最新2019届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x 是小于4的偶数}，B ＝{－3，1，2，4}，则A ∩B ＝________．2. 命题“∀x ＞0，x 2≥0”的否定为______________．3. 若复数z ＝1＋a i 2－i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a ＝________． 4. 函数y ＝log 7(x 2－4x ＋3)的定义域为________．5. (文)点M (－3，4)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为________．(理)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝________．6. (文)经过点P (1，2)，且与直线3x ＋4y －100＝0垂直的直线的方程是________．(理)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数，则f (－1)＋f (0)＝________． 7. (文)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． (理)已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －ln x 在[1，e]上的最小值为________．8. (文)已知向量a 与b ，满足|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －b )，则向量a 与b 的夹角为________． (理)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________．9. (文)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n .若a 1＋a 4＋a 7＝0，则S 6a 6的值为________．(理)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________． 10. 在△ABC 中，已知(tan A ＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C ＝________．11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＋1的最小值为________． 12. 已知函数f (x )＝x (2x －2－x )，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集为________．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A，则cos C 的最小值为________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2f 2(x )＋3mf (x )＋1－2m 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C c ＝sin B b. (1) 求角C 的值；(2) 若sin(B －π3)＝35，求cos A 的值．16. (本小题满分14分)已知k ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(1－k )x ＋2－k .(1) 解关于x 的不等式f (x )＜2；(2) 对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，求实数k 的取值范围．(文)如图，已知点A (1，1)，B (－1，1)，过点A 作直线l ，使得直线l 与y 轴正半轴交于点C ，与射线BO 交于点D .(1) 若直线l 的斜率为－3，① 求OA →·BC →的值；② 若OD →＝λOA →＋μOC →，求实数λ－μ的值；(2) 求△OCD 面积的最小值及此时直线l 的方程．(理)已知函数f (x )＝log a x ＋log 4x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2？如果存在，求出所有的m ，n ；如果不存在，请说明理由．如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n ，n ∈N *，记b n ＝a n ＋3.(1) 求证：数列{b n }为等比数列；(2) 设数列{b 2n }的前n 项和为T n ，求证：S 2n ＋6n T n为定值； (3) 判断数列{2n －a n }中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，不等式f (x )＜m 在x ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若f (x )在x ＝x 0处取得极小值，且x 0∈(0，3)，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝mx 2，m ∈R ，e 为自然对数的底数．(1) 如果函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围；(2) 若直线y ＝kx ＋1是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数k 的值；(3) 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求曲线y＝ln(x2－2x)在x＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n2＋3n＋22.23. (本小题满分10分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分)高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；(2) 求ξ的分布列和数学期望．【参考答案】1. {2}2. ∃x ＞0，x 2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x －3y ＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞) (理)e8. (文)π4(理)[12，＋∞) 9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞) 13. 7814. m ＜－3 15. 解：(1) 在△ABC 中，因为sin 2C c ＝sin B b ，由b sin B ＝c sin C得(1分) 2sin C cos C sin C ＝sin B sin B，(2分) 所以cos C ＝12.(4分) 又C ∈(0，π)，(5分)所以C ＝π3.(6分) (2) 因为C ＝π3，B ∈(0，2π3)，B －π3∈(－π3，π3)，则cos(B －π3)＞0.(8分) 又sin(B －π3)＝35，则cos(B －π3)＝1－sin 2（B －π3）＝1－（35）2＝45.(10分) 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以cos A ＝cos(2π3－B )＝cos ⎣⎡⎦⎤π3－（B －π3）(12分) ＝cos π3·cos(B －π3)＋sin π3·sin(B －π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分) 16. 解：(1) 由f (x )＜2得不等式可变形为(x －k )(x ＋1)＜0，(1分) ① 若k ＝－1，则(x ＋1)2＜0，解集为∅；(3分)② 若k ＞－1，解集为(－1，k )；(5分)③ 若k ＜－1，解集为(k ，－1)．(7分)(2) 由对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，即x 2＋(1－k )x ＋1－k ≥0恒成立， 即x 2＋x ＋1≥k (x ＋1)，对任意x ∈(－1，2)恒成立，(8分)k ≤（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1.(10分) 因为(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝2－1＝1.(12分) 当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0∈(－1，2)时，(13分) ⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x ＋1－1min ＝1，故实数k 的取值范围是(－∞，1]．(14分)17. (文)解：(1) 因为直线l 过A (1，1)，且斜率为－3，所以直线l ：y －1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋4.(1分)令x ＝0得C (0，4)；令y ＝－x 得D (2，－2)．(2分)① 因为OA →＝(1，1)，BC →＝(1，3)，所以OA →·BC →＝1×1＋1×3＝4.(4分)② 因为OD →＝λOA →＋μOC →，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分)所以λ－μ＝3.(7分)(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l 的斜率k 存在，且k ＜－1，(8分) 设直线l ：y －1＝k (x －1)．令x ＝0得C (0，1－k )；令y ＝－x 得D (k －1k ＋1，1－k k ＋1)．(9分) 则S △OCD ＝12OC ·|x D |＝12·（1－k ）2－1－k(10分) ＝12⎣⎡⎦⎤（－k －1）＋4－k －1＋4≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－k －1）·4（－k －1）＋4＝4，(13分) 当且仅当－k －1＝4－k －1，即k ＝－3∈(－∞，－1)时，(S △OCD )min ＝4. 此时直线l ：y ＝－3x ＋4.(14分)(理)解：(1) (解法1)因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝1x ln a ＋1x ln 4＝1x (1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分) 则1ln a ＋1ln 4≥0，ln 4a ln a ·ln 4≤0，解得a ＞1或0＜a ≤14.(4分) 又当a ＝14时，f (x )＝0为常数函数，不合题意．(5分) 所以a ＞1或0＜a ＜14.(6分) (解法2)因为f (x )＝log a x ＋log 4x ＝log 4x log 4a ＋log 4x ＝log 4x (1log 4a＋1)，(2分) 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1log 4a ＋1＞0，即1＋log 4a log 4a＞0， 所以log 4a ＜－1或log 4a ＞0，(4分)即a ＞1或0＜a ＜14.(6分) (2) 当a ＝4时，f (x )＝2log 4x 在(0，＋∞)上为增函数．(7分)因为函数f (x )在定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2，则有f (m )＝2log 4m ＝m 2，f (n )＝2log 4n ＝n2，所以m ，n 为方程log 2x ＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)显然m ＝2，n ＝4符合方程．(11分)令h (x )＝log 2x －x 2，由h ′(x )＝1x ln 2－12＝2－x ln 22x ln 2＝0，得x ＝2ln 2.(12分)当x ∈(0，2ln 2)时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点；当x ∈(2ln 2，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点．所以h (x )＝log 2x －x2至多只有两个实数解．(13分)故存在唯一正实数m ＝2，n ＝4符合题意．(14分)18. 解：(1) 在△ABE 中，∠ABE ＝θ，∠A ＝π3，则∠AEB ＝2π3－θ.由AB sin ∠AEB ＝BE sin A，得BE ＝1003sin （2π3－θ）.