2012山东省春考数学真题
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科) 解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【解析】i i i i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A.【答案】A (2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U ）（为(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.【答案】C(3)函数1()ln(1)f x x =++(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]-(D)(1,2]-【解析】要使函数有意义则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，选B.【答案】B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D.【答案】D(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真(B)q ⌝为假(C)p q ∧为假(D)p q ∨为真【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=22，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C.【答案】C(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2-(B)3[,1]2--(C)[1,6]-(D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A.【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2-(B)0(C)－1(D)1--【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin 2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.【答案】A(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.【答案】B(10)函数cos622x xx y -=-的图象大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-x x x y ，排除B ，选D.【答案】D(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A)23x y =(B)23x y =(C)28x y =(D)216x y=【解析】抛物线的焦点)2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x a b y =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a p a ，即c b a ap 4422=+=，所以4p a c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==p a c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.【答案】D(12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+>(B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+>(D)12120,0x x y y +<+<【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==.所以21()()(F x x x x =--，比较系数得1x -=，故1x =.120x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.【答案】B第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=.【答案】61(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.【答案】9(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.【解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.【答案】14（16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA,,则22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ，2sin 22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .【答案】)2cos 1,2sin 2(--三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C =∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯⨯.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.(19)(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE DE =.(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥，所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20)(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .【答案】(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.(II)由277m n a n =≤，得217m n -≤，即217m m b -=.∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.(21)(本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.【答案】(21)(I)22234c a b e a a -===……①矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.(II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m xx m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <<.||PQ=.当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <<-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST ==其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST.②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST.③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST.综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST.(22)(本小题满分13分)已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【答案】(I)1ln ()e xx k x f x --'=，由已知，1(1)0e k f -'==，∴1k =.(II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x --'=.设1()ln 1k x x x=--，则，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--.设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<，所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。
2012山东省春考数学真题
