§3线性变换的矩阵
7.3 线性变换的矩阵
第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。
学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。
建议大家多看书，认真理解概念与结论。
重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。
难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。
_________________________________________________________● 学习内容 一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。
即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。
命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。
命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
高等代数第7章线性变换[1]
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一、线性变换的乘法及其性质
设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, "aV, 有 (AB)(a) = A(B(a))． 1. AB 也是线性变换．
证 因为"a, bV和"k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb)) = A(kB(a)+lB(b)) = A(kB(a))+A(lB(b)) = kA(B(a))+lA(B(b)) = k(AB)(a )+l(AB)(b)．
称矩阵
a11 a12 a1n a a a 2n 21 22 A a n1 a n 2 a nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成 [ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 = [e1, e2, …, en ] a 21 a n 1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn
设
f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换,
定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)， 则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
线性变换及其矩阵表示
例6 设是 R3的一个变换,对任意
a1
a2 R3,
a3
定义
( )
a1
a2
a1 a2,
a3 0
这是 R3的一个线性变换 .其几何意义是将向量
投影到XOY平面上.因此也称这个线性变换 为
投影变换.
若取 R3的标准基
T1,2, ,n P
1,2 , ,n AP 1, 2 , , n P 1 AP
因为 1 , 2 , , n 线性无关， 所以 B P 1 AP .
练习 设V 2中的线性变换T在基1, 2下
的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 ,1下的矩阵.
解
0 1
(
2
,
1)
定义 设T是线性空间 Vn中的线性变换，
在Vn 中取定一个基 1,2 , ,n ，如果这个基
在变换T下的象为
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
T
2
a121
a22
2 an
2
n
,
T n a1n1 a2n 2 ann n ,
记T 1,2, ,n T 1 ,T 2 , ,T n ,
正交变换的定义
欧氏空间V的线性变换T 称为正交变换，如 果它保持中V任何两个向量的内积不变，即对V中 的任意向量α,β，恒有
(Tα, Tβ)=(α, β)
定理
设T是欧氏空间V的 线性变换，则T是正交变换的 充分必要条件是下列条件之一成立：
(1)T保持向量的长度不变，即对V中的任意向量β， 都有|T(β)|= |β|； (2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基； (3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
2012第2学期第07次课 线性变换
定理：如果 η Aξ ，则 y Ax 。其中，A是A在 基 ε1 , ε2 ,..., εn 下对应的矩阵。
( Aε1 , Aε2 , ..., Aεn ) A( ε1 , ε2 , ..., εn ) ( ε1 , ε2 , ..., εn ) A
ξ (ε1 , ε2 ,..., εn ) x Aξ η Ax y
相似
A(η1 , η2 , ..., ηn ) A ( ε1 , ε2 , ..., εn ) X A( ε1 , ε2 , ..., εn ) X ( ε1 , ε2 , ..., εn ) A X
1 ( η , η , ..., η ) X A 1 2 n X 1 (η1 , η2 , ..., ηn ) X AX
称矩阵A为线性变换A在基 ε1 , ε2 , ..., εn 下的矩阵
线性变换与表示矩阵的关系
在取定基之后，n 维线性空间V/P上的线性变换与数 域P上的n级矩阵之间存在1-1对应关系.它表现在
在同一组基之下：
1. 2. 3. 4. 线性变换的和 ↔ 矩阵的和 线性变换的积 ↔ 矩阵的积 线性变换的数量乘积 ↔ 矩阵的数量乘积 线性变换的逆 ↔ 矩阵的逆 （如果可逆）
基在n维线性空间中起着极重要的作用
◦ 任意向量是基向量的线性组合 ◦ 在线性变换之下，任意向量的变换是基向量的变换的线性 组合
变换、基和像的关系
设V是数域P上的n维线性空间, ε1 , ε2 ,..., εn 是V的一组基. 设 ξ x1ε1 x2ε2 ... xn εn , 则
第二学期 高等代数
北京大学工学院2012级 2013.10
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首先，因为线性变换关于给定的基{1,2,…,n}的矩阵是唯一确定的，所以f是L(V)到Mn(F)的一个映射.
