第二章 多自由度模态分析理论
单自由度及多自由度系统模态分析讲诉
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
• 将0i代入：
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
• 解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）
[] [{1},{2 }, {n }]
• 模态振型具有正交性
i j 0, {i } [ M ]{ j } mi , i j i j 0, T {i } [ K ]{ j } ki , i j
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
第二章 多自由度模态分析理论.ppt
由N个测点的振型系数所组成的列向量为
1
r
2
N r
（2—10）
2.3多自由度系统模态分析 在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态 正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。这里我们 要讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系， 即频响函数的各种表达式。
（2—6a）
对时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可将 s
换成 j ，便可得出付氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵：
Z () (K 2M jC)
（2—6b）
H () Z 1() (K 2M jC)1 此时，系统的频域运动方程为：
(K 2M jC)X () F()
从而使求出系统的各阶模态参数。
对（2—1）式两边进行拉氏变换，可得 (s2M sC K )X (s) F (s)
（2—2）
式中 s j s j
（2—3）
为拉氏变换因子；X (s) 及 F(s)
分别为位移响应与激励的拉氏变换（初试条件为零），即
X (s) x(t)estdt
因此，测量点 l 与激励点 p 之间的频响函数为
xl ()
f p ()
Hlp ()
N r 1
Kr
lr pr 2Mr
jCr
（2—37）
上式表示为 l 点的响应是单独由 p 点的激励力引
起的。换言之的含意即为， p 点作用一单位正弦
按照模态参数（主模态频率及模态向量）是实数还是复数， 模态可分为实模态与复模态两类。由于这两类模态的特性 有一定的区别，故分别加以叙述。这里先讨论实模态
工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应
1.复习模态分析理论1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H()是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。
即有：复频率响应的实部复频率响应的虚部单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征，对频响函数特征的描述采用的几种表达式1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线2）相频图：相位与频率之间的关系曲线3）实频图：实部与频率之间的关系曲线4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线5）矢端轨迹图（Nyquist图）1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式频响函数的基本表达式：频响函数的极坐标表达式：，—幅频特性，—相频特性。
频响函数的直角坐标表达式：，—实频特性，—虚频特性频响函数的矢量表达式：1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征Nyquist图：无论阻尼多大，半功率点总位于水平直径两端，半功率点之间的曲线范围相当大，共振区在Nyquist图上最易反映出来，故用Nyquist图作参数识别较好。
对数幅频图：Bode图不仅能在很宽频段内反映系统的幅频特性而且能将低频段和高频段内幅频特性用最突出的特征反映出来。
2.预习多自由度系统振动响应2.1实模态分析对一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。
在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n个主振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态或固有振型），对应每个阻尼系统的主振型有相应的模态阻尼。
本节用模态坐标法研究模态参数模型和非参数模型。
坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。
特征值与模态频率和模态阻尼有关（不一定就是模态频率）特征矢量与模态矢量相联系（不一定就是模态矢量）。
对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析过程是实模态分析。
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
《多自由度体系》课件
热力学
1 统计力学基础
在热力学中，统计力学提供了对多自由度体系内能和熵的理解。
2 多自由度体系的自由能
自由能是描述多自由度体系热力学性质的重要概念。
3 熵和热力学基本方程
熵是多自由度体系热力学性质的度量，热力学基本方程描述了多自由度体系的热力学关 系。
应用
分子动力学模拟
多自由度体系在分子动力学模拟 中有广泛应用，用于研究分子结 构和材料性质。
拉格朗日方程和哈密顿方程是多自由度体系建模中常用的基本方程。
动力学
1
自由度分离
将多自由度体系中的自由度分离，简化系统的求解和分析。
2
能量守恒定律
能量在多自由度体系中守恒，能量守恒定律对系统动力学的理解至关重要。
3
特殊情况下的动力学：谐振子、单摆、刚体
针对特殊情况下的多自由度体系，如谐振子、单摆和刚体，可以得到特定的动力 学方程。
材料科学中的应用
多自由度体系理论在材料设计和 性能优化中具有重要作用。
生物学中的应用
多自由度体系理论被应用于研究 生物分子的结构和功能。
结论
1 多自由度体系的重要性
多自由度体系的研究对科学和工程领域具有重要意义。
