专题3.1 导数以及运算、应用-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)
高三数学复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第三章 导数及其应用试
2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第三章导数及其应用试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第三章导数及其应用试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章导数及其应用考点1 导数的概念及运算1。
(2014·大纲全国，7）曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ）A。
2e B。
e C。
2 D。
11。
C[由题意可得y′＝e x－1＋x e x－1，所以曲线在点(1，1）处切线的斜率等于2,故选C。
]2。
(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1）在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A。
0 B.1 C。
2 D.32.D [y′＝a－错误!，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.]3.(2014·陕西,3)定积分(2x＋e x)d x的值为( ）A.e＋2 B。
e＋1 C.e D.e－13.C [∫错误!（2x＋e x）d x＝（x2＋e x)｜错误!＝(1＋e）－（0＋e0）＝e，因此选C。
]4。
（2014·江西，8）若f（x)＝x2＋2f(x)d x，则f(x）d x＝( ）A.－1 B。
－错误! C.错误! D。
14.B ［因为∫错误!f(x）d x是常数，所以f′(x）＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c（c为常数)，所以x2＋c＝x2＋2(错误!x3＋cx）|错误!,解得c＝－错误!，∫错误!f（x）d x＝∫错误!(x2＋c)d x＝∫错误!（x2－错误!）d x＝错误!｜错误!＝－错误!。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第三章 导数及其应用2 文
第二节 导数的应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·四川，6)已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4 B.－2 C.4D.22.(2015·陕西，9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3.(2015·安徽，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a >0，b <0，c >0，d >0 B ．a >0，b <0，c <0，d >0 C ．a <0，b <0，c >0，d >0 D ．a >0，b >0，c >0，d <04.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)5.(2014·湖南，9)若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e2x －e 1x＞ln x 2－ln x 1B ．e2x －e 1x＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e 1x＞x 1e 2x D ．x 2e 1x＜x 1e2x6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围. 8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.(2016·山东，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围.10.(2016·四川，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·北京，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.(2015·福建，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)．15.(2015·浙江，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．16.(2015·湖南，21)已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点． (1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围．17.(2015·山东，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 18.(2015·浙江，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围． 19.(2015·天津，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )， 求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋134.20.(2015·广东，21)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．21.(2014·安徽，20)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．22.(2014·广东，21)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.(2014·天津，19)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．24.(2014·陕西，21)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f (b)－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北保定第二次模拟)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0) D.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－132.(2016·云南师大附中检测)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B.(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D.[3，＋∞)3.(2016·四川雅安第三次诊断模拟)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A.3f (2)>2f (3)B.3f (2)＝2f (3)C.3f (2)<2f (3)D.3f (2)与2f (3)大小不确定4.(2016·甘肃兰州诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1 （x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C.(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 25.(2015·山东省实验中学二诊)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<13，则f (x )<x 3＋23的解集是( )A.{x |－1<x <1}B.{x |x <－1}C.{x |x <－1或x >1}D.{x |x >1}6.(2015·广东佛山调研)若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2]上有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－5，1) B.[－5，1) C.[－2，1)D.(－2，1)7.(2015·赣州市十二县联考)若函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋(3－a )x ＋b 有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是________.8.(2015·河南南阳三模)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围为________.9.(2015·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，其中 a 为实数. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2. 答案 D2.解析 f (x )＝x －sin x 的定义域为R ，关于原点对称， 且f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－sin x ≥0恒成立，所以f (x )在其定义域内为增函数，故选B. 答案 B3.解析 由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ； 又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c a＞0，所以a ＞0.故选A. 答案 A4.解析 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.解析 构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，故函数g (x )＝exx在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6. 解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C.答案 C7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y－2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0， 综上，a 的取值范围是(－∞，2].8.(1)解 由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a . 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增.可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意. ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解 由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1，由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立； 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 11.(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解 由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.