解析几何中用几何意义解题的几种常用模式
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
解析几何解题思路总结
解析几何巧妙解题思路总结解析几何巧妙解题思路总结一．直线和圆的方程一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、两点式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域．．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.1.求参数的值求参数的值求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一求参数的值是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,构造方程解之构造方程解之. . 例1．（2009年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线222y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 2. 求线段的长求线段的长求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一求线段的长也是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,找出点的坐标找出点的坐标,,利用距离公式解之离公式解之. .例2．（2009年四川卷)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3 B.4 C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x bì=-+Þ++-=Þ+=-í=+î，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-´-=．故选C 例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =\=∴12345677277535.2aPF P F P F P F P F P F P F a ´++++++==´=´= 故填35. 考点3. 3. 曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,,其解法为充分利用其解法为充分利用: : (1)(1)椭圆的离心率椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁越大则椭圆越扁); );(2) (2) 双曲线的离心率双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, (1, ＋∞＋∞＋∞) (e ) (e 越大则双曲线开口越大越大则双曲线开口越大). ).结合有关知识来解题结合有关知识来解题. .例4．（2008年全国卷）文（年全国卷）文（44）理（）理（44）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：解答过程： 2,4,ce c a=== 所以22,12.a b \==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．（2008年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（到右准线的距离之比等于（ ）A. 2B.332 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.4.求最大求最大求最大((小)值求最大求最大((小)值, , 是高考题中的热点题型之一是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是特别是,,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. .例6．(2006年山东卷年山东卷))已知抛物线y 22=4x,=4x,过点过点P(4,0)P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-\-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k \-++=+æö\+=+=´=+³ç÷èø 故填32. 考点5 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为的圆心为 (m, n) 则,222,m n n =-ìïí×=ïî 解得2,2.m n =-ìí=î所求的圆的方程为所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得由已知可得 210a = ， 5a =． 椭圆的方程为椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin q q -++使QF OF =, ()()22222cos 4222sin 4q q-+-++=．整理得整理得 s i n 3c o s 22q q=+， 代入代入 22sin cos 1q q +=． 得:210cos 122cos 70q q ++= , 122812222cos 11010q -±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22³=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的轴的 正半轴相交于正半轴相交于 A 与点B. 直线直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点（Ⅰ）求点 A 的横坐标的横坐标 a 与点与点 C 的横坐标c 的关系式；的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t y c x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta c a将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得解得 )2(22+++=a a c . （II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b+=，222222x y 1a b +=，二式相减得：，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =， 则c2e a 2==；（2）椭圆E 的右准线为22a(2c)x 2c cc===，双曲线的离心率11e 2e==， 设P(x,y)是双曲线上任一点，则：是双曲线上任一点，则： 22(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |-+-==--，两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：典型例题：例10．(2008年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y=x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）当12PQ QA QB l l ==，且3821-=+l l 时，求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=, 由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，\对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线的一条渐近线\3ba = 解得解得 221,3ab ==，\双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. 111111114444()44x k k x k k y y l l l l ì=--ìï-=+ïï\Þííïï-==-îïî 11(,)A x y 在双曲线C 上，上，\2121111616()10k l l l +--=. \222211161632160.3k k l l l ++--=\2221116(16)32160.3k k l l -++-=同理有：2222216(16)32160.3k k l l -++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k \-¹12,l l \是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k l l \+==--,24k \=，此时0,2k D >\=±. \所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA l = ， Q \分PA的比为1l . 由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y l l l l l l l ìì-==-+ïï+ïï®íí+ïï=-=ïï+îî下同解法一下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB l l == ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkl l \--=+=+. 