中南大学高等数学问题详解

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学
(专科)

一、填空题：

1.函数1142xxy的定义域是 。

解：),2[]2,( 。
2.若函数52)1(2xxxf，则)(xf 。
解：62x
3.sinlimxxxx 。
答案：1
正确解法：101sinlim1lim)sin1(limsinlimxxxxxxxxxxx

4.已知22lim222xxbaxxx，则a_____, b_____。
由所给极限存在知，024ba，得42ab，
又由23412lim2lim2222axaxxxbaxxxx, 知8,2ba

5.已知)1)((lim0xaxbexx，则a_____, b_____。
)1)((lim
0xaxbexx


, 即
0

1)1)((lim0b

a

be
xax

x
x

，∴0,1ab

6.函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x 。
解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx
所以函数)(xf在0x处是间断的，
又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。
7.设nxxxxy21, 则1ny(1)!n
8.2)(xxf，则__________)1)((xff。
答案：2)12(x或1442xx

9.函数2224ln(1)xyxyz的定义域为 。
解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。











1040141101042222222222222yxxyyxyxxyyx
yx
yx

z
的定义域为：10|),(22yxyx且xy42}
10.已知22),(xyyxyxyxf,则),(yxf .
解：令xyu，xyv，则,22uvuvxy，()()()fxyxyxyxy

)(4222),(22vuuuvuvuvuf
，22(,)()4xfxyxy

11.设22),(yxxxyyxf,则)1,0(xf 。)1,0(yf
∵ (0,1)000f
2
000(,1)(0,1)1(0,1)limlim2xxxxxfxfxfxx











00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim0yyyfyffyy





。

12.设,,cos,sin32tytxyxz则tzdd＝ 。
解：22sin3cosdzxttydt
13.dxxfdddxd)( 。
解：由导数与积分互为逆运算得，)()(xfdxxfdddxd。
14.设)(xf是连续函数，且xdttfx1 0 3)(，则)7(f 。
解：两边对x求导得1)1(332xfx，令713x，得2x，所以12131)7(22xxf.
15.若21de0xkx，则_________k。
答案：∵)d(e1limde2100kxkxbkxbkx
kkkk
kbbbkxb1e1lim1e1lim0


∴2k
16.设函数f(x,y)连续，且满足Dydyxfxyxf2),(),(，其中,:222ayxD则f(x,y)=______.

解：.4442xay
记DdyxfA),(，则2),(yAxyxf，两端在D上积分有：DDdyAxdA2，其

中DxdA0（由对称性），aDadddy0423202.4sin
即 44aA，所以，.4),(42xayyxf
17.求曲线2,422ayxaxy所围成图形的面积为 ，（a>0）
解：223a
18.122212nnnxn；
解：令2xy，则原幂级数成为不缺项的幂级数11212nnnyn，记其各项系数为nb，因为
21212lim2122212limlim11nnnnbbR
nnnnnnn
，则20222xy，

故22x.
当2x时，幂级数成为数项级数1)12(21nn，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为
)2,2(
.
19.02yy的满足初始条件411,1211yy的特解为321121xy。
20.微分方程03yy的通解为xeccy321.
21.微分方程0136yyy的通解为xcxceyx2sin2cos213。
22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|AA|= .
答案：311n

23.11111111x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 .
答案： 2;
24.f(x)=是 次多项式，其一次项的系数是 。
解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。
25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC .

26.事件A、B相互独立，且知0.2,0.5PAPB则PAB .
解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6

27.A，B二个事件互不相容，0.8,0.1,PAPB则PAB .
解：A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8
28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中
恰有一次击中目标的概率为 .
解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标

可表示为CBACBACBA，即有

P(CBACBACBA)
=P(A))()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBP=0.36
29.已知事件 A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（AB）＝ ；
P（AB－）＝ ；
解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9
P(A–B)=P(A)–P(AB
)=0.7–0.4=0.3

30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 .

解：P(A+B)=1–PpBAPBA1)(1)(
二、单项选择题：
1.函数)1,0(11)(aaaaxxfxx（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(11)1()1(11)()(xfaaxaaaaxaaxxfxxxxxxxx




所以B正确。
2.若函数221)1(xxxxf，则)(xf（ ）

A.2x B. 22x C.2)1(x D.12x
解：因为2)1(212122222xxxxxx，所以2)1()1(2xxxxf
则2)(2xxf，故选项B正确。
3.设1)(xxf ，则)1)((xff=（ ）．
A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3
解：由于1)(xxf，得 )1)((xff1)1)((xf＝2)(xf

将1)(xxf代入，得)1)((xff=32)1(xx
正确答案：D

4.已知0)1(lim2baxxxx，其中a,b是常数，则（ ）
(A) 1,1ba, (B) 1,1ba
(C) 1,1ba (D) 1,1ba

解：

011lim)1(lim22xbxbaxabax
x

x

xx

,

1,1,0,01babaa
答案：C

5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A.e1xx,() B.sin,()xxx；

C.ln(),()11xx D.
xxx11
0,()
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sinlimxxx
而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）

(A))(1sinxxxy; (B))(1nnyn;

(C))0(lnxxy； (D))0(1cos1xxxy
解：111sinlim1sinlimxxxxxx,故不选(A)。取12km,则0121limlim1knknn,
故不选(B)。取21nxn, 则01cos1limnnnxx,故不选(D)。答案：C

7.设0,0,1sin)(xxxxxxf，则)(xf在0x处（ ）
A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导
解：（B）

0lim)(lim00xxf
xx
，01sinlim)(lim00xxxfxx，0)0(f

因此)(xf在0x处连续

xxxxxfxffxxx1sinlim001sinlim0)0()(lim)0(000



，此极限不存在

从而)0(f不存在，故)0(f不存在
8.曲线xxy3在点（1，0）处的切线是（ ）．
A.22xy B.22xy C.22xy D.22xy
解：由导数的定义和它的几何意义可知，

13)()1(x
xxy2)13(12xx

是曲线xxy3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是
)1(20xy
，即22xy

正确答案：A