大学物理课件--平面曲线运动--[福州大学...李培官]
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大学物理课件---简谐振动的合成.-..李培官..2013.8.3
合成振动表达式：
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
随t变化缓慢
随t变化较快
14
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
(2 1 )t | 当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos 2 视为振幅变化部分，合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率
3
1)当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
A2
2)当 2 1 （2k 1） 时, ( k
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3). 一般情况
A1 A2 A A1 A2 x x
20
x2 y2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
1）
2 1 0, π合振动为线振动。
π 2 1 合振动为正椭圆。 2
2）
且当 A1=A2 时,即为圆。 3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
H= A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn) H= ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0 L= A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn) = ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0
• A合=(H2+L2)1/2 =0 • 合振动： X=A合Cos(ωt+φ)=0
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
随t变化缓慢
随t变化较快
14
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
(2 1 )t | 当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos 2 视为振幅变化部分，合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率
3
1)当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
A2
2)当 2 1 （2k 1） 时, ( k
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3). 一般情况
A1 A2 A A1 A2 x x
20
x2 y2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
1）
2 1 0, π合振动为线振动。
π 2 1 合振动为正椭圆。 2
2）
且当 A1=A2 时,即为圆。 3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
H= A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn) H= ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0 L= A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn) = ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0
• A合=(H2+L2)1/2 =0 • 合振动： X=A合Cos(ωt+φ)=0
2024年大学物理课件卡诺循环福州大学李培官
大学物理课件卡诺循环福州大学李培官大学物理课件——卡诺循环1.引言卡诺循环是热力学领域中最基本的理想热机循环，由法国物理学家尼古拉·卡诺于1824年提出。
卡诺循环具有高效、简洁、普适的特点，被广泛应用于各种实际热机的设计与分析。
本文以福州大学李培官教授的大学物理课件为蓝本，对卡诺循环进行详细阐述。
2.卡诺循环的基本原理卡诺循环包括四个基本过程：等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩和绝热压缩。
在一个卡诺循环中，工作物质从高温热源吸收热量，在等温膨胀过程中做功，然后通过绝热膨胀过程降低温度，接着在等温压缩过程中向低温热源放热，通过绝热压缩过程回到初始状态。
3.卡诺循环的热效率卡诺循环的热效率η表示为：η=1T2/T1其中，T1和T2分别为高温热源和低温热源的绝对温度。
根据卡诺定理，任何工作在相同高温热源和低温热源之间的热机，其热效率都不可能高于卡诺循环。
因此，卡诺循环的热效率为最大效率，也称为卡诺效率。
4.卡诺循环的实际应用虽然卡诺循环是一个理想化的热机循环，但在实际工程中，许多热机的设计与分析都借鉴了卡诺循环的原理。
例如，汽车发动机、蒸汽轮机、制冷空调等设备的工作原理都与卡诺循环有着密切的关系。
通过优化热机的工作过程，使其接近卡诺循环，可以提高热机的效率，降低能源消耗。
5.结论卡诺循环作为热力学领域的基础理论，对于理解和分析实际热机的工作原理具有重要意义。
本文以福州大学李培官教授的大学物理课件为参考，对卡诺循环进行了详细的阐述。
通过对卡诺循环的研究，可以为我国能源领域的科技创新和节能减排提供理论支持。
参考文献：[1]李培官.大学物理[M].福州:福州大学出版社,2010.[2]丰.热力学与统计物理[M].北京:科学出版社,2008.[3].能源与环保[M].上海:上海交通大学出版社,2015.需要重点关注的细节是卡诺循环的热效率。
卡诺循环的热效率是热力学领域中的一个重要概念，它为理解和分析实际热机的工作原理提供了理论依据。
大学物理课件--驻波-[福州大学...李培官]
![大学物理课件--驻波-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/56afdd3e3968011ca30091ae.png)
1 2 π (k ) π 2
k 0,1,2,
k 0,1,2,
波腹 波节
1 k 2 2
相邻波腹（节）间距为
2
驻波条件： Ln
2
, n 1,2......