2 研究多自由度体系的意义
研究多自由度体系有助于深入理解复杂系统的行为和优化设计。
3 今后的研究方向
多自由度体系
本PPT介绍了多自由度体系的概述、建模、动力学、热力学、应用以及结论。 多自由度体系在科学研究和应用中的重要性不可忽视。
概述
1 什么是多自由度体系
多自由度体系是由多个相 互作用、相互影响的质点 或刚体组成的系统。
2 为什么研究多自由度
体系
研究多自由度体系可以深 入理解复杂系统的行为， 解决实际问题。
第2讲 多自由度系统实模态分析
若 K 是正定矩阵，则 U 0 ，系统没有刚体位移， 称为正定振动系统；若是半正定矩阵，则 U 0 ，系 统将出现刚体位移，称为半正定系统。 一个振动系统是正定或半正定，与结构的边界条件 有关。
1 T 1 x Mx 0,U xT Kx 0 2 2
无阻尼系统的实模态
自由振动时，令 f (t ) 0 则 Μx + Kx = 0 （1）特征值问题 设特解 x = Φe jt Φ —系统自由响应幅值阵列。 jt 将 x = Φe 代入式 Μx + Kx = 0 ，得 ( K 2 M )Φ 0 当 Φ 为零时，这是一个广义特征值问题， 为特征 值， Φ 为特征矢量。上式也是以 Φ 中元素为变量 的n阶代数齐次方程组， K 2 M 为其系数矩阵。该 方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零， 即 K 2 M 0
2014/9/7
桥梁结构振动与抗震 （结构动力学部分）
第2讲 多自由度系统 实模态分析
多自由度系统实模态
绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度 的多自由度系统。对一个有个自由度的振动系统， 需用个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在 线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为个 振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态 的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率 即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率）， 振动形态即系统的主振型（模态），对应每个阻 尼系统的主振动有相应的模态阻尼。
X ΦU Φ diag[
n ΦiΦiT 1 ]ΦT F F 2 ki 2 mi k i 1 i mi
将它代入强迫振动方程，并考虑式 f (t ) Fe jt ，得 则
diag[ki 2 mi ]U ΦT F
模态分析理论
zi = zmisin ωit+i =zmiIm(ejωit+i ) （10）
其中 为第 i 阶频率下，各自有度的位移矢量， 为第 i 个特征矢量，表示第 i 阶固有频率
下的振型， ωi 为第 i 阶频率下的第 i 个特征值，i 为初始相位。 对于三自由度系统，在第 i 阶频率下，等式可以写成
2 的单自由度粘性阻尼系统为例，
图错误!未指定顺序。单自由度系统
则该系统的运动方程为：
m
..
z
+c
.
z
+kz=F
（1）
其中 m 为质量，c 为阻尼系数，k 为刚度系数，z， 速度和加速度。
分别为位移、
对二阶微分方程进行拉普拉斯变换，其中二阶导数项的拉普拉斯
变换为：
假设初始位移和速度都为零，则
（2）
，其中
对于对角质量矩阵 则三自由度系统：
（31） （32）
（33）
（34）
则归一化的质量矩阵为
1
1
1
1 1 1
3m
2m
6m
3
2
6
zn
=
1 3m
0
-2 6m
=
1 1
m
3
0
-2 6
（35）
1 -1 1
1 -1 1
3m 2m 6m
3 2 6
同理归一化后的刚度矩阵为
1 0 0 mn = znTmzn 0 1 0 （36）
即
（14）
k-ω-ki2m 0
-k 2k-ωi2m
多自由度振动系统分析
多自由度振动系统分析引言：振动是物体在受到外力作用后，由于其固有特性而产生的周期性运动。
在实际生活和工程中，我们经常会遇到各种各样的振动现象，如桥梁的振动、机械系统的振动等。
而多自由度振动系统是一种复杂的振动系统，其分析和研究对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
一、多自由度振动系统的基本概念多自由度振动系统是指由多个质点组成的振动系统，每个质点都可以在空间中自由运动。
在这种系统中，每个质点都有其自身的质量、刚度和阻尼等特性。
多自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，其中包括了每个质点的加速度、速度和位移等信息。
二、多自由度振动系统的分析方法1. 模态分析模态分析是一种常用的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的特征值和特征向量，得到系统的固有频率和振型。
在模态分析中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模，并通过数学方法求解得到系统的模态参数。
模态分析可以帮助我们理解系统的固有特性，如共振频率、振动模态等。
2. 频域分析频域分析是一种基于傅里叶变换的多自由度振动系统分析方法。
通过将系统的运动方程转化为频域中的复数形式，我们可以得到系统在不同频率下的响应。
频域分析可以帮助我们研究系统在不同频率下的振动特性，如频率响应函数、频谱等。
3. 时域分析时域分析是一种基于时间的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的运动方程，得到系统在不同时间下的响应。
时域分析可以帮助我们研究系统的动态特性，如振动幅值、振动周期等。
三、多自由度振动系统的应用多自由度振动系统的分析和研究在工程领域有着广泛的应用。
例如，在桥梁工程中，我们需要对桥梁的振动特性进行分析，以确保桥梁在自然灾害或车流等外力作用下的安全性。
在机械工程中，我们需要对复杂机械系统的振动进行分析，以减少系统的振动噪声和提高系统的稳定性。
此外，多自由度振动系统的分析方法还可以应用于建筑结构、航空航天等领域。
结论：多自由度振动系统的分析对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
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由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应
