高中数学平面解析几何初步经典例题

直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

直线方程的形式很多，但必须注意各种5．两条直线的夹角。

当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C 7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=2221||BA C C +-.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2E ），半径为r =2422F E D -+.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程acb 42-=−−→−△判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=22||B A C Bb Aa +++−→−⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切相离r d r d r d2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；| r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交； | O 1O 2 |=|r 1-r 2|⇔两圆内切； 0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含. 三、经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+bya x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(22-+-=y x x 化简3x =x 2-2x+1+y 2-6y+9 .当x ≥0时得x 2-5x+y 2-6y+10=0 . ①当x ＜0时得x 2+ x+y 2-6y+10=0 . ②错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2= - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2= -34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2= 214 (x ≥0)［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C ≠0且FA＜0.正解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34 L ′的方程为y+3＝34(x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34或k ＝43 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。

即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：()04214222=+-++-++y x y x y x λ即：()()04122222=+++-+++λλλy x y x（1）因为圆过原点，所以041=+λ，即41-=λ 故所求圆的方程为：0274722=-++y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有： 当其半径最小时，圆的面积最小，此时52-=λ为所求. 故满足条件的圆的方程是54585422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x .点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。

（2）面积最小时即圆半径最小。

也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值. 解：（1）证明 ∵｜+｜＝｜-｜，∴（+）2＝（-）2， 整理得：⋅＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则⋅＝0即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径.（2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则 ∵1212px y =，)0(2222>=p px y∴22221214py y x x =又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y∴－21y y 222214py y =∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42p＝)2(122p y p+ 所以圆心的轨迹方程为222p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则＝pp p y y p y py x 5|)(|5|2)2(1|5|2|2222+-=-+=-当y ＝p 时，ｄ有最小值5p ，由题设得5p ＝552 ∴p ＝2.四、典型习题导练1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A.π6 B.π4 C.π3 D.π22.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2+y 2=4相切 ，那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.23. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2+y 2＝３，则xy的最大值为： . 4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为31. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2=4。