导数和矢量运算解读
矢量微分运算公式汇总
矢量微分运算公式汇总1.矢量的求导：设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，则它的导数为：df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)2.矢量的积分：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为：∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt，其中r'(t)为r(t)的导数。
3.散度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的散度为：div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z4.散度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F5.旋度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的旋度为：rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) 6.旋度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F7.保守场：若矢量场F是一个保守场，则存在标量场Φ，使得F=∇Φ。
在保守场下，散度和旋度之间满足如下关系：∇·(∇×F)=08.梯度：设标量场Φ(x,y,z)grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)9.梯度的运算公式：若U和V是标量场，F是矢量场，则有：∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV∇×(U∇V)=U∇×∇V=0∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G∇×(F×G)=(∇·G)F-(∇·F)G+(G·∇)F-(F·∇)G以上是一些常见的矢量微分运算公式汇总，这些公式在向量分析的求解中起到了重要的作用。
高中物理必备数学知识
高中物理必备数学知识一、导数与微分导数和微分是高中物理中常用的数学工具之一。
导数是描述函数变化率的工具，通过求导可以得到函数在某一点的斜率。
而微分则是导数的一个应用，用于近似计算函数在某一点附近的变化情况。
在高中物理中，导数和微分常常被用来描述物体的运动状态和变化趋势。
二、积分与定积分积分与定积分是导数和微分的反运算。
积分可以用来求解函数的原函数，定积分则可以用来计算函数在一定范围内的面积。
在高中物理中，积分和定积分常常被用来求解物体的位移、速度和加速度等相关问题。
三、三角函数与三角恒等式三角函数是描述角度关系的数学工具，包括正弦、余弦和正切等。
在高中物理中，三角函数常常被用来描述物体的运动轨迹和力的方向。
此外，三角恒等式是三角函数之间的一组等式，可以用来简化和化简三角函数的运算。
四、向量与矢量运算向量是描述物理量的大小和方向的数学工具，包括位移、速度、加速度等。
在高中物理中，向量常常被用来描述物体的运动状态和力的作用方向。
此外，向量还可以进行一系列的运算，如加法、减法和数量积等。
五、复数与复数运算复数是一个包含实部和虚部的数，可以用来描述电路中的交流电信号和波动现象。
在高中物理中，复数常常被用来表示电压、电流和光的振幅等物理量。
此外，复数还可以进行一系列的运算，如加法、减法和乘法等。
六、指数与对数指数和对数是数学中常见的运算符号，用来表示幂运算和反运算。
在高中物理中，指数和对数常常被用来描述物体的指数增长和减少规律，如指数函数和半衰期等。
此外，指数和对数还可以用来解决一些复杂的物理问题，如放射性衰变和震荡现象等。
七、概率与统计概率和统计是数学中的一门重要分支，用来描述随机事件的发生概率和数据的规律性。
在高中物理中，概率和统计常常被用来分析实验数据和进行误差分析。
此外，概率和统计还可以用来解决一些复杂的物理问题，如量子力学和热力学等。
总结起来，高中物理必备的数学知识包括导数与微分、积分与定积分、三角函数与三角恒等式、向量与矢量运算、复数与复数运算、指数与对数，以及概率与统计。
矢量函数的基本概念
矢量函数的基本概念矢量函数是指从一个实数集（通常是实数集R）到一个矢量空间的映射。
在三维空间中，矢量函数可以用一组函数来表示，即函数的每个分量都是一个单独的函数，这些函数分别描述了矢量函数在每个坐标轴上的变化情况。
矢量函数可以用来描述运动、力场等物理现象，也是多元函数的重要应用之一。
在数学中，矢量函数常用符号表示为f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，其中f1(t),f2(t),f3(t)是三个实数域上的函数。
每个函数fi(t)描述了矢量函数f(t)在空间中某一个坐标上的变化情况。
根据函数的定义域不同，可以将矢量函数分为有限维矢量函数和无限维矢量函数。
