信号描述方法_时域波形
把信号的时域波形借助离散傅里叶变换转化为频谱信息
信号处理是现代通信领域中非常重要的一个方向，其中信号的时域波形转化为频谱信息是信号处理中的一个重要步骤。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）作为一种经典的频谱分析方法，被广泛应用于信号处理中。
本文将详细介绍如何利用离散傅里叶变换将信号的时域波形转化为频谱信息。
1. 信号的时域波形时域波形是信号在时间轴上的波形变化，通过观察时域波形可以了解信号的振幅、频率和相位等信息。
通常情况下，信号的时域波形是连续的，需要将其离散化之后才能进行数字信号处理。
2. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号转化为频谱信息的数学工具，它可以将时域波形转化为频域信息，从而揭示信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的基本公式如下：X(X)=∑_(X=0)^X−1▒〖X(X)X^(-X2πXX/X)〗3. 离散傅里叶变换的计算离散傅里叶变换的计算主要依赖于快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，FFT算法可以将离散傅里叶变换的计算复杂度由O(X^2)降低到O(X log X)，大大提高了计算效率。
4. 信号的频谱信息通过离散傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，包括频率成分的分布、能量的分布等，频谱信息能够帮助我们深入理解信号的特性，并且在通信系统的设计和优化中起着重要作用。
5. 应用实例离散傅里叶变换在数字通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
以数字通信为例，接收端通常会对接收到的信号进行离散傅里叶变换，以获取信道中的频率响应信息，从而进行信号的均衡和解调。
6. 总结通过离散傅里叶变换，我们可以将信号的时域波形转化为频谱信息，揭示信号的频率成分和能量分布，为信号处理和通信系统的设计提供了重要的工具和方法。
未来随着科技的不断发展，离散傅里叶变换技术也将继续得到改进和应用，为现代通信领域的发展注入新的活力。
在信号处理的过程中，离散傅里叶变换起着至关重要的作用。
信号的描述方法
号，如噪声。
信号的特性
幅度
幅度是指信号的强度或振幅，表示信号的大小或强弱程度。在模拟信号中，幅度通常表示 为连续变化的物理量；在数字信号中，幅度通常表示为电压或电流的幅度。
示信号的周期性或节奏。在模拟信号中，频率表示为 连续变化的波形；在数字信号中，频率表示为二进制数据的变化速率。
Z变换
Z变换的定义
Z变换是一种将离散时间信号序列从时域转换到复平面上的频域的方法，通过 将序列 $x[n]$ 映射到复平面上的函数 $X(z)$ 来描述信号的频域特性。
Z变换的性质
具有线性性、时移性、频移性、时域卷积定理和频域卷积定理等性质，可以用 于分析信号的频域特性和系统的稳定性。
THANKS
相位
相位是指信号在不同时刻所处的位置或状态，表示信号的时间关系或同步性。相位的变化 通常用于调制和解调等通信技术中。
02
信号的时域描述
信号的幅度
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幅度
表示信号的强弱程度，通常用 振幅来描述。振幅是信号在时
域中的最大值或最小值。
幅度调制
通过改变信号的幅度来传递信 息，例如声音的响度或无线电
计算方法
通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波，然后计算每个频率 分量的能量，再除以对应的频率带宽，得到每个频带的能量密度。
应用
用于分析信号的频谱特性和频率成分，了解信号在不同频率下的能量 分布情况。
功率谱密度函数
定义
功率谱密度函数（PSD）是描述 信号功率在频率域分布的函数， 表示单位频带内的信号功率。
频谱密度函数的应用
用于信号的统计特性分析和噪声抑制等。
傅里叶变换
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信号时域频域及其转换
信号分析方法概述：通用的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数 2 是将信号描述成频率的函数;也有用时域和频率联合起来表示信号的方法;时域、频域两种分析方法提供了不同的角度,它们提供的信息都是一样,只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个;思考：原则上时域中只有一个信号波时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数,时域中只有周期的概念,而对应频域纯数学概念则有多个频率分量;人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中加起来构成了三维空间,所以比较好理解时域的波形其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位、空间域的多径信号也比较好理解; 但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中,频域就是其中一维;时域的信号在频域中会被对应到多个频率中,频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期它们取值不同,可以表示不同的符号,所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道;时域中波形变换速度越快上升时间越短,对应频域的频率点越丰富;所以：OFDM中,IFFT把频域转时域的原因是：IFFT的输入是多个频率抽样点即各子信道的符号,而IFFT之后只有一个波形,其中即OFDM符号,只有一个周期;时域时域是真实世界,是惟一实际存在的域;因为我们的经历都是在时域中发展和验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生;而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就是在时域中测量的;时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间;时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔,通产用ns度量;时钟频率Fclock,即1秒钟内时钟循环的次数,是时钟周期Tclock的倒数;Fclock=1/Tclock上