高中数学解析几何双曲线性质与定义
平面解析几何的双曲线性质与像
平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍双曲线的一些基本概念和定义，并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。
一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中，双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
双曲线具有以下基本性质：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴两者都对称。
2. 双曲线有两个分支，分别称为实部和虚部。
3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。
4. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。
二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素：焦点、顶点、直角坐标系和平行线。
1. 焦点：双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。
焦点是双曲线上的两个特殊点，它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be，其中e是双曲线的离心率。
通过确定离心率和焦点的位置，可以确定双曲线的形状和大小。
2. 顶点：双曲线的顶点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。
通过确定顶点的位置，可以确定双曲线的中心位置。
3. 直角坐标系：在平面直角坐标系中绘制双曲线时，可以确定双曲线的位置和方向。
通过绘制直角坐标系，然后确定双曲线的中心和顶点的位置，可以绘制出双曲线的形状。
4. 平行线：平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。
通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线，可以确定双曲线的近似位置和范围。
综上所述，通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线，我们可以确定双曲线的像。
在确定了这些要素后，我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。
总结：双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型，具有独特的性质和特点。
确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。
通过确定这些要素，我们可以确定双曲线的形状、大小和位置，从而深入研究双曲线的性质和像。
双曲线的渐近线性质及其应用
双曲线的渐近线性质及其应用双曲线是解析几何中常见的曲线形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
其中，双曲线的渐近线性质是双曲线研究中的重要内容之一。
本文将介绍双曲线的定义及其渐近线性质，并探讨它在数学和物理等领域的应用。
一、双曲线的定义双曲线是指平面上满足特定方程的曲线。
一般情况下，双曲线的方程可以表示为：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别为双曲线的两个参数。
根据a和b的取值不同，双曲线可以分为三种类型：椭圆双曲线、双曲线和抛物线双曲线。
二、双曲线的渐近线性质双曲线的渐近线是指与双曲线在无穷远点处趋于平行的直线。
双曲线通常有两条渐近线，分别与双曲线的两支曲线无限接近。
1. 渐近线的斜率双曲线的渐近线的斜率可以通过双曲线方程中的参数a和b计算得出。
对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线的斜率为±b/a。
2. 渐近线的方程根据渐近线的斜率和方向，可以得到双曲线的渐近线的方程。
对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其两条渐近线的方程分别为y = ±(b/a)x。
三、双曲线渐近线的应用1. 导弹轨迹设计在导弹轨迹的设计中，双曲线的渐近线性质可以用于确定导弹的飞行轨迹。
通过合理选择双曲线的参数a和b，可以使导弹的轨迹与预定的目标路径趋于平行，从而提高导弹的命中精度。
2. 无线电通信在无线电通信领域，双曲线的渐近线性质可用于信号覆盖范围的计算和无线电网络的规划。
通过研究双曲线的渐近线，可以确定信号的传输范围和建立有效的通信链路，从而提高通信质量和网络性能。
3. 光学器件设计双曲线的渐近线性质在光学器件设计中也具有重要应用。
例如，双曲线的折射性质可以用于设计具有特定光学性能的透镜或反射镜，从而实现光的聚焦或分散的目的。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。
它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。
本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。
一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。
二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。
根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。
其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。
2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。
其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。
三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。
对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。
5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。
根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线的性质与方程解析
双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。
本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。
一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。
具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。
二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。
三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。
这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。
2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。
双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。
3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。
这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。
四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。
以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。
2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。
通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。
3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。
通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质
故 e2-2e-1<0,解得-√2+1<e<√2+1.
又 e∈(1,+∞),故双曲线的离心率 e∈(1,√2+1).
答案:(1,√2+1)
随堂练习
1.双曲线y2-2x2=1的渐近线方程为(
A.y=±2x
B.y=±√2x
1
C.y=± x
2
√2
D.y=± x
2
答案:B
)
2.在平面直角坐标系
2
=1.
49
7
b= 或
2
3
b= (舍去).
2
解析几何中的面积、距离、范围等问题,往往可以转化为函数问题求解,这
样能使解题思路更清晰.
【变式训练】
2
已知双曲线 2
2
− 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点
的取值范围是
.
sin∠ 1 2
(2)双曲线在无穷远处可与渐近线相交.( × )
(3)双曲线的实轴比虚轴长.( × )
(4)双曲线的离心率e的取值范围为(0,1).( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程.
