浙江省七彩阳光联盟等比数列测试题
2024届浙江省七彩阳光联盟高三下学期开学考数学试题及答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,M N 是I 的非空子集，M N M ∪=，则（ ） A.M N ⊆ B.N M ⊆ C.I N M ⊆ D.I M N ⊆2.若()1i 1z −=（i 是复数单位），则z =（ ）D.23.6611x x x x ++−的展开式中含2x 项的系数为（ ）A.-30B.0C.15D.304.设,a b 为正实数，则“a b >”是“22log ab >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从()2105,15X N ∼，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ） A.23 B.46 C.159 D.317附：若()2,N ξµσ∼，则()0.6827,(22)0.9545P P µσξµσµσξµσ−<<+=−<<+=. 6.已知,a b 是异面直线，P 是空间任意一点，存在过P 的平面（ ） A.与,a b 都相交 B.与,a b 都平行 C.与,a b 都垂直 D.与a 平行，与b 垂直7.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB 的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A.1 B.34 C.12 D.388.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1221,1,2,N n n n n S a a a a a n n ++===+∈，则下列结论不正确的是（ ）A.1n n a a +是递增数列 B.{}221n n a a +−是递增数列 C.101023S < D.13n na a +< 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,2,0a b ==−，则下列结论正确的是（ ）A.||||a b =B.a 与b 的夹角为3π4C.()a b a +⊥D.b 在a 上的投影向量是()1,1−−10.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω=−>图象关于点π,04中心对称，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期3π B.π12f=C.()f x 的图象关于直线πx =对称D.()f x 的图象向左平移π4个单位长度后关于y 轴对称 11.已知函数()(),f x g x 定义域为R ，且()()()()()()()()()(),f x g y f y g x f x y g x g y f x f y g x y −=−−=−，()00g ≠，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 为奇函数 B.()g x 为偶函数C.若()()111f g +=，则()()1001001f g −=D.若()()111f g −=，则()()1001001f g += 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数()()π2cos sin2R 4f x x x x=−+∈的值域为__________. 14.已知正四面体ABCD 的边长为1,P 是空间一点，若222253PA PB PC PD +++=，则PA 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S . 16.（15分）如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAC ⊥平面,ABCD PAC 为等边三角形，AD ∥BC ，,22,BC CD BC CD AD M ⊥==是棱PA 的中点.（1）证明：PB MC ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元. （1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，双曲线222:1(0).2x C y x P −=>是1C 的右顶点，过P 作直线1l 分别交1C 和2C 于点,A C ，过P 作直线2l 分别交1C 和2C 于点,B D ，设12,l l 的斜率分别为12,k k .（1）若直线AB 过椭圆1C 的右焦点，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=−，求四边形ABCD 面积的最小值. 19.（17分）设实数0a >，已知函数()()2ln xf x e ax a ax =−+. （1）当1a =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDACADC8.提示：由题意易得0n a >，由221n n n a a a n ++=+得21121112n n n n n n n n a a a a na a a a a a ++++++>≥，所以A 正确；且1121212n n n n n n a a a a a a a −−−−=⋅> ，所以91010122211023S >+++=−= ，故C 错误；由上面知{}n a 也是递增数列，所以2222122n n n n n a a an a a ++++<+=，即22222221112n n n n n n a a a a n a a ++++−>−+>−，所以B 正确；由上得211112111222n n n n n n n n n n n n n a a a a n n na a a a a a ++++−−++=+<+=+⋅，累加得()1223351112322222n n n a a n n a a +−−<+++++≥ ，用错位相减法可求得()352323123183122222992n n n n n −−−+++++=−≥⋅ ， 所以12383123992n n n a n a +−+=+−<⋅，故D 正确. 二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案BCDBCABD11.提示：由()()()()()f x g y f y g x f x y −=−得()()()()()f y g x f x g y f y x −=−， 所以()()f y x f x y −=−−，故()f x 是奇函数，所以A 正确； 由()()()()()g x g y f x f y g x y −=−得()()()()()g y g x f y f x g y x −=−， 所以()()g y x g x y −=−，故()g x 是偶函数，所以B 正确；由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −−−=−−+()()()()f y g y f x g x =+⋅− ，令1y =得()()()()()()1111f x g x f g f x g x −−−=+−由()f x 是奇函数得()00f =，且()()()()220]0]0,00g f g g −=≠ ，解得()01g =当()()111f g +=时，()()()()100100001f g f g −=−=− ，所以C 错误. 由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −+−=−+−()()()()g y f y f x g x =−⋅+ ，令1y =得()()()()()()1111f x g x g f f x g x −+−=−+ 当()()111f g −=时，()()()()100100100(1)001f g f g +=−+=，所以D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32； 13.3,32−；； 15.提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD，正四面体ABCD，则 22222222PA PB PC PD PA PB PC PD +++=+++2222()()()()PO OA PO OB PO OC PO OD =+++++++()22424PO PO OA OB OC OD OA =+++++22235404423PO PO +++=，即PO = 所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA的最小值为OA PA −==.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得，()1121252a d a d +=+，所以，3d = 故，{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+−=−.（2）由21n n n n a b a b ++=得，123135n n n n a b n b a n ++−==+，所以()()11221112113103231n n n n n n n n n b b b a a b a b b b b a a a n n −−−+−−=⋅=⋅=+− ， 所以()()103231n b n n =+−.