系统方程的算子表示法
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第2章系统零输入响应
2.2系统的零输入响应
2.2.1一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方来自的一般形式为即
通过分离变量，上式可改写为
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2.2系统的零输入响应
对两边积分得
其中，k是积分常数。从而可得
其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。 例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-5 列写图2-3所示电路的算子方程组，并分别 求出由激励f(t)至响应i1(t)与i2(t)的转移算子H1(p)与 H2(P)。 解:用网孔分析法列写电路方程组
为了分别求得i1(t)， i2(t)与f (t)之间的关系，必须 将另外一个变量消去。消去i2(t) ，得到关于i1(t)的 方程
再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1～n，最后确定yx(t). 下面再来看看具体例子。
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2.2系统的零输入响应
例2-8己知系统微分方程为
初始状态 ,计算零输入响应。 解:用算子表示原微分方程，得转移算子
容易看出，转移算了的极点为λ1=-2, λ2=-3。从而可以直接写 出y(t)的零输入响应为
从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特征多项式D(p)及 初始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统 的转移算子H(p)和初始状态，也就可以直接求出yx(t) 前面己指出，转移算子
是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即
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2.2系统的零输入响应
因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母D(p)求出系统的特 征根，亦即H(p)的极点λ1，…，λn ，从而写出系统的零输入 响应的一般式
算子总结精品哈密尔顿算子精品拉普拉斯算子
算子总结精品哈密尔顿算子精品拉普拉斯算子算子是数学中的一个概念，它表示一种将一些函数映射为另一个函数的操作。
在物理学和工程学中，算子通常用于描述一些物理量或现象的性质或变化规律。
哈密尔顿算子（Hamiltonian operator）是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的能量和运动状态之间的关系。
哈密尔顿算子常用符号表示为Ĥ，它的作用是对波函数进行求导和求二阶导数，并乘以恒定的因子。
哈密尔顿算子的一般形式可以表示为：Ĥ=-ℏ²/2m∇²+V(x),其中，ℏ是普朗克常数的约化值，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V(x)是势能函数。
哈密尔顿算子的第一项负责描述粒子的动能，第二项描述粒子在势场中的势能。
哈密尔顿算子在量子力学中发挥着重要作用，它是薛定谔方程的一个核心组成部分。
薛定谔方程可以通过哈密尔顿算子作用于波函数得到，它描述了量子体系的演化和态函数的变化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能量本征态和能量本征值，从而揭示了物理系统的量子性质。
拉普拉斯算子（Laplacian operator）是微分方程中的一种常用算子，它表示一个向量场的散度的梯度。
拉普拉斯算子常用符号表示为∇²或△，它的作用是对函数进行二阶偏导数的求和。
在笛卡尔坐标系中∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²,其中，∂²/∂x²表示函数对x的二阶偏导数，∂²/∂y²表示函数对y的二阶偏导数，∂²/∂z²表示函数对z的二阶偏导数。
拉普拉斯算子在物理学中有广泛的应用，特别是在描述与波动、热传导等相关的现象时。
它出现在波动方程、热传导方程、亥姆霍兹方程等偏微分方程中，用于描述物理量在空间中的分布和变化规律。
总结起来，算子是数学中一种将函数映射为另一个函数的操作，用于描述物理量或现象的性质和变化规律。
信号与系统 第3讲
一、经典法
( p + a n 1 p
n
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
p+3 , 且r (0) = 1, r ' (0) = 2, 例1：已知一系统 H ( p ) = 2 p + 3p+ 2 求系统零输入响应
r (t ) = 4e t 3e 2t t≥0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p) 分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母 解：第一步 求微分方程的特征根
m n m+n
m,n为任意整数 为任意整数
m , n同为正数或负数
微分和积分的次序不能交换