山东省2012年春季高考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共75分）一．选择题（本大题25个小题，每小题3分，共75分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1.已知全集{1,2,3}U=，集合{1,2}M =，则U M ð等于.A {1} .B {3} .C {1,2} .D {1,2,3}2.若均为实数，且ab >，则下列关系正确的是.A b a ->- .B 22a b > .C > .D a b>3.已知函数()y f x =的定义域是不等式组1020x x +≥⎧⎨-<⎩的解集，则函数()y f x =的图像可以是.A .B .C .D4.已知1和4的等比中项是3log x ，则实数x 的值是.A 2或12 .B 3或13 .C 4或14.D 9或195.已知函数()()yf x x R =∈是偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则下列关系正确的是.A (1)(2)(3)f f f ->>- .B (2)(1)(3)f f f >->- .C (3)(2)(1)f f f ->>- .D (3)(1)(2)f f f ->->6.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则sin α的值是.A 13- .B 310 .C 10-.D 107.如图所示，已知,P Q 是线段的两个三等分点，O是线段AB 外的一点，设，,OA a OB b ==uu r uur rr ，则OP uur 等于.A 1133a b +r r .B 1233a b +r r .C 2133a b +r r .D 2233a b +r r8.如果p ⌝是真命题，p q ∨也是真命题，那么下列说法正确的是.A ,p q 都是真命题 .B p 是真命题，q 是假命题.C ,p q 都是假命题 .D p 是假命题，q 是真命题9.若直线230ax y --=与直线410x y ++=互相垂直，则实数a 的值是.A 8 .B 8- .C 12 .D 12-10.已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是.A 26y x = .B 26y x =- .C 23y x = .D 23y x =-11.已知二次函数2()(1)1f x x m x m =+++-的图像经过原点，则使()0f x <的x 的取值集合是.A (0,2).B (2,0)-.C (,0)(2,)-∞+∞U.D (,2)(0,)-∞-+∞U12.已知lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x f x a =与()xg x b=的图像.A 关于坐标原点对称 .B 关于x 轴对称.C 关于y 轴对称 .D 关于直线y x =对称AO13.椭圆22198x y +=的离心率是 .A 13 .B 3 .C 4 .D 3 14.编排一张由4个语言节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是.A 120 .B 240 .C 360 .D 48015.若M N 、表示两个集合，则MN M =I 是M N ⊆的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不是充分条件也不是必要条件16.若αβ、为任意实数，则下列等式恒成立的是.A 555αβαβ⨯=.B 555αβαβ++=.C (5)5αβαβ+=.D 555ααββ-=17.已知二次函数243y x x =-+图像的顶点是A ，对称轴是直线l ，对数函数2log yx =的图像与x 轴相交于点B ，与直线l 相交于点C ，则ABC ∆的面积是.A 1 .B 2 .C 3 .D 418.已知平行四边形OABC ，(4,2),(2,6)OA OC ==uu r uu u r ，则OB uur 与AC uu u r夹角的余弦值是.A 2 .B 2- .C 5 .D 5- 19.函数()sin )f x x x π=+-的单调递增区间是A 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈B 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ C 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ D 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈20.若()na b +展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有.A 8项 .B 9项 .C 10项 .D 11项21.如图所示，若图中阴影部分所表示的区域是线性目标函数3zx y =+的可行域，则z 的最小值是.A 2 .B 3 .C 4 .D 1522.从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，其中至少有1名女生的概率是.A 35 .B 57.C 1021 .D 1742 23.已知空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，给出下列四个命题：①AC 与BD 是相交直线； ②//AB DC ； ③四边形EFGH 是平行四边形； ④//EH 平面BCD 。
2012-2019山东春季高考数学真题
山东省2019年普通高校招生（春季）考试数学试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。
考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。
卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出．并填涂在答题卡上）1.已知集合M={0,1}，N={1,2}，则M ∪N 等于（）A. {1}B. {0,2}C. {0,1,2}D.∅ 2. 若实数a ，b 满足ab>0，a+b>0，则下列选项正确的是（）A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<03.已知指数函数y=a x ，对数函数y=log b xA. 0<a<b<1B. 0<a<1<bC.0<b<1<aD. a<0<1<b4.已知函数f(x)=x 3+x ，若f(a)=2，则f(-a)的值是（）A. -2B. 2C. -10D. 10 5.若等差数列{a n }的前7项和为70，则a 1+a 7等于（）A. 5B. 10C. 15D. 206.如图所示，已知菱形ABCD 的边长是2，且∠DAB =60°，则AB AC ⋅u u u r u u u r的值是（）A. 4B. 4+C. 6D.4-y第3题图B第6题图7.对于任意角α，β，“α=β”是“sin α=sin β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 8.如图所示，直线l ⊥OP ，则直线l 的方程是（） A. 3x －2y=0 B. 3x+2y －12=0 C. 2x －3y+5=0D. 2x+3y －13=0 9.在（1+x ）n 的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（）A. 15x 3B. 20x 3C. 15x 2D. 20x 210. 在Rt V ABC 中，∠ABC =90°，AB=3，BC=4，M 是线段AC 上的动点. 设点M 到BC 的距离为x ，V MBC 的面积为y ，则y 关于x 的函数是（）A. y=4x ，x∈(0,4]B. y=2x ，x∈(0,3]C. y=4x ，x∈(0,)+∞D. y=2x ，x∈(0,)+∞ 11. 现把甲、乙等6位同学排成一排，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种树是（）A. 360B. 336C. 312D. 240 12.设集合M={-2，0，2，4}，则下列命题为真命题的是（） A. ,a M ∀∈a 是正数 B. ,b M ∀∈b 是自然数 C. ,c M ∃∈c 是奇数 D.,d M ∃∈ d 是有理数 13. 已知sinα=12，则cos2α的值是（） A.89 B. 89- C. 79 D.79- 14. 已知y=f(x)在R 上是减函数，若f(|a |+1)<f(2)，则实数a 的取值范围是（）A. （－∞，1）B. （－∞，1）∪（1，+∞）C. （－1，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞） 15. 已知O 为坐标原点，点M 在x 轴的正半轴上，若直线MA 与圆x 2+y 2=2相切于点A ，且|AO|=|AM|，则点M 的横坐标是（） A. 2B.C.D. 4A. 平行B. 相交C. 异面D.重合17. 如图所示，若x，y满足线性约束条件2 01x yxy-+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，则线性目标函数z=2x-y取得最小值时的最优解是（）A. （0，1）B. （0，2）C. （-1，1）D.（-1，2）18. 箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取得黑色卡片的概率是（）A. 16B. 13C. 25D.3519. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M（-2，4），则其标准方程是（）A. y2=-8xB. y2=－8x 或x2=yC. x2=yD. y2=8x 或x2=－y20. 