南京大学数学分析

南京大学1992年数学分析试题

一、定0a ，0a ≠k π（k ∈Z ）,设1+n a =sin n a (n=0,1,2,…).

1) 求∞→n lim n a ；2）求lim ∞→n 21n

na . 二、设f(x) ∈]1,0[C ,在}0{\)1,1(- 内可微，且)0(+'f 及)0(-'f 存在有限,而数列}{},{n n b a

满足条件,101<<<<-n n b a 且∞→n lim n a =∞

→n lim n b =0，求证存在子序列}{},{k k n n b a 及正数p,q,p+q=1,使

∞→n lim )0()0()

()(-+'+'=--f q f p a b a f b f k k k k n n n n

三、设)(x f 在]1,1[-上（R ）可积，令

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=0

1,10,)1()(x e x x x nx n n 当当ϕ 1） 证明函数)()(x x f n ϕ在]1,1[-上（R ）可积；

2） 又若)(x f 在x=0还是连续的，求证

∞→n lim

⎰-=11)0()()(2f dx x x f n n ϕ 四、证明⎰∑∞=+-=101

1

)1(n n n x n dx x . 五、试以u 为因变量，ηξ,为自变量，对方程

y z x

z ∂∂=∂∂22 进行变量代换z y x y u y

y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==4exp ,1,2ηξ. 六、已知⎰∞+-=02

12

πdx e x ，求()⎰+∞->00cos 2a bxdx e ax 之值. 七、计算()()()⎰⎰++++++++=S

dxdy b a z dzdx a c y dydz c b x I 222，其中S 为半球面 ()()()c z R c z b y a x ≥=-+-+-,2222的上侧.

八、设)(),(),(t t t p ψϕ是区间],[b a 上的连续函数，)(),(t t ψϕ单调增加，0)(>t p ，试证

1）⎰⎰⎰⎰⋅≤⋅b a b

a b a b

a dt t t t p dt t p dt t t p dt t t p ;)()()()()()()()(ψϕψϕ 2）若0)(,)(],[>∈t F C t F

b a 且单调减少，证明

⎰⎰⎰⎰≤b a b a b

a b a dt

t F dt t F dt t tF dt

t F t )()]([)()]([22 （2005年5月27日sciphi 输入）