2018年北京市海淀区高三一模文科数学试题及参考答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ⊆，则a 可以是(A) 1- （B ） 0 （C ） 1 （D ）2（2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b(A) (1,2)- （B ） (1,4)- （C ） (1,2) （D ） (1,4) （3）下列函数满足()()0f x f x -+=的是(A) ()f x x = （B ）()ln f x x =（C ） 1()1f x x =- （D ）()cos f x x x =（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 2 （B ）6 （C ） 8 （D ）10（5）若抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是(A) 1p < （B ） 1p > （C ） 2p < （D ） 2p >（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为 (A) 1 （B ） 2 （C ） 1- （D ） 2-（7）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A) 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数2i1i=+____. （10）已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点，则C 的离心率为 .（11）在ABC ∆中，若2,6c a A π==∠=，则sin C = ，cos2C = .（12）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是____. （（13）已知函数1()cos f x x x=+，给出下列结论： ①()f x 在(0,)2π上是减函数； ②()f x 在(0,π)上的最小值为2π； ③()f x 在(0,2)π上至少有两个零点．其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)（14）将标号为1，2，……，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a ；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b . 甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________．主视图俯视图左视图三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）已知等比数列{}n a 满足11a =，5218a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试判断是否存在正整数n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．（16）（本小题13分）函数()3sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，其中0x 是函数()f x 的零点． （Ⅰ）写出,ωϕ及0x 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．（17）（本小题13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%%:55时，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在%%a b :时记为区间[)a,b ． 组号 12345678分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)频数23153050751205（Ⅱ）从区间[15,35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25,35)的概率； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组（只需写出结论）．（18）（本小题14分）如图，四棱锥ABCD E -中，BC AD //，112AD AB AE BC ====，且⊥BC 平面ABE ，M 为棱CE 的中点．（Ⅰ）求证：//DM 平面ABE ；（Ⅱ）求证：平面CDE ⊥平面CBE ； （Ⅲ）当四面体D ABE -的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由．（19）（本小题14分） 已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点．求证：点1F 在以MN 为直径的圆上．（20）（本小题13分）已知函数()e sin xf x x ax =-．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，判断()f x 在3π[0,]4上的单调性，并说明理由； （Ⅲ）当1a <时，求证：3π[0,]4x ∀∈，都有()0f x ≥．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i + 10 1113，12．3π32+ 13．①③ 14． 乙 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为 521=8a a ，且352=a a q ， 所以 318q = ， ………………2分得 12q =………………4分 所以1111(1,2,)2n n n a a q n --===L ………………6分 （Ⅱ）不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52………………7分因为11a =，12q =，所以11()122(1)1212nn nS -==--………………10分 方法1：令52n S =，则152(1)22n -= 得24n =-，该方程无解． ………………13分所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52．方法2：因为对任意*∈N n ，有1112n-<， 所以12(1)22n nS =-< ………………13分 所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52．16．解：（Ⅰ）0π11π2,,.612x ωϕ===………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，π()3sin(2)6f x x =+ ………………7分因为π[,0]2x ∈-，所以π5ππ2[,]666x +∈- ………………9分当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 的最小值为3-． ………………11分当ππ266x +=，即0x =时，()f x 的最大值为32． ………………13分17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在45%%:55时，病毒死亡较快．而样本在[45,55)上的频数为30，所以所求频率为301=30010 ………………3分 （Ⅱ）设事件A 为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25,35)” …………………….…4分设区间[15,25)中的两个数据为12,a a ，区间[25,35)中的三个数据为123,,b b b ， 因此，从区间[15,35)的数据中任取两个数据，包含12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个基本事件， …………………….…6分 而事件A 包含111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b 共6个基本事件，….…8分 所以63()105P A ==．…………………….…10分 （Ⅲ）第6组． …………………….…13分 18．（Ⅰ）证明：取线段EB 的中点N ，连接,MN AN ． 因为M 为棱CE 的中点，所以在CBE ∆中//MN BC ，12MN BC =． …………………….…1分 又//AD BC ，12AD BC =, 所以//,MN AD MN AD =. 所以四边形DMNA 是平行四边形,所以//DM AN . …………………….…2分 又DM ⊄平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以//DM 平面ABE . …………………….