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关,通常有两种定义;一种是10-90上升时间,指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间;这通常是一种默认的表达方式,可以从波形的时域图上直接读出;第二种定义方式是20-80上升时间,这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间;时域波形的下降时间也有一个相应的值;根据逻辑系列可知,下降时间通常要比上升时间短一些,这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的;在典型的输出驱动器中,p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的,输出连在这个两个管子的中间;在任一时间,只有一个晶体管导通,至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态;假设周期矩形脉冲信号ft的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,重复周期为T,频域频域最重要的性质是：它不是真实的,而是一个数学构造;时域是惟一客观存在的域,而频域是一个遵循特定规则的数学范畴;正弦波是频域中唯一存在的波形,这是频域中最重要的规则,即正弦波是对频域的描述,因为时域中的任何波形都可用正弦波合成;这是正弦波的一个非常重要的性质;然而,它并不是正弦波的独有特性,还有许多其他的波形也有这样的性质;正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：1时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述;2任何两个频率不同的正弦波都是正交的;如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分,则积分值为零;这说明可以将不同的频率分量相互分离开;3正弦波有精确的数学定义;4正弦波及其微分值处处存在,没有上下边界;使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方;若使用正弦波,则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决;如果变换到频域并使用正弦波描述,有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案;而在实际中,首先建立包含电阻,电感和电容的电路,并输入任意波形;一般情况下,就会得到一个类似正弦波的波形;而且,用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形,如下图所示：图理想RLC电路相互作用的时域行为频域的图如下\时域与频域的互相转换时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面;时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来;一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便;时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号,在频域中对应一条谱线,即正弦信号的频率是单一的,其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号;按照傅里叶变换理论：任何时域信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加;1、正弦波时域信号是单一频率信号；2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；解释1：初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率,加上许多书中的描述不够严谨,比如：语音信号的频率是在4k以下,是3~4千赫正弦波;正确的解释是：一个信号有两种表示方法,时域和频域;在时域,信号只有周期,正是因为有了傅立叶变换 ,人们才能理解到信号频域的概念;先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波注：大家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的,而是一个数学构造;频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果;通过数学方法,可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号;无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等;时间比较好理解,就是：时间周期1发送符号1,时间周期2发送符号2.;,时域的波形可以用三角函数多项式表示,函数参数有：时间、幅度、相位;在载波传输中,载波信号由振荡器产生,它的时钟频率是固定的,倒数就是时间周期;频域比较难理解,按傅立叶分析理论,任何时域信号都对应了频域的若干频率分量称为谐波的叠加,频域的频率与时域的时钟频率不同;可以认为：时域不存在频率,只存在时间周期;信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率分量;而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形称为谐波,基波是一种特殊的谐波,它的频率与时域波形的时钟频率相同;因为载波一般都是正弦波,所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率以Hz为单位,即1Hz;时间周期T=1/f;载波的功能参见调制解调部分内容;这里可以先不理解何为载波,关键是时域与频域的对应关系;以这个时域波形为例设时域波形图中的合成波的时间周期=T如2秒,其时钟频率则为f0=1/2 Hz;那么基波的频率、周期与合成波一样;每个谐波之间频率间隔=基波频率;而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz,周期T1=1;谐波2的频率f2=1+1/2=3/2 Hz,周期T2=2/3;;;;谐波8的频率f8=1/2+1/28=,周期T8=在频域中,每个频率分量都有自己的幅度与相位;按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形;将各谐波的时域波形叠加起来,即得到时域中合成波;解释2：时域信号的数据传输速率,常用 