已知V ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=6，sinA=2cosBsinC，向量m =(,3)a b, 向量n=(－cosA，sinB)，且m∥n，则V ABC的面积是（）A. 183B. 93C. 33D.3卷二（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数 学(供文科考生使用)锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.如果事件,A B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z 满足()2117z i i -=+(i 为虚数单位),则z 为( )A.35i +B.35i -C.35i -+D.35i -- 2.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则(C U A )B 为( )A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,43.函数()()1ln 1f x x =++( ) A.[)(]2,00,2- B.()(]1,00,2- C.[]2,2-D.(]1,2-4.在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据.则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差5.设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π2;命题:q 函数cos y x =的图象关于直线π2x =对称.则下列判断正确的是( )A.p 为真B.q ⌝为假C.p q ∧为假D.p q ∨为真 6.设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( )A.3[,6]2-B.3[,1]2--C.[1,6]-D.3[6,]2-7.执行如图的程序框图,如果输入4a =,那么输出的n 的值为( )A.2B.3C.4D.58.函数ππ2sin()(09)63x y x =-≤≤的最大值与最小值之和为( )A.2B.0C.1-D.1-- 9.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离10.函数cos622x xxy -=-的图象大致为( )11.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为( )A.2x y =B.2x y =C.28x y =D.216x y =12.设函数()()21,f x g x x bx x==-+,若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ,则下列判断正确的是( )A.12120,0x x y y +>+>B.12120,0x x y y +>+<C.12120,0x x y y +<+>D.12120,0x x y y +<+< 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为线段1B C 上一点,则三棱锥1A DED -的体积为________14.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[]20.5,26.5.样本数据的分组为[)[)[)[)[)20.5,21.5,21.5,22.5,22.5,23.5,23.5,24.5,24.5,25.5,[]25.5,26.5.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________15.若函数()()0,1x f x a a a =>≠在[]1,2-上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数,则a =________16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在()0,1,此时圆上一点P 的位置在()0,0,圆在x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于()2,1时,OP的坐标为________三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()s i n t a n t a n t a n t a n B A CA C +=. (1)求证:,,a b c 成等比数列;(2)若1,2a c ==,求ABC ∆的面积S .18.(本小题12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.DCB A平均气温/︒CC 1D 1B 1A 1E D CBA19.(本小题12分)如图,几何体E ABCD -是四棱锥,ABD ∆为正三角形,,CB CD EC BD =⊥(1)求证:BE DE =;(2)若120,BCD M ∠=︒为线段AE 的中点,求证:DM 平面BEC .20.(本小题12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105,且1052a a =,(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对任意m N *∈,将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b ,求数列{}n b 的前m 项和m S .21.(本小题13分)如图,椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程;(2)设直线():l y x m m R =+∈与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.22.(本小题13分)已知函数()ln xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求()f x 的单调区间;(3)设()()'g x xf x =,其中()'f x 为()f x 的导函数.证明:对任意()20,1x g x e -><+.E D C B A一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2012年山东卷(理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为A.35i +B.35i -C.35i -+D.35i -- 2.已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B =U A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 3.设0a >，1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 A ．7 B ．9 C ．10 D ．155.设变量x ，y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是A.3[,6]2-B.3[,1]2--C.[16]-，D.3[6]2-，6.执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为A ．2B ．3C ．4D ．57.若[,]42ππθ∈，sin 2θ=sin θ=A.35B.45C.4D.348.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+ ，当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++=L A.335 B.338 C.1678 D.20129.函数cos622x x xy -=-的图像大致为10.已知椭圆C：22221x y a b+=(0a b >>)双曲线221x y -=的渐近线与圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 A ．232 B ．252 C ．472 D ．48412.设函数1()f x x=，2()g x ax bx =+（a ，b R ∈，0a ≠），若()y f x =的图像与()y g x =图像有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ,22(,)A x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，120x x +<,120y y +>B.当0a <时，120x x +>,120y y +>C.当0a >时，120x x +<,120y y +<D.当0a >时，120x x +>,120y y +> 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k = .14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ,1B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积 _.15.设0a >.若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为a ，则a = 16.如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