11224y y l l \-==， 114y l \=-，224y l =-，又1283l l +=-，121123y y \+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -¹ ，否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -\+==--. 222244833233k k k -\´=´--.2k \=±(2,0)Q \±. 解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k- 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. \1114444k kx x kl -==-++.同理同理 1244kx l =-+. 1212448443kx kx l l +=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+ìïí-=ïî消去y 得22(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -¹. 由韦达定理有：由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ì+=ïï-íï=-ï-î代入（*）式得）式得24,2k k ==±. \所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11．（2007年江西卷理）年江西卷理）设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．的双曲线．方程为：2211x y l l-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．在双曲线上．即2111511012l l l l l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l lì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû， 由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kl l l =--=--．因为0=×ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l ll -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î． 由①②知，51223l -<≤．解法2：（1）同解法1 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB l l l l l=-=Þ+-=-，因为01l <<，所以512l -=； ②当12x x ¹时，002222212111111y x k y x y xMN ×-=Þïïîïïíì=--=--l l l l l l ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x l l l -=-；由2MON p =∠得222002MN x y æö+=ç÷èø，由第二定义得2212()222MN e x x a æö+-éù=ç÷êúëûèø 22000111(1)211x x x l l ll æö=--=+--ç÷--èø． 所以2220(1)2(1)(1)y x x l l l l -=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x l l l l l l l ì-=-ïí-=--+-ïî得20(1).23x l l -=-因为01x >，所以2(1)123l l->-，又01l <<，C BA oy x解得：51223l -<<．由①②知51223l -<≤．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA2BC = ，求当AOB D 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1ì+=í=+î得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3D =-=+＝66322|m ||m |£+， 当23m 2=，即6m 2=±时，AOB D 面积取最大值，面积取最大值，此时2122222t32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为6x y 102±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知P A (x 5,y)=+，PB (x 5,y)=- ，且|P A||P B|6+= ， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，因为|P A ||PB|6+=，且|AB|256=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =q =q ， 则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4pq +-，当cos()14pq +=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，当cos()14pq +=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷）年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==\=-=-圆过点O 、F ， \圆心M 在直线12x =-上. 设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±\所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+¹代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，\方程有两个不等实根. ylG ABF OF EP DBA Oy x记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB \的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++¹\-<<\点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF| 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ×=×；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22|OB |a|OA |c |OF|== ，即2a A(,0)c ， 直线l ：ay (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y xa ì=--ïïÞíï=ïî， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c×=-=×，即PA OP PA FP ×=× ；（或P A (OP FP)P A (PF PO)P A OF 0×-=×-=×=，即PA OP PA FP ×=× ） （2）由44422222222222222ay (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ì=--ïÞ-+-+=íï-=î，由4222212422a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e 2.>Þ=->Þ>Þ>（或由DFDO k k >Þa bb a->-Þ2222222222b c a a e 2e 2=->Þ>Þ>）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+^- ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+¹与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围. 