bps,如100Kbps,指1s内传输了100K bits的二进制数据;即：时域的传输效率;引入频域后,带来一个新的数据：频谱效率,作为频域的传输效率;如 80bps/Hz 指1Hz频率上能传输80bps数据;按信息论,带宽越大,数据速率越高;解释3：为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号;用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度;一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的;且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示;注：此处仍要牢记：频域是数学构造,只要有助于我们分析信号,对应的数学方法就是有用的; -------------------------傅立叶变换原理傅立叶变换分类根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别：周期性连续信号傅立叶级数Fourier Series非周期性连续信号傅立叶变换Fourier Transform非周期性离散信号离散时域傅立叶变换Discrete Time Fourier Transform周期性离散信号离散傅立叶变换Discrete Fourier Transform-DFT下图是四种原信号图例：这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢没有;因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号;面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法;还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换;这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的;但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的;所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换DFT才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法;这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的;每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换real DFT,再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换;还有,这里我们所要说的变换transform虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理DSP,有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法;傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加;而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位;和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法;该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号;因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号信号的频谱,可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工;最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号;傅立叶级数的五个公式周期性函数傅立叶19世纪的法国人认为：任何周期函数ft总是可以变成下面的傅立叶级数傅立叶公式1它等价于下面的公式傅立叶公式2两个公式的关系是：公式中a0,an、bn都是常数;A k CosW k t+B k SinW k t即时域信号的第k个频率分量对应的正弦波即谐波表示;an,bn也称为傅立叶系数;时域的信号用ft表示,下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法;因为三角函数间有正交关系,如下1,两个不同三角函数的乘积在-pi,+pi上的定积分为0;即正交;2,两个相同函数的乘积在-pi,+pi上的定积分为2Pi或pi.解释：上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t;pi可对应时间周期T;首先：我们考虑如何对于时域信号ft分解出其中的各个子信号子谐波：A k CosW k t+B k SinW k t;然后可以得到各个谐波在频域的表示方法:频率W,幅度Cn、相位;这三项就是傅立叶变换的结果：频域信号表示按上述的三角函数关系,要得到a k,就把ft乘以cosw k t,并在整个周期内取积分;得图中的a n就是a k.得到下图中的a n 就是ak.根据A k CosW k t+B k SinW k t这个波形的表示方法可以推导出：1,就是这个正弦波的最大幅值最大振幅也即幅值频谱图的y轴;2,就是这个正弦波的相位;经过简单的三角函数运算,可以得到傅立叶级数ft的另一个表达方式：傅立叶公式3它可以更方便的计算出振幅和相位分别对应幅度谱与相位谱傅立叶级数ft的另一种表示方式是复指数形式,它也是最简捷的表达方式;傅立叶公式4Cn是复数,定义为从上面的ft推导出复指数形式的过程略,基本思想是利用了欧拉公式e^jx = cosx + jsinx及解释：频域分量转成的时域信号都是复信号含实部与虚部,虽然实际信号都是实的;实际上信号的传输都用实信号,而接收信号的处理中则使用复信号;三角函数运算法则是：,从上面的复指数傅立叶级数公式中,可以直接得到各子频率分量对应正弦波谐波的振幅和相位;复指数傅立叶级数公式傅立叶公式4 可以推导出三角函数形式傅立叶公式5另外,在傅立叶公式4 中看起来出现了“负频率”,但实际上它们是不存在,只是数学的一种表示方法;所以在傅立叶公式5 中就消除了“负频率”这里给出了五种傅立叶级数ft的表示方式,它们都是等价的,并可互相推导出来;傅立叶积分非周期性函数非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱;因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计算频谱;而当时间间隔不断增大,在极限情况下就变为傅立叶积分;考虑一个周期函数ft,用傅立叶级数表示;其频谱图如下,其相邻各谐波频率之间间隔为所以这个ft可以写为,将△W代入原ft公式而得;当T->无穷大时,,而Wn也->0,所以频谱会由离散频率点变为连续频谱;则Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数Fw则我们得到非周期函数ft 的傅立叶积分表示方法ft;非周期函数ft的时域、频域图举例如下：把Fw的计算公式称为傅立叶积分公式;Fw称为 ft的傅立叶变换;ft公式即傅立叶反变换公式;Fw与ft的计算公式看起来很像,甚至可以互相调换ft与Fw.