(2分)在△BCF 中∠C ＝π3，∠CBF ＝π6－θ，则∠BCF ＝π2＋θ.同理可得，BF ＝1003cos θ.(4分)则S ＝12BE ·BF ＝15 000cos θsin （2π3－θ）.(7分)(2) 设f (θ)＝cos θ·sin(2π3－θ)＝cos θ·(sin 2π3cos θ－cos 2π3sin θ)＝32cos 2θ＋12sin θcos θ＝32·1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分)则当θ＝π12时，f (θ)max ＝2＋34，则S min ＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分)答：(1) 函数关系式为S ＝30 00032＋sin （2θ＋π3）；(2) 当θ＝π12时，面积S 的最小值为60 000(2－3)m 2.(16分)19. (文)(1) 证明：因为S n ＝2a n －3n ①，当n ＝1时，a 1＝2a 1－3，则a 1＝3. 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－3(n －1) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－3n ＋3(n －1)，即a n ＝2a n －1＋3，(2分) 则a n ＋3＝2(a n －1＋3)，即b n ＝2b n －1，又b 1＝a 1＋3＝6≠0，(3分) 所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) 证明：由(1)知b n ＝6×2n －1＝3×2n ，a n ＋3＝b n ＝3×2n ，则有a n ＝3×2n －3.同时b 2n ＝9×4n ，即数列{b 2n }是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)得T n ＝36（1－4n ）1－4＝12(4n －1)．(6分)因为S n ＝2a n －3n ，所以S 2n ＝2a 2n －6n ＝6(4n －1)－6n ，(8分) 则S 2n ＋6n T n ＝6×（4n －1）12（4n －1）＝12为定值．(10分)(3) 解：令c n ＝2n －a n ＝3－2n ，若存在m ＜p ＜n ，使得c m ，c p ，c n 成等差数列， 则c p －c m ＝c n －c p ，2c p ＝c m ＋c n ，即2·2n ＝2m ＋2p (*)．(12分) 等式两边同时除以2m 得2n＋1－m＝1＋2p－m.因为m ＜p ＜n ，所以n ＋1－m ，p －m 均为正整数，(14分) 故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立． 故数列{2n －a n }中不存在三项成等差数列．(16分)(理)解：(1) (解法1)因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对一切实数恒成立， 即x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝－[(－x )3＋3a (－x )2＋(3－6a )(－x )＋12a ]， 即6a (x 2＋4)＝0对一切实数x 恒成立，(2分) 所以a ＝0.(3分)(解法2)因为函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ， 所以f (0)＝0，得a ＝0.(1分)此时f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝(－x )3＋3(－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，故a ＝0.(3分)(2) f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝a (3x 2－6x ＋12)＋x 3＋3x . 设函数g (a )＝(3x 2－6x ＋12)a ＋x 3＋3x ，因为3x 2－6x ＋12＝3(x －1)2＋9＞0，所以函数g (a )在[－1，1]上单调递增． 令h (x )＝g (a )max ＝g (1)＝x 3＋3x 2－3x ＋12，(5分)由h ′(x )＝3x 2＋6x －3＝3[x ＋(1＋2)][x －(2－1)]，令h ′(x )＝0得x ＝2－1. 当x ∈(－1，2－1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )为减函数； 当x ∈(2－1，1)时，h ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．(7分)而h (1)＝13，h (－1)＝17，所以h (x )max ＝17，则m ＞17.(8分) (3) 因为f (x )在x ＝x 0∈(0，3)处取得极小值 (*)，则令f ′(x )＝3[x 2＋2ax ＋(1－2a )]＝0，令s (x )＝x 2＋2ax ＋(1－2a ) ①. 则方程①有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，所以Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，解得a ＞－1＋2或a ＜－1－2 ②.(9分) 设s (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，所以f (x )的极小值在较大根x 2处取得，令x 2＝x 0∈(0，3)．(10分) (解法1)1° 当x 1＜0，x 0∈(0，3)时，因为x 1＜0＜x 0＜3，则s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，s (3)＝(3－x 1)(3－x 0)＝10＋4a ＞0， 解得a ＞12.(11分)反之，当a ＞12时，Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，方程①有两个实根x 1，x 0；且满足s (0)＝1－2a ＜0，s (3)＝10＋4a ＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x 0； 又s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，而x 0＞0，所以x 1＜0. 所以满足条件(*)．此时a ＞12③.(12分)2° 当x 1，x 0∈(0，3)时，s (x )的对称轴为x ＝－a ＝x 0＋x 12∈(0，3) ④，s (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，3)上为增函数．因为0＜x 1＜－a ＜x 0＜3，所以s (0)＝1－2a ＞s (x 1)＝0，s (3)＝10＋4a ＞s (x 0)＝0. 结合②④，解得－52＜a ＜－1－ 2.(13分)反之，当－52＜a ＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x 1，x 0.又1＋2＜－a ＜52，所以对称轴x ＝－a ∈(0，3)，而函数s (x )min ＝s (－a )＜0，因为s (x )在(0，－a )上为减函数，且s (0)＝1－2a ＞0，则s (x )在(0，－a )上必有一根x 1； s (x )在(－a ，3)上为增函数，且s (3)＝10＋4a ＞0，则s (x )在(－a ，3)上必有一根x 0， 显然x 1＜x 0.所以满足条件(*)．此时－52＜a ＜－1－2 ⑤.(14分)3° 当方程有一根分别为0时，此时s (x )的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)综上，由③⑤得－52＜a ＜－1－2或a ＞12.(16分)(解法2)此时方程s (x )＝0有两个实根x 1，x 0，x 1＜x 0， 则x 1＝－a －a 2＋2a －1＜x 0＝－a ＋a 2＋2a －1，(12分) 则0＜－a ＋a 2＋2a －1＜3，即a ＜a 2＋2a －1＜3＋a ⑥.1° 当a ＞－1＋2时，⑥平方得a 2＜a 2＋2a －1＜(3＋a )2，解得a ＞12.(13分)2° 当a ＜－1－2时，a ＜a 2＋2a －1恒成立．由a 2＋2a －1＜3＋a ，平方解得－52＜a ＜－1－ 2.(15分)综上，由1°，2°可得a ＞12或－52＜a ＜－1－ 2.(16分)20. (1) 解：因为h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数， 则h ′(x )＝e x－2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≤e xx恒成立．(2分)设函数k (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则k ′(x )＝e x （x －1）x 2＝0，得x ＝1.所以k (x )min ＝k (1)＝e ，所以m ≤e2.(4分)(2) 解：设切点为(x 0，e x 0)．因为f ′(x )＝e x ，所以e x 0＝k ，e x 0＝kx 0＋1，(6分) 所以e x 0(x 0－1)＋1＝0.令l (x )＝e x (x －1)＋1，l ′(x )＝e x ·x ＝0，得x ＝0.所以l (x )min ＝l (0)＝0，所以x 0＝0，所以k ＝1.(8分)(3) 证明：因为f (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且x 2－x 1＞0，e x 2－e x 1＞0，(9分) 所以f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1⇔e x 1＋e x 22＞e x 2－e x 1x 2－x 1⇔x 2－x 12＞e x 2－e x 1e x 2＋e x 1⇔12(x 2－x 1)＞e x 2－x 1－1e x 2－x 1＋1⇔12(x 2－x 1)＞1－2e x 2－x 1＋1(*)．(12分)令x 2－x 1＝t ＞0，F (t )＝t 2＋2e t ＋1－1，F ′(t )＝12－2e t（e t ＋1）2＝（e t －1）22（e t ＋1）2.(14分)因为t ＞0，所以F ′(t )＞0，所以F (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (t )＞F (0)＝0，(*)式成立，则f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(16分)附加题 21. 解：y ′＝1x 2－2x (x 2－2x )′＝2x －2x 2－2x，(4分)则切线在x ＝3处的斜率k ＝2×3－232－2×3＝43.(6分)当x ＝3时，y ＝ln 3，(8分)则切线方程为y －ln 3＝43(x －3)，即4x －3y －12＋3ln 3＝0.(10分)22. 证明：① 当n ＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k (k ≥4)时，满足2k＞k 2＋3k ＋22，(4分)则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k＞2×k 2＋3k ＋22＝2k 2＋6k ＋42.(6分)因为k ≥4，则2k 2＋6k ＋42－（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22＝k 2＋k －22＞0，所以2k 2＋6k ＋42＞（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22.(8分)即当n ＝k ＋1时，有2n ＞n 2＋3n ＋22成立．(9分)综合①②，当n ≥4，n ∈N 时，有2n＞n 2＋3n ＋22.(10分)23. 解：(1) 记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019.令x ＝－1，得f (－1)＝a 0＋a 1(－1)＋a 2(－1)2＋…＋a 2 019(－1)2 019＝－1， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 018－a 2 019＝－1 ①.