暨南大学高等代数考研真题试题2014—2020年
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暨南大学2020年硕士研究生入学考试真题845抽象代数
2、判断题（在题后的括号内正确的画“√”，错误的画“×”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。
1.( ) 4阶群在同构意义下只有一个。
2.( )整数加法群 的子群一定是某个 。
3.( )每一个环中都存在唯一的单位元。
4.( )整数环的自同构只有恒等自同构。
5.( )任何一个有限域所含元素的个数必为素数或素数的方幂。
(1)说明在通常的乘法运算下 是一个群；(5分)
(2)确定 的全部正规子群；(5分)
(3)说明 与 的一个子群同构。(5分)
四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1．(15分)设 是群 的两个元素，满足 。 的阶为 ， 的阶为 ，且 。证明 的阶为 。
2．(15分)设 是两个正整数， 和 分别是它们的最大公约数和最小公倍数。
(1)证明 和 都是整数环的理想，并且 ， ；(10分)
(2) 是整数环的理想吗？请说明理由。(5分)
五、解答证明题（共2小题，第1小题15分，第2小题25分，共40分）。
1.(15分)设 是有理数域 上不可约多项式 的一个实根。
(1)证明 是 在 上的一组基；(5分)
(2)将 表示成 的 -线性组合。(10分)
3、解答题（共3小题，其中出群、环和域的定义，试说明它们的区别和联系。
2．(15分)设 是15阶循环群，
(1)求 中各个元素的阶；(5分)
(2)求 的所有生成元；(5分)
(3)求 的所有非平凡子群。(5分)
3．(15分)设 为3次对称群， ，其中 。
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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1.( ) 4阶群在同构意义下只有一个。
2.( )整数加法群 的子群一定是某个 。
3.( )每一个环中都存在唯一的单位元。
4.( )整数环的自同构只有恒等自同构。
5.( )任何一个有限域所含元素的个数必为素数或素数的方幂。
(1)说明在通常的乘法运算下 是一个群；(5分)
(2)确定 的全部正规子群；(5分)
(3)说明 与 的一个子群同构。(5分)
四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1．(15分)设 是群 的两个元素，满足 。 的阶为 ， 的阶为 ，且 。证明 的阶为 。
2．(15分)设 是两个正整数， 和 分别是它们的最大公约数和最小公倍数。
(1)证明 和 都是整数环的理想，并且 ， ；(10分)
(2) 是整数环的理想吗？请说明理由。(5分)
五、解答证明题（共2小题，第1小题15分，第2小题25分，共40分）。
1.(15分)设 是有理数域 上不可约多项式 的一个实根。
(1)证明 是 在 上的一组基；(5分)
(2)将 表示成 的 -线性组合。(10分)
3、解答题（共3小题，其中出群、环和域的定义，试说明它们的区别和联系。
2．(15分)设 是15阶循环群，
(1)求 中各个元素的阶；(5分)
(2)求 的所有生成元；(5分)
(3)求 的所有非平凡子群。(5分)
3．(15分)设 为3次对称群， ，其中 。
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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暨南大学601高等数学2010--2014,2017,2019--2020年考研真题试卷
3．若 y5 2 y x 3x7 0 ，则 dy |x0 __________________________.
4．
lim(
n
n
1 2
1
2 n2 2
...
n ______.
5．以函数 y C2 作为通解的微分方程是_______________________. x C1
____________
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要
4. 若级数 (an bn ) 收敛，那么说法正确的是___________
n1
(A) an 和 bn 中至少有一个收敛 (B) an 和 bn 有相同的敛散性
n1
n1
n1
n1
(C) an 和 bn 都收敛
D
6．求 4 ln(1 tan x)dx . 0
dx
7. 判断积分 0
(1 x)(1 x2 ) 的收敛，如果收敛，求其值.
8. 求一阶线性微分方程 dy 5y x 的通解. 并求满足初始条件 y(0) 0 的特解. dx
9．求在平面 x y z 1与柱面 x2 y2 1的交线上到 XOY 面的距离最远的点. 345
考试科目：高等数学B
共 4 页，第 3 页
4、证明题 （本题共2小题，每小题5分，共10分）
1. 设函数 f (x) 在 (,) 上可导,证明:若 f ' (x) f (x) 没有实数解，那么曲线
y f (x) 与 x 轴最多只能有一个交点.