均可表示为各阶模态响应的线性组合。对 点的响应可表示
为:
l
xl l1q1() l 2q2 ()
N
lN qN () lrN qr () r 1
（2—31）
2.2多自由度系统模态参数
多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。
在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这 些都是模态分析的基本概念。这里我们要讨论频响函数（或传递函数）与模 态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。
按照模态参数（主模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可分为实模态 与复模态两类。由于这两类模态的特性有一定的区别，故分别加以叙述。这里 先讨论实模态
（2—6b）
H () Z 1() (K 2M jC)1 此时，系统的频域运动方程为：
(K 2M jC) X () F ()
（2—7） （2—8）
由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各
阶模态响应的线性组合。对 点的响应可表示为
试验实模态分析
设系统的自由度为 ，阻尼N 为比例阻尼，由（2—31）式可得
第 阶模态坐标为：
r
qr
(Kr
Fr
2M r
jCr )
式中:
n
Fr rT F () ir f j () j 1
结构上任意 测l点的响应为
(i 1, 2,
N
xl lrN qr () r 1
（2—32）
, N ) （2—33）
（2—34）
p
我们讨论单点激励情况。设激励力作用于点 ，则激励力向量变为
F [0
0 f p () 0
0]T
模态力为
Fr pr f p ()
因此， （2—模32）态坐标可表示为
qr
Kr
pr f p () 2M r jCr
将上式代入（2—32）式 响应表达式得
xl ()
N r 1
Kr
lr pr f p () 2M r jCr
（2—35） （2—36）
因此，测量点 与激l 励点 之间的p频响函数为
xl ()
f p ()
Hlp ()
N
r 1 Kr
lr pr 2Mr
jCr
（2—37）
上式表示为 点的l 响应是单独由 点的激励力p引起的。换言之的含 意即为， 点作用一单位正弦力，在 点p 产生的复响应。由此可见，
为拉氏变换因子；
X (s) 及 F(s)
分别为位移响应与激励的拉氏变换（初试条件为零），即
（2—2） （2—3）
X (s) x(t)est dt
F (s) f (t)est dt
（2—2）式又可写为：
Z(s)X (s) F(s)
式中
Z (s) (s2M sC K )
我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。然后将所分析的结 果推广到其他阻尼形式的系统。
设所研究的系统为N个自由度的定常系统。其运动微分方程为：
MX CX KX F
（2—1）
式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。均为N-N阶矩阵。并且M及 K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量M矩阵是正定矩阵，K刚度矩阵 。
f1
F
f2
f N N 1
阶矩阵。即
X,X,X
（2—1）式是用系统的物理坐标
描述的运动方程组。在其每一个方程中
均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其展开
式）。当系统的自由度数很大时，求解很困难。我们能否将上述耦合方程变成
非耦合的独立的微分方程组，就是模态分析所要解决的主要任务。故所以模态
对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定 的。当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵 C对于无刚体运动的约束系统是正定的； 对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。
X及 分F别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为
N 1
x1
X
x2
xN N 1
试验模态分析
第二章多自由以及与模态参数的关系
前面我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分 析的基本概念。当我们知道物理空间中结构的质量、阻尼及刚度矩阵时，即知道，及 时就可以用计算机分析其结构的动态特性以及求解其响应了。这就是所谓的正向求解 方法。但对一个实际结构的和必须经简化以及离散化后才可以得，这里就有一定的误 差。至于阻尼矩阵就更难确定了。
另外还有用试验的方法来测得结构的动态特性的方法。这就 是所谓的逆向求解方法。即《试验模态技术》。所谓试验模 态就是由试验测量激励 和响应 （或 、 ）来获得结构 的动态F特(性t) 。这就与频X响(t函) 数的概X念(t)有关。X下(t)面我们讨论频 响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数 的各种表达式。
Z (s) 为位移阻抗；是
N N 阶矩阵。
（2—4）
阻抗矩阵 Z(s) 的逆矩阵称为传递函数矩阵
H (s) Z 1(s) (s2M sC K )1
对时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可将
（2—6a）
s
换成 j ，便可得出付氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵：
Z () (K 2M jC)
分析的经典定义是：以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理
坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而使求
出系统的各阶模态参数。
对（2—1）式两边进行拉氏变换，可得 (s2M sC K ) X (s) F (s)
式中 s j s j
l
xl l1q1() l 2q2 ()
式中 lr 为第 l 个测点、第
N
lN qN () lrN qr () r 1
r 阶模态的振型系数。
（2—9）
由N个测点的振型系数所组成的列向量为
1
r
2
N r
（2—10）
2.3多自由度系统模态分析