…4分 （Ⅱ）因为AE AB =,N 为EB 中点,所以AN BE ⊥. …………………….…5分 又BC ⊥平面ABE ,AN ⊂平面ABE ,所以BC AN ⊥ .…………………….…6分 又BC BE B =I ,所以AN ⊥平面BCE . …………………….…7分又//DM AN ，所以DM ⊥平面BCE . …………………….…8分 因为DM ⊂平面CDE ,所以平面CDE ⊥平面CBE . .…………………….…9分 （Ⅲ）AE CD ⊥. .…………………….…10分设EAB θ∠=，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ⨯⋅⋅⋅==..….……11分当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大. .…………………….…12分 又BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ,所以AE BC ⊥. .…………………….…13分 因为BC AB B =I ,所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ⊂平面ABCD ，所以AE CD ⊥. .…………………….…14分19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> ，则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ .…………………….…2分得2,a b == .…………………….…4分所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时，可得3(1,)2P -，3(1,)2Q --直线AP 方程为1(2)2y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --.所以1(3,3)F M =-u u u u r ，1(3,3)F N =--u u u u r，得110F M F N ⋅=u u u u r u u u u r .所以190MF N ∠=︒，1F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分 当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为(1)y k x =+，()11,y x P 、()22,y x Q . 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(34)84120k x k x k +++-=.显然0∆>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++， .…………………….…8分直线AP 方程为11(2)2yy x x =--，得116(4,)2y M x ---， 同理，226(4,)2y N x ---． .…………………….…9分所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---u u u u r u u u u r ，121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--u u u u r u u u u r 2 .……10分因为11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，所以2121212123636(1)(1)(2)(2)(2)(2)y y k x x x x x x ++----= .…………………….…11分 2222222121222221212241283436()36(1)9363494121612162()43634k k k k k x x x x k k k k k x x x x k k --+++++-⋅+====--+++-+++， 所以110F M F N ⋅=u u u u r u u u u r..…………………….…13分所以90MFN ∠=︒，F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分 综上，F 在以MN 为直径的圆上.20．解：（Ⅰ）当0a =时，()sin xf x e x =,'()(sin cos )x f x e x x x R =+∈，. .…………………….…1分 得'(0) 1.f = .…………………….…2分又0(0)sin 0=0f e =, .…………………….…3分 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分方法1：（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-，所以π'()e (sin cos )sin(+)4x xf x x x a x a =+--. …………………….…5分因为3π[0,]4x ∈，所以ππ[,π]44x +∈. .…………………….…6分πsin()04xx +≥. .…………………….…7分所以 当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. .…………………….…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3π[0,]4单调递增，所以3π[0,]4x ∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时，设()'()g x f x =，则 '()(sin cos )(cos sin )2cos x x xg x e x x e x x e x =++-=，(),'()g x g xx所以'()f x 在[0,]2上单调递增，在(,]24上单调递减 .…………………….…10分因为'(0)10f a =->，3π()04f a '=-<，所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03π(,]4x x ∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03π[,]x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =，3π3π2443π3π()e e 304242f a =⨯->⨯->>， 所以当01a <<时，对于任意的3π[0,]4x ∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3π[0,]4x ∈，均有()0f x ≥. .…………………….…13分方法2：（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-，所以'()(sin cos )xf x e x x a =+-，…………….…5分令()'()g x f x =，则'()(sin cos )(cos sin )2cos xxxg x e x x e x x e x =++-=， .…………………….…6分(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：.…7分当0a ≤时，(0)10g a =->，3(π)04g a =-≥所以3π[0,]4x ∈时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. .…………………….…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3π[0,]4单调递增，所以3π[0,]4x ∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时， 由（Ⅱ）可知，()f x '在π[0,]2上单调递增，在π3π(,]24上单调递减，因为(0)10f a '=->，3π()04f a '=-<，所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03π(,]4x x ∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03π[,]4x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =，3π3π443π3π()e e 3044f a =->->>， 所以当01a <<时，对于任意的3π[0,]4x ∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3π[0,]4x ∈，均有()0f x ≥. .……………….…13分。