山东省2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学真题
以 k 16,17,..., 25 共 10 个数，即应该有 10 人做试卷 B. 方法二， （整除法）由题意可知，系统抽样中每一组的样本数为 做问卷 A 的人编号在区间 [1, 450] 内，而 15 组，每组抽取一个，共抽取 15 人. 而编号在区间 [1, 750] 内的人需要做 A 卷或 B 卷，而 的人应分为 25 组，每组抽取一个，共抽取 25 人. 所以作 B 问卷的人有 25 15 10 人. 5.答案：A 如图画出不等式组所表示的平面区域，
1 ， g ( x ) ax 2 bx ，若 y f ( x ) 的图象与 y g ( x ) 的图象有且仅有 x
）
两个不同的公共点 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，则下列判断正确的是（ A. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 B. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 C. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 D. 当 a 0 时， x1 x2 0 ， y1 y2 0 第Ⅱ卷（共 90 分）
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分，考试 时间 120 分钟。 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）若复数 z 满足 z (2 i ) 11 7i （ i 为虚数单位） ，则 z 为（ A． 3 5i B. 3 5i C. 3 5i D. 3 5i ） ）
1 x 3 时， f ( x) x .则 f (1) f (2) f (3) ... f (2012) （
山东省春季高考数学试卷(含解析)
山东省春季高考数学试卷一、选择题1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于( )A. ?B. {1}C. {2}D. {1，2}2 •函数■，-= -p_—的定义域是( )A. [ - 2, 2] B .( — s, —2] U [2 , +R) C. (- 2, 2) D.( — s, —2)U( 2, +3. 下列函数中，在区间（-s, 0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C. .D. y=|x|4. 二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2x2+8x - 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2x2+4x+35. 等差数列{a n}中，a=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 326. 已知A ( 3, 0), B (2,1),则向量忑的单位向量的坐标是( )A. (1,-1)B. (- 1 , 1)7. “p V q为真”是“p为真”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件&函数y=cos2x - 4cosx+1的最小值是（）A.- 3B. - 2C. 5D. 69.下列说法正确的是（）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直A. 1B. 2C. - 1D. - 214.如果-:,:::..,那么.• |等于（）17.已知圆G 和C 2关于直线y= - x 对称，若圆C 的方程是 2 2 2 2 2 2 A. ( x+5) +y =2 B. x + (y+5) =4 C . (x - 5) +y =2 D . 18 .若二项式 f 三八的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式中的常数 项是（ ） A. 20B. - 20 C . 15D. - 1519 .从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技 能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为 （ ） 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩； 96 96 85 8510 .过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量j t :：，的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=011 .文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是 A. 72B. 120C. 144D. 28812.若a , b , c 均为实数，且 a v b v 0, 则下列不等式成立的是（2 2A. a+c v b+c B . ac v beC. a v bD .呼「「“'J13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若f (- 1) =g (9),则实数k 的值是（）A. — 18 B .-6 C. 0D. 1815.已知角 a 的终边落在直线 y= - 3x 上，则COS （ n +2 a ）的值是（B.16 .二元一次不等式 2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（（x+5） 2+y 2=4,则圆C 2的方程是2 2x + (y - 5) =4A.C .D.2 2' -(a>0, b>0)的两个顶点，以2 1 2 1 a b20.已知A, A为双曲线AA为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M N两点，若△ A MN的面积为―，则该双曲线的离心率是( )2A.匚B. _C. _D.匚3 3 3 3二、填空题：21 .若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于____________ .22 .在厶ABC中，a=2, b=3,Z B=2/ A 贝U cosA= ________ .2 223 .已知F i, F2是椭圆’< =1的两个焦点，过F i的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF16 36的周长等于_______ .24 .某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是_________ .■- x25 .对于实数m n,定义一种运算：，已知函数f (x) =a*a，其中0v a| n,V 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是______________ .三、解答题：26 .已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性；(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.27 .某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.28.已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示.(1)求证：DE//平面BCCB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.(1)求该函数的最小正周期;(2)求该函数的单调递减区间;(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.2 230.已知椭圆’的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心a2 b2率是，如图所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.参考答案与试题解析一、选择题29.已知函数1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于（）A. ?B. {1}C. {2}D. {1 , 2}【考1F：补集及其运算.点】【分根据补集的定义求出M补集即可.析】【解解：全集U={1, 2}, 集合M={1}，则?U M={2}答】故选：C.2 •函数；.-=-p——的定义域是（）A. [ - 2, 2] B . （-a, - 2] U [2 , +R） C. （- 2, 2） D.