1 1 p 问： = p? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程： 一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) + a n 1 n 1 r ( t ) + ... + a 1 r (t ) + a0r (t ) n dt dt dt dm d m 1 d e ( t ) + b m 1 m 1 e ( t ) + ... + b 1 e ( t ) + b0 e ( t ) = bm m dt dt dt
rzi ( t ) = C 1 e
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
λ1t
+ C 2e
λ 2t
+ ... + C n e
λnt
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t
2
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
第六章 线性算子的表示方法
3．几种典型的核函数
3.1 线性系统的几种常用核函数形式 ①L 是冲击响应为 h(t , ) 的线性系统
(t , s) (t s)
( s, t ) ( s t )
(t , s) (t s)
(s, t ) (s t )
其核函数为：
M f span{xm1, xm2 xn }
结论： a. 值域空间的维数为 L 的秩 m，且 m n ； b. 当 m n 时，L 存在一个 n m 维的零空间。 c. 当 m=n 时，称 L 为非奇异的，存在逆映射 L1 。
2.2 线性泛函序列表示法 设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A、B 空间 的基与对偶基分别为
{x, Lx x A}
故非线性算子的表示十分困难。
线性算子的表示方法就简单得多， 而且实际使用中的算子大都是 线性算子，或可进行线性化近似。 如下图中的线性系统可用冲击响应来表示， 冲击响应是线性系统 的一种表示方法。
x (t) f t,) h(
y (t ) x( )h(t , )d
i 1 i 1 m m
其中 wi (i , L j ) j
j 1
n
2.3 矩阵表示法 与泛函序列表示法相同，设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A 与 B 的基分另为 {1 , 2 n } {1 ,2 n } 和 {1,2 m}
对 x(t ) 进行线性变换得到 y(t )
y (t ) Lx(t ) L u ( s ) (t , s )ds
s
u ( s ) L (t , s )ds
s s
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式1. 哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的重要概念，用于描述粒子的能量。
它通常表示为H，是一个算符，其本征态对应着系统的能量本征态。
哈密顿算子的一般形式为H = T + V，其中T表示系统的动能算子，V表示系统的势能算子。
哈密顿算子是一个厄米算子，即满足H† = H。
这意味着它的本征值是实数，而本征态之间是正交的。
2. 哈密顿算子的各种公式2.1 薛定谔方程：哈密顿算子在薛定谔方程中起到重要作用。
薛定谔方程的形式为HΨ = EΨ，其中Ψ是波函数，E是能量本征值。
这个方程描述了量子力学中粒子的行为。
2.2 哈密顿-雅可比方程：哈密顿算子可以与雅可比方程联系起来。
哈密顿-雅可比方程描述了系统的动力学行为。
它可以用于研究碰撞动力学、分子动力学等领域。
2.3 对易关系：哈密顿算子与动量算子和位置算子之间存在一些重要的对易关系。
例如，[H, p] = 0表示哈密顿算子与动量算子对易，[H, x] = 0表示哈密顿算子与位置算子对易。
这些对易关系对于量子力学中的许多问题具有重要意义。
2.4 幺正演化：通过哈密顿算子，可以得到一组演化算子U(t) = e^(-iHt)，描述系统随时间的演化。
这些演化算子是幺正的，保持了态矢量的范数，具有很多重要的性质。
2.5 能量本征值和本征态：哈密顿算子的本征值和本征态是量子力学中的重要概念。
本征值表示系统的能量，本征态表示对应于特定能量的态矢量。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统可能的能量值。
注意：上述内容仅提供了哈密顿算子的简要介绍和一些常见的公式，更详细的内容可以在量子力学相关的教材和论文中找到。
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
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一
阶跃函数
1. 定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
(t )
1
0
t
用 ( t ) 来描述开关的动作 t = 0合闸 e(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E(t )
u(t)
2. 单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1
0
t0
t
0 ( t t 0 ) (t t0 ) 1 ( t t 0 )
冲激信号的一种理解：
0
单位冲激平移
0
t0
t
（2）冲激函数的性质
1偶函数 2 积分 3 筛选
(t ) ( t )
例：在 t 0点连续的信号 f (t ) 强度为f(0)的冲激函数 则f (t ) ( t ) f (0) (t )
f (t ) (t )
f ( 0)
微分和积分的次序不能交换