其次，对任意A＝(aij)n×nMn(F)，我们构造n个列向量{1,2,…,n}，使A的列向量依次是这些向量关于V的基{1,2,…,n}的坐标，即
j＝a1j1＋a2j2＋…＋anjn.j＝1,2,…,n.
那么(j)＝(j)，j＝1,2,…,n.再由推论7.1.3知，＝.这说明f是L(V)到Mn(F)的一个单射.
最后，设f： A, B,,L(V).我们有
(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A，(1,2,…,n)=(1,2,…,n)B,
(＋)(1,2,…,n)＝(1,2,…,n)＋(1,2,…,n)
＝(1,2,…,n)A＋(1,2,…,n)B
(1)＝(3,2,1)＝31－2－3,
(2)＝(2,2,1)＝21＋02－3,
(3)＝(1, 1,1)＝1＋02＋03.
所以关于基{1,2,3}的矩阵为
B＝
从这个例子可以看出，一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的.
例2设V是F上的n维向量空间，那么V的恒等变换在V的任一基下的矩阵都是n阶单位矩阵；零变换在V的任一基下的矩阵都是n阶零矩阵；数量变换在任一基下的矩阵都是数量矩阵.
的象()的求法.
设
()＝b11＋b22＋…＋bnn. (3)
只要求出b1,b2,…,bn便可确定().
由(2)得
＝(1,2,…,n) .
由(3)得
()＝(1,2,…,n) . (4)
另一方面，
()＝(a11＋a22＋…＋ann)
＝a1(1)＋a2(2)＋…＋an(n)
＝((1),(2),…,(n))
(1)，(2),…,(n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基{1,2,…,n}线性表示，设为
(1)＝a111＋a212＋…＋an1n,
(2)＝a121＋a222＋…＋an2n,
………………………………(1)
(n)＝a1n1＋a2n2＋…＋annn.
令
A＝ ,
规定
(1,2,…,n)＝((1),(2),…,(n) )
则向量等式组(1)式可表示成
(1,2,…,n)＝(1,2,…,n)A,
也可以表示成
((1),(2),…,(n) )=(1,2,…,n)A.
矩阵A叫做线性变换关于基{1,2,…,n}的矩阵，或者，A叫做线性变换在基{1,2,…,n}下的矩阵，矩阵A的第j列就是基向量j的象(j)关于基{1,2,…,n}的坐标，j=1, 2,…,n.
所以关于基{1,2,3}的矩阵为
A＝ .
若取F3的基为1＝(1, 0, 0),3＝(0, 0, 1) ,2＝(0, 1, 0).则关于基{1,3,2}的矩阵为
C＝
由于1,2,3与1,3,2的排列顺序不同，我们认为这是F3的两个不同的基，关于这两个基的矩阵不同.
在F3中再取一个基1＝(1,1,1),2=(0,1,1),3=(0,0,1)，则
.
教学小结
本节主要介绍以下四个内容:
1.线性变换关于基的矩阵
2.与()关于同一个基的坐标之间的关系.
3.L(V)与Mn(F)的同构
(1).L(V)与Mn(F)的同构
(2).可逆线性变换的逆变换的矩阵
4. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
本课作业
本课教育评注
将((1),(2),…,(n))＝(1,2,…,n)A代入上式，得
()＝(1,2,…,n)A .坐标是唯一确定的，比较(4)，(5)得
=A .
上式给出了与()在同一个基下的坐标之间的关系.
现在我们可以得到
定理7.3.1设是n维向量空间V的一个线性变换，关于V的一个基{1,2,…,n}的矩阵是A.向量关于这个基的坐标是(a1,a2,…,an)T，()关于这个基的坐标是(b1,b2,…,bn)T，则
4. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
定理7.3.4一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的,反之,相似矩阵可以看作同一线性变换关于两个基的矩阵.
推论7.3.5设是Fn(n>0)维上向量空间V的线性变换,关于V的基{1,2,…,n},{1,2,…,n}的矩阵分别为A,B,且由{1,2,…,n}到{1,2,…,n}的过渡矩阵为T,那么
由定理7.1.2知，存在L(V)，使
(j)＝j,j＝1,2,…,n.