7
2）每一时刻驻波都有确定的波形，此波形既不左 移，也不右移，没有振动状态和相位的传播，故称为驻 波。
因为两相邻波节之间的间隔为/2 。
(3)因为在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。
40 uT 20 4(m) 10
所以在0<x<7m区间的干涉相消点为：
2
y1
O
y2 7
x ( m)
x 1,3,5,7(m)
20
Tips for Better Life
for 2014
14 x y反 A cos[ 10 (t ) ] 20 x A cos[ 10 (t ) 7 ]
20
19
(2)在x=6m处介质质元的振动方程
6 6 y6 A cos( 10t ) A cos( 10t 7 ) 2 2 y6 2 A cos( 10t ) 即：
D C
6
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π cos 2π t x 1）振幅 2 A cos 2π 随 x 而异， 与时间无关.
cos 2 π x
x
x k π 1 2π
0
x
x
k
2
k 0,1, Amax 2 A
k 0,1,2 Amin 0
x
x 2 A cos 2 π cos 2 πt
大学物理课件---物质波的统计解释---[福州大学...李培官]
![大学物理课件---物质波的统计解释---[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/8301a54127284b73f2425060.png)
有“干涉”、“衍射”、等现象。 但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。
14
欢迎指导
谢谢
今天是2020年1月6日星期一
15
10
机械波: -位移量在空间传播 y Acos(t- x )
电磁波: -电场强度在空间传播
E
E0
cos(tu- x
u
)
实物波: ---粒子在空间出现的几率的分布
以电子单缝衍射为例:
光强
亮
暗
x波动观点: I A2 A大 A小
φ
电子束
粒子观点: I N光子数N密大度 N小
统计观点: I 几率 几率大 几率小
今天是2020年1月6日星期一
大学物理课件
--物质波的统计解释
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
1
第六篇
第十二章. ---波和粒子
2
§12--2.物质波.不确定关系
§12-2--2.
物质波的统计解释
3
一.电子双缝衍射实验
机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化 的电磁场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式 呢?
这种看法与实验不符。我们知道，衍射现象是由波的干涉而 产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍 射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。但事 实证明，在粒子流衍射实验中，照象片上所显示出来的衍射图 样和入射粒子流强度无关，也就是说和单位体积中粒子的数目 无关。如果减小入射粒子流强度，同时延长实验的时间，使投 射到照象片上粒子的总数保持不变，则得到的衍射图样将完全 相同。即使把粒子流强度减小到使得粒子一个一个地被衍射， 照片上一次出现一个孤立的点，体现了电子的粒子性。只要经 过足够长的时间，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一 个粒子被衍射的现象和其他粒子无关，衍射图样不是由粒于之 间的相互作用而产生的。
14
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15
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机械波: -位移量在空间传播 y Acos(t- x )
电磁波: -电场强度在空间传播
E
E0
cos(tu- x
u
)
实物波: ---粒子在空间出现的几率的分布
以电子单缝衍射为例:
光强
亮
暗
x波动观点: I A2 A大 A小
φ
电子束
粒子观点: I N光子数N密大度 N小
统计观点: I 几率 几率大 几率小
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大学物理课件
--物质波的统计解释
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1
第六篇
第十二章. ---波和粒子
2
§12--2.物质波.不确定关系
§12-2--2.
物质波的统计解释
3
一.电子双缝衍射实验
机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化 的电磁场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式 呢?
这种看法与实验不符。我们知道，衍射现象是由波的干涉而 产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍 射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。但事 实证明，在粒子流衍射实验中，照象片上所显示出来的衍射图 样和入射粒子流强度无关，也就是说和单位体积中粒子的数目 无关。如果减小入射粒子流强度，同时延长实验的时间，使投 射到照象片上粒子的总数保持不变，则得到的衍射图样将完全 相同。即使把粒子流强度减小到使得粒子一个一个地被衍射， 照片上一次出现一个孤立的点，体现了电子的粒子性。只要经 过足够长的时间，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一 个粒子被衍射的现象和其他粒子无关，衍射图样不是由粒于之 间的相互作用而产生的。
大学物理曲线运动ppt课件
t+t B 0+
移为，则A、B间的有向
线段与弧将满足下面的关系
R
A t0
+
lim AB lim AB R O
x
t 0
t 0
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
ppt课件.