(3)证明 当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0， 故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点， 所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件. 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．13.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点． 当a >0时，因为e 2x单调递增，－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0， 即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意． 当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)， 则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意． 当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0， 即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值范围是(－∞，1)．15.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．16.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0， 得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0. 因此，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减； 当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1， 所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π4e －π4，＋∞.17.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋ax＋1，所以a ＝1.(2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x， 所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）ex，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.18.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3，9－45]．19.(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)． 令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明 由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )． 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3＋413.20.解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1， 当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减.综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减，(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0， 因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2， 当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0所以f (a )＝a －a 2<－4a.结合图象不难得当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．21.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 22.解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上， 方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， 单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．(2)当a ＜0时，Δ＞0，且f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ，此时x 1＜0，x 2＞0， 令x 2＝12得a ＝－54.①当－54＜a ＜0时，x 1＜0＜x 2＜12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54＜a ＜－712，则f (0)＝1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴存在x 0∈(0，x 2)，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a ＜0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512＜a ＜－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪{－54}∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎭⎪a ，＋∞.当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝13a2. (2)由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 时，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）|x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：(1)当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (2)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .(3)当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32. 24.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)． 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点．∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立． (*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x －x (x ＞0)，∴(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.25.解 (1)f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞).由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a 1－a)(x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜a a －1， 解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0. f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1. 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0，1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25， 又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25. 答案 A2.解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C. 答案 C3.解析 令F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0， 所以F (x )为减函数，f （2）2>f （3）3，所以3f (2)>2f (3).答案 A4.解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2. 答案 D5.解析 构造函数F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23，F (1)＝f (1)－1＝0， ∵f ′(x )＜13，∴F ′(x )＝f ′(x )－13＜0，∴F (x )在R 上单调递减， f (x )＜x 3＋23的解集即F (x )＜0＝F (1)的解集，得x ＞1. 答案 D6.解析 f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝±1，可以判断当x ＝1时函数有极小值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，6－a 2≥1，6－a 2＞a ，解得a ∈[－5，1)，∴选B.答案 B7.解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋3－a ，要使f (x )有三个不同单调区间，需Δ＝(－a )2－4(3－a )＞0，即a ∈(－∞，－6)∪(2，＋∞).答案 (－∞，－6)∪(2，＋∞)8.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0恒成立，∴f (x )在R 上是增函数.又f (－x )＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数.由f (mx －2)＋f (x )＜0得f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )，∴mx －2＜－x ，即mx －2＋x ＜0在m ∈[－2，2]上恒成立.记g (m )＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x ＜0，2x －2＋x ＜0， 解得－2＜x ＜23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，239.解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增.①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f (t )＝t ln t .综上可知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e .(2)由题知2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x 对一切x ∈(0，＋∞)恒成立.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(0，1)上单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增.所以h (x )在(0，＋∞)上有唯一极小值h (1)，即为最小值， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，a ≤h (x )恒成立，所以a ≤4.。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第三章 导数及其应用1 文
