.⎰-20224dx x x; 5. 设22y x xz +=, 求 y x z y z ∂∂∂∂∂2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy . 7. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e yx ==1下的特解.四、（7分）已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题7分，共14分）1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（7分）设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明xx f x g )()(=在a x <<0上单调增加.高等数学参考答案一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.二、填空题1. 36 ；2. 32 ； 3. xe x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<； 7. 22cos 2,cos x x x ； 8. 2ln ； 9. dy dx +2 ；10.⎰⎰20)2cos (πθθRrdr r f d .三、计算题1. 原式xxxx xx sin cos )sin 1(limsin 10+=→e e==1 2.2222222222)1(2)1(212111-⋅--⋅-⋅-='x xx x x xxxxe e e e e e e e ey 22222)1(221--⋅-=x xx x e e e e xe 211-=3．原式=dx x x xx ⎰+-2)cos (sin cos sin)cos (sin )cos (sin 12x x d x x ++-=⎰C xx ++=cos sin 14．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=⎰⋅⋅202cos 2cos 2sin 4πtdt t t⎰⋅=2022cos sin 16πtdt t⎰⎰-==20202)4cos 1(22sin 4ππdt t tdtππ=-=20)4sin 41(2t t 5．23222222)(22y x xy y x y x y x yz +-=++⋅-=∂∂322212223222)(2)(23)(y x x y x xy y x y y x z +⋅+⋅-+-=∂∂∂ 3222232)()2(y x y x y y x ++-=6．两边同时微分得：)(1)()ln()(2dy dx yx y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=-故 dx y x y x dy )ln(3)ln(2-+-+=（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）7．⎰⎰⎰⎰=102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y⎰-=1)sin (sin dy y y y⎰-+-=11010cos cos cos ydy y y y10sin 1cos 1cos 1y -+-=1sin 1-= 8．原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+ 通解为 ]1[ln 1ln 1C dy ye ex dy y y dyy y +⋅⎰⎰=⎰-]1[ln ln ln ln C dy ye ey y+⋅=⎰-]ln 1[ln 1C ydy y y +=⎰])(ln 21[ln 12C y y += yC y ln ln 21+=e y x ==1代入通解得 1=C故所求特解为： 01ln 2)(ln 2=+-y x y四、解： b ax x x f ++='23)(2因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,0-==b a于是 x x x f 3)(3-= )1(3)(2-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而06)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为)96(13+=kx xy 又10=x 时，6103=⋅k 故得006.0=k ， 所以有)96006.0(13+=x xy ，),0(∞+∈x令 0)8000(012.032=-='x xy ， 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航行km 1的耗费最少，其值为2.7209620006.02min =+⨯=y （元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为100-x y ， 又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='⋅y y ，在),(00y x 上即有120='y y 所以112000=-⋅x y y ，即1200-='x y 又因为),(00y x 满足2020-=x y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212020020x y x y 得 ⎩⎨⎧==1300y x所以切线方程为 )1(21-=x y 则所围成图形的面积为： 61)]12(2[102=+-+=⎰dy y y S （2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：6)2()1(4132102πππ=---=⎰⎰dx x dx x V 六、证： 22)]0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-代入上式得 2)()(])([xf x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>',于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([>'x x f ，故xx f )(在),0(a 内单调增加.《高等数学》试卷专业 学号 姓名一、填空题（每小题1分，共10分）1．函数y =的定义域为_______________。