（-汽-2）U（2, + OO）【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可.【解答】解：函数丁二] ------ 2>0,即|x| >2,解得X V- 2或x > 2,•函数y的定义域是（-O,-2）U（2, +O）.故选：D.3.下列函数中，在区间（-O,0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C.，-丄D. y=|x|【考点】3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可.【解答】解：对于A函数y=x，在区间（-O, 0）上是增函数，满足题意；对于B,函数y=1，在区间（-O,0）上不是单调函数，不满足题意；对于C,函数y=—，在区间(-^, 0)上是减函数，不满足题意；x对于C,函数y=|x|，在区间(-8, 0)上是减函数，不满足题意.故选：A.4•二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2X2+8X- 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2X2+4X+3【考点】3W二次函数的性质.【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f (x) =a (x- 1) 2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3) , (2, 3),则对称轴x=1，最大值是5,可设 f (x) =a (x - 1) 2+5,于是3=a+5,解得a=- 2,故 f (x) =- 2 ( x - 1) 2+5= - 2x2+4x+3,故选：D.5.等差数列｛a n｝中，a1=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 32【考点】8F:等差数列的性质；84 :等差数列的通项公式.【分析】根据题意，由等比数列的性质可得( a s) 2=4X 49,结合解a s v 0可得a s的值，进而由等差数列的性质a5=2a3 - a1，计算即可得答案.【解答】解：根据题意，a a是4与49的等比中项，则(a3)2=4X 49,解可得a3=± 14,又由a3v 0,贝U a3= - 14,又由a1=- 5,则a5=2a3 —a1 = - 23,故选：B.6.已知A ( 3, 0), B (2, 1),则向量爲的单位向量的坐标是( )【考点】95:单位向量.【分析】先求出'.：；=(-1, 1),由此能求出向量：的单位向量的坐标. 【解答】解：••• A ( 3, 0) , B (2 , 1), •••：.；=(- 1, 1), •••丨：.；|=-,•••向量丁啲单位向量的坐标为( ―，丄一)，即(-二,—).|AB I |AB I 2 2故选：C.7•“p V q 为真”是“p 为真”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由真值表可知：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题,故由充要条件定义知 为真”是“p 为真”必要不充分条件【解答】解：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题，所以“p V q 为真”推不出“p 为真”，但“p 为真” 一定能推出“ p V q 为真”， 故“p V q 为真”是“p 为真”的必要不充分条件， 故选：B.&函数y=cosx - 4cosx+1的最小值是( )A.- 3B. - 2C. 5D. 6【考点】HW 三角函数的最值.【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y 的最小值.【解答】 解：T 函数 y=cos 2x - 4cosx+1= (cox - 2) 2- 3，且 cosx € [ - 1, 1]，故当 时，函数y 取得最小值为-2, 故选：B.A. ( 1, -1)B •(— 1 , 1)cosx=1 D.9. 下列说法正确的是（ ）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【考点】LJ :平面的基本性质及推论.【分析】在A 中，经过共线的三点有无数个平面； 在B 中，两条异面直线不能确定一个平面； 在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直； 在D 中，由线面垂直的性质得经过平 面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【解答】在A 中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故 A错误；在B 中，两条相交线能确定一个平面， 两条平行线能确定一个平面， 两条异面直线不能确定 一个平面，故B 错误；在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C 错误；在D 中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 故D 正确.故选：D.10.过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量：1. 的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=0【考点】IB :直线的点斜式方程.【分析】 求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可.由方向向量. ■得: 直线的斜率k= - 3, 故直线方程是：y+2= - 3 （x - 1）, 整理得：3x+y -仁0, 故选：A.11 •文艺演出中要求语言类节目不能相邻， 现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中【解答】解：由2x-y-4=0解得：X=1y=-2,任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A. 72B. 120C. 144D. 288【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的 4 个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21G3=8种取法，将4个节目全排列，有A/=24种可能，则以排出8X 24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有G2G2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A2=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A2=6种情况，此时有6 X 2X 6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D.12. 若a, b, c均为实数，且a v b v 0,则下列不等式成立的是（）A, a+c v b+c B . ac v be C. a2v b2 D.；.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】A由a v b v 0，可得a+c v b+c;B, c的符号不定，则ac, bc大小关系不定；C, 由a v b v 0,可得a2> b2;D, 由a v b v 0,可得-a>- b? .' I ;【解答】解：对于A由a v b v 0，可得a+c v b+c,故正确;对于B, c 的符号不定，则 ac , be 大小关系不定，故错;2 2对于C,由a v b v 0,可得a > b ,故错； 对于 D,由 a v b v 0,可得-a >- b? 一_ “ _i ,故错; 故选：A13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若 f (- 1) =g (9),则实数 k 的值是( )A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】4H:对数的运算性质.【分析】由g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2- k ，解得即可. 【解答】 解：g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2-k , 解得k= - 1, 故选：C14•如果 ||_5 ：,那么 * ］等于()A.- 18 B . - 6 C. 0D. 18【考点】9R 平面向量数量积的运算.【分析】由已知求出 「|及［与一的夹角，代入数量积公式得答案. 【解答】解： ••• _：：二 _；,且V 皿］：：：> =n .则一-j= 1=3 X 6X(- 1) = - 18.故选：A.15 .已知角a 的终边落在直线 y= - 3x 上，贝U COS ( n +2 a )的值是(【考点】GO 运用诱导公式化简求值； G9任意角的三角函数的定义. