2019版一轮优化探究理数练习：第九章 第六节 椭 圆 含解析

一，填空题
1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于________．
解析：由题意知a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.
答案：10
2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端
点的距离为________．
解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝6，c a ＝45，
a 2＝
b 2＋
c 2， 且a >0，b >0，c >0，
解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.
∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝5－4＝1. 答案：1或9
3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．
解析：把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n
＝1.若m >n >0，则1n >1m >0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反
之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n >1m >0即有m >n >0.故为充要条件．
答案：充要
4．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x
－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．
解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，
知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.
又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.
答案：x 24＋y 23＝1
5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析：设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，
∴2a ≤6c ，即e ≥13.
答案：[13，1)
6．已知F 1，F 2分别是椭圆x 28＋y 24＝1的左，右焦点，P 是椭圆上的任意一点，则|PF 1－PF 2|
PF 1的取值范围是________．
解析：显然当PF 1＝PF 2时，|PF 1－PF 2|PF 1
＝0.由椭圆定义得PF 2＝42－PF 1，从而|PF 1－PF 2|PF 1＝|2PF 1－42|PF 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42PF 1－2.而22－2≤PF 1≤22＋2，所以4222＋2
≤42PF 1≤4222－2
，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪42PF 1－2≤2＋2 2.综上所述，|PF 1－PF 2|PF 1∈[0,22＋2]． 答案：[0,22＋2]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭
圆的方程是________．
解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，
∴e ＝c a ＝4a ＝12，
∴a ＝8，
从而b 2＝a 2－c 2＝48，
∴方程是y 264＋x 248＝1.
答案：y 264＋x 248＝1
8．已知P 是椭圆x 212＋y 24＝1上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1→·PF 2→的取值范围为________________．
解析：解法一 (利用三角代换)设椭圆上任意一点为P (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝23cos θ，y 0＝2sin θ
(其中θ为参数)，椭圆的左，右焦点分别为F 1(－22，0)，F 2(22，0)，所以PF 1→＝(－22－x 0，－y 0)，PF 2→＝(22－x 0，－y 0)．所以PF 1→·PF 2
→＝x 20＋y 20－8＝12cos 2 θ＋4sin 2 θ－8＝8cos 2 θ－4∈[－4,4]． 解法二 (转换成二次函数)设椭圆上任意一点为P (x 0，y 0)，椭圆的左，右焦点分别为F 1(－22，0)，F 2(22，0)，
所以PF 1→＝(－22－x 0，－y 0)，
PF 2→＝(22－x 0，－y 0)．
所以PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－8，该式表示椭圆上任意一点到原点的距离的平方与8的差．因为椭圆上任意一点到原点的距离最小值为短半轴b ＝2，距离最大值为长
半轴a ＝2 3.所以x 20＋y 20∈[4,12]，
所以PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－8∈ [－4,4]．
答案：[－4,4]
9．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
解析：当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，
此时可求得离心率e ＝c a ＝c
b 2＋
c 2＝c 2c
＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m (1＋2)m ＝2－1. 答案：22或2－1
二，解答题
10．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点
P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． 解析：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶
3，c ＝2.
解得a 2＝16，b 2＝12.
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 2
12＝1，故－4≤x ≤4.
因为MP →＝(x －m ，y )，
所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.
因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，
即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，
故有4m ≥4，解得m ≥1.
又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4.
故实数m 的取值范围是[1,4]．
11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形．若直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于不同的两
点A ，B ，且AP →＝3PB →.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求实数m 的取值范围．
解析：(1)依题意a ＝1，b ＝c ，
∴b 2＝12，
∴所求椭圆C 的方程为2x 2＋y 2＝1.
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，
Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋2)(m 2－1)
＝－4(2m 2－k 2－2)>0，
∴2m 2－k 2－2<0，
∵AP →＝3PB →，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋3x 21＋3
＝0， ∴x 1＝－3x 2，
又∵x 1＋x 2＝－2km
k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.
∴消去x 1得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＝2km k 2＋2，3x 22＝－m 2
－1k 2＋2，
消去x 2得3k 2m 2＝(k 2＋2)(1－m 2)，
∴k 2＝
2－2m 24m 2－1.
∴2m 2－2－2－2m 2
4m 2－1
<0⇒(m 2－1)(4m 2－1)<0， ∴m ∈(－1，－12)∪(12，1)．
12.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴，短轴的端点，点O
到直线AB 的距离为655(如图所示)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点E (3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP
→的取值范围．
解析：(1)由离心率e ＝c a ＝32，得b a ＝
1－e 2＝12.
∴a ＝2b .①
∵原点O 到直线AB 的距离为655， ∴ab
a 2＋
b 2＝655.②
①代入②，得b 2＝9.∴a 2＝36.
则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 29＝1.
(2)∵EP ⊥EQ ，∴EP →·EQ →＝0.
∴EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP 2→.
设P (x ，y )，则x 236＋y 29＝1，即y 2＝9－x 24.
∴EP →·QP →＝EP 2→＝(x －3)2＋y 2＝x 2－6x ＋9＋(9－x 24)＝34(x －4)2＋6.
∵－6≤x ≤6，∴6≤34(x －4)2＋6≤81.
则EP →·QP →的取值范围为[6,81]．。