1 1 问：p p ? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) an1 n1 r ( t ) ... a1 r ( t ) a0 r ( t ) n dt dt dt dm d m 1 d bm m e( t ) bm 1 m 1 e( t ) ... b1 e( t ) b0 e( t ) dt dt dt
例2:连续系统转移算子
r ''(t ) 4r '(t ) 3r (t ) 0
，
且r(0)=2, r (1)=0.42，求此系统的响应。
4 3 0
2
r (t ) C1et C2e3t
C1 C 2 2 C1e C 2e
1 3
0.42
r (t ) et e3t
r (t ) 4et 3e2t t 0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p)
解：第一步 求微分方程的特征根
2 3 2 0
1 1, 2 2
r (t ) C1et C2e2t
第二步 代入初始条件 C1+C2=1 - C1-2C2=2 C1=4 C2=-3
R
+
系统方程的算子表示法
+ uc -
C
dr (t) C .R r (t ) e(t ) dt
dr (t) r (t ) 1 e(t ) dt RC RC
e(t)
-
1 1 d n dn 1 t )r ( t ) e( t ) 微分算子：p ; p n ; ( )d ; ( p RC RC dt dt p
t 0
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
1 写解的形式：
rzi ( t ) C1e
若有k阶重根：
1t
C 2e
2 t
... C n e
n t
rzi ( t ) (C1 C 2 t C 3 t ... C k t
t
t1
t2
t
（3）
2 1 -1
f(t)
1
t
总结：(t) 1.冲激函数的图形表示方法：位置，强度。 2.该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；
t d 3. (t ) (t ) (t ) ( )d dt
f (t ) A (t t0 )
(A)
t0
t
4.冲激函数是一个偶函数(t)= (-t)
1 ...k 称 为 自 然 频 率
响应中包含 e k t叫 自 然 响 应
( n 1 )
( 0 ) 1
( n 1 )
C1 2
( n 1 )
C 2 ... n
Cn
第三节
奇异函数
1 熟练掌握阶跃函数及其表示信号的方法 2 **充分理解冲激函数的定义
3 熟练掌握冲激函数的性质
Qc i(t )dt =1
0
i ( t ) ( t 0); i ( t ) 0, ( t 0, t 0)
Qc i (t )dt
0 0
(1)冲激函数定义
•连续时间单位冲激信号: 持续时间无穷小，瞬间 幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号
(t ) t 0 0, t 0 (t ) 0, t 0 (t ) dt 1
第二节 零输入响应
熟练掌握零输入响应的经典法 零输入响应:系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初 始状态引起的响应。
一、经典法
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
p3 例1：已知一系统 H ( p) 2 , 且r (0) 1, r ' (0) 2, p 3p 2 求系统零输入响应
3.表示定义域 例：画出f(t-2)(t-2)的波形 f(t) 1 1 t 0 1 2 t
f(t-2) (t-2)
1
-1 0
二
冲激函数 R i(t)
研究此电路电流：
+ uc C=1F
+
(t )
-
uc (t ) (1 e
t RC
) ( t )
uc (0 ) 0
若R->0
t 1 RC i (t ) e (t ) R
转移算子:
H ( p)
1 r (t ) RC 1 e( t ) (p ) RC
r(t ) H ( p)e(t )
注意:上面只是微分方程的一种简单记法，并不是代数量
算子运算法则
1 : mp np (m n) p
2 : p m p n n同为正数或负数
3 筛选：f(t)在t0点连续
(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
例： 2 (t 8) (t 4)dt
2 (t 4) (t 8)dt
例1：写出所示信号的时域表达式f(t)，并画出f(t)的导数的波形。
f(t) （1）
4
f(t) （2）
A
4
5. (t)f(t)= (t)f(0), (t-t0)f(t)= (t- t0)f(t0)
6.
f (t ) (t )dt f (0)
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
作业：2. 4 2.5 2.7 2.8(a) 2.9(a,d) 2.10
d n dn 1 t 微分算子：p ; p n ; ( )d ; dt dt p
( p n a n1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) (bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 )e( t )
bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 H ( p) p n an1 p n1 ... a1 p a0
2
k 1
)e
1 t
C k 1e
k 1 t
... C n e
n t
2 利用初始条件，求待定系数
r (0) C1 C 2 ... C n r ' (0) 1C1 2C 2 ... nC n .......... .. r
( n 1 )
特征根：