第一节 导数的概念及其运算A 组 三年高考真题（2016～2014年）1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1e －x ，则曲线y＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.5.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 7.(2014·广东，11)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________． 8.(2014·北京，20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南曲靖一中质量检测(五))已知点P 是曲线y ＝3－exe x ＋1上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是( )A.0B.π4C.2π3D.3π42.(2016·河南适应性测试)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则a b的值为( ) A.13 B.23 C.－23D.－133.(2015·浙江金华十校联考)设函数y ＝x sin x ＋cos x ，且在f (x )图象上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为()4.(2015·赣州市十二县联考)函数f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3在点(3，f (3))处的切线斜率是( ) A.－2 3 B. 3 C.2 3D.4 35.(2015·昆明三中模拟)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A.[－2，2]B.[2，3]C.[3，2]D.[2，2]6.(2016·郑州质量预测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.7.(2015·豫南九校二联)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是________.8.(2015·黄冈中学高三期中)定义运算1111a ab b ＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13处的切线方程是________. 9.(2015·南昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1e （x ＋2）（x －a ），x <1(a 为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A (e ，1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0⇒d ＝0，f （2）＝0⇒8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1⇒c ＝－1，f ′（2）＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0.故该函数的解析式为y ＝12x 3－12x 2－x ，选A.答案 A2.解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝ex －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案 y ＝2x3.解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )， 解得a ＝1. 答案 14.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 85.解析 f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3. 答案 36.解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案 －37.解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝08.解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点． 综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 y ′＝－e x （e x ＋1）－（3－e x ）e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1， 故α最小值是3π4.答案 D2.解析 由题意得y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3×12＝3，所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13，故选D.答案 D3.解析 y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0， 由于它是奇函数，排除B ，C ；当0＜x ＜π4时，k ＞0，排除D ，答案为A.答案 A4.解析 ∵f ′(x )＝3x＋2x －3，∴f ′(3)＝33＋23－3＝2 3. 答案 C5.解析 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵0≤θ≤5π12，∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2，即2≤f ′(1)≤2，即导数f ′(1)的取值范围是[2，2]，选D. 答案 D6.解析 依题意得f (3)＝k ×3＋2＝1，k ＝－13，则f ′(3)＝k ＝－13，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0.答案 07.解析 f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，令x ＝π6，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，得f (x )＝cos x ＋x ，f ′(0)＝1，f (0)＝1，故在(0，1)处的切线方程为y －1＝1(x －0)，即x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝08.解析 由定义可知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x ＝13x 3＋x 2－x ，故f ′(x )＝x 2＋2x －1，f ′(1)＝2， 所以函数f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13处的切线方程为y －13＝2(x －1)，化为一般式为6x －3y －5＝0. 答案 6x －3y －5＝09.解析 易知曲线在点A 处的切线方程为y －1＝1e (x －e)，即为y ＝1ex .该切线与f (x )的图象有三个交点，则与f (x )＝1e (x ＋2)(x －a )，x <1有两个不同交点，即方程1e x ＝1e(x ＋2)(x －a )，x ∈(－∞，1)有两个不等根，x 2＋(1－a )x －2a ＝0，x ∈(－∞，1)有两个不等根，结合二次函数g (x )＝x 2＋(1－a )x －2a ，x ∈(－∞，1)的图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（1－a ）2＋8a >0，－1－a2<1，g （1）＝2－3a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－3－22或a >－3＋22，a <3，a <23.所以a <－3－22或－3＋22<a <23，故实数a 的取值范围为(－∞，－3－22)∪⎝⎛⎭⎪⎫－3＋22，23.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，23)。
2020届高考数学一轮第三篇导数及其应用专题.导数的概念及运算练习
专题3.1导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 【知识梳理】1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 【微点提醒】1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】(1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.【教材衍化】2.(选修2－2P19B2改编)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.15【答案】 C【解析】 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9.3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2. 【答案】 －9.8t ＋6.5 －9.8【解析】 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 【真题体验】4.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e【答案】 B【解析】 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【答案】 e【解析】 由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.【答案】 y ＝x ＋1【解析】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 【考点聚焦】 考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x . 【答案】见解析【解析】(1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)因为y ＝ln 1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( ) A.－e B.2C.－2D.e【答案】 B【解析】 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________.(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 【答案】 (1)1－12cos x (2)－4【解析】 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x【答案】 D【解析】 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.【答案】 (1)A (2)(1，1)【解析】 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________. 