21
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速 度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
ppt课件.
12
t
ppt课件.
13
ppt课件.
14
ppt课件.
15
例2: 以速度为0平抛一球，不计空气阻力，求t时刻 小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道 的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
02 g2t 2
g2t
2 0
g 2t 2
an θ
x= 0
θ
பைடு நூலகம்
a
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)4 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
τ
s
no
a (v 0 bt )4 (bR )2 b R
R
ppt课件.
27
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
(7.27 105 )2 6.73106 cos
大学物理课件---绪论4.物理学的研究方法-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---绪论4.物理学的研究方法-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/2cd7a63d43323968011c9228.png)
对称性和守恒量分析，量纲分析法，数量级估计。
15
五.物理学中常见的科学研究方法
• 1.控制变量法
• 在研究物理问题时，某一物理量往往受几个不同物理量的 影响，为了确定各个不同物理量之间的关系，就需要控制 某些量，使其固定不变，改变某一个量，看所研究的物理 量与该物理量之问的关系． • 【注意】在很多探究性实验中经常用到此法。
18
Tips for Better Life
欢迎指导 for 2013
谢谢
今天是2014年2月11日星一个已经仔细研究过 的现象有某种相似性，就可以通过类比的方法加速对新 现象的研究，或者给新现象一个生动直观的图象。 刚体的定轴转动和质点运动学,库仑定律和万有引 力定律都是平方反比定律，电子显微镜与光学显微镜 ，原子核内核子的相互作用和各分子之间的相互作用 细胞,可与物理学中的耗散结构类比。在企业 生态学中,企业可看作一个细胞,它存在自我调节 的机制,还能通过获得“负熵”而使自身生长发育 。
今天是2014年2月11日星期二
大学物理课件
-绪论4.物理学的研究方法
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
1
绪论4.
物理学的研究方法
2
伽利略是物理科学方法论的创始者，牛 顿、麦克斯韦、爱因斯坦等物理学家都 对物理学的研究方法作出了重要贡献。
物理上的直觉、想象力、洞察力也常常 产生重大突破和发现
• 2.等效替代法 • 面对一个较为复杂的问题，提出1个简单的方案或设
想，而使他们的效果完全相同。在物理学中，将一个或多 个物理量、一种物理装置、一个物理状态或过程用另一个 物理量、一种物理装置、一个物理状态或过程来替代，得 到同样的结论，这样的方法称为等效替代法。
15
五.物理学中常见的科学研究方法
• 1.控制变量法
• 在研究物理问题时，某一物理量往往受几个不同物理量的 影响，为了确定各个不同物理量之间的关系，就需要控制 某些量，使其固定不变，改变某一个量，看所研究的物理 量与该物理量之问的关系． • 【注意】在很多探究性实验中经常用到此法。
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1
绪论4.