由Fw公式得出时域信号ft的频率分量;频率、频谱从本质上说是某种数学抽象;振幅谱和相位谱的关系上面的频谱图实际上是振幅谱,看不出相位与频率间的关系;Fw是频率的复函数;Fw也可分解为振幅谱和相位谱;,它随频率变化;它们有奇怪的对称性;振幅谱是频率的偶对称函数;相位谱是频率的奇对称函数;可以推导出：即相位就是解释：时域中的相位,与频域中的相位完全不同;频域中相位是指各谐波的相位,它随频率而时间变化;所以：1,频域中完全看不出时间,只有谐波的各频率、幅值、相位 ;这些谐波在非稳定信号中可能并不会在所有时间中存在,这是另一个信号处理领域的问题;2,时域信号中看不出频率,只有各谐波叠加后的信号;时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期,即基波的周期;频率也相当于基波的频率;相位则是各谐波叠加后形成相位在时域与频域没有固定的、可按公式计算出的关系;时域信号的一个周期中的符号包括了以下信号的叠加且可通过正交分解出来：一个基波在一个周期内的符号,一次谐波在2个周期内的符号,二次谐波在3个周期内的符号,三次谐波在4个周期内的符号;;;在快速傅立叶变换中,因为时域抽样点必须是2的K次方,所以偶次谐波的幅值总为0,即不携带信息或空符号功率谱从电路分析可知,如代表1欧电阻上的电压,则在此电阻内损耗的平均功率为An2+Bn2/2 瓦;所以振幅频谱的平方就是不同频率上n=0,1,2...1欧电阻内所损耗功率的测量;各个频率上的功率相加,就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率;任意电压ft加到1欧电阻上的瞬时功率就是｜ft｜2傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理,对偶性质傅立叶变换有两个重要的原理：1,时间移位原理将时域时间原点从t=0处移到t=t0处,则相当于频域Fw的相移,即2,频谱搬移原理如果Fw的角频率移动了W0弧度/秒,则ft要乘上,即：推导公式是：在调制技术中,信号ft要调制到载波上产生的频率移动,即通过上述关系确立;基带信号带有信息ft对载波信号CosW0t的调幅结果即已调制信号,可表示为f0=W0/2pi,为时域载波信号的频率已调制信号的傅立叶变换结果为：即：调制之后,ft的频谱被移动了,比如：先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换FFT,再将得到的频谱向高处搬移,最后做傅里叶反变换IFFT,恢复到时域,听到的声音会比原来的声调高;时间-频率间的对应关系对应关系1：时间变化速率即时域信号的变化速率与频谱呈正比关系时域信号波形中,振幅的变化构成整个信号的包络;下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子,振幅的变化代表了传送的信息;,2A是最大振幅上式经简单的三角运算后,得到其频谱如下：当原信息信号变化更快时Wm增大,使得振幅调制后的信号也变化更快,边带频率W0-Wm,W0+Wm也更远的离开载波;所以：较快速的变化相当于较高频率的变动;即：时间变化速率增加,频率也增高了这点在上升时间与带宽关系中也可见对应关系2,时间周期T 与频谱呈反比关系下面用矩形脉冲序列来深入讨论时间-频率之间的关系;它的频谱可以表示成再写成给出一个归一化的无量纲变数,则函数 sinx/x 在x=0处有最大值,此处sinx->x, sinx/x->1,而当x->无穷大时,它->0函数 sinx/x 的形状如下因为n是离散的,所以Wn也取离散值W1=2pi/T的各谐波,所以归一化参数x也是离散点,但Cn的包络无疑与上图一致;虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量,但在较高频率上,振幅的包络减小;并且基本周期T越小即每秒的脉冲数增多,频率谱线越移越开;时间函数比较快速的变化则相当于比较高的频率分量：周期T减少,则频谱变大因为△f=2pi/T 变大由于集中在低频区的谱线有较高的幅度,所以这个周期波所具有能量的大部分都分布在较低的频率分量上;当函数变化增快T减小时,在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大;对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系从上图可见,随着脉冲宽度的减少,信号的频率分量分布的更宽思考：因为那么因为sinxx的图形不变,当sinxx=0时的x不会变,则此时减少,表示Wn会变大;同时在处的第一个零交点在频率轴上移远;因此,在脉冲宽度或持续时间与脉冲的频率展布之间,有反比关系存在;用脉冲宽度定义带宽如即很窄的脉冲,则大部分信号能量将落在下式的范围内:这个点也当作信号的带宽;解释：上面三点其实与上升时间越小,对应带宽越大的关系是一致的;频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号；因为Cn是复数;幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线；相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线；功率谱就是功率与频率之间的关系曲线;周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴按傅立叶公式1中定义,可知每个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第0个频率点即基波,它的频率=2Pi/T;T是时域信号的周期,所以基波频率=时域信号的时钟频率,基波表示时域信号的直流分量;从频谱图也能看出,相邻各谐波频率之间间隔为,它就是基波角频率;角频率与频率之间就是多了个2pi的关系,那么基波频率就是时域信号的频率W0在傅立叶级级数中用常数a0表示;周期=2pi/W0.