(2分) 令x ＝1，得f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019， 即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分) 由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝－1＋22 018＋32 019， 则a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分)(2) 根据题意得C 1m ＋2C 1n ＝11，则m ＋2n ＝11，(7分) 则x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)(8分)＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.(9分)因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(10分)24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A ，B ，C ， 对应的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z .(1分) 因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝x (1－y )(1－z )＝0.08 ①；(2分) 因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12， 则P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝xy (1－z )＝0.12 ②；(3分) 因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88， 则P (A ＋B ＋C )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88 ③.(4分) 由①②③，解得x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5. 答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分) (2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分) P (ξ＝－3)＝(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，P (ξ＝0)＝x (1－y )(1－z )＋(1－x )y (1－z )＋(1－x )(1－y )z ＝0.38， P (ξ＝3)＝xy (1－z )＋x (1－y )z ＋(1－x )yz ＝0.38， P (ξ＝6)＝xyz ＝0.12.(8分) ξ的分布列为(9分)数学期望E (ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（）A. 5B. 25C.D.【答案】A【解析】分析：由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模.详解：由题意，复数的共轭复数满足，所以，所以复数，所以，故选A.点睛：本题主要考查了复数模的运算及复数的运算，其中熟记复数的运算公式和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是，其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题①根据命题否定的规律判断命题是否为真；②化简研究命题中的条件和结论，从而判断条件间的关系；③根据函数图象上的点坐标，得到参数a的值，再利用解析式求出函数的值；④利用平面向量的数量积与投影的关系，判断命题是否正确，得到本题结论．【详解】①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝.其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．【点睛】本题考查了命题真假的判断，还考查了命题的否定、充要条件、幂函数解析式和向量的投影等知识，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选D.考点：同角三角函数关系【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
四川省成都七中高2019届高三上学期期中考文科数学试题
成都七中高2019届高三上学期期中数学试题（文科）满分150分，考试时间120分钟 出题人：江海兵 审题人：廖学军一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13, 2.cos()3a b A B ==+=，则c =（ ）.4..3.A B C D 答案：D解析：22211cos ,2cos 94232()1733C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天）C390.根据等差数列前n 项b 的取值范围是（ ）解析：由题意可知()02bf x x x '=-+≤+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，2()(2)2f x x x x x =+=+且(1,)x ∈-+∞()1f x ∴>-∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤-故答案为1b ≤-，选D4．已知c ＞1，( ) A ．a ＜bD ．a 、b 大小不定 答案：A，易看出分母的大小，所以a ＜b5．已知数列{}n a 满足*110,n a a n N +==∈，则2015a 等于( ) .0...A B C D答案：B解析：根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1，那么可知∴a 1=0，a 2=-，a 3=a 4=0，a 5=-a 6=故可知数列的周期为3，那么可知20152a a ==，选B.6．在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则有（ ）A ．,,a c b 成等比数列B ．,,a c b 成等差数列C ．,,a b c 成等差数列D ．,,a b c 成等比数列 答案：D解析：由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得：cos cos()1cos 2B A C B +-=-，[]2cos cos ()cos(),cos212sin B A C A C B B π=-+=-+=-，∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=，22sin sin()2sin A C B ∴--=，即2sin sin sin A C B =，由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得：2ac b =，则,,a b c 成等比数列．故选D7.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且330,22MB MA MC D ++=是AC 中点，则MD BM 的值为（ ）11...1.232A B C D答案：A解析：D 为AC 中点，33()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=- 13MD MB ∴=8．已知函数9()4,(0,4),1f x x x x =-+∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x bg x a+=的图像为（ ）答案：B 解析：因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故99()41551,(0,4),11f x x x x x x =-+=++-≥=∈++当且仅当911x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.9．下列说法正确的是（ ）A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点；D ．对于指数函数x y a = (1a ＞)与幂函数n y x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞． 答案：D解析：因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数，定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数，故选D.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a = ( )A. 1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7答案：A解析：由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或032x =.（1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得2564a =-（2）当032x =时：切线为272744y x =-,由22727441594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅有一解，得1a =-.综上知1a =-或2564a =-.5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上. 11sin155cos35cos 25cos 235-= __ ．12.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++=答案：32解析：令(),()log ,()x c b f x a g x x h x x ===则12111()2,()log log 22222b b f a g ====-=，11()()222c h ==11123114,1()441,,244x a b c f x x x x ∴===-∴==⇒===12332x x x ∴++=136,62,a b ta b ta b ==+-若与 的夹角为钝角答2,0)(0,2) 解析：t a b+-与 的夹角为钝角，∴2222()0,0,36720,ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<<<)(又因为ta b +与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(,0)(0,2)t ∈ 14.已知命题p ：函数2()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ．答案：52a >-提示：先确定p 且q 为真命题的a 的取值范围，然后取补集可得结果.15.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤∈-+∈ ⎥⎝⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；③函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称；④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.其中正确命题的序号是 答案：②③④解析：11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-，当13,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =-当35,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.16.（12分）已知函数2()42cos (2)14f x x x π=-++（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.解析：（1）()4cos(4)4sin 42sin(4),233f x x x x x x T πππ=-+=+=+∴=（2）4,4,sin(4)1 6433323 x x x ππππππ-≤≤∴-≤+≤∴-≤+≤()f x∴的取值范围为2⎡⎤⎣⎦17. （12分）已知数列{}na满足11121,(*)2nnn nnaa a n Na++==∈+.（Ⅰ）证明数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）设(1)b n n a=+，求数列{}b的前n项和S.2nn++⋅，12nn+++⋅2n n++-为一个等腰三角形形状的空地，腰AC的长为的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S和2S.