物理学的研究方法
2
伽利略是物理科学方法论的创始者，牛 顿、麦克斯韦、爱因斯坦等物理学家都 对物理学的研究方法作出了重要贡献。
物理上的直觉、想象力、洞察力也常常 产生重大突破和发现
• 2.等效替代法 • 面对一个较为复杂的问题，提出1个简单的方案或设
想，而使他们的效果完全相同。在物理学中，将一个或多 个物理量、一种物理装置、一个物理状态或过程用另一个 物理量、一种物理装置、一个物理状态或过程来替代，得 到同样的结论，这样的方法称为等效替代法。
大学物理课件--平面曲线运动--[福州大学...李培官]
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v0 g
2 v0 g 2t 2
10
【例2】已知质点在水平面内运动，运动方程为：
2 r 5ti (15t 5t ) j
2 解： r 5ti (15t 5t ) j
dr v 5i (15 10t ) j dt
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。 t=1s
et e t1 et 2
法向单位矢量
18
dv a et ven dt
切向加速度（速度大小变化引起） 2s d v d at r 2 dt dt
法向加速度（速度方向变化引起）
v2 et 2 v1 e t1 o
r
圆周运动加速度
dv dv d e et v t a dt dt dt
at dv r d r dt dt
切向加速度
v2 et 2 v1 e t1 o
r
切向单位矢量的 en dt dt t0 t
ds v et v e t r e t dt
质点作变速率圆周运动时
dv dv d e et v t a dt dt dt
at dv r d r dt dt
切向加速度
v2 et 2 v1 e t1 o
t 1s时 at 2.4(m s 2 ), an 14.4(m s 2 )
2 2
a at an 14.6(m s 2 ) an 1 3 3 3 at a 时 6t 3 , 得 : t , 2 4 ( 3 ) 3.15rad 2 at 6 6
大学物理课件---经典力学时空观-[福州大学...李培官]
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伽利略变换与牛顿相对性原理是一回事， 是绝对时空观的必然结果。
这最早由伽利略从实验上提出来，即：通过 力学实验无法判定一个惯性系的运动状态。
14
【伽利略简介】
• 伽利略（1564-1642）意大 利物理学家、天文学家和哲 学家，近代实验科学的先驱 者。其成就包括改进望远镜 和其所带来的天文观测，以 及支持哥白尼的日心说。当 时，人们争相传颂：“哥伦 布发现了新大陆，伽利略发 现了新宇宙”。今天，史蒂 芬· 霍金说，“自然科学的 诞生要归功于伽利略，他这 方面的功劳大概无人能及。” 伽利略（1564-1642） • 名言：自然界没有一样东西 能保持永久性的。
10
三.伽利略变换
牛顿的时空观可通过以 下坐标和时间的变换来 现设 S、S’ 为两个
y
S
y
S ut 0 z
u
P ( x, y, z, t )
x
x
( x , y , z , t )
相对运动速度为 u ux 常量 . t = t’=0时, ˆ
两个坐标 原点O、O’重合。
3) 在S系中质量为m的物体在 S’系质量也为m。
16
2.牛顿对绝对时间空间的看法：
1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中 对时间和空间作如下表述 ： 绝对的、真实的、纯数学的时间，就其自身和其本质 而言，是永远均匀流动的，不依赖于任何外界事物。 绝对的空间，就其本性而言，是与外 界事物无关而永远是相同和不动的。
牛顿（1643-1727）
五.爱因斯坦简介
爱因斯坦（1879.3.14 — 1955.4.18）
19
【爱因斯坦简介】
• 创立了狭义相对论， 发展了量子理论 • 建立了广义相对论 • 他还开创了现代宇 宙学 • 他努力探索的统一 场思想， • 指出了现代物理学 发展的一个重要方 向
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an
v t kRt2
v 2 k 2 22 32
k4
v 4Rt 2 ms1
v 0.5 4R 0.52ms1 2ms1
dv t v2 t
a n
dt
R
a 2kRt k2Rt 4n
a a 4k2R2t 2 k4R2t8 8.25ms2
切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，又
为解多：少？d 12t 2 , v R 1.2t 2 ,
dt
dv at dt 2.4t ,
an
v2 R
14.4t4
t 1s时 at 2.4(m s2 ), an 14.4(m s2 )
a at 2 an2 14.6(m s2 )
6
速度加速度
7
续
8
跳水运动员质心在空中的运动轨迹是抛物线
9
【例1】由楼窗口以水平初速度v0射出 o 一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴
v0
x
，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及
an
at
轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切
向加速度和法向加速度。
10 j
)
v
25 (15 10t)2
dt an a2 at2 5 2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
【例3】质点M在水平面内运动轨道如图所示：OA段为 直线,AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设
vt
rt
O
X
13
g
j
dv
dt
v dv
t g jdt
v0 cos i v0 sin j 0
vt
v0
cos
i
v0
sin
gt
j
Y
rt
v0
cos
t i
v0t
sin
1 2
gt 2
j
dt
y
B
r A
o
x
16
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
o
r
et1
at
dv dt
r
d
dt
r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
dt
. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
at
0,
π 2
,
v 常量
0,
π 2
π
,
v
减小
tan1
an at
y
v
a
en et
oa a
x
20
一般曲线运动（自然坐标）
v
ds dt
et
a
dv dt
et
v2
en
其中
ds
d
曲率半径 .