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求 COS a ,利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式可求COS ( n +2 a )的值.【解答】解：若角a 的终边落在直线y= - 3x 上, (1)当角a 的终边在第二象限时，不妨取x= - 1,则y=3 , r=寸.j.；ld = !:',C.A.B . 土 - D. b2 ■所以COS a = ^，可得COS ( n +2 a ) =- COS2 a =1 - 2COS a ="' ；V10 5（2）当角a的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y= - 3,所以sin a =——,COS a =一，可得COS ( n +2 a ) = - COS2 a =1 - 2COS2% = 一‘ , V10V10 5故选：B.【考点】7B:二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】禾U用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可.【解答】解：因为（1, 0）点满足2x - y> 0,所以二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是： C.故选：C.17.已知圆G和C2关于直线y= - x对称，若圆C的方程是(x+5) 2+y2=4,则圆G的方程是( )A. ( x+5) 2+y2=2B. x2+ (y+5) 2=4C. (x - 5) 2+y2=2D. x2+ (y -5) 2=4【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆G的圆心关于y= - x的对称点，再由圆的标准方程得答案.【解答】解：由圆C的方程是（x+5）2+y2=4,得圆心坐标为（-5, 0）,半径为2,设点（-5, 0）关于y= - x的对称点为（x o, y o）,•••圆C2的圆心坐标为（0, 5）, 则圆C2的方程是x2+ （y - 5）2=4. 故选：D.18•若二项式讳勺展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数上■项是( )A. 20B. - 20 C • 15 D.- 15【考点】DB二项式系数的性质.则*，解得16.二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：•二项式1’的展开式中只有第4项的二项式系数最大，•••n=6,x6—3r则展开式中的通项公式为T r+i=C6r? (- 1) r?x --------------- .令6- 3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62? (- 1) 2=15,故选：C.19•从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为( )成绩分析表A.甲B.乙C.丙D. 丁【考点】BC极差、方差与标准差.【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可.【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙, 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加.故选：B.2 220.已知A, A为双曲线'(a>0, b>0)的两个顶点，以AA为直径的圆与双曲a2 b22线的一条渐近线交于M N两点，若△ A i MN 的面积为匚，则该双曲线的离心率是()2A W2B 座C -D 应~~3_ ~~3_~~3_【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A i (- a , 0)到直线渐近线的距离 d ,根据三角形的面积公式，即可求得△ AMN 的面积，即可求得 a 和b 的关 系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的渐近线方程 y= ± x ，设以A i A 为直径的圆与双曲线的渐近线 y=^a ax 交于M N 两点，△ A i MN 的面积S= x 2a x 丄=' ='，整理得：b= c ,2 c c 2 2贝H a 2=b 2 - c 2= • c 2, 即 a= c ,4 2双曲线的离心率e == _,故选B.二、填空题：21•若圆锥的底面半径为 1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 3 n .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2n ，则圆锥侧面积 S=n rl ，由此 能求出结果.【解答】 解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2 n r •••圆锥侧面积：［二厂二 丁n r|则A i (- a , 0)到直线y=—x 的距离d= aaXO-bXa |=ab=n X 1 X 3=3 n .故答案为：3 n ./ :jT H22.在△ ABC中，a=2, b=3,/ B=2/ A 贝U cosA=_4一【考点】HR余弦定理.【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解. 【解答】解：•••/ B=2/ A,• sin / B=2sin / Acos Z A,又T a=2, b=3,•由正弦定理可得：2 3 sinZ^A 2sin.ZAcos.ZA-sin Z A M 0, •- cos Z A==.4故答案为：一423.已知F1, F2是椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF的周长等于24【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF 2|=2a=12 , |QF1|+|QF2|=2a=12即可求得厶PQF的周长.【解答】解：椭圆——< =1的焦点在y轴上，则a=6, b=4,设厶PQF的周长为I ,16 36则l=|PF 2|+|QF2|+|PQ| ,=(|PF i|+|PF 2| ) + (|QF i|+|QF 2| )=2a+2a,=4a=24.• △ PQF的周长24 ,故答案为：24.24.某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是【考点】CB古典概型及其概率计算公式.本事件个数：m・，一」=4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率.【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=「| ,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m= 「4,•••其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：m 4 1P= = =「故答案为：=乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基【分析】先求出基本事件总数< 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是(-丄，2].3【考点】5B:分段函数的应用.【分析】求出f (x)的解析式，得出f (x)的单调性，根据单调性得出t - 1和4t的大小关系，从而可得t的范围.【解答】解：T 0 < a< 1,•••当x< 1 时，a x> a,当x > 1 时，a> a x,••• f (x)在(-g, 1]上单调递减，在(1, +8)上为常数函数, ••• f (t - 1)> f ( 4t),• t - 1 < 4t W 1 或t - 1 W 1 < 4t ,解得-—< t W—或厶--■ ■-:.3 4 4故答案为：(-_, 2].D1三、解答题:26. 已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性;(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.【考点】4N:对数函数的图象与性质.(x) =log 2 (3+x) - log 2 (3 - x)有意义，则< 3即可,由 f (- x) =log 2 (3 - x)- log 2 (3+x) =- f (x)，可判断函数 f (x)为奇函数.(2 )令f (x) =1,即一’「，解得x=1 .即sin a =1,可求得a .【解答】解：(1)要使函数f (x) =log 2 ( 3+x)- log 2 (3 - x)有意义，则 '" ? - 3 25.对于实数m n,定义一种运算:的』m,叮口已知函数(x) =a*a x，其中0< a 【分析】(1 )要使函数1 3-x>0v x v 3,•••函数f (x)的定义域为(-3, 3);T f (- x) =log 2 (3-x) - log 2 ( 3+x) =- f (x)，•函数f ( x)为奇函数.(2 )令 f (x) =1,即 4 二，解得x=1 .