Matlab教学第六章 MATLAB线性变换及其特征
第6章线性变换和特征值
第6章线性变换和特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它是指一个向量空间V到另一个向量空间W之间的映射，满足线性性质。
线性变换在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、信号处理、物理学等领域中。
在进行线性变换时，我们通常会对向量进行一系列的操作，如旋转、缩放、投影等。
这些操作可以通过矩阵来表示，因为矩阵可以将一些向量操作统一起来，从而方便计算。
线性变换可以用一个矩阵A表示，对于输入向量x，其变换结果y=Ax。
线性变换的一个重要性质是保持向量的线性组合。
即对于任意的向量x1, x2和标量a，b，有T(ax1 + bx2) = aT(x1) + bT(x2)。
这一性质在实际应用中非常有用，它保证了线性变换的结果仍然是向量空间中的向量。
在线性代数中，我们研究的是向量空间的特征，即向量空间中的一些特殊向量。
对于一个线性变换T，其特征向量是满足T(v)=λv的非零向量v，其中λ是一个标量，称为特征值。
特征向量和特征值可以用来描述线性变换对向量的“拉伸”和“旋转”效果。
特征值和特征向量的计算是线性代数中的关键问题。
一般来说，我们可以通过求解线性变换对应矩阵的特征方程来求解特征值和特征向量。
特征方程是一个关于特征值λ的方程，其形式为det(A - λI) = 0，其中A是线性变换对应的矩阵，I是单位矩阵。
特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，特征值和特征向量可以用来描述3D模型的形状变化。
在信号处理中，特征值和特征向量可以用来解决滤波和降噪问题。
除了特征值和特征向量，线性变换还有一些重要的性质。
例如，对于矩阵为A的线性变换T和标量c，有T(cA)=cT(A)，称为线性变换的齐次性质。
此外，线性变换的核是指所有使得T(v)=0的向量v的集合，而像是指线性变换T的所有可能输出向量的集合。
总结起来，线性变换是线性代数中的重要概念，它可以用矩阵来表示，并且具有许多重要的性质。
特征值和特征向量是线性变换的重要度量指标，可以用来描述线性变换的效果。
matlab矩阵与线性变换与计算
05
实例演示
矩阵的基本操作实例
矩阵的创建
使用方括号[]，例如A = [1 2; 3 4]。
矩阵的加法
使用加号+，例如B = [5 6; 7 8]，则A + B = [6 8; 10 12]。
矩阵的数乘
使用标量乘法，例如2 * A = [2 4; 6 8]。
矩阵的元素运算
使用点运算符.，例如A.^2 = [1 4; 9 16]。
矩阵计算实例
行列式计算
使用det函数，例如det(A) = -2。
行最简形式
使用rref函数，例如rref(A) = [1 0; 0 1]。
矩阵的逆
使用inv函数，例如inv(A) = [-2 -3; 1.5 0.5]。
矩阵的转置
使用'运算符，例如A' = [1 3; 2 4]。
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Matlab矩阵与线性变换与计 算
• Matlab矩阵基础 • 线性变换 • 矩阵计算 • Matlab中的矩阵与线性变换操作 • 实例演示
01
Matlab矩阵基础
矩阵的定义与表示
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行和 列的数量可以不同。
还可以使用分号来分 隔行，以创建多行矩 阵。
在Matlab中，可以 使用方括号[]来创建 矩阵，并使用逗号分 隔行内的元素。
矩阵的基本操作
加法
将两个矩阵的对应元素相加。
减法
将一个矩阵的对应元素减去另 一个矩阵的对应元素。
数乘
将一个标量与矩阵中的每个元 素相乘。
转置
将矩阵的行和列互换。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其他元素都为零 的矩阵。
数字图像处理及应用(MATLAB)第6章
edge
检测图像边缘，例如： `BW = edge(I, 'sobel');`
自定义函数实现特定功能
1
自定义函数可以实现一些特定的图像处理功能， 例如图像滤波、形态学处理、特征提取等。
2
在MATLAB中，可以通过编写M文件来定义自己 的函数，然后在图像处理过程中调用这些函数。
3
自定义函数的编写需要遵循MATLAB的语法规则， 同时需要考虑函数的输入、输出参数以及函数的 返回值等问题。
小波变换在图像压缩中的应用
压缩原理
小波变换能够将图像的能量集中在少数几个小波系数上，因此可以通 过保留重要的小波系数并舍弃不重要的小波系数来实现图像压缩。
编码方法
常用的小波编码方法包括嵌入式零树编码（EZW）、分层树集合分裂编码 （SPIHT）等，这些方法能够有效地对小波系数进行编码，实现高压缩比。
MPEG标准