一次谐波分量W1：周期是基波分量周期的1/2,频率是基波频率的2倍;二次谐波分量W2：周期是基波分量周期的1/3,频率是基波频率的3倍;;;;所以：频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数;基波的定义是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开,频率与原信号频率相同的量;在复杂的周期性振荡中,包含基波和谐波;和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波;相应于这个最长周期的频率称为基本频率;频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波; 周期为T 的信号中有大量正弦波,其频率分别为1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz,称频率为 1/THz 的正弦波为“基波”,频率为等n/THzn≠1的正弦波为n次“谐波”;解释：基波谐波来自于原时域信号的频谱中各频率点的频率、相位在时域中体现为各正弦波,它们叠加在一起形成了原时域信号;在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f表示;频率也表示单位时间波动传播的波长数;频率的2π倍叫角频率,即ω =2πf;在国际单位制中,角频率的单位也是弧度/秒;频率是描述物体振动快慢的物理量,所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量;频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t;在简谐振动中,角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin ωt + φ ;圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω,虽然单位相同且都有ω = 2π/T的相同形式,但它们并不是同一个物理量;角频率对时间的积分等于相位的改变量;周期函数、非周期函数的频谱总结,与对称频谱的意义动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现;周期信号靠傅立叶级数,非周期信号靠傅立叶变换;两个域都有自己的测量工具：时间是示波器,频域是频谱分析仪;而在一个域进行测量,通过换算可求得另一个域的结果;傅立叶级数公式中,Cn表示了各次谐波的振幅随频率变化的情况,一般所指的频谱是幅度谱,指频率和振幅的关系,表示每个频率分量及其所占的比重大小,如振幅大小或功率大小;周期函数的频谱是离散的;它的频率是一个不连续的离散值;因为频谱函数Cn的公式由傅立叶级数公式实际上是一个三角函数级数推导出,其中的n=0,1,2...,n是整数,那么Wn=W1,W2,W3..Wn 也是离散值;非周期函数的频谱是连续的;由于频谱函数FW的公式由傅立叶积分推导出,根据积分的定义,所以：其中的W是连续变化的;这说明非周期函数的频率成分比周期函数的频率成分丰富;傅立叶级数、傅立叶积分可以取出两种函数的不同频率成分及其幅值;上图是共轭复数的出发点,它说明了频谱图中出现的负频率只是数学上的方便写法;注：必须记住频域只有数学意义,在现实中是不存在的频谱图中会得到一个关于y轴对应的频谱图;现实中负频域是不存在的;这是因为在由傅立叶级数到指数形式的转化过程中,欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析,即Cn对an和bn进行了共轭对称调整,使得各频率分量的幅度折半按y轴分配,使之出现了对称的频谱和负频域形式;离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系。
时域与频域分析
时域与频域分析时域与频域分析是信号处理中常用的两种方法，用于分析信号在时间和频率上的特征。
时域分析主要关注信号的幅度、相位和波形，而频域分析则关注信号的频率成分和频谱特性。
一、时域分析时域分析是指通过对信号在时间轴上的变化进行观察和分析，来研究信号的特性。
它通常使用时域图形表示信号，常见的时域图形有时域波形图和时域频谱图。
1. 时域波形图时域波形图是将信号的幅度随时间变化的曲线图形。
通过观察时域波形图，我们可以获得信号的振幅、周期、持续时间等特征。
例如，对于周期性信号，我们可以通过时域波形图计算出信号的周期，并进一步分析信号的频谱成分。
2. 时域频谱图时域频谱图是将信号的频谱信息与时间信息同时呈现的图形。
它可以用来描述信号在不同频率下的能量分布情况。
常见的时域频谱图有瀑布图和频谱图。
瀑布图将时域波形图在频域上叠加，通过颜色表示不同频率下的幅度，以展示信号随时间和频率的变化。
频谱图则是将时域信号转换到频域上，通过横轴表示频率，纵轴表示幅度，以展示信号的频谱特性。
二、频域分析频域分析是指通过将信号从时域转换到频域，来研究信号在频率上的特性。
频域分析通常使用傅里叶变换或者其它频域变换方法来实现。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要方法。
它可以将信号分解成不同频率成分的叠加。
傅里叶变换得到的频域信息包括频率、幅度和相位。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号中各个频率成分的能量分布，从而了解信号的频谱特性。
2. 频谱分析频谱分析是对信号的频谱特性进行定量分析的方法。
经过傅里叶变换后，我们可以得到信号的频谱，进而进行频谱分析。
常见的频谱分析方法有功率谱密度分析、功率谱估计、自相关分析等。
通过频谱分析，我们可以计算信号的平均功率、峰值频率、峰值功率等参数，进一步得到信号的特征信息。
三、时域与频域分析的应用时域与频域分析在信号处理和通信领域具有广泛的应用。
例如：1. 时域分析可以用于信号的滤波和去噪。
cp-ofdm调制时域波形特征 -回复
cp-ofdm调制时域波形特征-回复CP-OFDM（Cyclic Prefix OFDM）是一种应用广泛的调制技术，它的显著特点是在每个OFDM符号的前面添加了一个循环前缀，使得OFDM信号在时域上呈现出周期性。
这篇文章将从CP-OFDM调制时域波形特征的定义、产生方式以及对系统性能的影响等方面进行详细讨论。
首先，我们来了解一下CP-OFDM调制的时域波形特征。
CP-OFDM信号的一个OFDM符号包含两个部分：数据部分和循环前缀部分。
数据部分包括一系列频域上的信号子载波，而循环前缀部分是数据部分的一个副本。
循环前缀的长度通常是数据部分长度的一部分，它保持了OFDM信号在时域上的周期性。
