一元二次不等式及其解法导学案
导学案032一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法考纲要求1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式.考情分析1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题热点．2.考查题型多为客观题，有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.教学过程基础梳理一元二次不等式的解集若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．双基自测1．(教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2<0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <13，则ab 的值为( )A ．－3B ．－5C ．6D ．5 3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．若a <0，则关于x 的不等式x2－4ax －5a2>0的解是____________．5．(教材习题改编)不等式x 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况． (3)一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．典例分析考点一、一元二次不等式的解法[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)在本例中，若f (x )变为：f (x )＝x 2－2x ＋ln(x ＋1)，则f ′(x )>0的解集________．[冲关锦囊]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点二、一元二次不等式恒成立问题[例2] (2012·湖州模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为 ( ) A ．(－∞，23] B ．[23，＋∞) C ．(－∞，23]∪[23，＋∞) D ．[23，23] [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1.．(2012·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则 ( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2C ．－21<a <23D ．－23<a <212．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．[冲关锦囊]1．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方．恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法.考点三、一元二次不等式的应用[例3 ]。
3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)
§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
(原创绝靓)3.2《一元二次不等式及其解法》导学案定稿
x §3.2 《一元二次不等式及其解法》导学案【学习目标】1.了解一元二次不等式及其解。
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
3.能在具体的问题情境中，抽象出一元二次不等式模型。
【重点】一元二次不等式的解法。
【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
一.复习回顾一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况：（用判别式=∆ 判别） 当0>∆，则 ；当0=∆，则 ；当0<∆，则 ； 思考：求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的方法有哪些？二、一元二次不等式的概念1、情景引入：一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞养殖，要求水池面积不小于600平方米，假设水池一边长为 x 米，则x 应满足什么关系？解：依题意可得，需满足化简得2、定义：只含有 未知数，并且未知数的 是 的 ，称为一元二次不等式。
一元二次不等式（a ≠0）的一般形式有：ax 2 + bx + c > 0、 ___________________、___________________、___________________3、一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的未知数的取值范围（结果用集合或区间表示）三、一元二次不等式的解法1、225050x x x x -≥-≤探究一元二次不等式、的解集2、根据上述方法，请将下表填充完整：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系四、自学例题：课本P78 例1、例2尝试解答：解下列不等式（1）0322>+-x x ； （2）0562≥-+-x x ；总结：解一元二次不等式的一般步骤是:这个可以课堂上解决，或者写解一元二次不等式的方法总结：求根，因式分解五、课堂练习：解下列不等式：这些不用打在学案上222+-≤-+>-+-> x x x x x x(1)410(2)4410(3)230六、知识迁移：求下列函数的定义域2 ==--y y x x (1)(2)lg(6)。
最新一元二次不等式及其解法导学案
《一元二次不等式及其解法》导学案问题1.方程250x x -=的根情况如何？问题2. 二次函数25y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向： ；（2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空： （1）当x = 或 时，0y =，即250x x -=； （2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ；（3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ；问题4：如何获得不等式2560x x -+≥的解集呢？问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。
六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集.2：求不等式2340x x -++≥ 的解集课堂练习：求下列不等式的解集：（1）24410x x -+> （2）2230x x -+-> （3）29x ≥（4）23710x x -≤ （5）2961x x -≥+ （6）(9)0x x ->（7）2632>+-x x （8）2|2|2<-x 3、 (9)1()()0a x x a-->问题7：（1）利用二次函数的图象解一元二次不等式的步骤是什么？（2）二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间有什么关系？知识点二、三个“二次”之间的关系例1、若不等式的值。
求的解为b a x bx ax ,,21022<<<+-不等式22ax bx ++>的解集是 ，则a b +的值是_________例2、关于x 的函数)1()1(2-+-+=m x m mx y 的值恒为负，求m 的取值范围. 例3、二次不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数的条件是（ ） A 、B 、⎩⎨⎧>∆>00a B 、⎩⎨⎧<∆>00a C 、⎩⎨⎧>∆<00a D 、⎩⎨⎧<∆<00a同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ）3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ） 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的无解，那么（ ）11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<< B ．1x a a<<C ．x a <或1x a> D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ）13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________． 15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解是___． 16、不等式2230x x -->的解是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．。
一元二次不等式及解法
一元二次不等式及其解法（第一课时导学案）依兰县高级中学 崔德成一、 课标要求1、知识与技能：使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；2、过程与方法：通过小组合作探究，使学生熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握数形结合的思想；3、情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神。
小组探究让学生体会到团结的力量。