解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)+=+，a 3b -＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)-=--， 因(a 3b)(a 3b)+^- ，故(a 3b)(a 3b)0+×-=，即22(x 3,3y)(x 3,3y)x 3y 30+×--=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx mx 3y 3=+ìí-=î得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0D =----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k=+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，PQCBA xy O则由222m 13k 04m 3k 1ì+->ïí=-ïî得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+¥ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0×= ，|BC|2|AC|=， （1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ Ð的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==Þ= ，又AC BC 0×=AC OC Þ^，即ΔOCA 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1ì+=ïÞ+--+--=íï=-+î， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=×=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+， 故P Q P Q PQ P Q P Q yy k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC D 的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =l ，（1）求点C 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OPOQ 0×= 若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33， 因为GM AB =l ，所以GM //AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC D 的外心，则|MA ||MC |=，即2222x x ()a (x)y 33+=-+，整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=¹；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-ìïí+=¹ïî得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0×=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a13k 13k --+=++，解之得k 3=±，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y 3(x a)=±-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 专题训练与高考预测专题训练与高考预测一、选择题一、选择题1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（），那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（为（ ） A.15x y 2=± B. 15y x2=± C. 3x y 4=± D. 3y x 4=± 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，轴， 且12FMF 60Ð=°，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B.22 C.33 D.324．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]Î--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（的取值范围是（ ）A.23[,]22B. 35[,]22C.56[,]22D. 36[,]225．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（的取值范围是（ ）A.(2,2)-B.(1,2)C.[2,2)-D.[1[1,,2)6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（抛物线的焦点的轨迹方程为（ ） A. 22xy1(y0)34+=¹B. 22x y 1(y 0)43+=¹ C. 22x y 1(x 0)34-=¹ D. 22x y 1(x 0)43-=¹二、填空题二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，若021=×PF PF 21tan 21=ÐF PF ，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，轴正方向上的一定点，若过点若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ . 9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ×=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；F 2F 1A 2A 1PNM oy x FQoyx②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题三、解答题 11．已知两点A(2,0)，B(2,0)-，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ×=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，两点， （1）求双曲线C 的方程；的方程；（2）求证：12FM F N × 是定值. 13．已知OFQ D 的面积为S ，且OFFQ 1×= ，建立如图所示坐标系，，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF|2= ，求直线FQ 的方程；的方程；（2）设|OF|c(c 2)=³，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0×= ，3PM MQ 2=-，BAMQ E T HP o yx（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE D 为等边三角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NPNM PN PM MN MP ×××,,成公差小于零的等差数列，数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，q 为PN PM 与的夹角，求tan θ．参考答案参考答案一. 1．C .提示，设双曲线方程为提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=l ，将点(6,3)代入求出l 即可. 2．D .因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m 5n ,0)-，双曲线焦点为22(2m 3n ,0)+，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |22|n |=，所以，双曲线的渐近线为6|n |3y x 2|m |4=±=± . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |3d =，11212|FF |c 2c 3d3e a2a|MF ||MF |d 2d 3=====++ . 4.C .曲线为双曲线，且曲线为双曲线，且512>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=×PF PF ，∴21PF PF ^ . 又21tan 21=ÐF PF ∴ïïïîïïïíì==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：255()93,cc e aa === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由，由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 22+2y 22=12 34021x x x =+，31222021-=×x x x ，则，则 2020221221212363234889164)(||x x xx x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -×+=，即202363223144x -××=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =×=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，P A (2x,y)=-- ，PB (2x,y)=---，22P A PB x 2y ×=-+ ，因为2PA PB 2PQ ×= ，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x 2)(0k 1)=-<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，的直线上， 设此直线为1m :y kx b =+，由2|2k b |2k 1+=+，即2b 22kb 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0D =---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：25k 5=，10b 5=，此时，由方程组222510y x C(22,10)55y x 2ì=+ïÞíï-=î . 