那么，CP-OFDM信号的时域波形是如何产生的呢？在发送端，首先将输入数据转换为频域上的信号子载波，然后进行IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）变换得到时域上的数据序列。
接着，将数据序列的末尾部分复制到数据序列的前面，即形成循环前缀。
最后，将数据序列和循环前缀按照一定顺序组合在一起，形成完整的CP-OFDM信号。
对于CP-OFDM信号的时域波形特征，主要表现在以下几个方面：1. 周期性：循环前缀的添加使得CP-OFDM信号在时域上具有周期性。
这种周期性可以降低不同符号之间的干扰，提高系统的抗多径衰落性能。
2. 零弦波峰信号：在CP-OFDM信号的波形图中，我们可以观察到零弦波峰的存在。
这是由于循环前缀的添加导致信号的周期性，在零弦波峰的位置，信号的幅值为零。
3. 报翼下降：CP-OFDM信号的时域波形在循环前缀部分与数据部分之间存在一个突变点，称为报翼下降。
报翼下降的存在对系统的性能有一定影响，可以通过调整循环前缀长度来平衡系统的频谱效率和抗多径衰落性能。
接下来，我们来讨论CP-OFDM调制时域波形特征对系统性能的影响。
首先，CP-OFDM调制的循环前缀可以减少码间干扰和符号间干扰，提高系统的抗多径衰落性能。
典型连续信号和离散信号时域波形图
一．典型连续信号和离散信号的时域波形。
1．单边指数信号)()(t u Ae t y t α=；2．单位冲激信号)()(0t t t y +=δ；3．单位阶跃信号)()(0t t u t y +=；4．矩形脉冲信号)]()([)(21t t u t t u A t y +-+⋅=；5．正弦信号)()sin()(t u t A t y ω⋅=；6．单位序列)()(0n n n y +=δ；7．单位阶跃序列)()(0n n u n y +=；8．单位矩形序列)()()(21n n u n n u n y +-+=；9．指数序列)()(n u a A n y n ⋅=；10．正弦序列)()sin()(n u n A n y ω⋅=。
单边指数信号function zhishu(A,a,t1,t2,dt) t1=0t2=10A=1A=-0.4dt=0.01t=t1:dt:t2;y=A*exp(a*t);plot(t,y)axis([t1,t2,0,1.2])xlabel('t')ylabel('y(t)')title(' 单边指数信号')单位冲激信号function chongji(t1,t2,t0)dt=0.01;t1=10;t2=-5;t=t1:dt:t2;n=length(t);x=zeros(1,n);x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt; stairs(t,x);axis([t1,t2,0,1.2/dt])xlabel('t')ylabel('y(t)')title('单位冲激信号')单位阶跃信号function jieyao(t1,t2,t0)t1=0;t2=10;t0=-4t=t1:0.01:-t0;tt=-t0:0.01:t2;n=length(t);nn=length(tt);u=zeros(1,n);uu=ones(1,nn);plot(tt,uu)hold onplot(t,u)plot([-t0,-t0],[0,1])hold offtitle('单位阶跃信号y(t)')axis([t1,t2,-0.2,1.5])矩形脉冲信号function jxmcxh(A,width,T1,T2,dt,T0) A=3;width=2;T1=-3;T2=3;T0=0;dt=0.01t=T1:dt:T2;ft=A*rectpuls(t-T0,width);plot(t,ft);xlabel('t')ylabel('y(t)')title('矩形脉冲信号')axis([t1,t2,0,4]);正弦信号function zhengxian(A,w,t1,t2,dt) A=5;w=0.5*pi;t1=0;t2=15;dt=0.01 t=t1:dt:t2;f=A*sin(w*t);plot(t,f)title('正弦信号')xlabel('t')ylabel('y(t)')单位序列function dwxulie(k1,k2,k0) k1=-8;k2=12;k0=-2;k=k1:k2;n=length(k);f=zeros(1,n);f(1,-k0-k1+1)=1;stem(k,f,'filled')axis([k1,k2,0,1.5])title('单位冲序列')单位阶跃序列function jyxulie(k1,k2,k0) k1=-10;k2=10;k0=4;k=k1:-k0-1;kk=-k0:k2;n=length(k);nn=length(kk);u=zeros(1,n);uu=ones(1,nn);stem(kk,uu,'filled')hold onstem(k,u,'filled')hold offtitle('单位阶跃序列')axis([k1,k2,0,1.5])单位矩形序列function jyxulie(k1,k2,k0) k1=-8;k2=12;k0=1;axis([k1,k2,0,1.5]);k=k1:-k0-1;kk=-k0:6;kkk=7:k2n=length(k);nn=length(kk);nnn=length(kkk);u=zeros(1,n);uu=ones(1,nn);uuu=zeros(1,nnn);stem(kk,uu,'filled')hold onstem(k,u,'filled')stem(kkk,uuu,'filled') hold offtitle('单位矩形序列')指数序列function dszsu(c,a,k1,k2) %c: 指数序列的幅度%a: 指数序列的底数%k1: 绘制序列的起始序号%k2: 绘制序列的终止序号c=1;a=2;k1=-2;k2=10;k=k1:k2;x=c*(a.^k);stem(k,x,'filled')hold onplot([k1,k2],[0,0])hold offtitle('指数序列')xlabel('n')ylabel('f(n)')正弦序列function zxxulie(A,w,k1,k2)k1=-30;k2=30;a=2;w=0.25k=k1:k2;stem(k,A*sin(k*w),'filled')title('离散时间正弦序列f(n)=Asin(wn)') xlabel('n')ylabel('f(n)')。
波形分析
波形分析波形分析是一种常用的信号处理方法，可以用来对波形信号进行分析和处理。
波形信号是指在一定时间范围内，信号的振幅和频率随时间的变化而变化的信号。
在工程和科学领域中，波形分析被广泛应用于音频信号处理、图像处理、通信系统等方面。
波形分析是通过对波形信号的振幅和频率进行测量和计算，来得到该信号的特征和性质。