• sin a =1,•- a=2k r } —^~,(k€ Z).27. 某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.【考点】5D:函数模型的选择与应用.【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论.【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50X 0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中玄1=石,q=2, n=20,丄门-乡1 1•••共需缴费S20= - - =,_=219- =524288 - ,_ ~ 52.4 万元，~ 2 2 2•方案①缴纳的保费较低.28. 已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示(1)求证：DE//平面BCGB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.【考点】Ml:直线与平面所成的角；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1 )取AC的中点F,连结EF, DF,贝U EF// CG, DF// BQ故平面DEF//平面BCCB i, 于是DE//平面BCCB i.(2)在Rt△ DEF中求出tan / EDF.【解答】(1)证明：取AC的中点F,连结EF, DF,•••D, E, F分别是AB AC, AC的中点，••• EF// CC, DF// BC,又DF A EF=F, AC A CC=C,•••平面DEF// 平面BCCB i,又DE?平面DEF,•DE//平面BCCB i.(2)解：• EF// CG, CC丄平面BCCB.•EF丄平面BCCB i,•••/ EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1,贝U DF= , EF=1,(1) 求该函数的最小正周期；(2) 求该函数的单调递减区间;29.已知函数y=3(sin27Txcci —cos2xsirrit7(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【考点】HI :五点法作函数 y=Asin (3 x+$ )的图象；H2：正弦函数的图象. 【分析】(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin (2x-—),利用周期公式即6可得解.(2) 令 2k n + W 2x - W 2k n + ------------- , k € Z ,解得：k n +W x W k n +, k € Z ,可2 6 2 36得函数的单调递减区间.(3 )根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象. TT ItIT【解答】解: (..一 . ' =3sin (2x - ^―),•••函数的最小正周期 T= =n .2x 兀71 T1257T 6 13K 122x -匹 60 7T Tn3H 22n y0 3-3(2)7t2k n + W 2x兀3兀 ”W 2k n + 一 , k € Z ,解得: 0 £.n+ . W x W k nk € Z ,•函数的单调递减区间为:[k 兀Tt +57T],k € Z ,描点、连线如图所示:30.已知椭圆. 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心a 2b 2率是'，如图所示.2(1) 求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ,过点A 作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长.【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据题意得F (1, 0),即c=1,再通过e=l 及c 2=a 2 - b 2计算可得椭圆的方程；(2)将准线方程代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得抛物线的切线方程，由△ =0,求得k 的值，分别代入椭圆方程，求得 B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段 AB 的长.【解答】解：(1)根据题意，得F (1 , 0), ••• c=1, 又 e 「, • a=2,「. b 2=a 2 - c 2=3, 2 2故椭圆的标准方程为：：'一•=—_：4 33由A 位于第二象限，则 A (- 1,),3冥 + (—1 )过点A 作抛物线的切线I 的方程为：*r'由* /异，解得- 3，----- F --- -1U 3(2)抛物线的准线方程为x=- 1垃二T2 2即直线I : 4x - 3y - 4=0214x-3y-4=02整理得4 ' -=1整理得：ky2- 4y+4k+6=0 ,3当k=0,解得：y<_，不符合题意,当k=时，直线2[2 2x丄y ,直线与椭圆只有一个交点，不符合题意,当k z 0，由直线与抛物线相切，则△=0,(4k+6) =0,解得:k=「或k= - 2,当k= - 2时，直线I的方程为3y- I：= -2 (x+1),2 24‘，整理得：y-y=-2(s+l)则y1=,『2=--三，由以上可知点A (- 1 , ), B (―,- •),u 1 勺>0 W•••丨AB 丨= I 「: . 1：~ = ,V L19 wr 3呂！2 ' 19由-11192--19x +8x - 11=0，解得：X i=- 1 , X2= ,19(x+1),，整理得：（x+1）2=0,22。
山东春季高考近5年立体几何解答题汇总
山东春季高考近5年立体几何解答题汇总
（2009年）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长和侧棱长均为1，D 是1BB 的中点，M 是11C B 上的点，且2:1:11=MC M B 。
（1）求线段AM 的长； (2)求证：平面⊥11A ACC 平面1ADC 。
(2010年）已知三棱锥ABC D -，1==AC AB ，2=AD ， 90=∠=∠=∠BAC CAD BAD ，点分别
是的中点，如图所示。
(1)求证:BC AF ⊥；
(2)求线段AF 的长。
(2011年)如图所示，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥PA 平面ABC ，3=PA ，D 是BC 中点。
（1）求证：⊥BC 平面PDA ；
（2）求二面角A BC P --的大小
(2012年)如图所示，已知正四棱锥ABCD S -，E 、F 分别是侧棱SA ，SC 的中点。
求证：（1）//EF 平面ABCD ；（2）⊥EF 平面SBD 。
(2013年)如图所示，已知棱长为1的正方形1111D C B A ABCD -。
（1）求三棱锥BCD C -1的体积；
（2）求证：平面⊥BD C 1平面CD B A 11。
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山东省2012年春季高考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共75分）一．选择题（本大题25个小题，每小题3分，共75分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1.已知全集{1,2,3}U=，集合{1,2}M =，则U M ð等于.A {1} .B {3} .C {1,2} .D {1,2,3}2.若均为实数，且ab >，则下列关系正确的是.A b a ->- .B 22a b > .C > .D a b>3.已知函数()y f x =的定义域是不等式组1020x x +≥⎧⎨-<⎩的解集，则函数()y f x =的图像可以是.A .B .C .D4.已知1和4的等比中项是3log x ，则实数x 的值是.A 2或12 .B 3或13 .C 4或14.D 9或195.已知函数()()yf x x R =∈是偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则下列关系正确的是.A (1)(2)(3)f f f ->>- .B (2)(1)(3)f f f >->- .C (3)(2)(1)f f f ->>- .D (3)(1)(2)f f f ->->6.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则sin α的值是.A 13- .B 310 .C 10-.D 107.如图所示，已知,P Q 是线段的两个三等分点，O是线段AB 外的一点，设，,OA a OB b ==uu r uur rr ，则OP uur 等于.A 1133a b +r r .B 1233a b +r r .C 2133a b +r r .D 2233a b +r r8.如果p ⌝是真命题，p q ∨也是真命题，那么下列说法正确的是.A ,p q 都是真命题 .B p 是真命题，q 是假命题.C ,p q 都是假命题 .D p 是假命题，q 是真命题9.