df
1 ( dx
x)
|x3
___________
(A) 1 3
(B) 3
(C) 1
暨南大学-2014年-硕士学位研究生入学考试真题-(820)数字电子技术
7．为了将三角波换为同频率的矩形波，应选用（ A、施密特触发器 C、多谐振器 8. 逻辑函数 F A ( A B) = A. A B. B B、单稳态触发器 D、计数器 ( )。 C. A B
） 。
D. A B
9. 有一个左移移位寄存器，当预先置入 1011 后， 其串行输入固定接 0，在 4 个移位脉冲 CLK 作用下，四位数据的移位过程是（ A. 1011--0110--1100--1000--0000 C. 1011--1100--1101--1110--1111 ） 。 B. 1011--0101--0010--0001--0000 D. 1011--1010--1001--1000—0111
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.已知某电路的真值表如下，该电路的逻辑表达式为( A． Y C B. Y ABC A 0 0 0 0 B 0 0 1 1 C 0 1 0 1 Y 0 1 0 1 C． Y AB C A 1 1 1 1 B 0 0 1 1 C 0 1 0 1 )。 D． Y BC C Y 0 1 1 1
10. TTL 反相器输入为低电平时其静态输入电流为（ A．－3mA B．＋5mA C．－1mA D．－7mA
）
二、填空题（共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1. 如果对键盘上 108 个符号进行二进制编码，则至少要（ 2．一个 JK 触发器有（ ）个稳态，它可存储（ ） 。 ）２＝（ ）１６（二进制数保留小数点后 4 位） ）位二进制数码。 ）位二进制数。
2．用两个四选一数据选择器及门电路实现一位二进制全减运算。（20 分）
暨南大学线性代数测试题
暨南大学线性代数测试题第一篇：暨南大学线性代数测试题线性代数测试练习题一、选择与填空（每题2分，共40分）a111、若行列式D=a21a12a22a32a134a112a11-3a122a21-3a222a31-3a32a13a2 3=。
a33a31a23=1，则H=4a21a334a31（A）-12（B）12（C）-24（D）242、n级排列p1p2Λpn的逆序数与顺序数分别为p与q，则p+q=。
⎧2x1-x2+x3=0⎪3、齐次线性方程组⎨x1+kx2-x3=0有非零解，则。
⎪kx+x+x=0⎩123（A）k=4（B）k=-1（C）k≠-1且k≠4（D）k=-1或k=41042-1-14、四阶行列式D=0-6024-102，Aij是相应的代数余子式，则2A41-A42-A43+2A44=02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）I-A2=(I-A)(I+A)（B）(AB)k=AB22（C）如果A=B，则A=B或A=-B（D）A+BTT=A+B⎛OA⎫=6、A、B为n阶可逆矩阵，则 ⎪⎝BO⎭⎛O（A） -1⎝B⎛OA-1⎫（B）⎪-1O⎭⎝A⎛OB-1⎫（A）⎪-1O⎭⎝-A⎛A-1-B-1⎫⎪（D） O⎭⎝OO⎫-1⎪B⎭-17、A为n阶矩阵，且r(A)≤n-1，则r(A*)=（A）1 或n-1（B）0 或n-1（C）1或0（D）以上都不对。
8、A、B为3阶可逆矩阵，且A=2，B=3。
则-2(AB)=。
9、已知向量β=(-1,-1,0)被向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是（A）-1，-1，-1（B）1，-1，-1（C）-1，1，-1（D）-1，-1，110、A是m⨯n矩阵，r(A)=r(0≤r<n)，则下列结论不正确的是：（A）Ax=0的任何一个基础解系都含n-r个线性无关解向量；（B）X 是n⨯s矩阵，且AX=0，则r(X)≤n-r；T-1（C）β是m维列向量，r(A,β)=r，则β可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Ax=b比有无穷多组解；11、已知m⨯n齐次方程组Ax=0，且r(A)=r，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r是方程组的n-r个线性无关解向量，则Ax=0的基础解系为（A）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1+ξ2+Λ+ξn-r（B）ξ1，ξ2-ξ1，ξ3-ξ2，…，ξn-r-ξn-r-1，ξn-r（C）ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，…，ξn-r-1-ξn-r，ξn-r-ξ1（D）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1-ξ2-Λ-ξn-r，12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：（A）A可逆的充分必要条件是r(A)=n；（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；（C）A可逆的充分必要条件是当x≠0时，Ax≠0；（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。
暨南大学810高等代数2010--2020年考研专业课真题
招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论
考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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暨南大学数学考研真题
2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：基础数学070101；计算数学070102；概率论与数理统计070103；应用数学070104；运筹学与控制论070105
4、给出线性空间 的两组基 和 ：
，
则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5、已知3级方阵 ，则 的初等因子为， 的Jordan标准形为。
考试科目：高等代数共3页，第1页
6、正交矩阵的实特征值只可能是。
7、对欧几里得空间 中的向量 ，有 ，而且等号成立当且仅当。
七、（15分）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上形如
的 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用 表示数域 上所有 级循环矩阵组成的集合。证明 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。
考试科目名称及代码：高等代数810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共40分，每空4分）
1、设 ， ，则 除 的商式和余式分别是_______和_________。
2、行列式 的值是________。
3、如果把实 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。
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招生专业与代码：基础数学070101；计算数学070102；概率论与数理统计070103；应用数学070104；运筹学与控制论070105
4、给出线性空间 的两组基 和 ：
，
则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5、已知3级方阵 ，则 的初等因子为， 的Jordan标准形为。
考试科目：高等代数共3页，第1页
6、正交矩阵的实特征值只可能是。
7、对欧几里得空间 中的向量 ，有 ，而且等号成立当且仅当。
七、（15分）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上形如
的 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用 表示数域 上所有 级循环矩阵组成的集合。证明 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。
考试科目名称及代码：高等代数810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共40分，每空4分）
1、设 ， ，则 除 的商式和余式分别是_______和_________。
2、行列式 的值是________。
3、如果把实 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。
暨南大学241基础英语2010,2014--2020年考研真题试卷
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
考试科目：基础英语
共 15 页 第 1 页
Part I Cloze (10 points) Directions: There are 20 blanks in the following passage. For each blank there are four choices marked A, B, C and D. You should choose the ONE that best fits into the passage and write the corresponding letter on the Answer Sheet.
