苏教版五年级下册数学《用倒序相加法求和》教案
用倒序相加法求和
教学目标：
1、会用倒序相加法求等差算式的和。
2、理解为什么可以用倒序相加法求算式的和。
3、在探究求等差算式之和的过程中渗透数形结合思想，养成用数形结合思想解决实际问题的意识和能力。
教学重点：会用并理解用倒序相加法求和
教学难点：利用数形结合思想理解倒序相加的求和方法
一、由易到难，形成表象。
1、出示2+3算式和圆点图，得数等于几？2+3+4呢？2+3+4+5?2+3+4+5+6得数是多少？仔细观察这幅图，你发现了什么？生1：是个梯形
生2:每层圆点的个数在逐渐增加。
生3：每层圆点的个数分别是2、3、4、5、6个，和右边的数一样。
问：你能联系梯形的面积公式来求出圆点的总个数吗？怎么列式？计算得数。
问：比较这两个算式，你发现了什么？
生1：和相等，因为每层圆点的个数就和这个算式的加数一样多。
师：但这明明算式不一样啊，也就是说这道算式可以用梯形面积公式的形式来计算，这难道是巧合吗？
2、来看看刚刚那几道算式，是不是也有这样的特点呢？联系左边的图形分别用梯形的面积公式来算一算。
第一组算第一个图，第二组算
第二个，第三组算第三个，第四组任选一个。
算好了吗？谁来汇报一下？说出你的算式和得数，和这道算式的结果相等吗？
3、刚刚这几题是不是感觉太简单了，来个难点的，看看这个梯形，说说从图中你知道了什么？你打算怎么计算圆点的个数？怎么列式？（5+12）*8/2,由这幅图你还想到了哪道算式？(连加算式) 真棒见图想数，现在请所有男生计算这道连加算式，女生计算另一道算式，开始，指生汇报，得数相等吗？所以这两个式子也可以用等号连接，通过刚才的猜想和举例验证，你发现了什么？生：像这样的连加算式都可以用梯形面积公式的形式来计算。
4、用梯形面积公式计算算式的和时你有什么问题或疑惑吗？
生：为什么可以用梯形面积公式的形式计算？什么样的算式可以用？计算时要注意什么呢？
二、探究算法
1、带着这些问题和疑惑我们来继续研究，仔细观察这些算式，它们有什么共同特点？
生1：从左往右看，每个加数在逐渐增大，
生2：连加算式，
生3：从第2个数起，每个数都比第一个数大1.
师：也就是说从第2个数起，每个数与前一个数的差都相等，咱们就把这样的算式起个名字吧--等差算式。
2、为什么这样的等差算式都可以用梯形面积公式的形式来计算呢？咱们先从梯形入手，还记得梯形梯形的面积公式是怎么推导的吗？是
由什么图形的面积推导的？谁来说说？
师：你的基础知识学的真扎实，一个平行四边形可以分成两个完全一样的梯形，反过来两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，在这个平行四边形里你知道了什么？
生：每一层的个数一样多，都是17个，师：每一层的17分别是怎么得来的？如果把每层的个数都看成5和12的和，一共有几层？因此平行四边形里圆点的总个数为：（5+12）*8，其中一个梯形中的个数呢？为什么要除以2？
3、刚刚咱们是站在图形的角度来研究的，如果只看算式呢？联系刚才图形的变换过程，你知道这个算式中哪两个数是一对小伙伴吗？生说师出示PPT。
师：不光图形可以倒过来拼，算式也一样哦，这样一共得到了几对小伙伴？而且每对之间什么关系？既然和相等，那我就把每一对都看成5和12的和，这样1式和2式相加共得到几个5和12的和？其中1式的结果呢？为什么要除以2？在这个算式中5表示什么意思？12呢？8呢？
在数学中，像这样把每个加数倒过来写，再和原来算式相加的方法叫做倒序相加法，今天这节课咱们就来共同研究用倒序相加法求和的问题。
问：你对倒序相加法是怎么理解的？通过刚才的学习你有哪些收获？
生1：会用倒序相加法求等差算式的和，
生2：知道了为什么可以这样计算
这节课我们主要借助什么来研究这种求和方法的？数形结合是研究数学问题的一种非常重要的思想和方法。
接下来咱们就动手试试吧。
三、巩固练习。
1、60+61+62+63+64+65+66+67+68+68
2、40+38+36+34+32+30+28+26 比较这两道算式，有什么不同点？计算时有什么相同点？你有什么发现？不管是什么样的连加算式，从第2个数开始，只要后一个数与前一个数等差，都可以用梯形面积公式的形式来表示和计算。
3、75+76+78+79+80+81+82+83.先计算，指生汇报计算过程和方法。
生：（75+83）*8/2，问：同意吗？有没有不同意见？齐读算式。
你有什么发现？认真读题很重要，计算是基础但审题更关键，不能盲目的算。
那你有好的办法进行简便计算吗？同桌交流。
五、故事链接，播放视频。
其实这类问题一个10的孩子在230多年前就解决了，他就是历史上最伟大的数学家之一高斯，（播放视频），后来人们把高斯的这种思想方法称为高斯算法。
六．全课总结。
学到现在你最大的收获是什么？我们在解决问题时要注重解题方法和技巧，也希望同学们能多应用数形结合思想来分析数学问题，让数形结合的种子在我们的脑海里生根发芽、直到以后开花结果。
倒序相加法课程设计
倒序相加法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解倒序相加法的概念，掌握其运算规则和应用场景。
2. 学生能够运用倒序相加法解决数学问题，提高数学运算能力。
3. 学生了解倒序相加法在数学及生活中的实际应用，增强数学与现实生活的联系。
技能目标：1. 学生通过倒序相加法的练习，提高逻辑思维能力和问题解决能力。
2. 学生能够运用倒序相加法进行简便计算，提升计算速度和准确性。
3. 学生学会运用倒序相加法进行数学探究，培养创新意识和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对倒序相加法产生兴趣，树立学习数学的自信心，形成积极向上的学习态度。
2. 学生在合作交流中，培养团队精神，学会尊重他人，理解他人，善于倾听。
3. 学生通过数学学习，认识到数学在生活中的重要性，激发对科学文化的热爱。