若直线230ax y --=与直线410x y ++=互相垂直，则实数a 的值是.A 8 .B 8- .C 12 .D 12-10.已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是.A 26y x = .B 26y x =- .C 23y x = .D 23y x =-11.已知二次函数2()(1)1f x x m x m =+++-的图像经过原点，则使()0f x <的x 的取值集合是.A (0,2).B (2,0)-.C (,0)(2,)-∞+∞U.D (,2)(0,)-∞-+∞U12.已知lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x f x a =与()xg x b=的图像.A 关于坐标原点对称 .B 关于x 轴对称.C 关于y 轴对称 .D 关于直线y x =对称AO13.椭圆22198x y +=的离心率是 .A 13 .B 3 .C 4 .D 3 14.编排一张由4个语言节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是.A 120 .B 240 .C 360 .D 48015.若M N 、表示两个集合，则MN M =I 是M N ⊆的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不是充分条件也不是必要条件16.若αβ、为任意实数，则下列等式恒成立的是.A 555αβαβ⨯=.B 555αβαβ++=.C (5)5αβαβ+=.D 555ααββ-=17.已知二次函数243y x x =-+图像的顶点是A ，对称轴是直线l ，对数函数2log yx =的图像与x 轴相交于点B ，与直线l 相交于点C ，则ABC ∆的面积是.A 1 .B 2 .C 3 .D 418.已知平行四边形OABC ，(4,2),(2,6)OA OC ==uu r uu u r ，则OB uur 与AC uu u r夹角的余弦值是.A 2 .B 2- .C 5 .D 5- 19.函数()sin )f x x x π=+-的单调递增区间是A 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈B 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ C 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ D 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈20.若()na b +展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有.A 8项 .B 9项 .C 10项 .D 11项21.如图所示，若图中阴影部分所表示的区域是线性目标函数3zx y =+的可行域，则z 的最小值是.A 2 .B 3 .C 4 .D 1522.从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，其中至少有1名女生的概率是.A 35 .B 57.C 1021 .D 1742 23.已知空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，给出下列四个命题：①AC 与BD 是相交直线； ②//AB DC ； ③四边形EFGH 是平行四边形； ④//EH 平面BCD 。
其中真命题的个数是.A 4 .B 3 .C 2 .D 124.已知椭圆2212520x y +=的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么12||:||PF PF 等于.A 3:2 .B 2:3 .C 9:1 .D 1:925.已知函数2()3sin()(,0)3f x x x R πωω=+∈>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，若将()f x 的图像向左平移||α个单位后，所得到的图像关于坐标原点对称，则实数α的值可以是.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二．填空题（本大题5小题，每题4分，共20分，请将答案填在答题卡相应题号的横线上）26.已知函数1,[0,3](),[3,0)x xf xx x-∈⎧=⎨-∈-⎩，则(0)f等于。
27.已知4cos5α=-，且α是第二象限角，则tanα等于。
28.已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的体积是。
29.圆22(1)(1)4x y-++=上的点到直线34140x y+-=的距离的最大值是。
30.为了了解某中学男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到1cm），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知男生身高超过172cm的频率是。
三．解答题（本大题5小题，共55分，请在答案卡相应的题号处写出解答过程）31.（本小题10分）已知函数2()1xf xx=+。
（1）求证：函数()f x是奇函数；（2）若1a b>>，试比较()f a和()f b的大小。
32.（本小题10分）为减少沙尘暴对城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000棵。
2011年年底检查发现防护林内损失了1000棵树，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算：（1）2020年这一年将损失多少棵树？（2）到2020年年底，该防护林内共存活多少棵树？（不考虑其他因素影响）33.（本小题11分）如图所示，已知正四棱锥S ABCD -，,E F 分别是侧棱,SA SC 的中点。
求证：（1）//EF 平面ABCD ； （2）EF⊥平面SBD 。
34.（本小题12分）如图所示，甲、乙两船同时从港口O 处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度向北偏西30o的方向行驶，2小时后，甲船到达A 处，乙船到达B 处。
（1）甲、乙两船间的距离AB 是多少海里？ （2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？ 35.（本小题12分）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是1(2,0)F -，2(2,0)F ，且双曲线经过点(2,3)P 。
（1）求双曲线的标准方程；（2）设点A 是双曲线的右顶点，若直线l 平行于直线AP ，且l 与双曲线相交于,M N 两点，||4AM AN +=uuu r uuu r，试求直线l 的方程。
山东省2012年春季高考 数学试题答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共75分）一．选择题（本大题25个小题，每题3分，共75分）1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A 10.A 11.B 12.C 13.A 14.D 15.C 16.D 17.A 18.C 19.B 20.C 21.B 22.B 23.C 24.A 25.D第Ⅱ卷（非选择题，共75分） 二．填空题（本大题5个小题，每题4分，共20分） 26.1- 27.34- 28. π 29.5 30.0.36【评分标准】（1）第27题填0.75-亦可；（2）第28题填3.14亦可。
三．解答题（本大题5个小题，共55分） 31.（本小题10分） （1）【证明】函数()f x 的定义域关于坐标原点R 对称，…………………… 1分2()()1x f x x --=-+…………………… 2分21x x =-+().f x =-……………………2分所以函数()f x 是奇函数。
…………1分（2）【解】因为2()1xf x x =+，所以22(),()11a b f a f b a b ==++，…… 1分22()()11a bf a f b a b -=-++ 2222(1)(1)(1)(1)a b b a a b +-+=++ 22()(1),(1)(1)a b ab a b --=++ (1)分 由1a b >>，得a b ->，10ab -<………………………………………………………1分 又因为2210,10ab +>+>，所以22()(1)0(1)(1)a b ab a b --<++， 即()()0f a f b -<，因此()()f a f b <。
(1)分32.（本小题10分）【解】（1）由题意知，每年损失树的数量成等差数列{}n a ，其中 首项11000a =，……………………1分公差，……………………1分 由等差数列通项公式得101(101)a a d =+-1000(101)300=+-⨯……………………1分3700.=……………………1分即2020年这一年损失3700棵树。
（2）到2020年年底，共栽树2000010200000⨯=（棵）。
………1分 共损失树11010102a a S +=⨯ 10003700102+=⨯ C23500=（棵），………………………1分 工存活树20000023500176500-=（棵）。