是一种针对运动图像和音频的压缩标准，采用运动补偿预测（MCP）、离散余弦变换（DCT）和量化编码等有损 压缩技术，可实现视频数据的实时传输和存储。MPEG标准包括MPEG-1、MPEG-2、MPEG-4等多个版本，分 别适用于不同应用场景和需求。
04 形态学图像处理
膨胀与腐蚀运算
膨胀运算
通过结构元素在图像中的移动， 将结构元素与图像对应区域进行 逻辑“或”操作，使图像中的高 亮区域逐渐扩大。
腐蚀运算
通过结构元素在图像中的移动， 将结构元素与图像对应区域进行 逻辑“与”操作，使图像中的高 亮区域逐渐缩小。
开闭运算及形态学梯度
01
开运算
先对图像进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。可以用来消除图像中的小物
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MATLAB基础知识及常用功能介绍
MATLAB基础知识及常用功能介绍第一章：MATLAB简介及安装MATLAB是一种强大且广泛应用的数值计算软件，它提供了许多用于科学计算和工程设计的功能。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的缩写，其主要特点是在操作矩阵和各种数学函数上非常高效。
要安装MATLAB，只需下载安装程序然后按照提示进行安装即可。
第二章：MATLAB基本操作在MATLAB中，可以使用各种命令来进行基本的数学运算，例如加减乘除、幂运算等。
此外，还可以定义变量、矩阵和向量，并进行复杂的数学运算。
提示：使用分号可以取消输出结果。
第三章：MATLAB脚本和函数脚本是一系列MATLAB命令的集合，可以保存并重复执行。
函数是一段具有输入和输出的可执行代码块，可以通过函数名和输入参数来调用。
编写脚本和函数有助于提高代码的可读性和可重复性。
第四章：MATLAB图形化界面MATLAB提供了图形化界面（GUI）工具箱，用于创建交互式应用程序和图形用户界面。
利用GUI工具箱，可以通过拖拽和放置的方式创建界面，并通过设置属性和回调函数实现交互功能。
第五章：MATLAB数据可视化MATLAB拥有丰富的数据可视化功能，可以将数据以各种图表形式呈现出来，如散点图、柱状图、曲线图等。
此外，还可以对图表进行自定义设置，如添加图例、调整轴范围、添加标题等。
第六章：MATLAB图像处理MATLAB提供了强大的图像处理工具箱，可以用于图像的滤波、锐化、模糊、边缘检测等操作。
此外，还可以进行图像的变换和特征提取，用于图像识别和分析。
第七章：MATLAB信号处理MATLAB信号处理工具箱提供了一系列用于处理、分析和合成信号的函数和工具。
可以进行信号滤波、频谱分析、时域分析等操作。
此外，还可以进行数字滤波器设计和滤波器实现。
第八章：MATLAB数学建模MATLAB是数学建模的重要工具，可以用于建立各种数学模型并进行仿真和优化。
可以利用MATLAB解方程、求解微分方程、进行符号计算等，用于解决各种实际问题。
探索MATLAB中的矩阵特征值与特征向量
探索MATLAB中的矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量是线性代数领域中的重要概念，它们在科学、工程和数据分析等领域中具有广泛的应用。
MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，为我们提供了一些方便的工具来研究和分析矩阵特征值与特征向量。
首先，让我们明确一下什么是矩阵的特征值与特征向量。
在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为一个常数，我们称λ为矩阵A的特征值，x为相应特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的重要性在于它们可以帮助我们了解矩阵的性质和行为。
在MATLAB中，我们可以使用`eig()`函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
例如，对于一个3x3的矩阵A，我们可以通过以下代码来计算它的特征值和特征向量：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];[eigenvalues, eigenvectors] = eig(A);```在上述代码中，`eigenvalues`是一个由矩阵A的特征值组成的列向量，而`eigenvectors`则是一个由矩阵A的特征向量所构成的矩阵，其中每一列对应一个特征向量。
除了通过`eig()`函数计算特征值和特征向量外，MATLAB还提供了一些其他有用的函数来进一步分析和处理特征值和特征向量。
例如，我们可以使用`eig()`函数的输出结果来计算矩阵的谱半径，即特征值的绝对值的最大值。
代码如下：```spectral_radius = max(abs(eigenvalues));```谱半径是一个衡量矩阵稳定性的重要指标，它与系统的动态行为息息相关。