（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）若小路的端点,E F两点分别在两腰上，求12SS得最小值.解：（1）E为AC中点，333,34222AE EC∴==+<+，F∴不在BC上，故F在AB上，可得72AF=，在ABC∆中，2cos3A=，在AEF∆中，222152cos2EF AE AF AE AF A=+-⋅=，EF∴=（2）若小路的端点,E F两点分别在两腰上，如图所示，设,CE x CF y==，则5x y+=1221sin991121111125sin22ABC CEF ABCCEF CEFCA CB CS S SSS S S xy x yCE CF C∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭当且仅当52x y==时取等号，故12SS的最小值为1125.19．(12分)关于x（Ⅰ）当1m =（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，解析：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，7}.x << （2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，∴所求a 的取值范围是 21.（14分）已知函数2(),()()sin 2f x xg x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上是减函数.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，1 1.1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦有两个实根，求m 的取值范围.解析：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴==，∴在点(1,(1)f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=（2）()sin ,()cos ,()g x x x g x x g x λλ'=+∴=+在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在[]1,1-上恒成立，即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1λ∴≤-，又()g x 在[]1,1-单减，[]ma x()(1)s i n 1g x g λ∴=-=- ()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin13sin1λλ--≤+恒成立，2sin1λ∴≥- sin30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤- （3）由（1）知2(1)(1)f x x +=+∴方程为2ln(1)2x x m +=-，设2()ln(1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与x 轴交点的个数.22()211xh x x x-'=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数,当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.()h x ∴在1,01e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭上为减函数，在(]0,1e -上为减函数.()h x ∴在1,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦上的最大值为(0)h m =，又12(1),(1)42h m h e m e e e -=--=+-且224e e ->，∴所求方程有两根需满足1(1)0(0)0(1)0h e h h e ⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩20m e ⇒<≤时原方程有两根，20,m e ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦。
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学试卷
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.若全集}123U =，，，{}12A =，，则A C U = ▲． 2.函数y =的定义域为 ▲ ．3.若钝．角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(P m ，则tan α= ▲ ．4.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若357a b c ===，，，则角C = ▲ ．5.已知向量(1,1)m =-，(cos ,sin )n αα=，其中[0,]απ∈.若//m n ，则α= ▲ ．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，497=S ，则公差d = ▲ ．7.在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在0x =处的切线方程是 ▲ ．8.设函数2()12xxk f x k -=+⋅，则1k =-是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件.（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一） 9.在ABC ∆中，2AB =，1AC =，3A π=，点D 为BC 上一点，若2AB AD AC AD ⋅=⋅则AD = ▲ ．10.若函数()()sin301f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为(0)d d >的等差数列，则d = ▲ ．11.如图，在四边形ABCD 中，3A π=，2AB =，3AD =，分别延长CB 、CD 至点E 、F ，使得CE CB λ=，CF CD λ=，其中0λ>，若15EF AD ⋅=，则λ的值为 ▲ ．12.已知函数()()21()12xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ▲ ．13.已知数列}{n a 满足,023211=+++++n n n n a a a a 其中211-=a ，设 1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}{n b 中唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14.在ABC ∆中，tan 3A =-，ABC ∆的面积1ABC S ∆=，0P 为线段BC 上一定点，且满足013CP BC =，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有00PA PC P A P C ⋅≥⋅，则线段BC 的长为 ▲ ． 第11题 DABC二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)若函数()πsin 3f x ax b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(0,0)a b >>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为π． (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16. (本小题满分14分)已知命题:p 函数()22+f x x mx m =-的图象与x 轴至多有一个交点，命题:q 2l o g 11m -≤. （1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin C C -（1）求A 的大小；（2）若+=6b c ，D 为BC的中点，且AD =ABC ∆的面积.18. (本小题满分16分)如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G .为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、E 两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA CB =，记道路CA 、CB 长之和为L .（1）①设ACO θ∠=，求出L 关于θ的函数关系式()L θ； ②设2AB x =米，求出L 关于x 的函数关系式()L x .（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.P 第18题QODCB AEG已知正项数列}{n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22n n n a a S +=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比为4的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列+n n a b λ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围； （3）若数列}{n b 、}{n c 都是等比数列，且满足n n n a b c -=，试证明：数列}{n c 中只存在三项.20. (本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.设函数32()1f x x ax bx a b =++---，()(1)g x k x =-，,,a b k R ∈. （1）若()g x 为()f x 在1x =处的切线.①当()f x 有两个极值点1x 、2x ，且满足121x x ⋅=时，求b 的值及a 的取值范围； ②当函数()g x 与()f x 的图象只有一个交点，求a 的值；（2）若对满足“函数()g x 与()f x 的图象总有三个交点,,P Q R ”的任意实数k ，都有PQ QR =成立，求,,a b k 满足的条件.盐城市2019届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}3 2. [)1,+∞3. 4.23π 5. 34π 6. 1 7. 32y x =+8. 充分不必要 9. 3 10. 6π11. 52 12. {}1- 13. ()5,714.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）因为图像与x 轴相切，且0b >，所以)(x f y =的最小值为0，即1=b ，又由最高点间距离为π，故2aππ=，即2a = …………4分（2）由（1）得()si n 2+13fx x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有52336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， …………8分 当2=32x ππ+时，即12x π=，()f x 有最大值2； 当52=36x ππ+时，即4x π=，()f x 有最小值32………… …14分 （规范阅卷说明：求最值时不交代x 的值，各扣1分.）16．（1）解：由2log 11m -≤，得21l o g 11m -≤-≤， …………2分所以20l o g 2m≤≤，解得14m ≤≤，又因q ⌝为真命题，所以4m >或1m <. …………7分（2）由函数2()2+f x x mx m =-图像与x 轴至多一个交点，所以2(2)410m m ∆=--⨯⨯≤，解得01m ≤≤， …………9分 所以当p是假命题时，m <或1m >， …………10分由（1）q ⌝为真命题，即q 是假命题，所以4m >或1m <，又p q∨为假命题，所以命题p q、都是假命题， …………12分 所以实数m满足0141m m m m <>⎧⎨><⎩或或，解得4m >或0m <. …………14分（阅卷说明：若第一问学生直接q ⌝解得4m >或01m <<,虽然错误，只扣2分，给5分；若第二问学生利用第一问的错误结论4m >或01m <<进行运算的，只要根据p 是假命题求得0m <或1m >，第二问就再给4分.）17．