The Bahia coast in north-east Brazil is a particularly attractive area __2__ tourism. Several luxury resorts have been built there. Recently a $170 million five-hotel __3__ at Sauipe opened. With its 18-hole golf __4__ and designer shops, Sauipe is hoping to attract rich, foreign visitors.
The other big challenge for Sauipe’s managers is __15__ the social problems that other new resorts have caused, when large numbers of people have come from the interior in search __16__ jobs, quickly __17__slums.
考试科目：基础英语
共 15 页 第 1 页
Part I Cloze (10 points) Directions: There are 20 blanks in the following passage. For each blank there are four choices marked A, B, C and D. You should choose the ONE that best fits into the passage and write the corresponding letter on the Answer Sheet.
The Bahia coast in north-east Brazil is a particularly attractive area __2__ tourism. Several luxury resorts have been built there. Recently a $170 million five-hotel __3__ at Sauipe opened. With its 18-hole golf __4__ and designer shops, Sauipe is hoping to attract rich, foreign visitors.
The other big challenge for Sauipe’s managers is __15__ the social problems that other new resorts have caused, when large numbers of people have come from the interior in search __16__ jobs, quickly __17__slums.
暨南大学810高等代数专业课考研真题(2019年)
2 2
2 2
1 2
2 1
证明：由 −α1 + α2 , −α1 + α3 生成的子空间W =L（-α1 + α2，-α1 + α3）是 χ 的不变子空 间. 九、（10 分= ） 设αi (αi,1，αi,2,，⋅⋅⋅，= αi,n )T (i 1, 2,..., r ; r < n) 是 n 维实向量，且向
2019年暨南大学硕士研究生入学考试试题
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
七、(15 分) 设数域F上的3× 4矩阵A为
定义线性变换
1 0 1 1
A=
3
1
4
7
−1 1 0 3 ，
= Q(a) Aa， ∀a ∈ F 4 .
分别求 Im Q和KerQ的一个基和维数.
八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 χ 在基α1，α2，α3 下的矩阵为
2 2 −2
b
五、（20 分） 已= 知矩阵 A
2
5
−4
与矩阵B=
−2 −4 a
1
相似，求
10
a,b 的值，并求一正交矩阵 P 使得P−1AP = B.
2 2
1 2
2 1
证明：由 −α1 + α2 , −α1 + α3 生成的子空间W =L（-α1 + α2，-α1 + α3）是 χ 的不变子空 间. 九、（10 分= ） 设αi (αi,1，αi,2,，⋅⋅⋅，= αi,n )T (i 1, 2,..., r ; r < n) 是 n 维实向量，且向
2019年暨南大学硕士研究生入学考试试题
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
七、(15 分) 设数域F上的3× 4矩阵A为
定义线性变换
1 0 1 1
A=
3
1
4
7
−1 1 0 3 ，
= Q(a) Aa， ∀a ∈ F 4 .
分别求 Im Q和KerQ的一个基和维数.
八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 χ 在基α1，α2，α3 下的矩阵为
2 2 −2
b
五、（20 分） 已= 知矩阵 A
2
5
−4
与矩阵B=
−2 −4 a
1
相似，求
10
a,b 的值，并求一正交矩阵 P 使得P−1AP = B.
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5 4
4 a
与矩阵B=
1
10
相似，求
a,b 的值，并求一正交矩阵 P 使得P1AP B.