课程性质：本课程为数学学科教学，针对学生年级特点，结合教材内容进行设计。
学生特点：学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对倒序相加法的掌握程度不同，需要分层教学。
教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究，关注学生的个体差异，提高教学效果。
通过本节课的学习，使学生达到上述课程目标，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学内容本节课教学内容围绕倒序相加法展开，结合教材第四章第三节“简便计算”进行设计。
具体内容包括：1. 倒序相加法的基本概念：通过实例引入倒序相加法的概念，让学生理解其含义和特点。
2. 倒序相加法的运算规则：讲解倒序相加法的运算步骤，引导学生掌握计算方法。
3. 倒序相加法的应用场景：分析倒序相加法在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
4. 倒序相加法的简便计算：教授如何运用倒序相加法进行简便计算，提升学生的计算速度和准确性。
5. 倒序相加法的拓展练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，并提高拓展能力。
教学大纲安排如下：第一课时：导入倒序相加法概念，讲解运算规则。
第二课时：分析应用场景，进行实际操作练习。
五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版
五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版教学内容本节课主要围绕倒序相加法进行教学，通过引导学生探索并理解倒序相加法的概念、原理及应用，使他们能够熟练地运用该方法解决实际问题。
教学目标1. 理解倒序相加法的概念及原理；2. 学会运用倒序相加法解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
教学难点1. 倒序相加法的原理理解；2. 如何引导学生运用倒序相加法解决实际问题。
教具学具准备1. 教学PPT；2. 课堂练习题；3. 小组讨论表格。
教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入倒序相加法，激发学生的兴趣和求知欲。
2. 新课导入：讲解倒序相加法的概念及原理，通过示例让学生理解并掌握。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 小组讨论：分组讨论如何运用倒序相加法解决实际问题，培养学生的团队合作精神。
5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
板书设计1. 五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版2. 目录：教学内容、教学目标、教学难点、教具学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思3. 正文：按照教学过程逐步展示板书内容。
作业设计1. 基础题：让学生运用倒序相加法解决一些简单的问题；2. 提高题：让学生运用倒序相加法解决一些较复杂的问题；3. 拓展题：让学生运用倒序相加法解决一些实际问题。
课后反思本节课通过讲解倒序相加法的概念、原理及应用，让学生掌握了倒序相加法这一数学工具，培养了他们的逻辑思维能力和团队合作精神。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，确保他们能够熟练地运用倒序相加法解决实际问题。
同时，还要注意课后作业的布置，让学生在课后能够对所学知识进行巩固和拓展。
重点关注的细节是“教学难点”和“教学过程”的步骤。
教学难点倒序相加法的原理理解倒序相加法是一种数学技巧，它通过将一个数列的元素按照倒序重新排列，然后将原数列与倒序数列对应位置的元素相加，从而求得数列的和。
数列求和之错位相减法倒序相加法
.数列求和之错位相减法、倒序相加法}}{{bac、错位相减法适用于1是等差数列，，其中是等比数列。
b×=a nnnnn的两边同乘以公比步骤：此时可把式子1)q1qq(10，得到且，两式错位相减整理即可求出.S n2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
2n?1n】已知数列1【例0)a?(,5a,,(2n?1)a1,3a项和，求前.{}的等差数列，且满足0【例2】已知是一个公差大于aa a=55,a+a=16n7632{}的通项公式：（Ⅰ）求数列a n a{}}{}{nS.（Ⅱ）若数列和数列满足等式:的前项和bab n?b，求数列nnnnnn22222】求和：3【例89sin?sin3?2sin1?sin?1??????????Rfxx，点】已知函数4【例xfyx,yPxP,??图像上，是函数221112x24?1．的两个点，且线段PP P的横坐标为的中点212P的纵坐标是定值；（Ⅰ）求证：点n????????mmNn,,? ,?1,?af2aa的前的通项公式为求数列m，（Ⅱ）若数列??nnn m??S项的和；m【变式训练】n?2?12n?3、已知数列项和.1求前aa44a?a?62?）...，0,2a，，，，，（-8+2n1 / 2.??a}{{}322n的:2、若数列的通项公式为满足等式bb?a?na?b n，求数列，数列nnnnn nS前项和n cos179cos178??cos3??cos1?cos2.的值3、求【过关练习】ba{{2，1.设数列，nba)=b,}b(a-a}=nS=2为等比数列，且的前项和为nnn111221a{）求数列（1}b}{的通项公式；和nn a c{c（2）设，求数列．n n T}=项和的前nnn b n{}已知2、Sa?b?2,a?b?27n a{b}是等比数列，，是等差数列，其前且项和为，4411nnn S?b?10.44{}）求数列1（a{b}的通项公式；与nn**（2）记T?12??2a?10bbT?ab?a?b?an?n?NN ）；证明，（，nnnn?n121nn1??2,xy lg?n2?n?nn12求和3、已知yx lg(x?S lg?x?y)lg(?y)?lg n2 / 2。