有限维矢量函数的定义域是一个有限区间（通常是闭区间），比如[0,1]，[a,b]等。
在这个区间上，每个坐标轴上的函数fi(t)都是实数域上的函数。
矢量函数可以用来描述线性运动，物体在力作用下的位移变化等。
比如一个经典的例子是位移矢量函数r(t)=(x(t),y(t),z(t))，它描述了物体在三维空间中的运动轨迹。
无限维矢量函数的定义域是一个无穷区间（通常是开区间），比如(-∞,+∞)，(0,∞)等。
在这个区间上，每个坐标轴上的函数fi(t)可以是实数域上的函数，也可以是复数域上的函数。
矢量函数的分量可以是任意类型的函数，比如多项式函数、三角函数、指数函数等。
无限维矢量函数在分析数学中广泛应用，比如泛函分析、偏微分方程等领域。
矢量函数的性质包括可导性、连续性和界性等。
对于有限维矢量函数来说，它的可导性和连续性与函数的每个分量的可导性和连续性密切相关。
如果矢量函数的每个分量都是可导的，那么矢量函数也是可导的。
如果矢量函数的每个分量都是连续的，那么矢量函数也是连续的。
同样地，矢量函数的界性与函数的每个分量的界性有关。
如果矢量函数的每个分量都是有界的，那么矢量函数也是有界的。
根据矢量函数的性质，可以定义矢量函数的导数、积分和长度等概念。
矢量函数的导数表示了矢量函数在每个坐标轴上的变化率，可以用偏导数来表示。
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
3.6矢量的函数之导数
f i f= i g, v
F i F = i g , v
T i T = i g v
分别为矢量、 阶张量。 分别为矢量、二阶张量和 (n+1) 阶张量。
而
f = f , f = g i v
i
F T = (F ) , F = g v i
i
T T = g v i
i
张量函数的梯度与微分之间的关系： 张量函数的梯度与微分之间的关系：
3.6.4
张量函数的梯度、 张量函数的梯度、散度和旋度
研究自变量为矢量的张量函数（非场函数）。 研究自变量为矢量的张量函数（非场函数）。 3.6.4.1 张量函数的梯度
定义矢量算子 nabla） （ ）
i = i g v
称为导数算子。 称为导数算子。标量函数 f 、矢量函数 F 和 n 阶张量函数 T 导数算子 的梯度
3.6.2 矢量的矢量函数
矢量 v 的矢量函数 w = F (v) 对于增量 u 的有限微分与其 导数的关系为
F ′(v; u ) = F ′(v ) u
式中
dF F ′(v ) = dv
为常矢量， 设基矢量 gk 为常矢量，自变量 v 分解式为
v = v l gl
v 的函数 F(v) 仅取决于分量 vl ，可以写作
(
)
[ ( )]
[ ( )]
F ′i′j′ = β ki′ β l j′ F ′kl
并矢形式为
F (v ) F (v ) F (v ) F (v ) F ′(v ) = gj = gj = g j′ = g j′ j j′ v v j v v j′
3.6.3 矢量的二阶张量函数
矢量 v 的二阶张量函数 H=T(v) 的有限微分与导数的关系式为
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
矢量运算的基本知识
(4)合矢量投影定理 若R = i Rx+ j Ry+k Rz ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= ∑ aix 4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
c
R = ∑ ai Rz= ∑ aiz
Ry= ∑ aiy
c = a b sin a ∧ b
(
)
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
9
i j k a×b = 3 4 5 1 2 5
= (4 × 5 − 5 × 2 )i + (5 ×1 − 3 × 5) j + (3 × 2 − 4 ×1)k
= 10i -10j +2k (4) b 0 = i + 2 j + 5k = 1 2 2
1+ 2 + 5k ) 30
矢量运算的基本知识
教案2004.2.15 教案
1
内 容 提 要
一.矢量运算的基本知识 矢量运算的基本知识 1.单位矢量 单位矢量 2.矢量的加法 矢量的加法 3.矢量的标积 矢量的标积 4.矢量的矢积 矢量的矢积 5.矢量的导数 矢量的导数
2
二.绪论 绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
i a × b = ax bx
j ay by
k az bz
O
z k i x j y
= i (a y bx − a x b y ) + j (a z bx − a x bz ) + k (a x b y − a y bx )
(3)直角坐标系中单位矢量的标积和矢积
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·k = 0 i×i = j×j = k×k = 0 i×j = k j×k = i k×i = j
绝对值的导数(附矢量模的导数)