波形信号可以通过示波器、频谱仪等设备进行测量和采集，然后通过计算机进行分析和处理。
波形分析可以帮助我们了解信号的频率成分、波形形状、幅值变化等信息。
波形分析可以分为时域分析和频域分析两种方法。
时域分析是指对波形信号在时间上的变化进行分析。
通过绘制波形信号的时域图，我们可以观察到信号的振幅和频率随时间的变化情况。
时域分析可以帮助我们了解信号的周期性、稳定性和幅值变化等特性。
频域分析是指对波形信号在频率上的变化进行分析。
通过将波形信号转换为频域信号，即信号的频谱，我们可以观察到不同频率成分的能量分布情况。
频域分析可以帮助我们了解信号的频率成分、谐波分量、噪声等特性。
在波形分析中，常用的方法有傅里叶变换、滤波、谱分析等。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而实现频域分析。
滤波是指通过调整信号的频率，对信号进行去除不需要的频率成分或突出特定频率成分的处理。
谱分析是指对信号的频谱进行分析，通过谱线的形态和能量分布来了解信号的频率特性。
除了常规的离散信号的波形分析，还可以对连续信号进行波形分析。
连续信号是指时间上连续变化的信号，可以用连续函数表示。
连续信号的波形分析可以通过模拟示波器等设备进行测量和记录，然后通过数学方法进行分析和处理。
波形分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
在音频信号处理中，波形分析可以用于音频的降噪、均衡和分析等工作。
在通信系统中，波形分析可以用于信号的解调和调制、信道估计和均衡等方面。
在图像处理中，波形分析可以用于图像的去噪、锐化和分析等任务。
此外，波形分析还可以应用于生物医学、环境监测、机械故障诊断等领域。
信号处理中的时域分析方法及其应用
信号处理中的时域分析方法及其应用在信号处理领域中，时域分析是一种基本的分析方法。
时域分析是指对信号在时间轴上的特性进行分析，它是从时间域的角度，对信号本身进行的分析和处理。
时域分析方法包括时域波形分析、自相关分析、互相关分析、谱分析等，本文将对这些方法进行介绍，同时介绍它们在实际应用中的表现。
一、时域波形分析时域波形分析指的是对信号波形形态的分析。
通过时域波形分析，可以对信号的震动、周期、幅值、偏移等特征进行分析和处理。
时域波形分析适用于振动信号、机械振动、声音信号、脑电信号等领域。
时域波形分析的方法有很多种，其中最常见的方法是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
通过傅里叶级数展开，可以将不规则的波形化为一系列正弦信号的叠加，从而分析信号的频率成分和幅度。
另外，还有小波变换、离散余弦变换等方法也可以进行时域波形分析。
二、自相关分析自相关分析是指将同一信号在时间上进行平移，再进行相关分析的一种方法。
通过自相关分析，可以得到信号的自相关函数，从而得到信号的时间延迟、周期、相关性等信息。
在自相关分析中，自相关函数可以用以下公式来表示：R_{xx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]x[n+m]其中，x[n]表示原始信号，R_{xx}[m]表示信号在时间上平移m 个单位后的自相关函数。
通过自相关函数的分析，可以得到信号的自相似性和周期，同时对于极化信号、超声检测、遥感图像的分析中也有广泛的应用。
三、互相关分析互相关分析是指对两个不同信号进行相关分析的方法。
通过互相关分析，可以计算出两个信号之间的相似度。
对于两个信号之间具有强相关性的情况，可以使用互相关分析来分析它们之间的关系。
在互相关分析中，互相关函数可以用以下公式来表示：R_{yx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]其中，x[n]表示第一个信号，y[n]表示第二个信号，R_{yx}[m]表示两个信号相位不同后的互相关函数。
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3、概率分布函数
概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的 概率，其定义为：
2 x
E[x 2 (t)]
lim
1 T
T x 2 (t)dt
0
T
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院
4、方差
信号x(t)的方差定义为：
2 x
E[(x(t) E[x(t)])2 ]
lim
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)
2
dt
T
大方差
小方差
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
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第二章、信号分析基础
工程测试技术基础
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本章学习要求：
1.了解信号分类方法 2.掌握信号时域波形分析方法 3.掌握信号时差域相关分析方法 4.掌握信号频域频谱分析方法 5.了解其它信号分析方法
第二章、信号分析基础 北京工商大学材料与机械工程学院
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院 5、波形分析的应用
信号类型识别
Pp-p
基本参数识别
超门限报警
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院 案例：汽车速度测量:
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院 案例：旅游索道钢缆检测
超门限报警
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院
2、均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
T
x
E[x(t)]
lim
1 T
x(t)dt
0
T
x
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之 为直流分量。
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院
3、均方值 信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；
其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号 平均能量的一种表达。