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+ ，200A P (x 2,y )=- ，1110A M (,y )3= ，222A N (,y )3=- ， 因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113F M (,y )3= ，225F N (,y )3=-， 所以12FM F N ×＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-´--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2= ，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=- ，0OF FQ 2(x 2)1×=-= ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=×== ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=³，则00FQ (x c,y )=- ，)))设椭圆方程为22x y a b +=222594a4b í+=ïî所以，椭圆方程为x y106+=MQ 2-)2-Q(,0)3)(x,)22-22(k 2)k -，2(,)k k-2(x )k k k-=--2k=+2E(k+的距离等于3|2221212(x x )(y y )=-+-＝22241k 1k k -×+，所以，422231k 21k k |k |-=+，解得：3k 2=±，011x 3= . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= . ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a bac b -=-2，∴b=c,故22=e . （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c q ==Ð=\+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r q +-+--===-³-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[pÎ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得）得(1,),PM MP x y =-=--- ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以所以 )1(2x MN MP +=× . 122-+=×y x PN PM ， )1(2x NP NM -=× . 于是，于是， NP NM PN PM MN MP ×××,,是公差小于零的等差数列等价于是公差小于零的等差数列等价于îîïíì<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 îíì>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
专题精品课件4--解析几何解答题的解法
解析几何解答题的解法
应试策略
2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识
(1)直线和圆 ①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是： 0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率. ②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条 件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其 是要注意斜率不存在的情况. ③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个 数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何 特征较为简捷、实用.
解析几何解答题的解法
试题特点
2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有
2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中
点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年 及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年 全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等．以后还会讨论多边形的问题.
解析几何解答题的解法
应试策略
②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F（±c,0）时，标准方程为 x2
y
2
=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）
时，标准方程为y 2
x2
a2 b2
怎样用直线的参数方程中参数的几何意义解题
备考指南解析几何中的长度（距离）问题通常较为复杂，且运算量较大.此时若巧妙地设出直线的参数方程，从其参数的几何意义入手，便能大大加快解题的速度，提升运算结果的准确率.过点P 0（x 0,y 0），倾斜角为α的直线参数方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α.(t 为参数)对任意参数为t ，直线上任意点M ，有t = P 0M ，当M 在P 0的上方时，t >0；当M 在P 0的下方时，t <0；当M 与P 0重合时，t =0,||P 0M =|t |.若已知直线上的点，我们便可引入参数，设出直线的参数方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义进行求解，下面举例说明.例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(-17,0),F 2(17,0),点M 满足||MF 1-||MF 2=2，记M 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）设点T 在直线x =12上，过点T 的两条直线分别与C 交于A ,B 和P ,Q ，且||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |，求直线AB 的斜率和直线PQ 的斜率之和.解：（1）x 2-y 216=1(x ≥1)；(过程略）（2）设T æèöø12,m ，AB 倾斜角为α，PQ 的倾斜角为β，直线AB 参数方程为ìíîïïx =12+t cos α,y =m +t sin α,(t 为参数)①直线PQ 参数方程为ìíîïïx =12+t cos β,y =m +t sin β,(t 为参数)②将①代入x 2-y 216=1(x ≥1)得()16cos 2α-sin 2αt 2+()16cos α-2m sin αt -()m 2+12=0，由直线的参数方程中参数的几何意义，设||TA =|t 1|,||TB =|t 2|,结合图形可知，A ,B 均在点T 的同侧，所以||TA ∙||TB =t 1t 2=m 2+12sin 2α-16cos 2α，同理可得||TP ∙||TQ =m 2+12sin 2β-16cos 2β，由||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |得m 2+12sin 2α-16cos 2α=m 2+12sin 2β-16cos 2β，得sin 2α=sin 2β，又0<α<π,0<β<π，且α≠β所以α+β=π，tan α+tan β=0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.||TA 、||TB 、||TP 、|TQ |均是与点T 有关的距离，容易联想到直线的参数方程中参数的几何意义，于是设出直线AB 、PQ 的参数方程，利用直线参数方程中参数的几何意义来解题.这样能回避运用两点间距离公式、根与系数的关系、倾斜公式，讨论角的取值范围带来的繁琐运算.例2.已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴交点为P ，与C 的交点为Q ，且||QF =54|PQ |.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解：（1）C 的方程为y 2=4x ；（过程略）（2）设l 的倾斜角为α，中点为P (x 0,y 0)，因为l ′与l 垂直，所以l ′的倾斜角为π2+α，设l 的方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,(t 为参数)①l ′的方程为ìíîïïx =x 0+t cos (α+π2),y =y 0+t sin (α+π2),(t 为参数)②将①代入y 2=4x 得sin 2αt 2-4cos αt +y 20-4x 0=0，PA ,PB 对应的参数分别为t 1与t 2，则t 1t 2=y 20-4x 0sin 2α，得||PA ∙||PB =4x 0-y 20sin 2α，同理可得||PM ∙||PN =4x 0-y 20sin 2æèöøπ2+α=4x 0-y 20cos 2α，由A ,M ,B ,N 四点共圆得||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，所以4x 0-y 20sin 2α=4x 0-y 20cos 2α，又点P (x 0,y 0)不在l 上，所以4x 0-y 20≠0，可得sin 2α=cos 2α，所以tan 2α=1，即tan α=±1，又l 过点F （1,0），所以l 方程为x -y -1=0或x +y -1=0.本题若采用常规方法，需运用弦长公式及两点间的距离公式，运算量很大.由四点共圆可联想到圆中相交弦定理，得到||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，再利用直线的参数方程中参数的几何意义，建立关于P 点坐标以及α的关系式，便可求得直线的方程.综上所述，利用直线的参数方程中参数的几何意义，能有效地简化运算，提升解题的效率.在运用参数方程解题时一定要注意：（1）采用直线参数方程的标准形式（参数的系数的平方和为1）；（2）结合图形找到所求距离对应的参数.（作者单位：湖南省地质中学）涂应良53。