解:（1）由正弦定理sin sin a b A B =知sin sin b B a A=sin C C -=, 即cos sin sin A C A C B -= …………2分()cos sin sin cos sin A C A C A C A C A C -=+=+，化简得sin sin sin A C A C=，…………4分因为ABC ∆中，sin 0C >，所以sin A A =，即sin tan cos AA A==， 又(0,)A π∈，所以2=3A π…………6分 （2）因为()12A D AB AC =+， (8)分所以()()222211244AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+ ()()()222221112cos =38444b bc A c b bc c b c bc ⎡⎤=++-+=+-=⎣⎦，由+=6b c ，解得4=3bc ……12分所以ABC ∆的面积114sin 22323ABC S bc A ∆==⨯⨯= …………14分（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）(阅卷规范说明：第一问中知值求角必须交代角A 的范围，否则扣1分.) 18．解：（1）①在Rt CDO ∆中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=，所以2020sin CG θ=+…………2分 在Rt AGC∆中20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===，所以()4040sin =2sin cos L AC θθθθ+=……4分其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………5分②设AC y =，则在Rt AGC ∆中CG =，由Rt CDO ∆与Rt AGC ∆相似得，CO ODCA AG=,即20x=，即2020x y =，即()20+x y =，即=即()()2400+xy x x y -=，化简得32400400x xCA y x +==-，()322800=2400x xL x CA x +=- …………9分其中()20,x ∈+∞ …………10分（2）选择（1）中的第一个函数关系式()()401+sin 4040sin =2=sin cos sin cos L AC θθθθθθθ+=研究.令()=0L θ'，得sin θ. …………14分令0sin θ当0(0,)θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减；当0(,)2πθθ∈时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当sin θ时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式()322800=400x xL x x +-求解，仿此给分）(阅卷规范说明：第一问中有两个定义域，少交代或交代错误一个各扣1分；第二问中求最小值要交代单调性，否则扣2分，最后要交代结论，否则扣1分.)19．解：（1）n n n S a a 22=+ ，故当2≥n 时11212---=+n n n S a a ，两式做差得nn n n n n a a a a a a +=-+---111))((，…………2分由}{n a 为正项数列知，11=--n n a a ，即}{n a 为等差数列，故n a n = …………4分（2）由题意， )316)(1()24(1121--=-b b b ，化简得 311-=b ，所以 1431-⋅-=n n b ，…………6分所以1++143n n na nb λλ-=-⋅，由题意知()()()()()()223222240cos sin cos 1sin cos sin 40sin +sin cos =sin cos sin cos L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+--⎣⎦'=()()()()()()()32322222240sin +2sin 140sin sin sin 140sin 1sin si ==sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ-++-++-=()()+11+11+4+++1++31144433n n nn n n n n n a a n n b b λλλλλλ-+-+-=-=--⋅-⋅ ()33+3104nn λ-=>恒成立，即3>13n λ-恒成立，所以133λ-<，解得23λ>- …………8分（3）不妨设}{n c 超过3项，令nn n n cq c bp b ==,，由题意n n n c b a -=，则有212+++=n n n a a a ，即)()()(22211++++-+-=-n n n n n n c b c b c b …………11分带入n n n n cq c bp b ==,，可得22)1()1(-=-q cq p bp n n （*），若1==q p 则c b c b n n -=-，即}{n a 为常数数列，与条件矛盾;若1,1≠≠q p ，令,1=n 得22)1()1(-=-q cq p bp ，令,2=n 得2222)1()1(-=-q cq p bp ，两式作商，可得q p =，带入（*）得c b =，即}{n a 为常数数列，与条件矛盾，故这样的}{n c 只有3项 ……………16分20．解：（1）①由2()32f x x ax b '=++，因函数32()1f x x ax bx a b =++---有两个极值点12,x x ， 所以2()320f x x a x b '=++=两个不等的实数根12,x x ， ……………2分 所以2(2)430a b -⋅>，即23a b >，又1213bx x ==，所以3b =，3a >或3a <-. ……………4分②因()(1)g x k x =-为函数()f x 在1x =处的切线， 所以(k f'==， ……………5分联立方程组()()y f x y g x =⎧⎨=⎩，即321(32)(1)x ax bx a b a b x ++---=++-，所以2(1x x -+， ……………7分整理得2(1)(2)0x x a -++=，解得1x =或2x a =--， 因()g x 与()f x 只有一个交点，所以21a --=，解得3a =-. ……………9分（2）联立方程组()()y f x y g x =⎧⎨=⎩，由②得2(1)[1(1)]0x x x a x b k -+++++-=，即2(1)[(1)1]0x x a x a b k -+++++-=，方程有一根1x = 因()g x 与()f x 有三个交点， 所以2(1)10x a x a b k +++++-=有两个不等实根12,x x ， ……………11分因()g x 与()f x 有三个交点,,P Q R 且满足PQ QR =， 所以实数根12,,1x x 满足1221x x =+，或2121x x =+，或122x x +=， ……………12分因k 为满足()g x 与()f x 有三个交点的任意实数，令1k a b =++，则2(1)0x a x ++=，解得10x =，21x a =--，当1221x x =+时，得211x a =--=-，0a =，此时210x x b k +++-=，令7k b =+，则260x x +-=，解得13x =-，22x =，不满足2(3)21⋅-=+与2231⋅=-+，不符题意； 同理2121x x =+也不符题意； ……………14分 当122x x +=时，由0(1)2a +--=，得3a =-，此时2220x x b k -+--=总满足122x x +=，为此只需2220x x b k -+--=有两个不等的实根即可， 所以2(2)4(2)0b k ---->，化简得3k b >-， 综上所述，,,a b k应满足条件3a =-与高三数学试题第11页（共4页） 3k b >-. ……………16分 （另解，仿解法一给分）法二：同法一得2(1)10x a x a b k +++++-=有两个不等实根12,x x ， ……11分所以121x x a +=--，由1221x x =+，解得13ax =-，2213ax =--， 此时122()(1)133a ax x a b k =---=++-，所以21(1)33a ak a b =++-+为常数，不满足“k 为满足()g x 与()f x 有三个交点的任意实数”，故不符题意； 类似的2121x x =+也不符题意； ……………14分 余下同方法一.。
江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试题
江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试题江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数z =2+i的实部为． 1-i22．命题“∀x ∈R , x +1>0”的否定是．3．已知向量a =(1,2), b =(-2, k ) ，且a ∥b ，则实数k = .4．已知直线l 1:ax -y +2a +1=0和l 2:2x -(a -1) y +2=0(a ∈R ) ，若l 1⊥l 2，则a =．π5．已知α∈(, π) ，且tan α=-2，则cos2α=．2⎧x -y +5≥0⎧6．已知实数x ，y 满足⎧x ≤3，则目标函数z =x +2y 的最小值为．⎧x +y ≥0⎧7．已知函数f (x )=ln x -1，若函数f (x )的零点所在的区间为(k , k +1)(k ∈Z )，则 xk =.x 2y 2-=1的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，则m =． 8．若双曲线m m +29．若函数f (x ) =(x +a )(bx +2a ) (a , b ∈R ) 是偶函数，且它的值域为(-∞,8]，则ab =1π10．f (x ) =sin(ωx +)(ω>0) 的图象与直线y =m 相切，相邻切点之间的距离为π．26若点A (x 0, y 0) 是y =f (x ) 图象的一个对称中心，且x 0∈⎧0,⎧π⎧，则x 0=．⎧⎧2⎧x 2y 211．椭圆C :2+2=1(a >b >0)的一条准线与x 轴的交点为P ，点A 为其短轴的一个a b端点，若PA 的中点在椭圆C 上，则椭圆的离心率为．2x 12+x 212．函数f (x ) =2x -4x +1(x ∈R )，若f (x 1) =f (x 2) ，且x 1>x 2，则的最小值x 1-x 22为．OB 满足|OA |=1，|OB |=2，|AB |=AC =λ(OA +OB )(λ∈R ) ，13．已知向量OA ，若|BC |=λ所有可能的值为．14．设圆x +(y -1) =1的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A , B ，当AB 取最小值时，切线l 在y 轴上的截距为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知集合A =⎧x |22⎧⎧4⎧>1⎧，B ={x |(x -m -4)(x -m +1)>0}. x +1⎧（1）若m =2，求集合A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.16．（本题满分14分）在∆ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边，已知向量m =(cos B ,sin B )，n =(sin C -2sin A ,cos C )，且m ⊥n .（1）求角B 的大小；（2）若a +c =7，b =BA ⋅BC 的值.17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M :x +y -8x +6=0，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A , B ，线段AB 的中点为N 。
2019年高三数学上期中试卷含答案(1)