显然关于基{1,2,…,n}的矩阵就是A.因此f是L(V)到Mn(F)的一个满射.
再次，设,L(V)，如果,在基{1,2,…,n}下的矩阵是相同的，都是A，即
((1),(2),…,(n))＝(1,2,…,n)A＝((1),(2),…,(n)),
§7.3 线性变换的矩阵
教学目的
本节需掌握线性变换关于基的矩阵及可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与()关于同一个基的坐标之间的关系，线性变换的同构即L(V)与Mn(F)的同构，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
教学难点
线性变换的同构
教学重点
变换关于基的矩阵，可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与()关于同一个基的坐标之间的关系，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
＝(1,2,…,n)(A＋B)
即f：＋ A＋B.
同理f：k kA，(kF)
由此可知，f是L(V)到Mn(F)的一个同构映射，并且
()(1,2,…,n)＝((1,2,…,n))＝((1,2,…,n)B)
＝((1,2,…,n))B＝(1,2,…,n)AB
即f： AB
定理7.3.2设{1,2,…,n}是向量空间V的给定的一个基，作映射f：L(V) Mn(F)，使对V的任一线性变换，在f之下的象是关于基{1,2,…,n}的矩阵A，即f ()＝A.那么f是L(V)到Mn(F)的双射，并且若,L(V)，f()＝A，f()＝B，则
f(＋)＝A＋B,
f(k)＝kA,
f()＝AB.□
定理7.3.2告诉我们，L(V)与Mn(F)同构.抽象地看，F上向量空间L(V)与Mn(F)是一样的.这样，线性变换的问题就是矩阵问题，可以用矩阵理论去解决，从而使问题得以简化.
(2).可逆线性变换的逆变换的矩阵
定理7.3.3设{1,2,…,n}是向量空间V的基，L(V)，关于基{1,2,…,n}的矩阵是A.则可逆的充要条件是A可逆.并且,当可逆时,－1关于基的矩阵为A－1.
例3在Rn[x]中取定一个基{1,x,x2,…,xn},是Rn[x]的微分变换，即
(f(x))＝f(x),f(x)Rn[x].
因为
(1)＝0,(x)＝1,(x2)＝2x,…,(xn)＝nxn-1，
所以在这个基下的矩阵为
.
2.与()关于同一个基的坐标之间的关系
现在我们讨论本节一开始给出的向量
＝a11＋a22＋…＋ann(2)
=A .□(6)
例4对例1中的线性变换，若向量关于基{1,2,3}的坐标是(1, 2, 3)T，那么()关于这个基的坐标(y1,y2,y3)T为
＝ ＝ .
例1中由基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵是
T＝ .
即
(1,2,3)= (1,2,3)T.
因此，关于基{1,2,3}的坐标(a1,a2,a3)T为
教 学 过 程
备 注
教学内容
1．线性变换关于基的矩阵
设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换，{1,2,…,n}是V的一个基.V中的任一向量可表示为
＝a11＋a22＋…＋ann，
()＝a1(1)＋a2(2)＋…＋an(n).
如果我们知道了(1)，(2),…,(n),以及在基{1,2,…,n}下的坐标，那么,向量在下的象()也就可以求出来了.由于
＝T－1 ＝ ＝ .
()关于基{1,2,3}的坐标(b1,b2,b3)T为
＝B ＝ ＝ .
其中，B是在基{1,2,3}下的矩阵(见例1).
3.L(V)与Mn(F)的同构
(1).L(V)与Mn(F)的同构
设{1,2,…,n}是n维向量空间V的一个给定的基，作L(V)到Mn(F)的对应法则f，使
f： A，L(V)，
例1设F3的线性变换为
()＝(x1＋x2＋x3,x2＋x3,x3),＝(x1,x2,x3)V3.
取F3的一个基1＝(1, 0, 0),2＝(0, 1, 0),3＝(0, 0, 1).
则
(1)＝(1, 0, 0)＝1＋02＋03,
(2)＝(1, 1, 0)＝1＋2＋03,
(3)＝(1, 1, 1)＝1＋2＋3.