【经典】建模-组合优化模型-排序
【经典】建模-组合优化模型-VRP
3、增加了一个多样化机制
2.3 程序分析
2.3.1 初始解的获得 （三个步骤） （1）随机生成一个路径
（2）用2-opt方法进行改进
（3）形成一个cost network，然 后运用Dijkstra’s方法
2.3.2 变邻域结构（六种）
（1）1-1interchange （swap） （2）2-0shift（两种）
（3）21interchange （4）新的扰乱机制（两种）
2.3.3 局部搜索（六种）
（1）1 inseration（intra和inter） （2）2 inseration（intra） （3） 2-opt（intra和inter） （4）swap（intra）
2.3.4 DIgorithm 算法在这里的具体的运用
（1）生成初始解时的运用
（2）变邻域均搜索完后，最后的最优解， 生成cost network，然后再运用D算法
2.3.5多样化机制
形成cost network的方法不一 样
不同车队路径问题中变邻域搜索的应用
一、VRP问题的简单介 绍
二、VNS方法主要步骤的详细介绍
一、
非需求 边，c(v)
需求边u，需求量为 q(u)
￣＿
＿
＿
▲ 垃圾站（depot）
收垃圾模型示意图
问题最终目标：车队经过所有需求点后回到垃圾站，使其成本最低
二、VNS的详细介绍
2.1 流程图
2.2 VNS方法的改进
04章组合优化模型
04章组合优化模型组合优化模型是指在给定一组有限资源的情况下，通过选择和组合这些资源，以达到其中一种目标的问题。
这一类模型广泛应用于供应链管理、制造业生产优化和物流网络设计等领域。
本文将介绍几种常见的组合优化模型，并分析其应用。
一、背包问题背包问题是最基本的组合优化问题之一、背包问题可以描述为在给定一组物品和一个固定容量的背包的情况下，如何选择物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以有多种变形，如01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
例如，假设有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
目标是在背包容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以通过动态规划算法求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些放入容量为j的背包中所能达到的最大总价值。
背包问题的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)二、旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，也是一个NP-hard问题。
旅行商问题可以描述为在给定一组城市和每对城市之间的距离，如何找到一条最短的路径，使得每个城市只访问一次，并且最终回到起始城市。
旅行商问题可以通过深度优先、分支定界算法和遗传算法等方法求解。
尽管求解旅行商问题的确切解决方案是困难的，但通过使用近似算法和启发式算法，可以在合理的时间内得到较好的解。
三、作业调度问题作业调度问题是指在给定一组作业和一组机器的情况下，如何安排作业在机器上执行，以最大程度地减少完成所有作业的总时间。
作业调度问题可以通过贪心算法和动态规划算法求解。
贪心算法可以按照一些优先级规则对作业进行排序，并依次将作业分配给空闲的机器，直到所有作业都被分配完为止。
动态规划算法可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个作业在j个机器上执行的最小总时间。
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究随着人工智能技术的不断发展，组合优化问题的建模和求解方法逐渐成为了研究热点。
组合优化问题是指在一定约束条件下，从有限的可选项中选择出最优的组合方案，如工程规划、物流配送、投资组合等问题。
本文将探讨建立组合优化模型及其求解方法的研究进展。
一、组合优化模型建立1. 线性模型线性规划模型是组合优化中最基本的模型之一，通过构造一系列线性约束条件和目标函数，求解出满足约束条件的最大（小）值。
例如，在投资组合问题中，可以将每一项投资的收益和风险以及各项的投资比例表示成线性函数，求解出使预期收益率最大，规避风险风险最小的投资组合。
2. 非线性模型非线性模型相对于线性模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
例如，在旅行商问题中，需要寻找一条路径，使得经过的所有城市只访问一次，并且总路径最短。
这个问题无法用线性模型表示，需要采用非线性优化算法进行求解。
3. 混合整数规划模型在实际问题中，很多变量只能取整数值，而且该问题本身又是一个优化问题，因此需要采用混合整数规划（MIP）模型进行求解。
例如，在运输问题中，货物只能在整数数量上进行运输，此时需要构建MIP模型进行求解。
二、组合优化求解方法研究1. 线性规划法线性规划法是最基本的数学规划方法之一。
该方法通过求解线性规划模型的最优解，来得到组合优化问题的最优解。
线性规划法求解过程中，需要对线性规划模型进行求解，通过单纯形法等算法对模型进行求解，得到最优解。
然而，该方法在遇到非线性模型或超大规模问题时，效率会急剧下降。
2. 分支定界法分支定界法是解决混合整数规划问题的一种有效方法。
这种方法将原问题分解为一系列子问题，并将子问题的可行空间一步步缩小，最终得到最优解。
该方法特别适用于规模较小、分支量少的混合整数规划问题。
3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，具有较好的全局搜索能力和适应性。
该算法模拟遗传和自然选择机制，通过不断选择优秀的个体和产生新的个体，最终寻找到问题的最优解。
【经典】建模-组合优化模型-组合优化
造访的节点 3. 寻找距离节点y最近的节点z作为下一个
造访的节点 4. 重复以上步骤，直到所有节点均已造访 5. 连接最后一个节点与起点，即形成一个
TSP的可行解
14
最近邻点法
5 2
4
3
5
1
7
8
3
7
12345
4
1 －4 7 3 8
1
旅行推销员问题
Traveling Salesman Problem
2
哈密尔顿循环(Hamiltonian Cycle)
环游世界问题:
有个人想环游世界，他选出全世界的二十个著名城世,然后在地 图上开始他的作业。他打算规画出一条路线,使他可以依序地玩遍这 二十个城市。但问题是并不是任两个城市皆有飞机直航,而他又不愿 重复去同一个城市两次。这个问题转化为图论上便是所谓的哈密尔 顿循环(Hamilton Cycle)，于1857年爱尔兰数学家哈密尔顿(Sir William Hamilton)首次提出。 哈密尔顿循环(Hamilton Cycle)不一定存在
路线构建(route construction)
• 邻点法、节省法、插入法、扫瞄法….