【答案】 (1)B (2)－8【解析】 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 【答案】 (1)D (2)y ＝2x【解析】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax .根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2. 当x 0＝1时，f (x 0)＝－1， 当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 【反思与感悟】1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 【易错防范】1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3xln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x 【答案】 C 【解析】 因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.2.(2019·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 3.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( ) A.y ＝x B.x ＝0 C.y ＝0D.不存在【答案】 C【解析】 函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0.4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末【答案】 D【解析】 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )， 令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.5.(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7 B.4 C.0 D.－4【答案】 A【解析】 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1， ∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.6.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e【答案】 B【解析】 ∵y ′＝a e x＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e.7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2【答案】 D【解析】 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1. 二、填空题9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 【答案】 (－2，9)【解析】 由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9).10.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________. 【答案】 1【解析】 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.11.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________. 【答案】 －94【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.12.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x －y －5＝0【解析】 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab＝( ) A.1 B.0C.－1D.－2【答案】 D【解析】 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a－b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a，故ab ＝－2. 14.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】 [－2，－1]【解析】 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 15.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.【答案】 22【解析】 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)， ∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 16.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 【新高考创新预测】17.(新定义题型)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高考数学复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题练习 理 新
创新设计（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（创新设计（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理新人教A版基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是（）A.3B.2C.1 D。
0解析设f（x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3)，由此可知函数的极大值为f(1）＝－6＜0,极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1。
答案C2。
若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则实数a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞）B.（－2，＋∞）C。
(0，＋∞) D。
（－1，＋∞）解析∵2x(x－a）＜1，∴a＞x－错误!.令f（x）＝x－错误!，∴f′（x)＝1＋2－x ln 2＞0.∴f（x)在(0，＋∞）上单调递增，∴f（x）＞f(0）＝0－1＝－1，∴实数a的取值范围为(－1，＋∞).答案D3。
（2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x）〉0，则( ）A。
导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向14导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】1ey x = 1e y x =-【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-； 故答案为：1ey x =；1e y x =-【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2．过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．一、导数的概念和几何性质1．概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．二、导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为（ ） A ．34y x =+ B ．43y x =+ C ．34y x =- D ．43y x =-【答案】C【解析】()21e x y x -'=+，2|3x y ='=，曲线2x y xe -=在点（2，2）处的切线方程为()232y x -=-，即34y x =-．故选：C.2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310 B ．±310C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++ 所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y ，此时tan 3α=，∴2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.3．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln 3C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,0⎡⎣ B ．)22,0⎡⎣C ．(,23-∞D ．(,22-∞【答案】D【解析】因为)2ln 3y x x a x =++，所以123y x a x'=++， 因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan33y ≥'0x >恒成立，即1233x a x++-≥对任意0x >恒成立， 即12a x x≤+，又1222x x +≥，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立，故22a ≤， 所以a 的取值范围是(,22⎤-∞⎦． 故选：D ．4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①； 由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②； 对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③， 联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.1．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“连续不一定可导”知，“()f x 在0x x =处连续”不能推出“()f x 在0x x =处可导”, 比如函数()f x x =在0x =处连续，但是()f x x =在0x =处不可导；由“可导一定连续”知，“()f x 在0x x =处可导”可以推出“()f x 在0x x =处连续”. 因此()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的必要不充分条件 答案选：B2．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<- B ．3n m >- C ．0n < D ．30n m <=-【答案】A【解析】设切点为()3,t t -，由323y x y x '=-⇒=-，故切线方程为()323y t t x t +=--，因为()(),0m n m <在切线上，所以代入切线方程得32230t mt n --=， 则关于t 的方程有三个不同的实数根，令()3223g t t mt n =--，则()2660g t t mt t m '=-=⇒=或0=t ，所以当(),t m ∈-∞，()0,∞+时，()0g t '>，()g t 为增函数， 当(),0t m ∈-时，()0g t '<，()g t 为减函数， 且t →-∞时，()g t →-∞，t →+∞时，()g t →+∞，所以只需()()()()300g t g m m n g t g n ⎧==-->⎪⎨==-<⎪⎩极大值极小值，解得30n m <<-故选：A3．