通过计算矩阵的谱半径，我们可以判断系统是否稳定，以及其稳定性的程度。
此外，MATLAB还提供了一些函数来对特征值和特征向量进行排序和筛选。
例如，我们可以使用`sort()`函数对特征值进行排序，代码如下：```sorted_eigenvalues = sort(eigenvalues,'descend');```上述代码将特征值按降序排列，存储在`sorted_eigenvalues`中。
线性变换的特性与判别定理
线性变换的特性与判别定理线性变换在数学、物理、计算机科学等领域中都有着非常重要的应用。
一个线性变换可以描述一个向量从一种形式转换为另一种形式。
在这个过程中，向量的长度和夹角都可能会被改变。
在本文中，我们将探讨线性变换的特性以及如何使用判别定理来判断一个变换是否是线性变换。
一、线性变换的特性1. 线性变换是保持向量加法的。
一个线性变换必须满足以下条件：$$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$$其中$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着如果我们对两个向量进行线性变换，然后将它们的结果相加，那么这个结果将等于将这两个向量相加，然后再对它们进行线性变换得到的结果。
这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
2. 线性变换是保持向量数乘的。
一个线性变换还必须满足以下条件：$$T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})$$其中$c$是任意标量，$\mathbf{v}$是任意向量。
这个条件意味着线性变换将向量的长度缩放到$c$倍。
同样，这个特性对于计算机图形学中的变换非常有用，因为它允许我们使用矩阵来描述变换，从而简化计算。
3. 线性变换是保持原点不变的。
在一个向量空间中，原点是一个特殊的向量，它的坐标为$(0,0,...,0)$。
一个线性变换必须保持原点不变，也就是说$T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$。
这个特性是任何线性变换都必须满足的，因为没有这个特性的话，那么变换不再是一个向量空间到自身的映射了。
4. 线性变换可以用矩阵来表示。
上述三个特性意味着我们可以使用矩阵来描述一个线性变换。
给定一个向量$\mathbf{v}$，我们可以使用矩阵$A$来表示它的变换：$$T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$$其中$A$是一个$n\times n$的矩阵，$\mathbf{v}$是一个$n$维的向量。
MATLAB图像处理-线性变换和直方图均衡
MATLAB图像处理-线性变换和直⽅图均衡如何在MATLAB中对于已经被表⽰成数字矩阵的图像进⾏处理⼀、灰度拉伸变换 把图像中每个像素点的灰度值，按照希望达到的效果，以线性变化的形式，进⾏变换。
如下图，就是⼀种分段函数形式，把输⼊的X轴灰度值变换为输出的Y轴灰度值，只是将灰度值做分段线性变换。
分段函数控制点(r1,s1)和(r2,s2) 创建分段函数： function [ new ] = StretchFunc(original, x1, y1, x2, y2 )new = original;w = size(new, 1);h = size(new, 2);k1 = y1 / x1;dk1 = (y2 - y1) / (x2 - x1);dk2 = (500 - y2) / (500 - x2);for i = 1 : wfor j = 1 : hx = new(i, j);if x < x1new(i, j) = k1 * x;elseif x < x2new(i, j) = dk1 * (x - x1) + y1;elsenew(i, j) = dk2 * (x - x2) + y2;endendendend%读⼊图⽚O=imread('F:\Maths\tupian.jpg');%进⾏线性变换,设置转折点为（200,100）和（300,400）NO=StretchFunc(O,200,100,300,400);%显⽰原图和变换后的图⽚figure,imshow(O);title('原图');figure,imshow(NO,[]);title('变换后');结果图：⼆、直⽅图均衡 函数功能，画出图像的直⽅图，并对图像进⾏直⽅图均衡 直接读图像tupian.jpg，读到O中 graydis是原始直⽅图各灰度级像素个数 原始直⽅图graydispro，利⽤原始直⽅图计算原始累计直⽅图graydispro t[]计算和原始灰度对应的新的灰度t[]，建⽴映射关系，t坐标代表原始的灰度，t[]代表对应原始坐标的新坐标 new_graydis是统计新直⽅图各灰度级像素个数 