《鲁棒控制》-5-mu分析与综合方法

U ∈U
5.3 结构奇异值 μ 与常数线性分式变换
设 M 为一复数矩阵，将其分块为
M
=
⎡ M11
⎢ ⎣
M
21
M12 ⎤
M
22
⎥ ⎦
定义维数分别与 M11 和 M 22 相匹配的结构集合 Δ1 和 Δ2 ，并定义结构集合：
Δ
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
⎡ ⎢⎣
Δ1 0
0⎤ Δ2 ⎥⎦
Δ1
∈
Δ1
,Δ2
∈
Δ2
⎫⎪ ⎬
5.2 结构奇异值 μ 及其性质
假设 Δ (s) 和 M (s) 均是稳定的，则当σ (Δ) 充
Δ(s)
分小时，闭环系统是稳定的。
若存在 s ∈ C+ ，使得
det ⎡⎣I − M (s) Δ (s)⎤⎦ = 0
则闭环系统不稳定。
M (s)
显然，当
时，即
Δ M <1
∞
∞
M
<
∞
1 Δ
∞
时，闭环系统是稳定的。
当考虑 Δ 的结构时，即对于 Δ (s) ∈ Δ ，定义
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μΔ (M (s)) = min {σ (Δ)
1
det ( I − M (s) Δ) = 0,Δ ∈ } Δ为有结构的
称之为 M 关于有结构复值不确定性 Δ 的的最大的结构奇异值。
如果不存在 Δ (s) ∈ Δ ，使得 det ( I − M (s) Δ) = 0 ，则令 μΔ (M (s)) = 0 。
{ Δ = diag δ1Ir1 ,δ2Ir2 ," ,δs Irs ; Δ1 ,Δ2 ," ,ΔF
称 Δ 为结构集合。 令
BΔ = {Δ
s
F
∑ ri +∑ mj = n
i =1
j =1
Δ ∈ Δ,σ (Δ) ≤ 1}
BDΔ = {Δ Δ ∈ Δ,σ (Δ) < 1}
} δi ∈C,
Δ ∈ Cmj×mj j
⎪⎭
ห้องสมุดไป่ตู้
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Δ (s) M (s)
Δ1 (s) M (s) Δ2 (s)
● 当 I − M 22Δ2 非（恒）奇异，即可逆时，线性分式变换(LFT) Fl ( M ,Δ2 ) 有定义
（为适定的）。
（注意 ( ) ( ) Fl M ,Δ2 = M11 − M12Δ2 I − M Δ 22 2 −1 M 21 ）
)
<
1，则显然，对于任意
Δ2
∈
BΔ2
，I
−
M
Δ 22 2
非奇异。
如果
max
Δ2∈BΔ2
ρ
( M 22Δ2
det ( I - M Δ) = det ( I - MUU ∗Δ)
= det (I - (MU )(U ∗Δ))
因此关于 μΔ ( M ) 的界可收紧为
( ) max
U ∈U
ρ
(UM
)
≤
μΔ
(
M
)
≤
inf σ
D∈D
DMD−1
●下界为等式，即
μΔ
(
M
)
=
max
U ∈U
ρ
(UM
)
●当 2S + F ≤ 3 时，上界为等式，即
由定义
M : = sup σ (M (s)) = sup σ (M ( jω ))
∞
s∈C +
ω∈R
对于给定的 s ∈C+ ， σ (M (s)) 可写成
σ (M (s)) = min {σ (Δ)
1
det ( I − M (s) Δ) = } 0,Δ为无结构的
即 M 的最大奇异值的倒数是导致闭环系统不稳定的（最大奇异值）最小无结构 Δ 的一个度量。
( ) μΔ
(
M
)
=
inf
D∈D
σ
DMD−1
( ) 对于一般情形，
μΔ
(
M
)
不等于
inf
D∈D
σ
DMD−1
，但对于多数情形， μΔ (M ) 与
( ) inf σ DMD−1 近似等于。
D∈D
( ) ● 计算 inf σ DMD−1 是一凸优化问题，但求 max ρ (UM ) 不是凸优化问题。
D∈D
⎪⎩
Di ∈ C ri×ri ,Di = Di∗ > 0,d j ∈ R,d j > 0⎪⎭
易知，对于 Δ ∈ Δ ，U ∈ U ， D ∈ D ，成立
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U ∗ ∈ U, U Δ ∈ Δ, ΔU ∈ Δ
σ (U ∗Δ) = σ (ΔU ) = σ (Δ)
上述对于结构奇异值的界是保守的：假设
Δ
=
⎡δ1
⎢ ⎣
0
0⎤
δ
2
⎥ ⎦
当
M
=
⎡0 ⎢⎣0
β 0
⎤ ⎥ ⎦
时，
ρ
(
M
)
=
0
=
μ
(
M
)
,σ
(
M
)
=
β
。
当
M
=
⎡⎢− ⎢
1 2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
2
⎥ ⎥
时，
ρ
(
M
)
=
0,μ
(
M
)
=
σ
(
M
)
=
1。
1⎥
2 ⎥⎦
(注意： det ( I − M Δ) = 1+ δ1 − δ2 )
第五章 μ 分析与综合方法
5.1 有结构不确定性
考虑下图所示反馈控制系统。
Δ2 W2
P
Δ1 W1
K
上图所示系统等价于下图所示系统：
Δ(s)
Δ1 0 0 Δ2
W2
W1
P
K
M (s)
Δ(s)
M (s)
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其中的模型摄动 Δ (s) 具有对角块结构。
有结构摄动
Δ(s) = Δ
●由定义可证
μΔ
(M
)
=
max
Δ∈BΔ
ρ
(M
Δ)
其中 ρ ( A) 表示 A 的谱半径。
●当 Δ = {δ In ,δ ∈C}时，则 μΔ (M ) = ρ (M ) = M 的谱半径。
{ } ●当 Δ = Δ ∈Cn×n （即无结构）时，则 μΔ (M ) = σ (M ) 。
因为{δ In ,δ ∈ C} ⊂ Δ ⊂ Cn×n ，所以，对于一般情形， ρ (M ) ≤ μΔ (M ) ≤ σ (M )
DΔ = ΔD
● 对于任意U ∈ U 和任意 D ∈ D ，成立
( ) μΔ (MU ) = μΔ (UM ) = μΔ (M ) = μΔ DMD−1
证明：
( ) det ( I - M Δ) = det I - MD−1DΔ ( ) ( ) = det I - MD−1ΔD = det I - DMD−1Δ
2
为了减小此保守性，考虑对 M 作变换，其不影响 μ (M ) 的值，但会改变 ρ (M ) 和σ (M ) 的值。
定义 Cn×n 中的两个集合：
{ } U = U ∈ Δ UU ∗ = In
D
=
⎧⎪diag ⎨
⎡⎣D1 ,",Ds
, d1 I m1
," ,dF −1ImF−1
, I mF
⎤⎦
⎫⎪ ⎬
● 定理：
（1）对于任意 Δ2 ∈ BΔ2 ， Fl ( M ,Δ2 ) 为适定的 iff
μΔ2 ( M 22 ) < 1 （2）对于任意 Δ2 ∈ BDΔ2 ， Fl ( M ,Δ2 ) 为适定的 iff
μΔ2 ( M 22 ) ≤ 1
证：如果
μΔ2
(M
22
)
=
max
Δ2∈BΔ2
ρ
(
M
Δ 22 2