六、 (20 分) 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (1 a)x12 (1 a)x22 2x32 2(1 a)x1x2 的秩为 2. (1)求 a 的值; (2) 求一正交变换，将其化为标准型.
1
2. （10 分）计算 n 阶行列式
3
4 5
1
2
。
n 1 n 1 n 3 n 2
n 1 2 n 2 n 1
3. （15 分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系
x1 x2 3x4 x5 2
x1 4 x1
2
x2 x2
6 x3
2 x3 3x4
考试科目：
共 2 页，第 1 页
6. （15 分）设 AT A ，证明 A 可逆当且仅当存在矩阵 B ，使得 AB B T A 正定。
7.
（15
分）设矩阵
A
1 1
1 1
1 1
，求正交矩阵 T
，使 T
1 AT
为对角形。
1 1 1
8.
（15
分）求矩阵
A
1 2
2 4
1 2
的初等因子与若尔当典范形。
3 6 3
9.
（20
分）记V
=
a c
b d
a,b C,
a
d
=
0
，对任一
AV
，定义V
上的线性变
换T
为：对任意
X
V
，TX
=AX
XA 。假设
A=
1 0
01 。试求：T 的所有特征
值以及与这些特征值相对应的特征向量。
10. （20 分）设 A 、 B 是 n n 矩阵，且 A2 = B2 = E （ E 是 n 阶单位矩阵），且 A B = 0 ，证明： A B 不是可逆矩阵。
考试科目名称及代码：810 高等代数（B 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. （10 分）证明：如果 x2 x 1| f1(x3) xf2 (x3) ，则 (x 1) | f1(x) ， (x 1) | f2 (x) 。
1 2 3 n 1 n
2 3 4 n
考试科目：
共 2 页，第 2 页
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
四、（20 分）设线性方程组
3x1 2x2 x3 x4 1
x2
x2 2x3 2x4 1 ( 3)x3 2x4
x1 x2 x3 x4 0
讨论参量 , 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所
有解.
2 2 2
b
五、（20 分）
已知矩阵
A
2 2
二、（10 分）设 f (x), g(x) F[x],其中F[x]表示数域F上一元多项式集合. 证明：
(1) 如果f (x) | g(x)h(x), ( f (x), g(x)) 1,那么 f (x) | h(x);
(2) 如果f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) 1,那么 f (x)g(x) | h(x). 三、（15 分）设 是 n 阶方阵 A 的一个特征值， 证明： (1) 2是矩阵A2的一个特征值; (2) (2 )是矩阵2E A的一个特征值； (3) 若A可逆，则 A 是A的伴随矩阵A*的一个特征值.
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
考试科目名称及Байду номын сангаас码：810 高等代数（A 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10 分）设 n 为给定正整数， a 为给定常数，计算对角线上元素均为 a 、其它位 a 1 11 1 1 a 11 1
置元素均为 1 的 n 阶矩阵 A 的行列式| A | 1 1 a 1 1 . 1 1 1a 1 1 1 11 a
十、（10 分） 设 n 级方阵 A, B,C, D 两两可交换，且满足 AC BD E .记 ABx 0 的
解空间为W , Bx 0 的解空间为W1 , Ax 0 的解空间为W2 . 证明W W1 W2 . 十一、（10 分） 证明 n 阶实对称矩阵 A 是正定的充分必要条件是：存在 n 阶可逆实 对称矩阵 C 使得 A C2 .
x4 4 x5
1 8
。
2x1 4x2 2x3 4x4 7x5 9
4. （15 分）设 A, B 为 n 阶方阵，证明：
rankA B rankA B rankA rankB。
5. （15 分）设向量组1,2,,m 线性无关，向量组1,2,,m , 线性相关。证 明： 可以由向量组1,2,,m 线性表示。
七、(15 分) 设数域F上的3 4矩阵A为
定义线性变换
1 0 1 1
A=
3 1
1 1
4 0
7 3
，
Q(a) Aa， a F 4 .
分别求 Im Q和KerQ的一个基和维数.
八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 在基1，2，3 下的矩阵为
L
1 2 2
2 2
1 2
2 1
证明：由 1 2 , 1 3 生成的子空间W L（- 1 2，- 1 3）是 的不变子空 间. 九、（10 分） 设i (i,1，i,2,，，i,n )T (i 1, 2,..., r ; r n) 是 n 维实向量，且向
量组1，2，，r 线性无关. 已知 = 1，2，，n T 是线性方程组
1,1x1 1,2 x2 ... 1,n xn 0
2,1
x1
2,2 x2 ... 2,n xn ......
0
r,1x1 r,2 x2 ... r,n xn 0
的非零解向量.试判断向量组1，2，，r， 的线性相关性.