专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)
数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式. 【答案】12n n a += 【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.① ∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.② ∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=. 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前n 项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++=（ ）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+ ∵222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x， 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+， ∵()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯， ∵4038T =. 故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x xx+=+=+=++++， 因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a =====，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+=，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++， 又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++，则有219S =，192S =， 所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=. 故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005. 【解析】因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x x x f x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=. (I)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令 12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得 11(0)(1)11(1)(0)n n n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有 ,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有 ,2,n n kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。
倒序相加法过程
倒序相加法过程倒序相加法，听起来有点神秘，其实就像是玩一种数字的魔法游戏。
咱先来说说啥时候会用到倒序相加法呢。
比如说，有这么一个数列，1 + 2 + 3 + … + n。
这数列看起来普普通通的，可要是一个一个加起来，当n很大的时候，那可就费劲了。
这时候倒序相加法就可能像个超级英雄一样闪亮登场。
那这个倒序相加法到底咋操作呢？咱们就拿1 + 2 + 3 + 4 + 5这个简单的数列来说。
我们把这个数列正着写一遍，1 + 2 + 3 + 4 + 5，然后再把这个数列倒着写一遍，5 + 4 + 3 + 2 + 1。
这就好比是我们有了两个一模一样的队列，只是一个是正着排的，一个是倒着排的。
然后呢，我们把这两个数列对应着加起来。
1加5等于6，2加4等于6，3加3等于6，4加2等于6，5加1等于6。
你看，神奇的事情发生了，每一对相加的结果都是一样的，这里都是6。
那这样的对儿一共有几个呢？在这个数列里，有5个数，所以就有5对儿。
那这个数列的和就是这一对儿的和乘以对数。
这里一对儿的和是6，对数是5，所以这个数列的和就是6×5÷2 = 15。
为啥要除以2呢？因为我们刚刚是把这个数列写了两遍，加起来的和是原数列和的两倍呀。
再举个稍微复杂点的例子，1 + 3 + 5 + 7 + 9。
同样的，我们把它倒过来写，9 + 7 + 5 + 3 + 1。
然后对应相加，1加9等于10，3加7等于10，5加5等于10，7加3等于10，9加1等于10。
这里每一对儿的和都是10，一共有5对儿，但是我们写了两遍，所以这个数列的和就是10×5÷2 = 25。
这倒序相加法就像是给数列找了个双胞胎兄弟，然后让它们手拉手，一加一减就把和给轻松算出来了。
对于那些有规律的数列，特别是那种首项加末项的和是个定值的数列，倒序相加法就特别好使。
就像小时候分糖果，我们有一排小朋友，按照顺序有不同数量的糖果，要算总数很麻烦。
苏教版数学五年级下册教案整数加法运算定律推广到分数加法