值的信号称为能量信号，满足条件：
x 2 (t )dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
2.1 信号的分类与描述
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b)功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限
值．此时，研究信号的平均功率更为合适。
T
lim
1 2T
T x2 (t)dt
T
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
第二章、信号分析基础
信号分类 1 从信号描述上分
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--确定性信号与非确定性信号；
2 从信号的幅值和能量上
--能量信号与功率信号； 3 从分析域上
--时域与频域； 4 从连续性
--连续时间信号与离散时间信号；
5 从可实现性 --物理可实现信号与物理不可实现信号。
第二章、信号分析基础 北京工商大学材料与机械工程学院
2.1 信号的分类与描述
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c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相 位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳) 统计特性变异
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限
2.1 信号的分类与描述
信号的分类主要是依据信号波形特征来划分 的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。 信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程 称为信号的波形。
波形
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
A
0
t
信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标， 用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变 化情况。
b)离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
2.1 信号的分类与描述
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5 物理可实现信号与物理不可实现信号
a) 物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件： t＜0时，x(t) = 0，
即在时刻小于零的一侧全为零。
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
3 时限与频限信号 a) 时域有限信号 在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零．
三角脉冲信号
b) 频域有限信号
在频率区间(f1，f2 )内有定义，其外恒等于
零．
正弦波幅值谱
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院 4 连续时间信号与离散时间信号 a) 连续时间信号:在所有时间点上有定义
简单周期信号
复杂周期信号
2.1 信号的分类与描述
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b) 非周期信号：不会重复出现的信号。
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(√2.t)
瞬态信号:持续时间有限的信号， 如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)
b) 物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预 制知信号。
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第二章、信号的时域波形分析
2.2 信号的时域波形分析 1、信号波形图
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A Pp-p
P t
T
周期T，频率f=1/T 峰值P 双峰值Pp-p
2.2 信号的时域波形分析 北京工商大学材料与机械工程学院
2.3 信号的幅值域分析
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1 概率密度函数
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现 的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信 号落在不同幅值强度区域内的概率情况。
p(x)
lim
p( xx(t ) xx) x
x
第二章、信号分析基础
p(x)的计算方法：
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2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
1 确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定 性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确 定性信号。
2.1 信号的分类与描述 北京工商大学材料与机械工程学院
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT )
p(x)
lim
1 x
[
lim
] Tx
T
x 0 T
2.3 信号的幅值域分析
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2 直方图
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内 出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。
25
20
15
系列1 10
5
0 50
直方图
60
70
归一化
80
90
概率密度函数
2.3 信号的幅值域分析