绝对值的导数（附矢量模的导数）绝对值的导数我们在学习导数的时候，会学习很多基本函数的导数，但是通常没有绝对值的导数。
老师基本会说绝对值的求导需要分段求解，其实没必要。
下面将推导出绝对值的导数。
推导：设函数为 f=f(x) ，则其绝对值为 |f| ，以下的求导都是对x 求导，有：\begin{align} &|f|=|f|\\ \Rightarrow&|f|^2=f^2\\\Rightarrow&(|f|^2)^{'}=(f^2)^{'}\\\Rightarrow&2|f||f|^{'}=2f\cdot f^{'}\\\Rightarrow&|f|^{'}=\frac{f}{|f|}\cdot f^{'}\end{align}即：|f|^{'}=\frac{f}{|f|}\cdot f^{'}\tag{1}(1) 式就是绝对值的导数。
可以看到对绝对值求导不用分段求导，因为 \frac{f}{|f|} 将两个分段求导得到的导数统一起来了；同时也能看到f(x) 值为 0 时有没有导数需要通过洛必达法则判断，这与我们分段求导的结果一致。
矢量模的导数不仅如此，如果 f 换成矢量 \vec{f} ，绝对值换成矢量求模，则可以用类似的方法求得：\begin{align} &|\vec{f}|=|\vec{f}|\\\Rightarrow&|\vec{f}|^2=\vec{f}^2\\\Rightarrow&2|\vec{f}||\vec{f}|^{'}=2\vec{f}\cdot\vec{f}^{'}\\\Rightarrow&|\vec{f}|^{'}=\frac{\vec{f}}{|\vec{f}|}\cd ot \vec{f}^{'} \end{align}即：|\vec{f}|^{'}=\frac{\vec{f}}{|\vec{f}|}\cdot\vec{f}^{' }\tag{2}(2) 式表示的意思是：矢量模的导数等于矢量的导数在矢量方向上的投影。
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h
h0
1 2
g
t
2
这里t 为自变量，h 为因变量，也可记为：
h h(t)
二、极限
当自变量 x 无限趋于某一数值 x0 ( 记作x x0 ) 时， 函数 f (x) 的数值无限趋于某一确定的数值a ， 则 a 叫做 x x0 时函数 f (x) 的极限值，记作：
lim f (x) a
xx0
• 在三角函数中， 当 x 无限向正向增大时，
arctan x 无限接近 π ，用极限表示：
2
lim arctan x π
x
2
类似有： lim arctan x π
x
2
三、导数
当自变量 x 由一个数值 x0 变到另一个数值 x1 时， 后者减去前者叫作该自变量的增量，记作
函数 x＝x1－x0 .
[解] 切线斜率为 dy ，在方程中逐项对 x 求导 dx
2x 2y y 0 27
于是 y 7 x ，此即曲线在坐标为( x , y ) 2y
的点的切线斜率。
§1.1.3 单变量函数的微分
一、微分概念 定义：若 f (x) 在x 处有导数，则称 f '(x) dx 为 f
(x) 在 x 处的微分，记为dy＝ f '(x) dx 。
r rr C AB
rr A B (Ax Bx , Ay By , Az Bz )
三、矢量的标积(点乘) 两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为：
rr
A B AB cos
投影
根据r标积r定义 推论：
A r
B r
Ar x
Brx
Ay
Br y
r
Az
Bz
A B B A A A A2
tan
lim tan
A A
lim y x0 x
f (x0)
曲线上横坐标为x0 的一点A处的切线斜率就 是函数 f ( x ) 在 x0 处的导数值 f '( x0 ) 。
§1.1.2 导数的运算
一、基本函数的导数运算举例
1. y f (x) x2 , 求 dy dx
物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。 • 只有大小而无方向的量 — 标量，如：
温度、质量、体积。 • 需要以大小和方向表示的物理量 — 矢量，
如：速度、加速度、力。
矢量的大小 — 矢量的模 • 模等于 1 的矢量 — 单位矢量
用图表示矢量 — 用有向线段表示： 长度表示其大小，箭头表示其方向。
三、导数运算法则
以下设 u,v 为x 的函数，且导数 u’,v’ 存在 (1) 和（差）的导数，由极限的加法法则：
(u v) u v
(2) 积的导数： (uv) uv uv
(Cu) Cu
(3) 商的导数：
u v
uv uv v2
,
v0
f (x) f (0) f (0) x
x 应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：
(1 x)N 1 Nx
例如
1 x 1 1 x 2
ex 1 x; ln(1 x) x
sin x x, tan x x,
[解]
dy
y
(x x)2 x2
lim lim
dx x0 x x0
x
lim(2x x) 2x x0
2. y sin x , 求 dy 及 dy
dx
dx x π
4
[解]
y