苏教版数学五年级下册教案：整数加法运算定律推广到分数加法教学目标1.了解分数的本质及其表示方法。
2.掌握分数的加法运算。
3.学会将整数加法运算定律运用到分数加法中。
教学内容1.分数的本质及表示方法。
2.分数的加法运算。
3.将整数加法运算定律运用到分数加法中。
教学过程1. 分数的本质及表示方法1.教师引导学生思考：什么是分数？分数有哪些表示方法？2.教师讲解分数的本质及其表示方法，并通过带着分数的图形进行讲解。
2. 分数的加法运算2.1 分数的加法概念1.列举生活中的例子，引导学生了解分数加法的概念。
2.讲解分数加法的定义及其运算规则。
3.深入讲解相同分母的分数加法、不同分母的分数加法。
2.2 分数的加法运算方法1.以具体例子为切入点，引导学生了解分数的加法运算方法。
–相同分母的分数加法运算方法；–不同分母的分数加法运算方法。
2.通过大量的练习，让学生掌握分数的加法运算方法。
3. 将整数加法运算定律运用到分数加法中3.1 整数加法运算定律1.回顾整数加法运算定律及其证明。
2.分析整数加法运算定律的本质和规律。
3.2 将整数加法运算定律应用到分数加法中1.引导学生思考：如何将整数加法运算定律运用到分数加法中？2.教师提供实例，演示如何将整数加法运算定律应用到分数加法中。
3.让学生通过大量练习，掌握将整数加法运算定律应用到分数加法中的方法。
总结1.归纳总结分数的本质及其表示方法、分数的加法概念及其运算规则、整数加法运算定律在分数加法中的应用方法。
2.强调分数加法与整数加法的联系和区别，以及掌握分数加法的重要性。
教学评价通过相应的教学手段、方法、手段，检测和评价学生的学习情况。
可以评价学生的分数加法概念和实际分数加法运算能力。
同时，也能综合评价学生的综合素质，如分析、同理心、计算能力等。
总结本次教学中，我们重点讲解了分数的本质及其表示方法，分数的加法运算，以及将整数加法运算定律应用到分数加法中。
通过本次教学，学生们不仅能够掌握分数的加法运算方法及应用技巧，而且能加深对整数加法运算定律的认识，旨在提高学生们的数学思维能力和解决实际问题的能力。
苏教版数学五年级下册《解决问题的策略(倒推)》课件
解决问题的策略
大同小学：陶令
走一走
陶老师家住浏阳，每次来长沙的路线是 这样的：
浏阳
汽车东站
长沙火车站
大同小学
如果陶老师要按原路线返回浏阳，应该怎么走？
倒一倒
两杯果汁共400毫升
甲 乙
现在两杯果汁同样多
甲 乙
甲杯倒入乙杯40毫升
倒回去
原来两杯果汁各有多少毫升？
义务教育课程标准实验教材苏教版数学义务教育课程标准实验教材苏教版数学五年级下册五年级下册陶老师家住浏阳每次来长沙的路线是这样的汽车东站浏阳长沙火车站如果陶老师要按原路线返回浏阳应该怎么走大同小学走一走两杯果汁共400毫升甲杯倒入乙杯40毫升现在两杯果汁同样多倒回去甲乙甲乙原来两杯果汁各有多少毫升倒一倒玩一玩将四张扑克牌放在四个位置上将号位与号位的牌交换位置猜一猜将四张扑克牌放在四个位置上将号位与号位的牌交换位置将号位与号位的牌交换位置李清同学收藏了一些图书上个月他捐了自已图书的一半给灾区学校
小军收集了一些画片，他拿出画片的 一半还多1张送给小明，自己还剩25张。 小军原来有多少张画片？
想一想
我国唐代的天文学家、数学家张遂曾以
“李白喝酒”为题材编了一道算题：
李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗。
三遇店和花，喝光壶中酒。 借问此壶中，原有多少酒？
你能用已学的解题策略解答这道题吗？
1、先用自己的方法整理好题中的条件。
2、你准备用什么策略解决这个问题。
3、列式解答，然后与同桌轻声交流你的想法！
推一推
＋40
( 50 )
１、 ( 10 )
— 30
( 20 )
— 40 ２、 ( 40 )
五年级下册数学导学案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版
五年级下册数学导学案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版
一、教学目标
1.掌握用倒序相加法求和的方法；
2.能够根据题目要求，灵活运用倒序相加法求和。
二、教学内容
本节课的主要内容是倒序相加法的运用，通过这种方法帮助学生更好地进行加减法运算。
具体内容如下：
1.倒序相加法的定义和基本方法；
2.练习倒序相加法并运用到实战中。
三、教学重难点
1.掌握倒序相加法的方法；
2.学会运用倒序相加法解决实际问题。
四、教学步骤
4.1 导入新知
1.通过口算题目复习上节课所学内容；
2.引出本节课的主题——倒序相加法。
4.2 理论讲解
1.定义倒序相加法；
2.介绍倒序相加法的基本方法；
3.举例讲解倒序相加法的应用。
4.3 练习题讲解
1.通过练习题讲解倒序相加法；
2.对学生的疑问进行解答。
4.4 练习与巩固
1.通过小组合作的方式，让学生进行倒序相加法的练习；
2.帮助学生巩固所学知识。
4.5 反思总结
1.总结本节课的主要知识点；
2.收集学生的反馈和建议。
五、课后练习
1.完成课堂练习；
2.继续巩固倒序相加法的应用。
六、教学评价
通过本节课的讲解和练习，学生能够掌握倒序相加法的基本方法，并能够运用到实际问题中。
同时，通过小组合作的方式，也增强了学生的合作和沟通能力。
数列求和之错位相减法、倒序相加法教学提纲
数列求和之错位相减法、倒序相加法数列求和之错位相减法、倒序相加法1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。