2019年高三数学上期中试卷含答案(1)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或75．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．138．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1409．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形10．如图，有四座城市A、B、C、D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/km h 的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．606km C．605km D．603km11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）A．()8,10B．()22,10C ．()22,10D．()10,812．已知4213332,3,25a b c===，则A．b a c<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<二、填空题13．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．14．已知实数,x y满足102010x yx yx y++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为____．15．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.16．已知数列的前项和，则_______．17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n na S n*-=∈N．若不等式()()11181n nnna nλ++-+⋅-≤对任意的n*∈N恒成立，则实数的取值范围是．18．设a∈R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________．19．在ABC∆中，,,a b c分别是角,,A B C的对边，已知,,a b c成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．如图，Rt ABC V中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B 错误，化简可得22222y x x ⎫=++， 2222x x +=+，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e-=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.4．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.5．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
山东省滨州市2019届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案
山东省滨州市2019届上学期期中考试高三数学试题（时间：120分钟，分值：150分）第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2=4}，集合B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x －2}， 则A∩ B 的元素个数为（ ） （A ）0（B ）1 （C ）2（D ）3（2）复数z ＝1－3i1＋2i，则（A ）|z |＝2（B ）z 的实部为1（C ）z 的虚部为－i（D ）z 的共轭复数为－1＋i（3）若p ：事件A 1、A 2是互斥事件； q ：事件A 1、A 2是对立事件．则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （4）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 A ．(),2-∞B ．()1,4C ．()0,3D ．()2,+∞（5）执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．5B ．7C ．9D ．11（6） 函数22sin y x =图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π=B ．3x π=C ．34x π=D ．x π=（7）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,2)内的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．3（8）已知函数f (x )＝cos (2x ＋ π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图正视图 侧视图俯视图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合 （A ）向右平移 π12（B ）向左平移 π6（C ）向左平移 π12（D ）向右平移 π6（9）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n＝（A ）4n -1（B ）4n－1 （C ）2n -1（D ）2n－1（10）某三棱锥的三视图如图1所示，其正视图和侧视图 都是直角三角形，则该三棱锥的体积等于 A ．13 B ．23C ．1D ．3 （11）对于R 上可导的函数()f x ，若满足()()0x a f x '-≥，则必有A ．x R ∀∈,()()f x f a ≤B ．0,(,),()0o x R x x f x '∃∈∀∈-∞>C ．0,(,),()0o x R x x f x '∃∈∀∈+∞<D ．(),()x R f x f a ∀∈≥（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）-10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在题中横线上． （13）在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，则其公差是为_________． （14）如右图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何 体的体积是__________（15）在△ABC 中,M 是线段BC 的中点,AM=3,BC=10,则=⋅→→AC AB .（16）已知y x xy y x 2,0,0+=>>，若2-≥λxy 恒成立，则λ的最大值为____________.（17）设函数y=f(x),x ∈R 的导函数为f ′(x),且f(x)=f(-x),f ′(x)<f(x),则下列三个数:ef(2),f(3),e 2f(-1)从小到大依次排列为 .(e 为自然对数的底数).三、解答题：本大题共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos 12sin sin A C A C +=. （Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若a c +=，b =求ABC ∆的面积.19．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形11BBC C 是矩形，1BB ⊥平面ABC ，CA CB =，11A B ∥AB ，112AB A B =，E ，F 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11BBC C ； （Ⅱ）求证：11C A ⊥平面11ABB A ．20．（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．21．(本题满分14分) 在数列{}n a 中，112a =-，121n n a a n -=--*(2,)n n N ≥∈，设n n b a n =+． （Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若1()2nn n c a =-，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2014P 的最大的整数．22. （本小题满分15分）已知关于x 的函数()(0)e xax af x a -=≠BCB 1BAC 1A 1A（Ⅰ）当1f x的极值；a=-时，求函数()（Ⅱ）若函数()()1=+没有零点，求实数a取值范围.F x f x山东省滨州市2019届上学期期中考试高三数学试题答案一、 选择题 CDBDC DBADC DC 二、 填空题13、23 14、23或56 15、-16 16、10 17、解析:∵f ′(x)<f(x),记错误！未找到引用源。
2019届河北省高三上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届河北省高三上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________、选择题1.复数-一— 在复平面内对应的点在第三 象限是a 》0的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件___________________ D • {0 , 1, 3, 4}3. 已知命题p ：函数-■! I ■ 的最小正周期为 n ;命题q :若函数f（x+1 ）为偶函数，则f （ x ）关于x=1对称•则下列命题是真命题的是 （）A • p A q _________B • p V qC .（「p ）A （「q ）D . p V （「q ）4. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）2.设集合:-v- :中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为 /■ -，集合 A U B()A • {0} ______________B • {0 , 3}C • {1 , 3, 4}5.已知两条不重合的直线 m n 和两个不重合的平面 a 、卩，有下列命题: ①若 m 丄n , m 丄 a ,贝V n // a 久；② 若 m 丄 a , n 丄 3 , m II n , 则a // 3 ;③ 若 m n 是两条异面直线， m :- a , n 一 3 , m //3 , n I a,贝V a // 3 ； ④ 若 a 丄 3 , aQ 3 =m n I-： 3 , n 丄m ,贝V n 丄a .其中正确命题的个数是 ()A .1B . 2C .3D .4A . 1B .2C .3 D7. 下列三个数：？二一一 L. .■二--，大小顺序正确的是( )7 ?A .人，「； :-" ----------B .:■ - ---------------------- C .Y r---------------------- D . 和:■■盒严::的图象如下图所示，为了得到6.函数 ,■ 'I 1||的定义域和值域都是 8. 函数:' .I :曲-冲 像，可以将的图像 ()A .向右平移一个单位长度B .向右平移一个单位长度1?C •向左平移—个单位长度1?D .向左平移一个单位长度1?9. 在数列｛ a n ｝中，若对任意的n 均有a n + a n +1 + a n +2 为定值 (n € N*),且. ，则数列｛ a n ｝的前100项的和S 100 = ()A . 132 ________B . 299 ____________C . 68 ______________D . 9910. 如图所示，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，BC = AC , AC 1丄A 1B,M,N分别是A 1 B 1 ,AB 的中点，给出下列结论：① C 1 M 丄平面A 1 ABB 1,②A 1 B ± NB 1 ,③平面AMC 1丄平面CBA 1 , 其中正确结论的个数为()A . 0B . 1C . 2D . 311. 设；上为单位向量，若向量:满足，则円的最大值是( )A . [ -------------------------------------------------- B. 2 -------------------------------------- C .._________________________________ D . 112. 已知•是定义在R上的偶函数，其导函数为. ，若，■' ，且匕-二m-汇,汕仝二？，则不等式；. 的解集为()A . ；1严伫___________________________B . I ___________________________C . -■ | ______________________________D . I ■-二、填空题13. 设疣为锐角，若CGSl |,则R.Hlf^/7 ——1的值为.I 6/5 ■17X H- J - > 114. 已知肛L'满足约束条件Y1,若目标函数二=皿・4协1(nr、Q4、0 )的最大值为乙则的最小值为_____________________15. 