高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题
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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
数学选修2-2第一章导数及其应用
数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试(一)
A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值，则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ，则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ，则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ，则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)
选修2-2第一单元导数及其应用测试题含解析人教版
选修2-2第一单元导数及其应用测试题（含解析人教版）时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝⎛⎭⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1 B ．45° C ．－45° D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D. 2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [答案] B[解析] ⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，所以B 对．故选B. 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.5．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(2014·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx 的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x 2D ．y ′＝1－ln xx2[答案] D[解析] y ′＝(ln x )′·x －(ln x )·x ′x 2＝1－ln xx2. 8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离[答案] C[解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x2，∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2， ∴围成三角形的面积为e 2.故选D.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程为______________．[答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0，则1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．若函数f (x )＝ax 2－1x 在(0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)求定积分⎠⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1 (x ≤0)x 2 (x >0).[解析] ⎠⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10 ＝cos1－2＋13＝cos1－53.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,1)上是增函数． 故t 的取值范围是t ≥5.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． 因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数．当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 22．(本题满分14分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．[解析] (1)f ′(x )＝a e x －1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高中数学选修2-2导数及其应用单元检测
选修2-2导数及其应用单元检测题一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.若函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)2.设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. [−32e ,1) B. [−32e,34) C. [32e,34) D. [32e,1)3.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)+1>0，f(3)=−ln3，则不等式f(e x)+x>0的解集为()A. (e3,+∞)B. (0,e3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e3)4.函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为()A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D. y=12x+126.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.7.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]8.函数y=2x2−e|x|在[−2,2]的图象大致为()A. B.C. D.9.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）10.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．11.设函数f(x)=e xx+a ，若f′(1)=e4，则a=______．12.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）13.已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．14.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)≥1216.已知函数f(x)=2ln x+1．(1)若f(x)⩽2x+c，求c的取值范围;(2)设a>0，讨论函数g(x)=f(x)−f(a)的单调性．x−a17.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)⩾1218.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．19.设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．21.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．【解答】，解：f′(x)=k−1x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1在区间(1,+∞)上恒成立，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x<1，∴0<1x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1≥−a−a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g(x)=e x (2x −1)，y =ax −a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g(x 0)在直线y =ax −a 的下方，∵g′(x)=e x (2x −1)+2e x =e x (2x +1)，∴当x <−12时，g′(x)<0，当x >−12时，g′(x)>0，∴当x =−12时，g(x)取最小值−2e −12，当x =0时，g(0)=−1，当x =1时，g(1)=e >0，直线y =ax −a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故−a >g(0)=−1且g(−1)=−3e −1≥−a −a ，解得32e ≤a <1，故选D ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)+lnx ，在(0,+∞)上可得g ′(x)=xf ′(x)+1x >0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(3)=f(3)+ln3=0，进而得出解集．【解答】解：令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞)．∵在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)+1>0，∴g ′(x)=f ′(x)+1x =xf ′(x)+1x >0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∵g(3)=f(3)+ln3=0，而不等式f(e x)+x>0⇔g(e x)>g(3)，所以e x>3，即x>ln3．∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln3,+∞)．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，∴f′(1)=4−6=−2，又f(1)=1−2=−1，∴函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，即y=−2x+1．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据直线l与圆x2+y2=15相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y=√x求一解可得答案．【解答】解：直线l与圆x2+y2=15相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径√55，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y=2x+1与y=√x联立可得：2x−√x+1=0，此时：无解；对于D选项：y=12x+12与y=√x联立可得：12x−√x+12=0，此时解得x=1；∴直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，方程为y=12x+12，故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数图象的应用，属于基础题．