步骤：此时可把式子的两边同乘以公比 q (q ¹0且 q ¹1)，得到，两式错位相减整理即可求出S n .2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例1】已知数列211,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和.【例2】已知 a n {}是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6=55,a 2+a 7=16（Ⅰ）求数列a n {}的通项公式：（Ⅱ）若数列 a n {}和数列 b n {}满足等式:2n n nab =，求数列 b n {}的前n 项和S n .【例3】求和：2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L【例4】已知函数()()R x x f x ∈+=241，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈⎪⎭⎫⎝⎛=，求数列{}n a 的前m 项的和m S ；【变式训练】1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3n a -求前n 项和.2、若数列{}n a 的通项公式为23nan =+，数列 b n {}满足等式:2n n n b a =，求数列b n {}的前n 项和S n3、求cos1cos 2cos3cos178cos179+++++o o o o o L 的值.【过关练习】1. 设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1，（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．2、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）记n n n n b a b a b a T 1211+++=-Λ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）；3、已知()lg 2,xy =求和122lg lg()lg()lg n n n nn S x x y x y y --=++++L。
数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)教学提纲
考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{n a }共有2k 项（2≤k 且k ∈N *），数列{n a }的前n 项的和为n S ，满足1a =2，1n a + =（p －1）n S +2（n =1，2，3，…，2n －1），其中常数p ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若p =2212k -，数列{n b }满足21log n b n=（12n a a a ⋯）（n =1，2，…，2n ），求数列{n b }的通项公式（3）对于（2）中的数列{ n b }，记3||2n n c b =－，求数列{n c }的前2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n =1时，2a =2p ，则21a p a =， 当2≤n 时，112n n a p S +=+（－），-112n n a p S =+（－）， ∴11n n n a a p a +=－（－），即1n n a pa +=， ∴1n na p a +=， 故数列{n a }是等比数列．（2）由（1），得12n n a p -=（n =1，2，…，2n ），∴(1)123121222n nn n nn a a a pp-+++⋯+-⋯==2(1)(1)21221222n nn n n nk k --⨯+--==， 2121log n nb a a a n =⋯（） =1(1)()21n nn n k -+- =(1)121n k -+-，（n =1，2，…，2n ）， 即数列{b n }的通项公式为(1)121n n b k -=+-，（n =1，2，…，2n ）．（3）3||2n n c b =-，设32n b ≤，解得n ≤12k +， 又n 为正整数，于是：当n ≤k 时，32n b ＜；当n ≥k +1时，32n b ＞，∴数列{n c }的前2k 项的和：2122123333 (2222)k k k T b b b b -=-+-++-+- 12122333333()()...()()()...()222222k k k k b b b b b b ++=-+-++-+-+-++- 12212b k k k k b b b b b ++=++⋯+++⋯+（）－（）[][]11(1)...(21)12...(1)2121k k k k k k =++++--+++--- 221k k =-． 2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{n a }的前n 项和记为n S ，且234n S n n =-+．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设3n n na b =，记数列{n b }的前n 项和记为n T ，，求证：2536n T ≤＜. 【考点】错位相减法求和【解】（1）当n =1时，12a =，当n ≥2时，124n n n a S S n -=-=-，故2,124,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，（2）2,13243,23n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩，其中123T =，当n ≥2时，22024...333n nn T -=+++①，23112024...3333n n n T +-=+++②，∴①－②得，231222224 (33333)n n n T +-=-++-， ∴521623n nn T -=-⨯(2)n ≥，由于0n b ≥，∴2536n T ≤＜． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列{}n a 中，11a =，二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12，（1）试证明{}2nn a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S ＜成立的n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， ∴n a ≠0，1211222n n n a a -+--=⨯，整理得11122n nna a +=+， 左右两边同时乘以12n +，得11222n n n n a a ++=+，即11222n n n n a a ++-= (常数)，∴{}2nn a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴222(1)2nn a n n =+-=，∴1222n n n n n a -==． （2）∵ 012211231...22222n n n n nS ---=+++++， ①12n S = 12311231 (22222)n n n n--++++， ②①-②得：1231111111121 (1222222212)n n n n n n n S --=++++-=--， 整理得 1242n n n S -+=-．∵ 113214(4)0222n n n n n n n n S S +-+++-=---=＞，∴ 数列{n S }是单调递增数列． ∴ 要使n S ＜3成立，即使12432n n -+-＜，整理得n +2>12n -， ∴ n =1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{n a }的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立． （1）求常数k 的值以及数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }中的部分项123n k k k k a a a a ⋯，，，⋯，，恰成等比数列，其中1k ＝2，,3k ＝14，求1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．【解】（1）法一：条件化为na k＋对n∈*N成立．设等差数列公差为d，则1(1)a n d k ＋－＋．分别令n＝1，2，3得：1112a ka d ka d k⎧=+⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩①②③由①＋③－2⨯②得，=．两边平方得，14a d＋＝．两边再平方得，2211440a a d d－＋＝．解得d＝21a．代入②得，13a k＋，④由④－①得，1a．所以1a＝0，或1a＝1．又当1a＝0时，d＝0不合题意．所以1a＝1，d＝2．代入①得k＝1．而当k＝1，1a＝1，d＝2时，221n nS n a n＝，＝－，等式2()2nna kS+＝对n∈*N成立．所以k＝1，21na n＝－．法二：设等差数列的首项为1a，公差为d，则211(1)()222nn n d dS na d n a n-＝＋＝＋－，11(1)()na a n d dn a d＝＋－＝＋－．．代入2()2nna kS+＝得，22111()[()]224d dn a n dn a k d＋－＝＋＋－，即22221112(42)2()()dn a d n d n d a k d n a k d＋－＝＋＋－＋＋－．因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，21112422()d da d d a k da k d⎧=⎪-=+-⎨⎪+-=⎩因为d ≠0，所以解得，1211d a k =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以常数k ＝1，通项公式21n a n ＝－． （2）设n n k c a ＝，则数列{n c }为等比数列，且1312314327k k c a a c a a ＝＝＝，＝＝＝． 故等比数列{n c }的公比q 满足2319c q c ＝＝． 又n c ＞0，所以q ＝3．所以111333n n n n c c q⨯－－＝＝＝．又21n n k n c a k ＝＝－，所以213nn k －＝．由此可得11322nn k ⨯＝＋．所以2121322n n n n n a k --⨯＝＋． 所以1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋123113355(3)(3)(3)222222=⨯++⨯++⨯+2121(3)22n n n --++⨯+L 1231[133353(21)3]2n n =⨯+⨯+⨯++-⨯L1[135(21)]2n +++++-L 123211[133353(21)3]22n n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+L ． 法一：令123133353(21)3nS n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ， 则3S =++++2311333(23)3(21)3nn n n +⨯⨯-⨯-⨯L ，两式相减得:=++++23123232323(21)3nn S n +-⨯⨯⨯--⨯L ，113(13)23(21)3213n n S n +⎡⎤-=-⨯---⨯⎢⎥-⎣⎦ 113(13)3(21)32n n n +⎡⎤=------⨯⎣⎦ 1112(1)36(1)332n n n n ++⎡⎤=---⨯-=-⨯+⎣⎦,代入得+++1122n n a k a k a k L 121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦． 