2013年四川高考试题及答案

解：设该数列公差为 d，前 n 项和为 Sn. 由已知，可得 2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)． 所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得 a1＝4，d＝0，或 a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为 4，公差为 0，或首项为 1，公差为 3.
所以，数列的前
n
项和
同理在△MBD 中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|， 则得， |MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|， 故 O 为梯形内唯一中位点是正确的．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013 四川，理 16)(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项，求 数列{an}的首项、公差及前 n 项和．
故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cos B＝
2
.
2
18．(2013 四川，理 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1,2,3，…， 24 这 24 个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值 为 i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
C．[1，e＋1]
D．[e－1－1，e＋1]
答案：A
解析：由题意可得，y0＝sin x0∈[－1,1]，
而由 f(x)＝ ex x a 可知 y0∈[0,1]，
当 a＝0 时，f(x)＝ ex x 为增函数，
∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1， e 1 ]．
∴f(f(y0))≥ e 1 ＞1.
∴λ＝2.
13．(2013
四川，理
13)设
sin
2α＝－sin
α，α∈
π 2
,
π
，则
tan
2α
的值是__________．
答案： 3
解析：∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
又∵α∈
π 2
,
π
，∴cos
α＝
1 2
.
∴sin α＝ 1 cos2
3
.
2
∴sin 2α＝ 3 ，cos 2α＝2cos2α－1＝ 1 .
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的．
1．(2013 四川，理 1)设集合 A＝{x|x＋2＝0}，集合 B＝{x|x2－4＝0}，则 A∩B＝( )．
∴不存在 y0∈[0,1]使 f(f(y0))＝y0 成立，故 B，D 错；
当 a＝e＋1 时，f(x)＝ ex x e 1 ，当 y0∈[0,1]时，只有 y0＝1 时 f(x)才有意义，而 f(1)＝0，
∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故 C 错．故选 A．
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
A． 1 2
答案：B
B． 3 2
C．1
D． 3
解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为 y 3x ，即 3 x－y＝0，由
点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 d | 3 0 |
3
.
2
2
故选 B．
7．(2013
四川，理
7)函数
y
x3 3x 1
＋|PB|＋|PC|＝ 3 |AB|＝ 3 2 ，而若 C 为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜ 3 2 ，故②错； 2
对于③，若 B，C 三等分 AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|， 故③错；
对于④，在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 的交点为 O，在梯形 ABCD 内任取不同于点 O 的一点 M， 则在△MAC 中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
5
5
(2)由 cos A＝ 3 ，0＜A＜π，得 sin A＝ 4 ，
5
5
由正弦定理，有 a b ， sinA sinB
所以，sin B＝ bsinA
2
.
a2
由题知 a＞b，则 A＞B，故 B π . 4
根据余弦定理，有 (4
2
)2
＝52＋c2－2×5c×
3 5
，解得
c＝1
或
c＝－7(舍去)．
答案：D
5．(2013
四川，理
5)函数
f(x)＝2sin(ωx＋φ)
0,
π 2
π 2
的部分图象如图所示，则
ω，φ3
C．4， π 6
B．2， π 6
D．4， π 3
答案：A
解析：由图象可得， 3T 4
5π 12
π 3
3π 4
，
∴T＝π，则
ω＝
2π π
＝2，再将点
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页．考生作 答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试 结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
－lg b 的不同值的个数是( )．
A．9
B．10
C．18
D．20
答案：C
解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间 Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，
(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有 20 个基本事件，而 lg
答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选 D．
4．(2013 四川，理 4)设 x∈Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集．若命题 p： x∈A,2x∈B，则( )． A． p： x∈A,2x B B． p： x A,2x B C． p： x A,2x∈B D． p： x∈A,2x B
甲的频数统计表(部分)
运行 次数 n
输出 y 的值 为 1 的频数
输出 y 的值 为 2 的频数
输出 y 的值 为 3 的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
运行 次数 n
1 027
376
P S阴影 16 4 3 . S正方形 16 4
10．(2013 四川，理 10)设函数 f(x)＝ ex x a (a∈R，e 为自然对数的底数)，若曲线 y＝sin x 上存在点
(x0，y0)使得 f(f(y0))＝y0，则 a 的取值范围是( )．
A．[1，e]
B．[e－1－1,1]
a－lg b＝ lg a ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使 lg a 的值相等，则不同值的个数为 20－2＝18(个)，
b
b
故选 C．
9．(2013 四川，理 9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独
立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时
注意事项： 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．(2013 四川，理 11)二项式(x＋y)5 的展开式中，含 x2y3 的项的系数是__________．(用数字作答) 答案：10
解：(1)由 2 cos2 A B cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝ 3 ，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin
2
5
B－cos B＝ 3 ， 5
即 cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝ 3 . 5
则 cos(A－B＋B)＝ 3 ，即 cos A＝ 3 .
解析：由二项式展开系数可得，x2y3 的系数为 C35 ＝ C52 ＝10.
12．(2013 四川，理 12)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB ＋ AD ＝λ AO ，则 λ＝
__________. 答案：2
解析：如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC ＝2 AO ，
15．(2013 四川，理 15)设 P1，P2，…，Pn 为平面 α 内的 n 个点，在平面 α 内的所有点中，若点 P 到 点 P1，P2，…，Pn 的距离之和最小，则称点 P 为点 P1，P2，…，Pn 的一个“中位点”，例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点 A，B，C 共线，C 在线段 AB 上，则 C 是 A，B，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
5π 12
,
2
代入
f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，
sin