（2022·全国·模拟预测（理））过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点， 即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．13【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅， 当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．eC eD ．2e【答案】B【解析】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x 在e)上递增，在(e,)+∞上递减，∴max ()(e)e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B.6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是A ．ln y x x =+B ．3y x =C ．cos y x x =-D ．sin y x x =+【答案】D【解析】对于A ，C ，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B ，23y x '=，若斜率相同，则切点300()A x x ，，300()B x x --，，代入解得切线方程分别为230032y x x x =-，230032y x x x =+；若切线重合，则00x =，此时两切点A ，B 为同一点，不符合题意，故B 错误；对于D ，1cos y x '=+，令1cos 1y x '=+=，得π()2k x k =∈Z ，则取ππ5π5π112222A B ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，切线均为1y x =+，即存在不同的两点A ，B 使得切线重合，故D 正确. 故选：D ．7．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B【解析】由()e xf x x =，()()1e x f x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()xf x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B8．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．219ab+≥ B ．19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤【答案】ACD【解析】设切点为()00,x y ，因为1e x y -'=，所以0010010e 12e 1x x y x a y b --⎧=⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得01x =， 122a b +=-，即21a b +=，对于A ，2121(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2255249b a a b=++≥+=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当14a =，12b =时，等号成立，故B 不正确；对于C 2222(12)a b a a ++-2541a a -+2215555a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D ，由2222a b a b ++≥⎝⎭22a b ⇒≤D 正确. 故选：ACD9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ） A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值 B ．直线P 1P 2的斜率为定值 C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1] 【答案】ABC【解析】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1≥x 时，1y x'=， 不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <， 若1201x x <<≤时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意； 若211x x >≥时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意. 所以1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ， 若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对； 对于选项B ，易知点()111,ln P x x -，()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点10,1ln A x ， 直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --， 所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，选项C 对；对于选项D ，联立112211ln {1ln 1y x x x y x x x =-+-=+-可得1212121221P x x xx x x x ==++， 令()221xf x x =+，其中()0,1∈x ，则()()()2222101x f x x -'=>+，所以，函数()f x 在0,1上单调递增，则当()0,1∈x 时，()()0,1f x ∈， 所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，选项D 错. 故选：ABC.10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数()()()2e R xf x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，当a 变化时，记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ，点()()22,x f x 构成的曲线为2C ，则（ ）A ．曲线1C 恒在x 轴上方B ．曲线1C 与2C 有唯一公共点C ．对于任意的实数t ，直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D ．存在实数m ，使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为()()()2e R x f x x ax a a -=++∈，则()()22e x f x a x x -'⎡⎤=--⎣⎦，令()0f x '=可得0x =或2x a =-，因为函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，则20a -≠，即2a ≠. 当20a -<时，即当2a >时，10x =，则()12f x a =>，当20a ->时，即当2a <时，12x a =-，则()()()()121124e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，则曲线1C 为函数()()()2e0xg x x x -=+>的图象以及射线()02x y =>，且当0x >时，()()2e 0xg x x -=+>，所以，曲线1C 在x 轴上方，A 对；对于B 选项，当20a -<时，即当2a >时，22x a =-，则()()()()222224e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，当20a ->时，即当2a <时，20x =，则()22f x a =< 所以，曲线2C 为函数()()()2e0xh x x x -=+<的图象以及射线()02x y =<，由图可知，曲线1C 、2C 无公共点，B 错； 对于C 选项，对于函数()2e x x g x +=，()()1210e exx x x g x -++'==-<， 此时函数()g x 在()0,∞+上单调递减，且()0g x >，结合图象可知，当0m ≤时，直线y t =与曲线1C 没有公共点，C 错；对于D 选项，对于函数()2e x x x ϕ+=，()1ex x x ϕ+'=-，则()01ϕ'=-， 又因为()02ϕ=，所以，曲线()y x ϕ=在0x =处的切线方程为2y x -=-，即2y x =-+. 构造函数()()2222e e x xx x p x x x ++=--+=+-，则()00p =， ()1e 11e e x x xx x p x +--'=-=，令()e 1xm x x =--，则()e 1x m x '=-，当0x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当0x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，()()00m x m ≥=，所以，()e 10ex xx p x --'=≥且()p x '不恒为零， 所以，函数()p x 在R 上为增函数， 当0x <时，()()00p x p <=，即22e xx x +<-+， 当0x >时，()()00p x p >=，即22e xx x +>-+， 所以，曲线1C 、2C 分布在直线2y x =-+的两侧，D 对.故选：AD.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f xg x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1.12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________. 【答案】8【解析】设直线y x a =+与曲线121x y e b -=-+相切于点()00,x y 由函数121x y e b -=-+的导函数为1x y e -'=，则001|e 1x x x k y -='===解得01x =所以0122y a b =+=-，即21a b +=则()21214424428b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⨯ ⎪⎝⎭当且仅当4b aa b =，即11,24a b ==时取得等号. 故答案为：813．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线. 【答案】32()f x x x （答案不唯一）【解析】若()f x 同时满足所给的两个条件，则2()320f x x ax '=-+≤对[1,)x ∈+∞恒成立，解得：min32a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即32a ≤， 且2()321f x x ax '=-+=-在[)1,+∞上有解，即3122x a x=-在[)1,+∞上有解，由函数的单调性可解得：31122x a x=-≥. 所以312a ≤≤.则32()f x x x （答案不唯一，只要()f x 满足32()f x x ax =-+（312a ≤≤即可） 故答案为：32()f x x x14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知()e 1xf x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______． 