4. 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 ) 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为
a与v的夹角为
arctgan arctg9.8 83.0o
a
1.2
26
Tips for Better Life
欢f迎or 指201导3
谢谢
今天是2019年12月23日星期一
27
常量 . at 0 a anen r 2en
2 ) 匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0, 0
21
【例5】某质点作半径为R=0.10m的圆周运动，其角位
置随时t的变化规律为=2+4t3(SI) 。求该质点在
t=1s时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当
10
【例2】已知r质点5t在i 水(平15面t 内5运t 2动) j，运动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解： r
5ti
(15t
5t
2
)
j
t=1s
v
dr
5i
(15 10t) j
dt
at
5
a
dv
2(m/ s2
今天是2019年12月23日星期一
大学物理课件
---1-2.平面曲线运动
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
想一想
第一章 质点运动学
2
第一章 质点运动学
1-2.平面曲线运动
3
一、平面自然坐标的描述
运动质点
切线
法线
τ
n
自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成
4
1.密切平面
密切 在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨
83.3m / s2
30 15
12
【例4】一质点以60º仰角作上抛运动，忽略空气阻力
。若质点运动轨迹最高处的曲率半径为10米，求抛出时 的初速度大小。
解；最高处a与τ 成直角 vx v0 cos 60
an
g
v
2 x
vx g 98ms1
Y
v0
v0
98 ms1 cos 60
d 3t2 4 d 6t
dt
dt
24
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
v r 1 D 1 3t2 4 0.4 0.2 3t2 4
2
2
a r 6t 0.2 1.2t
平面 道上各选取一个邻近的点，与该质点
一起构成三角平面。当两点无限向质
点靠近时，此平面的极限称
密切圆
为该质点瞬间的密切平面。
该三角形的外接圆的 极限称为该点瞬间的 密切圆。
P '' o'
P
P'
曲率中心 密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。
曲率半径 密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。
5
自然坐标系
2.自然坐标系
t=0时M在O点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),求t=2
秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速度。
解：t=2s ， S=80m 可知此时M在大圆上。
质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)
t=2s v=50m/s
at
dv dt
d 2s dt 2
10m / s2
an
v2
50 2 30
y
g
解：(1)
x v0t,
y 1 gt2 y 1 x2g
2
2 v02
(2) vx v0,vy gt
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2 ,
tan gt
v0
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
v0
O
vt
rt
X 14
二. 圆周运动（circular motion）
15
1.圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t) 角速度 (t) d (t)
dt
速率
vltim0st rltim0t
v ddst , v(t) r(t)
角加速度 d
at
1 2
a时
an at
6t 3
3 ,得:t3
3 , 2 4 ( 3 ) 3.15rad
6
6
22
【例6】一质点沿半径R=2m的圆周运动，其速率
v kRt 2 ms1
k为常数，已知第二秒的速率为 32ms-1，求t =0.5s时质点的速
度和加速度的大小。解：
at a
o
r
et1
at
dv dt
r
d
dt
r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
dt
en
et2et
法向单位矢量
et1
18
a ddvt et ven
切向加速度（速度大小变化引起）
at
dv dt
r
d2s dt2
法向加速度（速度方向变化引起）
an
v
2r
v t kRt2
v 2 k 2 22 32
k4
v 4Rt 2 ms1
v 0.5 4R 0.52ms1 2ms1
dv t v2 t
a n
dt
R
a 2kRt k2Rt 4n
a a 4k2R2t 2 k4R2t8 8.25ms2
切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，又
为解多：少？d 12t 2 , v R 1.2t 2 ,
dt
dv at dt 2.4t ,
an
v2 R
14.4t4
t 1s时 at 2.4(m s2 ), an 14.4(m s2 )
a at 2 an2 14.6(m s2 )
6
速度加速度
7
续
8
跳水运动员质心在空中的运动轨迹是抛物线
9
【例1】由楼窗口以水平初速度v0射出 o 一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴
v0
x
，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及
an
at
轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切
向加速度和法向加速度。
10 j
)
v
25 (15 10t)2
dt an a2 at2 5 2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
【例3】质点M在水平面内运动轨道如图所示：OA段为 直线,AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设
vt
rt
O
X
13
g
j
dv
dt
v dv
t g jdt
v0 cos i v0 sin j 0
vt
v0
cos
i
v0
sin
gt
j
Y
rt
v0
cos
t i
v0t
sin
1 2
gt 2
j
dt
y
B
r A
o
x
16
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
o
r
et1
at
dv dt
r
d
dt
r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
dt
. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
at
0,
π 2
,
v 常量
0,
π 2
π
,
v
减小
tan1
an at
y
v
a
en et
oa a
x
20
一般曲线运动（自然坐标）
v
ds dt
et
a
dv dt
et
v2
en
其中
ds
d
曲率半径 .