根据导函数f′(x)图象，即可判断函数f(x)的单调性，结合函数的极值，利用排除法，即可求得函数y=f(x)的图象．【解答】解：当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y=f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个极值点在x轴上的右侧，排除B．故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】此题考查利用导数研究函数的切线斜率，及由正切函数的图象研究斜率与倾斜角的关系，属于基础题．由导数确定，再由正切函数的图象易得．【解答】解：因为y′=3x2−1≥−1，所以切线的斜率tanα≥−1，又α∈[0,π),由正切函数的图象知：α∈[0,π2)∪[3π4,π)．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，定义域为R，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|=f(x)，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，故排除A，B；当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，f′(x)=4x−e x，∵f′(0)<0，f′(2)>0，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C，故选D.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b=0，y=f(x)−ax−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，y′=x2−(a+1)x，当a+1≤0，即a≤−1时，y′≥0，y=f(x)−ax−b在[0,+∞)上递增，y=f(x)−ax−b最多一个零点，不合题意；当a+1>0，即a>−1时，令y′>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y′<0得x∈[0,a+1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，所以函数y=f(x)−ax−b在(−∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b1−a <0且{−b>013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b<0,解得b<0，1−a>0，b>−16(a+1)3，∴−16(a+1)3<b<0，−1<a<1，故选：C．10.【答案】4√15cm3【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力、空间想象能力，是较难题．由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√25−10x，求出棱锥体积表达式，利用导数能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√DG2−OG2=√25−10x+x2−x2=√25−10x，S△ABC=12×√32×(2√3x)2=3√3x2，则V=13S△ABC×ℎ=√3x2×√25−10x =√3⋅√25x4−10x5，令f(x)=25x4−10x5，x∈(0,52)，则f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)≥0，解得0<x≤2，则f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,52)单调递减，则f(x)≤f(2)=80，∴V≤√3×√80=4√15cm3，∴体积最大值为4√15cm3．故答案为：4√15cm3．11.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)=e xx+a ，∴f′(x)=(x+a−1)⋅ex(x+a)2，若f′(1)=ae(a+1)2=e4，∴a(a+1)2=14，则a=1，故答案为：1．先求出函数的导数，再根据f′(1)=e4，求得a的值．本题主要考查求函数的导数，属于基础题．12.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．13.【答案】解：(1)f(x)=x3−kx+k2．f′(x)=3x2−k，k≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R递增，k>0时，令f′(x)>0，解得：x>√k3或x<−√k3，令f′(x)<0，解得：−√k3<x<√k3，∴f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增，综上，k≤0时，f(x)在R递增，k>0时，f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增；(2)由(1)得：k >0，f(x)极小值=f(√k 3)，f(x)极大值=f(−√k 3)，若f(x)有三个零点，只需{ k >0f(√k 3)<0f(−√k 3)>0，即{ k >0k 3√k 3−k√k 3+k 2<0−k 3√k 3+k√k 3+k 2>0，整理得{ k >0k −23√k 3<0k +23√k 3>0，解得：0<k <427，故a ∈(0,427).【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道较难题．(1)求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可．14.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x −a ．(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，令f′(x)=0，解得x =0． ∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ， 当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)． 又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可， 则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．15.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，可得g(x)在R上递增，即f′(x)在R上递增，因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(−∞,0)；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3+1恒成立，①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R；②当x>0时，可得a≥12x3+x+1−e xx2恒成立，设ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，则ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3，可设m(x)=e x−12x2−x−1，可得m′(x)=e x−x−1，m″(x)=e x−1，由x≥0，可得m″(x)≥0恒成立，可得m′(x)在(0,+∞)递增，所以m′(x)min=m′(0)=0，即m′(x)≥0恒成立，即m(x)在(0,+∞)递增，所以m(x)min=m(0)=0，再令ℎ′(x)=0，可得x=2，当0<x<2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,2)递增；x>2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(2,+∞)递减，所以ℎ(x)max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可得a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】(1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；(2)讨论x=0，不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．16.【答案】解：(1)f(x)⩽2x+c等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，则ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=−2，所以c−1⩾−2，即c⩾−1，因此c的取值范围是．(2)因为g(x)=2(ln x−ln a)x−a(x>0,x≠a,a>0)，所以g′(x)=2x(x−a)−2ln x+2ln a(x−a)2=−2ax−2ln x+2ln a+2(x−a)2，令φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),则φ′(x)=2ax2−2x=2(a−x)x2，令φ′(x)>0，得0<x<a；令φ′(x)<0，x>a．所以，φ(x)在(0,a)上递增，在上递减；因此，φ(x)⩽φ(a)=0，即g′(x)⩽0，所以g(x)在(0,a)和都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，求导判断ℎ(x)单调性及最值，即可求得c的范围;(2)对g(x)求得，再令g′(x)的分子为φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),对φ(x)求导，判断单调性及最值，进而可得g(x)的单调性．17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，难度较大．18.【答案】解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(2e x+1)(ae x−1)，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，，令f′(x)<0，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，ℎ′(a)=1a2+1a>0，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，∴0<a<1．