解:将 9y2-4x2=-36
2
解:设双曲线的方程为 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).因为离心率
2 2
所以双曲线的方程为 -x =b2.设
4
意,|PQ|=
2
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率；（2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线a y l 22:=。
3、双曲线的焦半径：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 12222>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中12F F 、分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： 1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：a x a x -≤≥或（焦点在x 轴上）或者a y a y -≤≥或（焦点在y 轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A ＇(a,0)。
同时 AA ＇叫做双曲线的实轴且∣AA ＇│=2a ； B(0,-b)， B ＇(0,b)。
同时 BB ＇叫做双曲线的虚轴且│BB ＇│=2b 。
4、渐近线： 由22222222221x b a b x y b y a x -=-⇒=-，当abx y y x ±→∞→∞→时，,所以：双曲线的渐近线方程为： 焦点在x 轴：x a b y ±=，焦点在y 轴：y abx ±=5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a │ 左焦半径：r=│ex+a │6、共轭双曲线双曲线S: )0,0( 12222>>=-b a b y a x ，双曲线 )0,0( 1:2222>>=-'b a ax b y s 双曲线S ＇的实轴是双曲线S 的虚轴 且双曲线S ＇的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线S ＇与双曲线S 为共轭双曲线。
特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于17. 焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：例1：已知双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的渐近线是x a by ±=，我们可以判断直线m kx y +=与双曲线的交点个数①当直线m kx y +=的斜率abk =时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。
②当直线m kx y +=的斜率⎪⎭⎫⎝⎛-∈a b a b k ,时，则m kx y +=与双曲线有两个交点。
③当直线m kx y +=的斜率⎪⎭⎫⎝⎛∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈，a b a b k ,时，则m kx y +=与与双曲线没有交点例2 已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．解：由可得，从而，解得． 又因为的渐近线方程是，所以.故例3 已知双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是解：由已知可知,所以例4 双曲线14922=-y x 上一点P 与左右焦点21,F F 构成21PF F ∆，求21PF F ∆的内切圆与边21F F 的切点N 的坐标。
分析：设点P 在已知双曲线的右支上，要求点N 的坐标。
即求ON 的长度，而22NF OF ON -=，其中132==c OF ，只需求2NF 的长度，即2NF 是圆⊙M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。
解：设点P 在已知双曲线的右支上，由题意得212122PF F F PF NF -+=，a PF PF 212-=-，∴a c ca NF -=+-=2222，又13=∴c ，3=a ，∴3132-=NF ，又132==c OF ，∴)313(1322--=-=NF OF ON当点P 在已知双曲线的右支上时，切点N 为顶点)0,3(,当点P 在已知双曲线的左支上时，切点N 为顶点)0,3(-例5 已知21F F 、是双曲线116922=-y x 的左右焦点，P 在双曲线的左支上，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ，求2cot2tanβα⋅的值分析：如右图，先做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，MA 等于内切圆的半径。
且212α=∠F MF ，21β=A MF解：做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，212α=∠F MF ，21β=A MF ，∴82tan 2r c a r AF AM =+==α，rr a c AM AF 22cot 2=-==β，∴41282cot 2tan =⋅=⋅r r βα例6 设21F F 、是曲线1C :12622=+y x 的焦点， P 为曲线2C :1322=-y x 与1C 的一个交点，则2121PF PF ⋅的值1PF 2PF 之间的关系。
m =n =，不妨设n m >，显然椭圆和双曲线共焦点)0,2(±，由椭圆和双曲线的定义可知62=+n m 且32=-n m∴36+=m ，36-=n 在三角形21F PF ∆中，由余弦定理可知312)2(2cos 22221221222121=-+=⋅-+=∠mn c n m PF PF F F PF PF PF F31cos 21==PF F 例7 已知21F F 、是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，过1F 作倾斜角为o 30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，求双曲线的离心率.解析：由题意的c F F 221=，c c MF 3326tan22=⋅=π，c c MF 3346cos 21==π由定义知a c MF MF 233221==-，则3=e 。
例8 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F 若双曲线上存在一点P 使得212PF PF =，求双曲线离心率的范围。
解析：由双曲线的定义a PF PF 221=-，a PF 41=，在21F PF ∆中，结合双曲线的图像2121F F PF PF ≥+，∴c a 26≥，即31≤≤e例9 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F ，以21F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。
解析：设P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则221π=∠PF F ，321π=∠F pF ，在21PF F Rt ∆中，a c c c PF PF 2)13(3cos23sin212=+=-=-ππ13+==∴ace 例10 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为双曲线上任意一点，21PF F ∠的内角平分线为l ，过l F 做2的垂线2F M ，设垂足为M ，求点M 的轨迹。
解析：延长M F 2交P F 1于N 由角平分线及垂直关系得PN PF =2，有OM 是N F F 21∆的中位线，从而a PF PF PN PF NF OM =-=-==)(21)(2122111，故a OM =为定值，即点M 的轨迹是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与x 轴的交点） 方程为)(222a x a y x ≠=+例11、已知⊙A ：49)5(22=++y x ，⊙B ：1)5(22=+-y x ，若⊙P 与⊙A 内切与⊙B 外切，求⊙P 的圆心的轨迹方程。