集 类

然 后 证明 : (1) . C F ; (2). F 是一个 - 代数 . 于是由 (C ) 的最小性知道
(C ) F . 即 (C ) 中所有的集都具有性质 P .
习 题 习题 1, 第 14-16 题.
x0 + (a, b] = ( x0 + a, x0 + b] ÎC Ì (C ).
因此 (a, b] Î F. 这表明C Ì F . 再证明 F 是 -代数 容易证明以下等式
x0 + AC = ( x0 + A)C . x0 + An = ( x0 + An )
n=1 n=1
¥ ¥
(C ) F . 这说明若 A (C ), 则 x0 A (C ). ■
例 6 的证明方法是测度论中常用的一种证明方法. 一般地说, 设C 是一个非 空集类. 如果要证明 (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令
F = { A Ì X : A 具有性质 P } .
( A È B )C = AC Ç B C Ì AC ,
故 ( A È B)C 是有限集 , 此时也有 A È B Î A . 因此 A 对并运算封闭 . 这就证明了
A 是代数. ■
定理 1.15 设 A 是一个非空集类. 则
(1) 若 A 对交运算和余运算封闭, 则 A 是代数.
(2) 若 A 是一个代数, 则 Æ, X Î A , 并且 A 对交运算和差运算封闭
X 是无限集, 根据定理 1.7, X 包含一个可列子集. 设
A {a1 , a 2 , , a n , }
是 X 的可列子集. 令 An = {a2 n } (n = 1, 2,). 则 An Î A (n ³ 1). 但
A
n=1
¥
n
= {a2 , a4 , } Ï A .
这表明 A 对可列并运算不封闭, 因此 A 不是 -代数. 若令
C1 = { A Ì X : A 或 AC 是 有限集 }.
证明 由于C C1 (C1 ) , 并且 (C ) 是包含C 的最小 -代数, 因此
(C ) (C1 ) .
往证相反的包含关系 . 设 A Î C1 . 则 A 或者 A C 是有限集 . 若 A 是有限集 , 则
证明 得到
(1). 设 A, B A . 由于 A 对余运算封闭, 故 AC , B C Î A . 利用 A 对交
运算的封闭性得到 AC Ç B C Î A . 再根据 De Morgan 公式和 A 对余运算的封闭性,
A È B = ( AC Ç B C ) C Î A .
因此 A 对并运算封闭, 从而 A 是代数.
x0 Î R1. 则对任意 A Î σ (C ) , 有 x0 + A Î σ (C ). 其中 x0 + A = {x0 + x : x Î A}.
证明 令 F 是具有所述性质的子集的全体, 即
F = { A Ì R1 : x0 + A Î (C ) }.
先证明C Ì F . 若 (a, b] Î C , 则
F = { F ¢ : F ¢ 是包含C 的 -代数 }.
容易证明 F 满Байду номын сангаас以下两条性质:
(1) F 是包含C 的 -代数;
(2) 若 F ¢ 是一个包含C 的 -代数, 则 F Ì F .¢
换言之, F 是包含C 的最小 -代数. 这个 -代数称为是由C 生成的 -代数, 记 为 (C ). 例 4 证明 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则
F = { A Ì X : A 或 AC 是可数集 }.
则 F 是 X 上的一个 -代数. 这个结论的证明留作习题. 定理 1.16 设 F 是一个 -代数. 则
(1) F 是代数.
(2) Æ, X Î F , 并且 F 对并运算, 交运算, 差运算和可列交运算封闭.
证明 由于
A1 È È A n = A1 È È A n È A n ,
(C ) = { A Ì X : A 或 AC 是可数集}.