在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且:a-2 csinA =0 . 若c =2，贝V a + b 的最大值为____________ .16. / ：■."；- - ■ - r;二-:己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为____________________________________ .三、解答题17. ( 1 ) 已知函数f ( x ) =| x -1 | + | x - a | . 若不等式f(x ) > a恒成立，求实数a的取值范围.(2) •如图，圆0的直径为AB且BE为圆0的切线，点C为圆0上不同于A、B的一点，AD为/ BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E ,连结BD、CD .(I)求证：/ DBE =Z DBC ;(□)若HE =4，求ED .18. 在_、中，角’的对边分别为，且(1)求角B的大小；(2)若等差数列匕］的公差不为零，且“I '匸=1，且成等比数列，求—的前项和19. 已知数列｛a n ｝是等比数列，首项a 1 =1，公比q>0，其前n项和为S n ,且Eml一广，成等差数列 .(I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n )若数列｛b n ｝满足a n+1 = ■ 1 | , T n为数列｛b n ｝的前n项和，若T n >m恒成立，求m的最大值.20. 已知函数.(... ■ .■.(1 )当x €i —时，求f ( x )的值域；(2)若厶ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,且满足一「.：，n—一:------ '--i - ，求 f ( B )的值.21. 已知函数.■ ■■■.- . .r(I )当，-时，求函数 .的极值；(n ) ,，时，讨论• I 的单调性；(川)若对任意的.：I ■- 一一恒有I ■-一丄亠一-:成立，求实数的取值范围.22. 已知函数"' '.(i)函数L：；g|在区间」上是增函数还是减函数？证明你的结论；(n)当1 > o时,# (刃a卜恒成立，求整数上的最大值；T + 1(川)试证明：|(l+L，耳电+2 3) (1+3 4) L (1+就卄1小严.参考答案及解析第1题【答案】A【解析】析：二=' “=引f= -& + fl) = -a-3-1 J i i * i 因为其在复平面内对应的点在館三象限所咲一<rcO』即a>0因为心0是沦0充分不必冀杀件所決* 上越在負平面内对应的点在第三软限是沦0充分不必豊条件故答案选A第2题【答案】【解析】试题分析！5={^|JC-5r + 4 =C) = {r|(r^4Xjr-l)^0} = {14}因为集合HUE中所有元素之和为Sk^=a4}所以集合A元素之和为3 -BJg J = {x [ X" -(n + 3)x + 3f? = 0}所以m + 3 = 3 ；解得口=0故答素为显第3题【答案】【解析】试题分析：命題卩从)+111\—1冃竿口|諾|口2丫| ,所汰其周期碍2" 2 2 2所以L命题P为■假命题命题g :因为阚1/(工+1)为偶函飙所以国数/Cr + l)关于*0対称图像同左平移】个单位得函I数「所以函数丁00关于丫= 1对称所以命题华为真命題故答案选B第4题【答案】【解析】所如的柯如“十xf晋故答秦选丹第5题【答案】【解析】试题井析；①若w -L w ?楓丄找，则» ■ 7/或nu(7 f故①错1勒②因为衲丄O m i /n ?所以2丄口』又打丄/? I则口"Z? I故②正确*③过直^廉作平面孑交平面〃于直线匸,因対助、冲是两条异面直线，所臥设打I匚=。
2019年高三数学上期中试卷(带答案)
2019年高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1222．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．5．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d9．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,811．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．17．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 19．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为32，求+a b 的值； 22．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．23．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.25．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．2．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．B解析：B【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =.所以1n a n n =++，所以11nn n a =+-，故1121n S n n n n =+-+--++-L 11n =+-，由1110n S n =+-=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zyx a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩， 由于0a >，解得2210a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 11．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.17．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = .即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．19．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =- 20．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.三、解答题21．（1）13-（2）3 【解析】 【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin 3C =，根据ABC ∆的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ， 所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ， 所以()3sin cos sin 0++=A C B C ， 所以()sin 3cos 10+=A C ， 因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 24∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中，由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--， 所以()29a b +=， 所以3a b +=. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题22．（1）=BC 2）20【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin 4BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．23．（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3n n T -=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得21,n a n =+（Ⅱ） 由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和()8413n n T -=.【详解】（Ⅰ）由14316424S p q S p q =+=⎧⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+所以当1n =时，1 3.a =当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-所以()()()221212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦检验1 3.a =符合21,n a n =+ （Ⅱ） 由（1）可知21,n a n =+ 所以2122na n nb +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：()()()1211212424242424444414214841.?3n nn n nnn T --=⨯+⨯++⨯+⨯=++++-=⨯--=L L所以数列{}n b 的前n 项和为()8413n n T -=.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．(1)2π3B =；（2）8. 【解析】【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=，然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-, 222a c b ac ∴+=-,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-,()0,πB ∈Q , 2π3B ∴=.(2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD=∠,得1sin 1sin 4BD B BAD AD ∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin BAC ∴∠===. 25．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】（1）根据已知得平均处理成本为yx，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利()2130********10x S x y =-=---，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当1800002x x=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨（2）不获利设该单位每月获利为S 元()222110010020080000113008000030035000222S x y x x x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪=-+-=---⎝⎭[]400,600x ∈Q []80000,40000S ∴∈--故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损 【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
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19 ．已知数列
的前 项和为 ，且
，
的取值范围．
（ 1）求证：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
（ 2）是否存在实数 ，对任意
，不等式
恒成立？若存在，求出 的取值范围，
若不存在请说明理由．
20 ．如图，四棱锥 ，点 是线段
的底面
为平行四边形，平面
上靠近点 的三等分点
平面
，
21．如图， 为坐标原点，点 为抛物线
2． D 【解析】
【分析】
由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出
正方体、锥体的体积，从而得到答案． 【详解】
由三视图知原几何体是一个棱长为 上底，高为 1，
2 的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的
如图所示：
所以该几何体的体积为 23﹣ ×22×1= ．故选： D．
优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 .
