分布列和数学期望教师版(20200514102039)

46
C
2 4
)
C120
30 45
2, 3
（Ⅱ） 的分布列求法同解法一
由于 10 张券总价值为 80 元， 即每张的平均奖品价值为 8 元，从而抽 2 张的平均奖品价值 E =2× 8=16（元） .
变式新题型 2. 假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为
0 2 ，若一周 5 个工作日内无故障，可获利润
0.410.
P(
0) P(
2)
C
2 5
0.22
0.83
0.205.
P( 2) P( 3) 1 P( 0) P( 1) P( 2) 0.057.
的概率分布为
10
5
0
－2
0
0
P
0 205 0 057
328
410
利润的期望 =10× 0 328+5 ×0 410+0 × 0 205 － 2× 0 057 ≈ 5 2 （万元）
甲、乙两队进行一场排球比赛 . 根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为
. 本场比赛采用五局三胜制，即先
胜三局的队获胜，比赛结束 . 设各局比赛互间没有影响 . 令 为本场比赛的局数 , 求 的概率分布和数学期望 . （精确
到） 本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙 队的概率为，乙队胜甲队的概率为 1－＝
解： 的可能取值为 1，2，3，…， n．
；所以 的分布列为： ；
1 2 …k … n
…
…
???
??? 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差 的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值
（元）的率分布列和期望 E .
解法一：
（Ⅰ） P I
C
2 6
C120
1 15
2
，即该顾客中奖的概率为
45 3
2
.
3
（Ⅱ） 的所有可能值为： 0， 10， 20， 50， 60（元） .
且 P( P( P(
0) 20) 60)
C
2 6
C
2 10
1 , P(
3
C
2 3
C120
0
1
2
3
32 80 80 17
P
243 243 243 243
32
80
80
17
131
E
0
1
2
3
243
243 243
243
81
热点题型 2 随机变量 的取值范围及分布列
[ 样题 2] 在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品； 有二等奖券 3 张，每
张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；
0.3744
比赛 5 局结束有两种情况：前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局，第 5 局甲胜或乙胜。因而
P（
＝5）＝
C
2 4
0.6 2
0.4 2
0.6
＋
C
2 4
0.4 2
0.6 2
0.4
0.3456
所以 的概率分布为
3
4
5
P
的期望 E ＝ 3× P（ ＝ 3）＋ 4× P（ ＝ 4）＋ 5× P（ ＝ 5）＝
1 , P(
15
C11C
1 3
C
2 10
1 .
15
10)
C
31C
1 6
C
2 10
2 ,
5
50)
C11C
1 6
C
2 10
2 ,
15
故 有分布列：
0
10
20
50
60
P
1
2
1
2
1
3
5
15 15 15
从而期望 E
解法二：
0 1 10 2 20 1 50 2 60 1 16.
3
5
15
15
15
（Ⅰ） P
(
C
C 1 1
（ 2）求 的数学期望 E .
解：（ 1）设正面出现的次数为
m，反面出现的次数为
|m n| 5
n，则 m n
，可得：
1
9
当m 5, n 0或m 0, n 5时 , 5;当 m 6, n 1或 m 1, n 6时, 7; 当m 7, n 2或 m 2, n 7时, 9; 所以 的所有可能取值为 : 5,7,9.
比赛 3 局结束有两种情况：甲队胜 3 局或乙队胜 3 局，因而 P（ ＝ 3）＝ 0.63 0.43 0.28
比赛 4 局结束有两种情况：前 3 局中甲队胜 2 局，第 4 局甲队胜；或前 3 局中乙队胜 2 局，第 4 局乙队胜。因而
P（
＝4）＝
C
2 3
0.62 0.4
0.6
＋
C
2 3
0.42
0.6 0.4
变式新题型 1. (2005 年高考·浙江卷·理 19) 袋子 A 中装有若干个均匀的红球和白球，从
率是 1 ． 3
( Ⅰ ) 从 A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸
5 次，求恰好有 3 次摸到红球的概率．
( Ⅱ ) 从 A中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．
(i)
求恰好摸 5 次停止的概率；
分析：该组练习耗用的子弹数 ξ为随机变量， ξ可取值为 1， 2，3， 4， 5ξ＝ 1，表示第一发击中 ( 练习停止 ) ， 故 P( ξ＝ 1) ＝ 0． 8
ξ＝ 2，表示第一发未中，第二发命中，故 P( ξ＝ 2) ＝ (1 － 0．8) × 0．8＝ 0． 16ξ＝ 3，表示第一、二发未中， 第三发命中，故 P( ξ＝ 3) ＝(1 － 0． 8) 2×0． 8＝ 0． 032 以下类推
解：（ 1） ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0． 8
0． 16 0． 032 0． 0064 0． 0016
补充备例： 有 n 把看上去样子相同的钥匙， 其中只有一把能把大门上的锁打开． 用它们去试开门上的 锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的． 每把钥匙试开后不能放回． 求试开次数 的数学期望和方差．
分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第 k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如 ， 发现规律后，推广到一般．
10 万元； 仅有一个工作日发生故障可获利润 5 万元； 仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损； 有三个或三个以上
工作日发生故障就要亏损 2 万元 求：
（Ⅰ）一周 5 个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）
；
（Ⅱ）一周 5 个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）
解：以 表示一周 5 个工作日内机器发生故障的天数，则
分布列和数学期望教师版 随机变量的分布列和期望
高考考纲透析： 等可能性的事件的概率 , 互斥事件有一个发生的概率 , 相互独立事件同时发生的概率 , 独立重复试验、 离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标： 离散型随机变量的分布列、期望和方差 热点题型 1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [ 样题 1] (2005 年高考·全国卷 II ·理 19)
由 n 次独立重复试验概率公式 Pn k
Cnk pk 1
nk
p ，得
5
P
0
C50
11 3
32 ； 243
4
P
1 C51 1 1 1
80
3
3 243
2
3
P
2 C52 1
1 1
80
3
3 243
3
2
P
3 C53 1
11
17 （或 P
3
3 243
随机变量 的分布列是
32 80 2 17
31
）
243
243
的数学期望是
[ 样题 3] (2005 年高考·江西卷·理 19)
A、B 两位同学各有五张卡片， 现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，
当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片， 否则
B 赢得 A 一张卡片 . 规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止
. 设 表示游戏终止时掷
硬币的次数 .
（ 1）求 的取值范围；
A 中摸出一个红球的概
( ii ) 记 5 次之内 ( 含 5 次 ) 摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 E ．
3
3
解： ( Ⅰ ) C53 1
2 1 40
3 3 3 243
2
2
( Ⅱ ) （ i ） C42 1
2 18
3 3 3 81
(ii) 随机变量 的取值为 0， 1，2， 3，；
（ 2） P(
5) 2 ( 1 )5 2 1 ; P( 2 32 16
7)
2C
1 5
(
1
)
7
5;
2 64
1 5 55
P( 9) 1
;
16 64 64
1
5
55 275
E5
7
9
.
16
64
64 32
变式新题型 3. 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，
否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为 0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹 ξ的分布列．（ 2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了 4 发子弹的概率。