【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设公切线与()f x 相切于点(),e 1mm -，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，()e x f x '=，()1g x x '=，∴公切线斜率1e mk n==； ∴公切线方程为：()e 1e m m y x m -+=-或()1ln 1y n x n n--=-， 整理可得：()e 1e 1m my x m =---或1ln y x n n=+， ()1e 1e 1ln m m n m n⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩，即()ln 1e 1ln mm n m n =-⎧⎨-+=-⎩， ()()()1e 11e 10m m m m m ∴-+-=--=，解得：1m =或0m =， ∴公切线方程为：e 1y x =-或y x =.故答案为：e 1y x =-或y x =.15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()2e ,xf xg x x a==，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围__________．【答案】2e (,0),4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】数形结合可得：当0a <，存在一条直线同时与两函数图象相切；当0a >，若存在一条直线同时与两函数图象相切， 则,()0x ∈+∞时，2e xx a=有解，所以21,(0,)ex x x a ∞=∈+，令2(),(0,)ex x h x x ∞=∈+，因为22(2)()e e x x x x x x h x --=='， 则当(0,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 为单调递增函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 为单调递减函数； 所以()h x 在2x =处取得极大值，也是最大值， 最大值为24(2)eh =，且()0h x >在,()0x ∈+∞上恒成立， 所以2140,e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭． 故答案为：2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩，函数在1x =处的切线方程为____________．若该切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是____________． 【答案】 210x y --=【解析】切点坐标为()1,0，()142f x x '=-，()112k f '==，所以切线l 方程为1122y x =-． 函数5124f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()f x 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当切线l 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，切线l 与函数()f x 的图象有三个公共点，将其代入切线l 方程得32a =-；当切线l 与()22f x x x a =++（12x ≤）相切时直线与函数()f x 的图象只有两个公共点， 设切线l ：1122y x =-与()22f x x x a =++（12x ≤）在0x x =处相切，()001222k f x x '==+=，034x =-，所以切点坐标为315,416a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入切线方程解得116a =，因此直线与曲线有三个交点时，31216a -<≤．故答案为：32-；31,216⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-， 令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线y x =(00x x ，则00x >，函数y x =2y x'=，则直线l 的斜率02k x ， 设直线l 的方程为)0002y x x x x =-，即0020x x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=00145x + 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >3x <， 令()0f x '<得33x <<， 所以()f x 在33(上单调递减，在3(,-∞，3()+∞上单调递增，所以3x =是极值点，故A 正确； 因323(10f =>，323(10f =>，()250f -=-<， 所以，函数()f x 在3,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点， 当3x ≥()30f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误. 故选：AC.5．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1e y x = 1ey x =- 【解析】 【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得； 【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-； 故答案为：1e y x =；1ey x =- 6．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++,切线方程为：()()()0000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()0000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞, 故答案为：()(),40,-∞-+∞7．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 【答案】0,1 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211x e A x M +，2221x e B x N =+，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11xxxxe e x x e AM e y M x -+=---+，所以()112221111x x x e x e x AM ++，同理2221x e B x N +, 所以()1111212222122221110,1111x x x x x x x e x e e e e e e Nx AM B -===+⋅++∈+++⋅=. 故答案为：0,1 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 8．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+= 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=．9．（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围． 【答案】(1)3 (2)[)1,-+∞ 【解析】 【分析】（1）先由()f x 上的切点求出切线方程，设出()g x 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. (1)由题意知，(1)1(1)0f -=---=，2()31x f x '=-，(1)312f '-=-=，则()y f x =在点()1,0-处的切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()22g x x '==，解得21x =，则(1)122g a =+=+，解得3a =；(2)2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y xx x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭， 令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >， 令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,11 ()1,+∞()h x '-+-0 +()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+， 导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上 单调递增，在113113,33a a ⎡⎤⎢⎥⎣-+-⎦-上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+， 则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 12．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)， 则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++， 所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()St 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()St 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t t =⋅，令a t 2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a +=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2)(2)2a a a a a a a -++==． 因为0a >，所以令()0g a '=，得2a =随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表： a()0,22()2,+∞()g a '-0 +()g a减 极小值增所以min [()](2)822g a g === 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a+=>的最小值． 令433412444444()482a g a a a a a a a a a a+==+++≥⋅⋅⋅= 当且仅当34a a=，即2a = 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41626416324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理-人教版高三全册数学