5． D 【解析】 【分析】
写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数 【详解】
f （ x）的图象的形状．
，＞
=
，
，＜
当 x＜ 0 时，
=
．
令 g（ x）=2x 3﹣ 1+ln （﹣ x），
由
，得
，
当 x∈（﹣ ∞， ）时， g′（ x）＞ 0，当 x∈（ ， 0）时， g′（ x）＜ 0．
z＝ x＋ y 在 A（1,1）处取得最大值 zmax＝2
故选 C
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题
.求目标函数最值的一
般步骤是 “一画、二移、三求 ”：（ 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（
2）找到目标
函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最
16 ．已知数列
为等差数列， 其前 项和为 ，且
，给出以下结论： ①
②
最小③
④
，正确的有 _________________.
17 ．设函数
，若存在互不相等的 个实数
，使得
，则 的取值范围为 __________.
三、解答题
18 ．已知函数
（ 1）求函数 （ 2）如果
图象对称中心的坐标；
的三边
满足
，且边 所对的角为 ，求
A．
B．
10 ．如图，在三棱柱
C．
D．
中，底面为边长为
的正三角形，
在底面的射影为
中点
且 到底面的距离为 ，已知 分别是线段
与 上的动点， 记线段 中点 的轨迹为 ，则
等于 (注： 表示 的测度，本题中 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面
积、体积）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11 ．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：
“某贾人擅营，月入益功疾（注：从
第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱， 3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯 “，
则该人每月比前一月多入 _________________ 贯，第 12 月营收贯数为 _________________.
12 ．
的最小正周期为 _________________ ，为了得到函数
与平面
所成角的正弦值
参考答案
1． D 【解析】 【分析】
先根据补集的定义求出集合 A 的补集 【详解】
，然后和集合 B 进行交集运算，可求
因为 A={x|x ≥3}，
所以
={x|x ＜ 3} ，
所以（ ） ∩ B═ {x|0 ＜≤3ｘ} ．
故选： D．
【点睛】
本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础．
与圆
相切于点
的焦点， 且抛物线 上点 处的切线
（ 1）当直线 的方程为 （ 2）当正数 变化时，记
时，求抛物线 的方程；
分别为
的面积，求 的最小值。
22．已知
，函数
（ 1）求 的值，并求
（ 2）当
时，
在点
处与 轴相切
的单调区间；
，求实数 的取值范围。
（ 1）求证：
（ 2）若
是边长为 的等边三角形，求直线
的目标函数 z x y 的最大值是
x 0,
y0
A．1
3
B．
2
C． 2 D ． 3
5．已知函数
，则函数
的图象为
A．
B．
C．
D．
6．若 、 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为
①若直线
，则在平面 内一定不存在与直线 平行的直线．
②若直线Biblioteka ，则在平面 内一定存在无数条直线与直线
垂直．
③若直线
，则在平面 内不一定存在与直线 垂直的直线．
高三数学上学期测试题
一、单选题
1．设全集
，集合
A．
B．
C．
D．
2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为
该几何体的体积是
，则集合 的正方形，两条虚线互相垂直，则
A．
B．
C．
D．
3．记 为等差数列
的前 项和 ,若
,则
A．
B．
C．
D．
2x y 3,
x 2 y 3,
4． 4．满足线性约束条件 {
【点睛】
本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几
何体，画三视图的要求为： “长对正，高平齐，宽相等 ”．
3． B 【解析】
由题意可得：
，
由等差数列的性质可得： 该数列的公差：
，故
， .
本题选择 B 选项 .
4． C
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，易得
A（1,1）
的图象，
可以将函数
的图象向左最小移动 _______个单位
13 ．已知直线
，其中
，若
，则 =______，
若
，则 =__________.
14 ．已知
，且
，则
的最小值 _________，此时 的值为
___________.
15 ．已知两不共线的非零向量
满足
,
,则向量 与 夹角的最大值是
__________.
④若直线
，则在平面 内一定存在与直线 垂直的直线．
A ．①③
B．②③
C．②④
D ．①④
7．已知
，那么
A．
B．
C．
D．
8．已知正项等比数列 最小值为
满足
A．
B．
C．
D．
，若存在两项
，使得
，则
的
9．已知双曲线
的左右焦点分别为
， 为双曲线 上一点， 为双
曲线 渐近线上一点，
均位于第一象限，且
，
，则双曲线 的离心率为
又 x 2＞ 0，所以函数 f ′（ x ）在（ 0， +∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．
综上函数 f （x）的图象为 D 中的形状．故选： D ．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值
所以 g（ x）有极大值为 又 x 2＞ 0，所以 f ′（ x）的极大值小于 0． 所以函数 f （x）在（﹣ ∞，0）上为减函数．
当 x＞ 0 时，
=
．
令 h（ x）=2x 3﹣ 1+lnx ，
＞．
=
＜．
所以 h（ x）在（ 0， +∞）上为增函数，而 h（ 1） =1＞ 0， h（ ） =﹣
＜．