计算新的灰度直⽅图new_graydispro,利⽤新的直⽅图计算新的累计直⽅图new_graydispro 计算直⽅图均衡后的新图NO%读⼊图⽚O=imread('F:\Maths\tupian.jpg');graydis=zeros(1,256); %设置矩阵⼤⼩graydispro=zeros(1,256);new_graydis=zeros(1,256);new_graydispro=zeros(1,256);[h w]=size(O);NO=zeros(h,w);%计算原始直⽅图各灰度级像素个数graydisfor x=1:hfor y=1:wgraydis(1,O(x,y))=graydis(1,O(x,y))+1;endend%计算原始直⽅图graydisprograydispro=graydis./sum(graydis);subplot(1,2,1);plot(graydispro);title('灰度直⽅图');xlabel('灰度值');ylabel('像素的概率密度');%计算原始累计直⽅图for i=2:256graydispro(1,i)=graydispro(1,i)+graydispro(1,i-1);end%计算和原始灰度对应的新的灰度t[]，建⽴映射关系for i=1:256t(1,i)=floor(254*graydispro(1,i)+0.5);end%统计新直⽅图各灰度级像素个数new_graydisfor i=1:256new_graydis(1,t(1,i)+1)=new_graydis(1,t(1,i)+1)+graydis(1,i);end%计算新的灰度直⽅图new_graydispronew_graydispro=new_graydis./sum(new_graydis);subplot(1,2,2);plot(new_graydispro);title('均衡化后的灰度直⽅图');xlabel('灰度值');ylabel('像素的概率密度');%计算直⽅图均衡后的新图NOfor x=1:hfor y=1:wNO(x,y)=t(1,O(x,y));endendfigure,imshow(O);title('原图');figure,imshow(NO,[]);title('直⽅图均衡化后的图'); 结果：。
Matlab-线性代数入门
03
Matlab在线性代数中的应 用
矩阵的创建与操作
创建矩阵
使用方括号[]，元素之间用逗号分隔。
矩阵操作
包括矩阵的加法、减法、乘法等基本运算 。
矩阵转置
使用'转置运算符'。
矩阵求逆
使用inv()函数。
线性方程组的求解
1 2
线性方程组表示
使用矩阵形式Ax=b表示线性方程组。
求解方法
使用Matlab的左除运算符或solve()函数求解。
提供大量的内置函数和工具箱， 方便用户进行各种计算和分析。
Matlab界面与操作
命令窗口
用于输入和执行Matlab命令， 显示结果。
工作空间
显示当前工作区中的变量，可 以对变量进行编辑和操作。
历史命令窗口
显示执行过的命令历史记录。
编辑器
用于编写和编辑Matlab脚本和 函数。
Matlab变量与数据类型
迭代法
演示如何使用Matlab的`bicg`函数求解线性 方程组，该函数采用迭代法。
最小二乘法
演示如何使用Matlab的`lsqlin`函数求解线 性方程组的最小二乘解。
特征值与特征向量的计算演示
特征值与特征向量的定义
解释特征值和特征向量的概念，以及它们在矩 阵中的表示。
eig函数的使用
演示如何使用Matlab的`eig`函数计算矩阵的特 征值和特征向量。
Matlab在线性代数中的未来发展
01
02
03
集成更多算法
随着线性代数的不断发展， Matlab将会集成更多先进 的算法，以满足不断增长 的计算需求。
优化图形可视化
未来Matlab将会进一步优 化图形可视化功能，提供 更加丰富学 习的集成，未来将有更多 与线性代数相关的机器学 习算法和工具箱推出。
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5
几种变换的行列式与特征值
D1 det(A1) 1, 1 1
1 ,
1
p1
0
0
1
D2 det(A2) 1.5, 2 1.0
1.5 ,
0
p2
1
1
0
D3 det(A3) 0.2,3 0.2
1.0
,
p3
0 1
1
0
D4 det(A4) 1, 4 1
并在子图2中画出其图形；
画图的要点是要在给定的数据右方，补上第一点的坐标， 使画出的图形封闭。
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13
程序与图形结果
x0[0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8];
x[x0,x0(:,1)];
% 把首顶点坐标补到末顶点后
A[1,0.25;0,1]; yA*x;
1
,
p4
1.0 0.
1.0 0.