解析几何中最值问题的九种解题策略
解析几何中最值问题的九种解题策略（广东省封开县江口中学 526500） 黎伟初解析几何中涉及最值问题常有求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
这些问题的处理有九种解题策略。
一．代数策略 解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的关系。
是一门用代数方法研究几何问题及用几何意义直观反映代数关系的学科。
因此在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件具有明确的互动函数关系时，不妨可考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决。
1．二次函数法 利用二次函数求最值要注意自变量的 取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。
例1．若椭圆14922=+y x 上点P 到定 点A （a ，0）（0＜a ＜3）的距离最短是1 ，则实数a 的值是 分析：设椭圆上一点P （3cos θ，2sin θ），()()220sin 2cos 3)(-+-==θθθa f PA ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2254453cos 5a a θ① 当350≤<a 时，因为1530≤<a ，所以 当a 53cos =θ时， 有f （θ）= 1544)53(arccos 2=-=a a f ，得)(35215)(215舍或舍>=-=a a 。
② 当335<<a 时，因为59531<<a ，所以当cos θ=1时，)0()(min min f f =θ1544)531(522=-+-=a a ，得a =2 或a = 4（舍）， 综上得a = 2． 2．单调性 若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。
例2．已知圆C ：（x + 4）2 + y 2= 4， 圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 相外切，圆D 与y 轴交于A 、B 点，点P 为（–3，0），当点D 在y 轴上移动时，求∠APB 的最大值。
巧用解几模型解题七法
巧用解几模型解题七法陆志昌【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】1989(000)011【摘要】众所周知,整个解析几何的思维方法,可以通俗地概括为两句话:几何问题代数化,图形性质坐标化。
在数学题中,有很多不易被我们发现的隐含的解几模型,一旦隐含条件被发掘出来,充分运用解析几何模型来解题,大有以简驭繁、化难为易,新颖轻巧,别有奇妙之效,现就巧用解几模型的七种方法举例说明如下: 一、巧用两点间距离、点到直线的距离例1 求证（x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>+(x<sup>2</sup>+（1-y）<sup>2</sup><sup>1/2</sup>+（1-x）<sup>2</sup>+y<sup>2</sup><sup>1/2</sup>+（1-x）<sup>2</sup>+（1-y）<sup>2</sup><sup>1/2</sup>≥22<sup>1/2</sup>. 把代数式（x<sub>1</sub>-x<sub>2</sub>）<sup>2</sup>+（y<sub>1</sub>-y<sub>2</sub>）<sup>2</sup><sup>1/2</sup>视为两点P<sub>1</sub>（x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>）、P<sub>2</sub>（x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>）间的距离,从而把这类问题转化为平凡中的线段问题.【总页数】3页(P16-18)【作者】陆志昌【作者单位】太原幼师【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.巧用解几模型解题实例 [J], 秦红岩2.巧用数学模型实现快速解题 [J], 黄小萍3.巧用模型一题多解,提升解题应变能力——以2017年深圳市中考数学第23题为例 [J], 李璐华4.巧用模型好解题 [J], 赵平5.巧用反比例函数k的几何意义模型解题 [J], 黄秋燕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
解析几何中的参数方程
解析几何中的参数方程解析几何是研究几何图形及其相关量的数学分支，它的方法是利用代数和解析工具来研究空间中的几何对象。
参数方程是解析几何中的一种重要工具，它通过引入参数来给出曲线上点的坐标，进而使得曲线的性质更易于研究。
本文将从几何直观、符号解释以及几何应用等方面来解析几何中的参数方程。
一、几何直观解析几何中的参数方程的基本思想是通过引入参数所构成的函数，使得曲线上任意一点(x, y, z)都可以表示为某个参数t的函数，即：x = x(t)y = y(t)z = z(t)其中t是自变量，常常被称为参数。
这种表示法将曲线表达为以自变量t作为参数的函数形式，因此被称为参数方程或者参数式。
从几何上看，参数方程可以看作是一种在空间中运动的“机器人”，不断调整自己的参数值，从而产生一条曲线，如图1所示。
（图1 参数曲线）参数方程的优点在于它可以描述一些曲线的特殊性质，比如对于一个平面曲线，如果形状比较复杂，很难用一般的函数式表达式来描述，此时采用参数方程就可以轻松地完成这一任务。
例如，我们考虑一个圆的参数方程：x = r costy = r sint其中r为圆的半径，参数t变化范围为0到2π，代表旋转角的取值，当t从0变化到2π时，可以得到整个圆的轮廓。
这个参数方程的几何意义是，我们可以设想一个点在圆上运动，它的横坐标和纵坐标分别等于该点的极坐标表示中的r和θ，其中t可以看成时间，表示时间的推移，t每增加一个单位，就让这个点沿着圆弧运动了一个单位。
二、符号解释对于一条曲线，我们通常采用向量的表示方法来建立它的参数方程。
假设有一条曲线C，其中P(x, y, z)是曲线上的一个点，Q(x+h, y+k, z+l)是曲线上离点P一步长度的点，如图2所示：（图2 离点P一步长度的点Q）那么向量QP有如下的分解：QP = h i + k j + l k其中i、j、k分别表示沿x、y、z轴正方向的单位向量。
因此，曲线C可以表示为：P(x, y, z) = P(x(t), y(t), z(t))Q(x+h, y+k, z+l) = P(x(t+Δt), y(t+Δt), z(t+Δt))则有向量QP可以表示为：QP = Q(x+h, y+k, z+l) - P(x, y, z)= [x(t+Δt) - x(t)] i + [y(t+Δt) - y(t)] j + [z(t+Δt) - z(t)] k= Δx i + Δy j + Δz k其中Δx、Δy、Δz为向量QP在三个方向上的分量。
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解析几何中用几何意义解题的几种常用模式
解析几何的实质是用代数的方法研究几何对象，数形结合是解析几何最重要的思想方法，因此，如何赋予某些代数量以几何意义，从而通过它们的几何意义解题是解析几何的重要课题。
下面介绍截距、斜率、距离等几种解析几何中常用的解题模式。
一、截距模式
把所求的目标量转化为截距，并借助截距的几何意义解题称为截距模式。
例1． 已知342+-≥x x y ，7≤+y x ，求y x -2之最值。
分析：本题为已知区域的双参数问题，直线求解显然是较困难的，考虑变量代换，令t y x =-2，则t -即为直线02=--t y x 在y 轴上的截距b 。
解：由条件，342
+-≥x x y 及7≤+y x 表示的区域为图一的阴影部分， 由⎩⎨⎧=+-+-=0
2342b y x x x y 消去y 后令0=∆的直线与抛物线相切时
的2L 的位置时b b -=2，此时b y x b t =-=-=max )2(，
又由⎩
⎨⎧=++-=7342y x x x y ⇒)8,1(-A ，)3,4(B . 不难知直线经过)8,1(-A 时（即1L ）截距最大，从而
10)2(min -=-=-=y x b t ，
∴6max =t ，10min -=t .