sin( x
x)
sin
x
2 sin
x 2
cos
x
x 2
[例] 若物体作变速直线运动，速度v＝v(t ) , 可
以把 t 分成许多均等小段 t ，只要 t 充分小，每 段时间中的速率近似看成是不变的，把各小 段时间内走过的路程相加，即近似为总路程， 曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。
s v(t1) t v(t2 ) t v(tn ) t
矢量平移时大小和方向不变。
二、矢量的合成 1. 三角形法则：
余弦定理
C A2 B2 2ABcos
几何关系
arctan Bsin A B cos
若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连
2. 解析法
将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只 需用带正号或负号的代数值表示
1 x 3
3
1
x2
1
4
x3
3
[例2] y tan x , 求 y
[解]
y
sin cos
x x
sin x cos x sin x cos x
cos2 x
cos2 x sin2 x 1 sec2 x
(1) d(Cu) Cdu (2) d(u v) du dv
(3) d(uv) vdu udvFra bibliotek(4)d
u v
vdu v2
udv
(5) 若 y f (x), ，x 则(t)
y f [ (t)]
dy y dt ( yx xt) dt yx dx
与此对应，因变量 y 的数值由 y0 ＝ f ( x0 ) 变到 y1 ＝ f ( x1 ) ，增量为：
y y1 y0 f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0)
增量可正可负， y 与自变量的增量 相关，两者之比：
y f (x0 x) f (x0)
附录 1.1 微积分简介
§1.1.1 导数 §1.1.2 导数的运算 §1.1.3 单变量函数的微分 §1.1.4 积分
/~zhy
§1.1.4 积分
一、定积分
微分和积分是对立面的统一。
[例] 物体作匀速直线运动，路程＝速度 时间，
即s＝v t 。在 v-t 图中，路程 s 为阴影的面积。
f (x)dx (x) C
式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件 定出此常量
[例] 已知曲线的切线斜率为 k 1 x , 4
(1) 求曲线方程 ；
(2)
若曲线经过点
2,
5 2
,
求此曲线方程
。
[解]
(1)
设曲线方程为
y
f
(x),
已知
y
1 x, 4
故
y
ydx
rr
N
AdS
S
S And S
在正法线方向的分量
§1.1.1 导数
一、函数
有两个互相联系的变量 x 和y ，每当x 取了某一 数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的值，就 称 y 是 x 的函数，记作 y＝f（x）或 y＝y（x）， x 为自变量， y 叫因变量。
• 自由落体运动: 物体从离地面为 h0 高度处开始下 落，则物体与地面的距离依赖于时间 t 的规律是：
(4) 复合函数的导数法则，设 y＝f (v )，v＝ (x)
均有导数，则
y(x) f (v) v(x) 或 dy dy dv dx dv dx
[例1] y 2 x 1 3, 求 y 3x
[解]
1 y 2x2
1
x 3
3
1 2x2
(2) 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的 斜率，就是函数在这一点的导数值。
设函数 y＝ f (x) ，在曲线上 取一点A， A'是曲线上另一点， 割线AA' 和 x 轴的夹角记为 。 当A'点沿着曲线趋近于A时， 割线AA’趋近于某一极限位置 AT，显然，直线 AT 就是曲线 在A点的切线，AT与 x 轴所成 的夹角 即为变角 的极限。 导数的几何意义
cos2 x
cos2 x
[例3] y 1 x2 , 求 y
[解]
y
1
x2
1 2
1 2
1 x2
1
2
1 x2
1 1 x2
1
2 2x
x
2
1 x2
[例4] 求双曲线 x2 y2 1 在任意点的切线斜率。 27
dy
lim
y
lim
sin
x 2
cos
x
x 2
dx x0 x x0
x
2
当 x 0 时，sin x x 22
dy dx
lim
x0
cos
x
x 2
cos
x
dy cos π 2
dx x π
42
4
二、常用初等函数的导数公式
四、微分在近似计算中的应用
当 x 很小时， y dy
y f (x0 x) f (x0) f (x0) x 改为 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
或 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
当取 x0 0 时，即有近似公式
rr
(3) 若 A,r两B矢r 量垂直
AB 0
rrr
(4) 直角坐标系的单位矢量 i , j具, k有正交性