(1.13)
将(1.13)式右边所定义的集类记为 F . 显然 F ÉC . 不难验证 F 是一 个 -代数. 另一方面, 设 F 是任意一个包含C 的 -代数. 我们证明 F Ì F .¢ 设
A Î F . 若 A 是可数集, 则
§ 1.3
本节要点
集
类
本节介绍了代数和 -代数这两种重要的集类. 特
别是 -代数是在测度论中常用的集类. 由一个给定的集类生成的 -代数是本节的另一个重要的概念. 本节最后一部分介绍了在测度论中常用的一种证明方法,即“ -代 数方法”.利用这种方法常常可以简化一些定理的证明. 设 X 是一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 一 般用花体字母如 A , B ,C 等表示集类. 例如, 直线上开区间的全体就是 R1 上的一 个集类. 由 X 的所有子集构成的幂集 P ( X ) 就是 X 上的一个集类. 本节若无特别 申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 设 A 是一非空集类. 若对任意 A, B Î A , 均有A È B Î A , 则称 A 对并运算封 闭. 显然若 A 对并运算封闭, 则 A 对有限个集的并运算也封闭. 若对 A 中的任 意一列集 { An } 总有 An Î A , 则称 A 对可列并运算封闭. 类似可定义集类对其
A = {ai }, 或 A = {ai },
i =1 i =1
n
¥
其中 ai Î A. 由于每个单点集 {ai } ÎC Ì F ¢, 并且 F 对有限并和可列并运算封闭, 因 此 A Î F ¢. 若 A C 是 可 数 集 , 则 A C F ¢. 由 于 F 对 余 运 算 封 闭 , 于 是
n=1 ¥
它运算的封闭性. 例如, 考虑 R1 上的集类 n ì ü ï ï 1 C =ï A Ì R : A = (ai , bi ), n = 1, 2, , 或 A =Æï í ý. ï ï i 1 = ï ï î þ 易知C 对并运算和交运算封闭, 但对差运算和可列并运算不封闭. 1.3.1 代数与 -代数 在测度论中经常要遇到具有某些运算封闭性的集类 . 对集类要求不同的运 算封闭性就得到不同的集类. 本节主要介绍代数和 -代数两种集类. 定义 1.8 数. 例1 设 X 是一无限集. 则 A = { A Ì X : A 或 AC 是有限集} 是代数. 事实上 , 由于 Æ Î A , 故 A 非空 . 显然 A 对余运算封闭. 设 A, B Î A . 若 A 和 B 都是有限集, 则 A È B 是有限集, 因而 A È B Î A . 若 A 和 B 中至少有一个是 无限集, 不妨设 A 是无限集. 则 AC 是有限集. 由于 设 A 是一个非空集类. 若 A 对并运算和余运算封闭, 则称 A 为代
A Î C (C ). 若 A C 是有限集, 则 A C C (C ). 于是 A = ( AC )C Î (C ). 这
表明C1 (C ). 于是 这就证明了 (C ) = (C1 ). ■
(C1 ) (C ).
例 6
设 C = {(a, b]: -¥ < a < b < +¥} 是 直 线 上 左 开 右 闭 区 间 的 全 体 ,
-代数.
例 2 显然 P ( X ) 是 -代数, 这是 X 上的最大的 -代数. 由 Æ 和 X 两个集 构成的集类 {Æ, X } 也是一个 -代数. 利用下面的定理 1.16 的结论 (2) 知道, 若 F 是 X 上的一个 -代数, 则必有 {Æ, X } Ì F. 因此 {Æ, X } 是 X 上的最小 -代数. 例 3 设 X 是一个无限集. 例 1 中的 A 对可列并运算不封闭. 事实上, 由于
即有限并可以表示成可列并, 因此 F 对有限并运算封闭, 从而 F 是代数. 由定 理 1.15 知道 X , F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭. 根据 De Morgan 公式, 有
æ ¥ C÷ ö ç = A An ÷ . ç n ç è n=1 ÷ ø n=1
¥
C
由此知道 F 对可列交运算封闭. ■ 结合 -代数的定义和定理 1.16 知道, 若 F 是一个 -代数, 则 F 对有限并 和可列并、 有限交和可列交、 差运算和余运算都封闭. 因此 -代数具有很好的运 算封闭性. 设C 是一个非空集类, 则 P ( X ) 是一个包含C 的 -代数. 这表明至少存在一 个包含C 的 -代数. 令
(2). 设 A 是一个代数. 任取 A Î A , 由于 A 对余运算封闭, 故 AC Î A . 于是
X = A È AC Î A , Æ = X C Î A . 由等式 A Ç B = ( AC È B C )C
即知 A 对交运算封闭. 再利用等式 A - B = A Ç B C 即知 A 对差运算封闭. ■ 结合代数的定义和定理 1.15 知道, 若 A 是一个代数, 则 A 对有限并、有限 交、差运算和余运算封闭. 定义 1.9 设 F 是一个非空集类. 若 F 对可列并和余运算封闭, 则称 F 为
A ( A C ) C F . 这说明, 当 A Î F 时, 在两种情况下均有 A Î F ¢. 因此 F Ì F .¢
综上所证, F 是包含C 的最小的 -代数. 即 (C ) F . ■ 例 5 证明 (C ) = (C1 ), 其中
C = { A Ì X : A 是有限集 } ,
(1.14) (1.15)
若 A Î F , 则 x0 + A Î (C ). 由 (C ) 对余运算的封闭性知道 ( x0 + A)C Î (C ). 再 利用 (1.14) 式知道 x0 + AC Î (C ), 从而 AC Î F . 因此 F 对余运算封闭. 类似地, 利用(1.15) 容易知道 F 对可列并运算封闭. 从而 F 是 -代数. 既 然 F 是 包 含 C 的 - 代 数 . 而 (C ) 是 包 含 C 的 最 小 - 代 数 , 因 此