例2． 求函数t t t f ---=42)(之最值.
解：令x t =-4，y t =，则)0,0(422≥≥=+y x y x ，且
y x t f --=2)(，
∴y x t f b +=-=2)(，即为直线b x y +-=2的截距，不难求得
52)(max -=t f .
点评：运用直线在y 轴的截距解决所求问题，非常直观、简洁。
解此类问题往往通过平移来实现，同时还须注意目标量与截距是否同号。
二、斜率模式
用直线的斜率的几何意义解题的模式叫斜率模式。
例3．已知x 、y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤+≤0,043222y x x y x y ， （*） （1） 求
4
2-+x y 之最值 （2） 若y ax z +=的最优解有无数多组，求a 之值。
解：（1）考虑到4)2(42---=-+x y x y ，即为满足条件（*）的区域内的任一点),(y x M 与定点)2,4(-P 连成的斜率。
由图三可知，在过P 点的直线L 中L 1与L 2为极端位置，
当L 由L 1绕P 转到L 2时，斜率k 的范围是1≥k 或21-
≤k ，从而4
2-+x y 无最值 （2）要使目标量y ax z +=的最优解有无数多组，当且仅
当直线z ax y +-=与直线（*）
的边界重合（a 存在）， 从而0=a 或2=a 或32-
=a 思考：在本题中，若条件（*）中添加z y x ∈,
例4． 已知R ∈θ,求
θθcos 24sin 3--的范围. 解:令θ
θcos 2sin 3--=k 并设()()3,2,sin ,cos Q P θθ,则P 点坐标满足122=+y x ,即P 为圆122=+y x 上的动点,k 为直线PQ 之斜率.不难求得33
223322+≤≤-k ∴ 331cos 24sin 3331+≤--≤-
θθ 点评:运用斜率模式解题.常用的方法是旋转,同时要特别注意斜率不存在的情况.
三、距离模式
把所求问题转化为距离问题来解题是解析几何中常用的方法.用距离模式来解决所求问题需要先将问题”距离化”
例5．已知R y x ∈, 且满足()125
9422≤+-y x ，求22y x +之最值 解：易知方程表示椭圆及其内部区域（图四）不妨设()()2
22200-+-=+=
y x y x d 即为()y x M ,与原点()0,0O 之距离.
由图形可设12
min =d ,考虑到最大值在区域边界(即椭圆上)取到,故由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1259422222y x d y x 消去y 得:0917********=++-d x x .令0=∆得:502max =d
从而()1min 22=+y x ,()50max 22=+y x
点评:用距离模式解题常常需要构造同心圆,且当同心圆与区域边界相”切”时,目标量取到最大、小值.
例6．已知y x ,满足142
2
=-y x ,求y x ,使 ()()
()()5512,2222y x y x y x f +-+-+-=达到最小值,并求()y x f , 解:不难发现14
2
2=-y x 为双曲线. ()0,5F 为其右焦点,设()y x P ,为双曲线上任一点,()1,2A ,则()PF PA y x f 5
5,+=.考虑到离心率5=e ,如图五,过P 作PE ⊥右准线L 之垂线,垂足为
E,()AK A P KP PE PA e PF
PA y x f =+≥+=+=00,,
AK 即为A 到双曲线右准线之距离.
∴ ()552,min -=y x f 且此时⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,250P .即当1,25==y x 时, ()552,min -=y x f
通过上述例子,我们不难发现,将所求的代数目标量赋予一定的几何意义,以形代数,变抽象为几何直观,是解析几何中数形结合思想的又一重要作用.。