路线改善(route improvement) 局部搜索算法 （local search）
• k-Opt交换法、Or-Opt交换法……
综合型(composite)
• 合并执行路线构建及路线改善
13
最近邻点法(Nearest-neighbor Heuristic)
18
2-opt交换法
5 2
4
4
3
5
1
数学建模四大模型总结
数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于难问题。
l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。
工人完成工作的时间为。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
组合优化问题的模型设计与算法求解
组合优化问题的模型设计与算法求解组合优化问题是在有限集合的所有子集中寻找最优解的问题，这些问题包括诸如最大割、最小哈密顿路径、匹配问题和指派问题等。
这些问题对于解决实际问题具有重要意义，因此组合优化问题的模型设计和算法求解是非常关键的研究方向。
组合优化问题的建模组合优化问题需要建立数学模型，才能进行算法设计与求解。
通常情况下，组合优化问题的模型可通过建立某些集合之间的关系来描述。
例如，针对最小割问题，我们可以通过建立割的概念，把问题转化为寻找两个点集之间的最小割。
一般情况下，组合优化问题需要遵守以下三个基本规则：1. 组合问题必须基于离散数据结构，如图形、网络、排列、集合等。
2. 贪心、动态规划、分支界限等算法可用来解决一些特殊的组合优化问题。
3. 对于一些难以求解的问题，需要寻找最优解的近似算法，其误差范围可在算法设计过程中控制。
组合优化问题的算法求解通常情况下，组合优化问题的建模过程经常是模棱两可的。
这时，我们需要寻找相应的算法，对建模的问题进行求解。
目前，大多数组合优化问题没有通用的求解方法，因此需要针对特定问题进行算法设计。
1. 枚举法枚举法是组合优化问题求解的最基本方法之一。
枚举法主要是通过遍历所有可能的解来寻找最优解。
但是，因为组合数目的爆炸性增长，枚举法不适用于解决具有大规模数据的问题。
通常情况下，枚举法只能够解决较小规模的问题。
2. 分支界限法分支界限法是通过逐步将解空间分解为较小的子空间，从而避免枚举整个解空间。
通过提前剪枝和减少搜索空间的方法，我们可以有效地减少计算量。
但是，对于某些问题而言，分支界限法同样存在着计算复杂度爆炸的问题。
因此，分支界限法同样只适用于中等规模的问题。
3. 近似算法对于一些实际的组合优化问题，我们常常需要求解最优解，但是这些问题的求解非常复杂。
针对这些问题，我们可以采用近似算法，其求解速度要快于精确算法，但是其结果并不保证是最优解。
例如，常用于解决图形分裂问题的 Kernighan-Lin 算法，就是一种近似算法。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
【经典】建模-组合优化模型-排序问题
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
5
6
8
+2
+2
-5
9
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
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分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
排序问题
排序问题
排序问题指n 种零件经过不同设备加工时 的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。
分类：
单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
多台机器的排序问题
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
n × 2 排序问题
即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何 安排？
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
问题：
如何用动态规划方法来研究同 顺序两台机床加工N个工件的 排序问题？
动态规划求解
最优排序方案：尽量减少在B上等待加工的 时间，使总加工时间最短。
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
n × 1 排序问题
即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？
例一、
零件代号
j1
加工时间（t） 3
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要 做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互 联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及 定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组 同类型子问题的求解中， 均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进 行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问 题的最优解。
f（X,t,i,j）
状态转移： (X,t) (X/i,zi(t))
A
ai
工件i
当t≤ai时 B
当t≥ai时
t
工件i-1
t
工件i-1
bi
bi t-ai+bi
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
f ( X , t) 随t单调增加，所以当Zij（t）≤ Zji（t） f ( X , t，i, j) f ( X , t, j, i) 成立
工件i放在工件j前面的条件：
max( bi bj aj,bj) max( bi bj ai,bi) min( ai,bj) min( aj,bi)
• 能用动态规划方法求解的多阶段决策过程 是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无 后效性的多阶段决策过程。
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改
变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方
程如下
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk , uk )
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
阶段：n个 状态变量：（X,t）
X: 在机床A上等待加工的按取定顺序排列的 工件集合。
t: 在A上加工完x的时刻算起到B上加工完x 所需的时间。
指标最优值函数：
f（X,t）:由状态（X,t）出发，对未加工的 工件采取最优加工顺序后，将
X中
所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i）:由状态（X,t）出发，在A上加工 工件i,然后再对未加工工件采取最优加工顺 序后，将X中所有工件加工完所需时间。
例题：
设备 零件 j1
j2 j3
j4
j5
A
6 8735
B
3 2594
工件的加工工时矩阵为：M=
6 3
8 2
7 5
3 9
5 4
根据最优排序规则,最优加工顺序为： j4，j3，j5，j1，j2
A
B T
加工周期 T = 3+7+5+6+8+2 = 31 即 tAi tB小
加工顺序图如下：
A
3
B
7
5
6
8
+2
+2
-5
9
5
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
最优排序规则：
a1 a2 … an 建立工时矩阵 M= b1 b2 … bn 在工时矩阵M中找出最小元素（若不止一个
可任选其一），若它在上行，则相应的工件 排在最前位置；若它在下行，则相应的工件 排在最后位置。 将排定位置的工件所对应的列从M中划去， 然后对余下的工件再进行排序。如此进行下 去，直到把所有工件都排完为止。
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)