法二：因为1(21)3[(1)2]3(2)3kk k k k k +-⨯=+-⨯--⨯1(1)3k k +=-⨯-(2)3k k -⨯．所以213243[03(1)3][1303][2313]S =⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 1[(1)3(2)3]n n n n +++-⨯--⨯L 1(1)33n n ⨯＋＝－＋．代入得1122n n a k a k a k ⋯+++121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦.5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记*,n n n c a b n =∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得4a =2+3d ，342b q =，486S d =+由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组332322186230d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩ 所以*12n n n a n b n =+=∈N ，，. (2)由题意知，(1)2nn c n =+⨯.记123n n T c c c c =++++L .则123n n T c c c c =++++L =231223242212n n n n -⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （）， 23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （），所以2311=22(2222)(1)2n n n n T n -+-⨯+++++-+L ，1*2()n n T n n +=⨯∈N .6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{n a }为等比数列，其中1a =1，且2354a a a a +，，成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式：（2）设21n n b n a =⋅（﹣），求数列{n b }的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{n a }中，公比为q ， ∵11a =，且2354a a a a +，，成等差数列，∴35242a a a a +=+（），∴2432q q q q +=+（），和为________． 【答案】 75 8．已知函数()22,n n f n n n ⎧⎨-⎩当为奇数时＝,当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100+a a a a +L ＋＋等于________． 【答案】 100【分析】 由题意，得123100+a a a a +L ＋＋＝2222222222221223344599100100101------L ＋＋＋＋＋＋＝(12)(32)(99100)(101100)--L ＋＋＋＋＋＋＋ ＝(1299100)(23100101)-L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5010150103100-⨯⨯＋＝.9．数列12a ＋，L ，2k a k ＋，L ，1020a ＋共有十项，且其和为240，则1a L ＋＋10k a a L ＋＋的值为________．【答案】 130＝240－110＝130.10．(2015·泰州质检)已知数列{}n a 满足11a ＝，*12()n n n a a n ⋅∈N ＋＝，则2016S =________. 【答案】 1008323⋅-∴201612345620152016S a a a a a a a a L ＝＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝13520152462016()()a a a a a a a a L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________．12．(2015·扬州测试)在数列{}n a 中，11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2013S ＝________. 【答案】 －1005【分析】 由11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋可得22a -＝，31a -＝，40a ＝，51a ＝, 该数列是周期为4的数列，所以20131234 2 013503()503(2)1S a a a a a ⨯-＝＋＋＋＋＝＋＝ 1005-.13．(2014·济南模拟)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3224S S ＝＋，536a ＝.(1)求n a ，n S ；【解】(1)因为3224S S ＝＋，所以14a d --＝， 又因为536a ＝，所以1436a d ＋＝.解得d ＝8，14a ＝，所以48(1)84n a n n --＝＋＝，(2)241(21)(21)n b n n n --＝＝＋，14．(2015·石家庄模拟)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅＝，3432a a ⋅＝.