4. 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 ) 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为
a与v的夹角为
arctgan arctg9.8 83.0o
a
1.2
26
Tips for Better Life
欢f迎or 指201导3
谢谢
今天是2019年12月23日星期一
27
常量 . at 0 a anen r 2en
2 ) 匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0, 0
21
【例5】某质点作半径为R=0.10m的圆周运动，其角位
置随时t的变化规律为=2+4t3(SI) 。求该质点在
t=1s时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当
10
【例2】已知r质点5t在i 水(平15面t 内5运t 2动) j，运动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解： r
5ti
(15t
5t
2
)
j
t=1s
v
dr
5i
(15 10t) j
dt
at
5
a
dv
2(m/ s2
今天是2019年12月23日星期一
大学物理课件
---1-2.平面曲线运动
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
想一想
第一章 质点运动学
2
第一章 质点运动学
1-2.平面曲线运动
3
一、平面自然坐标的描述
运动质点
切线
法线
τ
n
自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成
4
1.密切平面
密切 在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨
83.3m / s2
30 15
12
【例4】一质点以60º仰角作上抛运动，忽略空气阻力
。若质点运动轨迹最高处的曲率半径为10米，求抛出时 的初速度大小。
解；最高处a与τ 成直角 vx v0 cos 60
an
g
v
2 x
vx g 98ms1
Y
v0
v0
98 ms1 cos 60
d 3t2 4 d 6t
dt
dt
24
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
v r 1 D 1 3t2 4 0.4 0.2 3t2 4
2
2
a r 6t 0.2 1.2t
平面 道上各选取一个邻近的点，与该质点
一起构成三角平面。当两点无限向质
点靠近时，此平面的极限称
密切圆
为该质点瞬间的密切平面。
该三角形的外接圆的 极限称为该点瞬间的 密切圆。
P '' o'
P
P'
曲率中心 密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。
曲率半径 密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。
5
自然坐标系
2.自然坐标系
t=0时M在O点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),求t=2
秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速度。
解：t=2s ， S=80m 可知此时M在大圆上。
质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)
t=2s v=50m/s
at
dv dt
d 2s dt 2
10m / s2
an
v2
50 2 30
y
g
解：(1)
x v0t,
y 1 gt2 y 1 x2g
2
2 v02
(2) vx v0,vy gt
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2 ,
tan gt
v0
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
v0
O
vt
rt
X 14
二. 圆周运动（circular motion）
15
1.圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t) 角速度 (t) d (t)
dt
速率
vltim0st rltim0t
v ddst , v(t) r(t)
角加速度 d
at
1 2
a时
an at
6t 3
3 ,得:t3
3 , 2 4 ( 3 ) 3.15rad
6
6
22
【例6】一质点沿半径R=2m的圆周运动，其速率
v kRt 2 ms1
k为常数，已知第二秒的速率为 32ms-1，求t =0.5s时质点的速
度和加速度的大小。解：
at a
o
r
et1
at
dv dt
r
d
dt
r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
dt
en
et2et
法向单位矢量
et1
18
a ddvt et ven
切向加速度（速度大小变化引起）
at
dv dt
r
d2s dt2
法向加速度（速度方向变化引起）
an
v
2r