接下来说明0<a<1时，f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)的单调性；(2)由(1)知：当a>0时f(x)才可能有两个零点，求得f(x)最小值，令f(x)min<0，即可求得a的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a−2a−2+1)e2=0，解得a=12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(x−1)(ax−1)e x，若a=0，则x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；x>1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x=1处f(x)取得极大值，不符题意；若a=1，则f′(x)=(x−1)2e x≥0，f(x)递增，无极值；若a>1，则1a <1，f(x)在(1a,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a的值；(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．20.【答案】解：(1)求导得f′(x )=3x 2−k ，定义域为(−∞,+∞)，当k ≤0时，f′(x )=3x 2−k ≥0，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增；当k >0时，令f′(x )>0得x <−√3k 3或x >√3k 3，令f′(x )<0得−√3k 3<x <√3k3，故函数f (x )在(−∞,−√3k 3),(√3k 3,+∞)上单调递增，在(−√3k 3,√3k3)上单调递减． (2)由(1)当k ≤0时，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增，不符题意，故k >0， f (x )的极大值为f (−√3k3)，极小值为f (√3k3)，要使f (x )有三个零点，则{f (−√3k 3)=−3k √3k 27+k ⋅√3k 3+k 2>0f (√3k 3)=3k √3k 27−k ⋅√3k3+k 2<0，∵k >0，即{29√3k +k >0−29√3k +k <0，解得0<k <427．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题．21.【答案】(1)解：由f(x)=x 3+bx +c ，得f′(x)=3x 2+b ，∴f′(12)=3×(12)2+b =0，即b =−34；(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，则c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1， 令c(x)=−x 3+34x(−1≤x ≤1)， ∴c′(x)=−3x 2+34=−3(x +12)(x −12)，当x ∈(−1,−12)∪(12,1)时，c′(x)<0，当x ∈(−12,12)时，c′(x)>0第21页，共21页 可知c(x)在(−1,−12)，(12,1)上单调递减，在(−12,12)上单调递增．又c(−1)=14，c(1)=−14，c(−12)=−14，c(12)=14，∴−14≤c ≤14．设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0， 即−14≤c =−x 13+34x 1≤14， ∴{4x 13−3x 1−1=(x 1−1)(2x 1+1)2≤04x 13−3x 1+1=(x 1+1)(2x 1−1)2≥0，得−1≤x 1≤1， 即|x 1|≤1．∴f(x)所有零点的绝对值都不大于1．【解析】(1)求出原函数的导函数，由题意可得f′(12)=3×(12)2+b =0，由此求得b 值；(2)设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，得到c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1，对c(x)求导数，可得c(x)在[−1,1]上的单调性，得到−14≤c ≤14.设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0，可得−14≤c =−x 13+34x 1≤14，由此求得x 1的范围得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。
第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
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21． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
（1）求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
a2 ， g ( x ) = x + ln x ，其中 a > 0 ． 22． （本小题满分14分）已知函数 f ( x ) = x + x （1）若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点，求实数 a 的值；
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ，则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A． 2 2．设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ，则当 a < b 时，定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21．解（1） f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分
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选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( )A ．()()f x g x =B ．()()f x g x -为常数函数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 （ ）A ．B ．C ．D ．08．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（ ）A ．4B ．52C ．3D ．29．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x在),0(+∞内单调递增，5:-≥m q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件AB C DC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅ 的值为（ ） A ．1n B ．11n + C ．1n n + D ．1二、填空题：(每小题5分，共25分)11．若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=___________.12．220(3)10,x k dx k +==⎰则 ；8-=⎰_________________.13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 .14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .15．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '最小值为 .三、解答题：(共75分) 16．（本小题满分12分）已知函数1193)(23+--=x x x x f （1）写出函数()f x 的递减区间；（2）讨论函数()f x 的极大值或极小值，如有试写出极值； 17．（本小题满分12分）当0>x 时，证明不等式2211x x e x++>成立.18．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.19．（本小题满分12分）如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。
（1）求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？20．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ．选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A命题人：湖大附中周先华 审题人：湖大附中李俊答案：1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. C9. Ｂ 10. B 11. e2-12. 1；45413. 114.(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15. 216. 解：令0)('=x f ，得11-=x ，31=x ，x 变化时，)('x f 的符号变化情况及()f x 的增减性如下表所示：（2）由表可得，当1-=x 时，函数有极大值16)1(=-f ；当3=x 时，函数有极小值16)3(-=f .17. 证明：设(),2112x x e x f x---=则()x e x f x--=1'，令,1)(x e x g x --=则1)('-=xe x g ，当0>x 时，()01'>-=xe x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立. ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增， 又,0)0(=f ∴,02112>---xx e x即0>x 时，2211x x ex++>成立.18.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴= 3解又又过点,119. 解：（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，ABC S ∆=225412B E FB DC xS S x∆∆=⋅=21(9)312x -（0x <<（2）21'())34Vx x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值20. 解:因为|||)()(|min max 21f f x f x f -<-，)3(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f)2(,1924|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()2(;932]0,1[)(,),4(;932]1,0[)(,013)(,33;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“妈祖函数”.（2分）21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eeeee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。