D5 1, 5 0.866 + 0.5i
0.866 0.5i ,
p5
0.7071 0 0.7071i
0.7071 0 + 0.7071i
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6
看出的基本关系
• 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵 A5使原图沿反时针方向旋转tpi/6。分别计算出 这五个矩阵的行列式和特征值;
•
Axλx
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9
Eigshow(A4)产生的图形
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eigshow([1,2; 2,2])的图形
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11
A是对称实矩阵的情况
• 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对称矩阵是满 足ATA的矩阵。
• 对22矩阵，只要求A(1,2)A(2,1)。例如令， A=[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，
8
用eigshow函数看特征值
• 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想像是困
难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的向量图来思考。
• 键入eigshow(A4) 。绿色的x表示原坐标系中的单位向量， 可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转动。图中同时出 现以蓝色表示的Ax向量，它表示变换后的新向量。当两个 向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示两者 相位相同，只存在一个（可正可负的）实数乘子λ，
•
线性代数很枯燥吗？
你应该发现它的应用极其精彩而广泛。
通过的主要方法是利用软件工具的空间绘图能力、快
捷计算能力和大量工程问题的解，建立学习线性代数 的目标和热情。
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2
Lecture 6
Linear Algebra with MATLAB
1 平面上线性变换的几何意义 2 二维矩阵特征值的几何意义
1
例如矩阵A1在第一特征向量 p1(:,1)
值为 1(1) 1 ，即横轴
0
方向的特征
正方向的增益为1，其结果是把原图中横轴正方向的
A部，1在分第变二换特到征新向图量的负p方1(:向, 2 )去的了方10；向的特征值为λ1(2)=1
即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图在纵
轴方向尺度不变。 整理ppt
Lecture 6
Linear Algebra with MATLAB
线性变换及其特征 (MATLAB)
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1
• Linear Algebra with Applications using MATLAB
•
线性代数很抽象吗？
你应该感到它的概念都以形象作基础。
•
线性代数很冗繁吗？
你应该懂得它的计算全有简明的程序。
• 对二维空间（平面），一个变换所造成的图形的 面积变化，取决于该变换的行列式。A1，A4和 A5的行列式绝对值都是1，所以它们不会使变换 后图形的面积发生改变。而A2和A3的行列式分别
为1.5和0.2，
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7
2 二维矩阵特征值的几何意义
• 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的
方向上的放大量。
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3
1 平面上线性变换的几何意义
• 例1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四 个顶点的数据可写成
x
0 0
1 0
1 10 1Fra bibliotek把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结 果yi=Ai*x。用程序实现变换计算，并画出x及yi图形：
x[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') A1[1,0;0,1], y1A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g') …
• 数据矩阵 x 0 00 .0 5 00 6 ..5 4 0 26 0 .0 08 6 ..0 0 0 08 5 ..0 5 0 01 5 ..5 5 8 08 .0 0 0 表示英文大写空心字母N的各个节点
（1）用plot语句在子图1中画出其形状；
（2）取
A
1
0
0.25
1
作为变换矩阵对x进行变换，
• 解：程序的要点是：
1。列出三角形的数据矩阵
2。扩展为齐次坐标(第三行加1)
3。平移和转动变换矩阵也
要用三维的变换矩阵
4。按变换次序左乘
5。绘图
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16
2 空间线性变换的几何意义
• 三维空间线性变换最直接的几何意义和应用价值可以从飞 行器的三维转动坐标中得到解释。飞行器在空中可以围绕 三个轴旋转。假如它在向北飞行，机头正对北方，则它围 绕铅垂轴的旋转角称为偏航角（Yaw），它描述了飞机左 右的偏转，用u表示；围绕翼展轴的旋转角称为倾斜角 （Pitch），它描述了飞机俯仰姿态，用v表示；围绕机身 轴的旋转角称为滚动角（Roll），用w表示；u,v和w三个 变量统称为欧拉角，它们完全地描述了飞机的姿态。
• 这时的特点是：Axλx出现在Ax椭圆轨迹的主轴上， 所以两个特征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616， 可以和图形对照起来看。
• (注意：对称实矩阵,一般矩阵也是这个意义吗? why?)
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12
例:斜体字的生成(wzs091224.m)
subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:))
subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:))
画出的两个图形如右：
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• 线性代数模型举例 (略)
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15
1 刚体平面运动描述
• 设三角形的三个顶点坐标为(1,1),(1,1),(0,2)，今要使 它旋转30度，右移2，上移3，以试设计变换矩阵A， 并画出变换前后的图形。