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)．(2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f xg x ]′＝f ′x g x －f x g ′xg 2x(g (x )≠0)．5．复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________．答案 ④解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值X 围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1e x ≥2，当且仅当e x＝1e x ＝1，即x ＝0时，“＝”成立．∴y ′∈[－1,0)， ∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．(2015·某某)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x－2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1； (5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x)′＋e′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(4)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝________.(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________．(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 (1)x －y －3＝0 (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1， 故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是__________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________．答案 (1)2x －y －1＝0 (2)x －y －1＝0解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________. 答案 －2解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为__________________． (2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 (2)－e 解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)， ∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1. ∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0， ∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.4．求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (14分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况． 规X 解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得在原点处的切线斜率k ＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[5分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[12分]综上，a ＝1或a ＝164.[14分]温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．[方法与技巧]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程． [失误与防X]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 答案 －1解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则曲线在x ＝x 0处的切线斜率k ＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 016(x )＝____________.答案 sin x －cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x .4．设曲线y ＝ax －ln x 在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln x ，则f ′(x )＝a －1x.由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f ′(1)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝______________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 7．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0， 则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9. 8．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为______________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 y ′＝－e x e x ＋12＝－1e x ＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)， 则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)． 当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)， 切线的方程为y －12＝－14(x －0)， 即x ＋4y －2＝0.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.10．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 00203()()－＝1＋y y x x x - 即0020033()()＝(1+)－．y x x x x x -- 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．答案 14解析 由题意可知()1212，f x x -'=g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244＝，a -⨯ 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 12．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大． 13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 14．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
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第三章 导数
专题1 导数以及运算、应用（理科）
【三年高考】
1. 【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
【答案】A
2. 【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
【解析】
（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减.
（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.
（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.
（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-
+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；
②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -
+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a
-+<，即(ln )0f a -<.
又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.
设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a
->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1).
3. 【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；
(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥。
因为()()10,0g g x =≥，因()'10g =，而()()1','11g x a g a x
=-=-，得1a =。
若1a =，则()1'1g x x
=-。
当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增。
所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=综上，1a =。
（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--。
设()22l n h x x x =--，则()1'2h x x =-。
当10,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x < ；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x > ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 单调递增。
又()20h e ->，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h = ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
有唯一零点0x ，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当()00,x x ∈ 时，()0h x > ；当()0,1x x ∈ 时，()0h x < ， 当()1,x ∈+∞ 时， ()0h x >。
因为()()'f x h x = ，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点。
由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()000
1f x x x =-。
由()00,1x ∈ 得 ()014f x <。
因为0x x =是()f x 在（0,1）的最大值点，由()10,1e -∈，()1'0f e -≠ 得()()120f x f e e -->=。
所以()2202e f x --<<。
4. 【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- .
（1）若()0f x ≥ ，求a 的值；。