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为2*()n S n n ∈N ＝，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a ＞，0q ＞，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a －＝.(2)由2n S n ＝得()21(1)2n S n n --＝≥，∴当2n ≥时，121n n n b S S n ---＝＝，当n ＝1时，11b ＝符合上式， ∴*21()n b n n -∈N ＝，∴1(21)2n n n a b n -⋅-⋅＝.12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅L ，2312123252(23)2(21)2n n n T n n ⋅⋅⋅-⋅-⋅L －＝＋＋＋＋＋，两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n ----⋅--⋅-L ＝＋＋＋＋＝， ∴(23)23nn T n -＝＋.15．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n --＋＋＝，则{}n a 的前60项和为________．【答案】 1830【分析】 ∵1(1)21nn n a a n --＋＋＝，∴211a a ＝＋，312a a -＝，417a a -＝，51a a ＝，619a a ＝＋，712a a -＝，8115a a -＝， 91a a ＝，10117a a ＝＋，1112a a -＝，12123a a -＝，L ，571a a ＝，581113a a ＝＋， 5912a a -＝，601119a a ＝－，所以111333n n nn a a q --⨯＝＝＝，n 项和，则21S ＝________. 【答案】 6偶数项分别相等，则2111a a ＝＝，211234()()S a a a a L ＝＋＋＋＋1920()a a ＋＋18．(2015·长沙模拟)已知函数()()2cos f n n n π＝，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则12a a ＋3100a a L ＋＋＋＝________.【答案】 －100【分析】 若n 为偶数，则()22(1)(1)(21)n a f n f n n n n --＝＋＋＝＋＝＋，为首项为25a -＝，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝ 22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列． 所以123100139924100()()a a a a a a a a a a L L L ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋________．【答案】 5即S ＝5. 20．在数列{}n a 中，15a -＝，22a -＝，记()12n A n a a a L ＝＋＋＋，()23B n a a ＝＋1n a L ＋＋＋，()*342()n C n a a a n ∈N L ＋＝＋＋＋，若对于任意*n ∈N ，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}||n a 的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得2121253n n a a a a ---＋＋＝＝＋＝，∴数列{}n a 是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴53(1)38n a n n ---＝＋＝.(2)38,2||=38,3n n n a n n -+⎧⎨-⎩≤≥， 记数列{}||n a 的前n 项和为n S .21. (2014·广州综测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2()n S n pn q p q ∈R ＝＋＋，，且2a ，3a ，5a 成等比数列． (1)求p ，q 的值；(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b ＋＝，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解】(1)当n ＝1时，111a S p q ＝＝＋＋， 当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝22[(1)(1)]n pn q n p n q ---＋＋＋＋ ＝21n p -＋. ∵{}n a 是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又23a p ＝＋，35a p ＝＋，59a p ＝＋， ∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即2(5)(3)(9)p p p ＋＝＋＋， 解得p ＝－1.(2)由(1)得22n a n -＝.∵22log log n n a n b ＋＝，∴221224n an n n b n n n --⋅⋅⋅＝＝＝.∴1231n n n T b b b b b -L ＝＋＋＋＋＋0122142434(1)44n n n n --⨯⨯⋅⋅L ＝＋＋＋＋－＋，① 1231442434(1)44n n n T n n -⨯⨯-⋅⋅L ＝＋＋＋＋＋，②①－②得0121344444n n n T n ---⋅L ＝＋＋＋＋。