二、 导入新课（数学知识与现实生活的紧密联系，生活离不开数学） 两个网络服务公司（Internet Serice Provider ）的资费标准：电信：每小时收费1.5元网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）<不妨设一次上网不超过17小时>一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网通所需费用少？三、 课前预习1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-的图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>的关系 （完成“四、合作展示”中表格的第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义的？其数学表达形式是什么？4、画出函数27y x =-的图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0四．合作展示动手试试：画出函数25y x x =-的图象，把纸沿x 轴对折，看看有什么发现？观察图像，填空：① 当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0的解集是_________________不等式25x x -<0的解集是_________________小组探究1：类比三个“一次”的关系，探究一元二次不等式的解法，并完成下表：小结：问：当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或小组探究2：如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？五．应用探究：个人展示：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，求其解集。
一元二次不等式及其解法导学案
1现有两家ISP 公司可供选择：公司B 的收费原则如下：在用户上网的第小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1小时计算).一般上网时间不会超过17小时.那么,一次上网在多长时间所需费用少? ____________________________________ 练 习判 断下列不等式是否是一元二次不等式：(1) x 2－5x ＋6≤0； (2) x 2－9≥0；(3) 3x 2－2 x ＞0； (4) x 2－x ≤－3 ； (5) (x －2)2≤0 ； (6) 3x ＋5＞0；(7) x 2 ＞－4 ；(8) 4x 2－3y ＋4＜0．一元二次不等式的一般表达式为_____________________怎么求刚才应用题中不等式的解集呢？如图：当__________时，函数图像在x 轴下方，此时，y____0， 即x 2－5x______0当____________时，函数图像在x 轴上方，此时，y_____0， 即x 2－5x_______0例1：解下列不等式：（1） （2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解： 解： 解：问题3：讨论总结利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 1 ，基础自测(1)3x 2－7x ≤10；(2) －2x 2+x －5<0； (3) －x 2+4 x －4<0； (4) x 2－x+0.25>0；(5)－2x 2+x<－3； (6) 12x 2－31x+20＞0 (7)3x 2+5x<0； (8)3x 2－6x ＋2＜0．梳理归纳：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：1、若ax 2+bx+c=0（a>0）有两不等实根x 1<x 2 对于ax 2+bx+c>0（a>0）,则取两边； 对于ax 2+bx+c<0（a>0）,则取中间.2、若方根有“一根”或 “无根”，则用 “图象法”解不等式021102<+-x x。
精--高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案.doc
高三上学期《一元二次不等式及其解法》导教案一、教课内容分析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着宽泛的应用工具作用，储藏侧重要的数形联合思想，是代数、三角、分析几何交汇综合的部分，在高中数学中拥有举足轻重的地位。
教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是采纳简短了然的数形联合的方法，从详细到抽象，从特别到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。
教课中，利用几何画板的动向演示功能，指引学生联合二次函数的图象研究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。
经过对一元二次不等式解集的研究过程，浸透函数与方程、数形联合、分类议论等重要的数学思想。
一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，研究中应注意对“特例”的办理，让学生注意对“特别状况”的办理，才能让学习的内容更为完好。
所以，本节课教课的要点是环绕一元二次不等式的解法，经过图象认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出表现数形联合的思想。
二、教课目的分析 1. 经过对一元二次不等式解法的研究，让学生认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
2. 掌握一元二次不等式的求解步骤，特别是对“特例”的办理。
3.经过图象解法浸透数形联合、分类化归等重要的数学思想，培育学生着手能力，察看剖析能力、抽象归纳能力、归纳总结等系统的逻辑思想能力，培育学生简洁直观的思想方法和优秀的思想质量。
三、学生学情剖析学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等相关知识，为本节课的学习打下了基础。
学生依据详细的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，学生可能存在的困难：（ 1）二次函数是初中学习的难点，很多学生对二次函数的知识掌握欠缺，对本节课的顺利展开有必定的影响；（ 2）从特别的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不一样状况下的解集有必定的困难。
3.3一元二次不等式及其解法学案
f ( x) 〉0 ⇔ g ( x) f ( x) ≥0⇔ g ( x) f ( x) 〉a ⇔ g ( x)
三、例题研究 【例 1】 解不等式 ： （1）x
2
x 2 + 2x − 3 <0 1、解不等式 − x2 + x + 6
2、解不等式 x
2
− (a + a 2 ) x + a 3 > 0
a>0
导学案 3.3 一元二次不等式及其解法
组编：
审核：
4、分式不等式
日期：
四、深入探究
【学习目标】理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的 学习目标】 关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养 数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。 重点】 【重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不 等式的解法。 难点】 【难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的 关系。 一、知识回顾 一元一次不等式（最简） 的解集如下表： 一元一次不等式（最简） ax > b 的解集如下表：
（a > 0） 的图 象 有两相异实根 有两相等实根
4、已知 不等式 ax 【例 3】解不等式 x
2
2
+ 5 x + c > 0 的 解集为 x < x < 求
+ 4x + 4 > 0
1 3
1 2
a, c 的范围。
一元二次方程
【例 4】解不等式 − 2 x
2
+ 4x − 3 > 0
【例 2】解不等式 1 − x − 4 x
2
3、不等式 ( a + 1) x 数 a 的取值范围。
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一元二次不等式及其解法导学案
【使用说明及学法指导】
1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；
2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做；
3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑.
【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解
法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用.
【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用
【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话）
情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。
那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()5 6.510h t t t =-++
1. 当x = 或 时，0y =，即2230x x --=；
2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即2
23x x -- 0；
（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2
230x x --<的解集是 ； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即2
23x x -- 0；
（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2
230x x -->的解集是 ；
总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2
0ax bx c ++>或2
0ax bx c ++<(0)a > 的解集； 问题3：完成下表格，并回答思考问题：
ac b 42-=∆ 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
02
=++c bx ax
()0>a 的根
有两相异实根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
的解集)0(02><++a c bx ax
小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .
小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： .
例1：解下列不等式：
（1）2
340x x --≥ （2）2
4410x x -+> （3）2
230x x -+-> 解： 解： 解：
例2：解下列不等式：
（1）(1)()0x x a +-< （2）2
2
560x ax a -+>(0)a ≠。