由()()101011323133132nb n n n n==− +−−+得1110115101111313232323232558nnS n n n n =−+−++−=−−= −+++ . 16.【解折】（1）在梯形ABCD 中，由AD ∥,,22BC BC CD BC CD AD ⊥==，得AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面,PAC AC AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC 又等边,PAC M 是棱PA 的中点，所以MC PA ⊥， 所以MC ⊥平面PAB ， 故PB MC ⊥.（2）方法一：取AC 中点O ，易知OP AC ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，建立如图空间直角坐标系O xyz −，设4BC =，则()C()(()0,,,0,,A P M D ，由（1）知平面PAB的一个法向量是0,CM =，又)(,0,DCCP == 设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，则000n DC n CP ⋅= ⇒ ⋅=+= ， 令1z =，可得()n =，所以cos ,n CM n CM CMn ⋅===故，平面PAB 与平面PCD.方法二：延长BA 和CD 交于E 点，连接PE ，则平面PAB ∩平面PCD PE =因为由（1）MC ⊥平面PAB 所以过M 作MF PE ⊥于F 点，连接FC ，又因为CM PE ⊥，PE CM ⊥所以PE ⊥面MCF ，所以PE CF ⊥则MFC ∠为平面PAB 与平面PCD 所成角的平面角.又因为设4BC =则4,1,PB MF MC===CF =cos MFC ∠=故平面PAB 与平面PCD. 17.【解析】（1）由题意知，随机变量X 的取值为1,2,3,4，则()()()()231212214281,2,3,433393327327P X P X P X P X ==×========×= ， 即X 的分布列为所以()124865123439272727E X =×+×+×+×=. （2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381 =.，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181−=. 记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为()()65656526003010183010188127819E Y E X =××−×=××−×=，故摊主每天利润的期望为26009元.18.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为1x my =+，与椭圆方程联立，得 ()22121222212210,,,22m my my y y y y m m −−=+=−=++++ ()()()212122121224222,1122m x x m y y x x my my m m −++=++==++=++，所以12k k ⋅（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线,AC BD 方程分别为12121x n y x n y n n =+=−，联立1x n y =+与2212x y +=得1y =2y =，联立1x n y =+与2212x y −=得3y =，同理4y =， 所以四边形ABCD面积为412S AC BD y =⋅=−−令2212t n n =+，易知221202,02n n <<<<，且121n n =−，则52,,2t S ∈，因为S 关于t 单调递增，所以min 64212825169S ×==−， 当S 取最小值1289时，122,1,1t n n ===−，经检验满足题意. 19.【解析】（1）当1a =时，()()12ln ,2xxf x e x x f x e x=−+−+′= ()()12,11f e f e =−=−′所以所求切线方程为()()()112y e x e =−−+−，即()11y e x =−−. （2）由()0f x ≥得，()ln xe ax ax a ax −≥−（*）令()()ln ,x ag x x a x g x x′−=−=，易知()g x 在()0,a 上单调递减，(),a ∞+上单调递增当(]0,a e ∈时，因为[)1,x ∞∈+，所以,x e e a ax a ≥≥≥， 所以不等式（*）等价于()()xg eg ax ≥，也等价于xe ax ≥，即xe a x≤，又()'210x x e x e x x − =≥，所以x e x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，x e e x ≥， 故(]0,a e ∈满足题意.当(),a e ∞∈+时，由xe x 在[)1,∞+上单调递增知，x e ax =在[)1,∞+上有唯一实数解，设为0x ，且()()000001,,,ln x x e ax ax x ∞∈+==. 所以()00002ln 0xf x e ax a ax =−+=， 所以要使()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则()00f x ′=，另一方面，()()020000001220x a x a a f x e a ax a x x x ′−=−+=−+=>，矛盾.故(),a e ∞∈+不满足题意， 综合得，a 的取值范围为0a e <≤.（2）解法二：先证明()10f ≥对任意0a >恒成立，设()()()12ln (0),ln 1g a f e a a a a g a a ==−+>′=−，当()0,a e ∈时，()()0,g a g a ′<在()0,e 上单调递减，(),a e ∞∈+时，()()0,g a g a ′>在(),e ∞+上单调递增，所以()()0g a g e ≥=，即()10f ≥对任意0a >恒成立. 又()2xa f x e a x =−+′，设()2xa h x e a x =−+，则()2x a h x e x=−′， 易知()h x ′单调递增，所以()()1h x h ′≥′. 当(]0,a e ∈时，()()10,0h e a h x =−≥′≥′，所以()h x 单调递增，()()()()10,f x h x h e a f x =≥=−≥′单调递增， 所以()()10f x f ≥≥，符合题意. 当(),a e ∞∈+时，同解法一.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}29,NA x x x =<∈∣，{}3,1,1,2,5,7B =--，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1,2- C.{}1,2 D.{}3,1,0,1,2,5,7--【答案】C 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，再由集合交集的运算法则得到结果.【详解】∵29x <，∴33x -<<，∴{}0,1,2A =∴{}1,2A B = .故选：C2.若函数()11f x x =-，则其定义域为（）A.(],4∞- B.(),4-∞ C.()(),11,4∞-⋃ D.()(],11,4-∞⋃【答案】D 【解析】【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，则其定义域为()(],11,4-∞⋃.故选：D.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.11y x =+ B.2y x = C.y x= D.22,0,0x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质和二次函数的性质逐一判断即可；【详解】对于A ，()()11y x y x x -=≠--+，所以不是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()22y x xx y x -=-==，为偶函数，故B 错误；对于C ，()()y x x x y x -=-==，为偶函数，故C 错误对于D ，定义域为R ，关于原点对称，当0x >时，2y x =；0x -<，2y x =-；所以()()y x y x =--，且由二次函数图像的性质可得函数y 为增函数，故D 正确；故选：D.4.已知命题p ：R x ∃∈，()210x -≤，命题q ：0x ∀>，2x x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】代入0x =或1并结合全称命题的否定判断即可；【详解】当 海f 时，()210x -≤成立，所以命题p 为真命题；当0x =或1时，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题；故选：C.5.已知)12fx +=+，则()f x 的解析式为（）A.223x x -+B.()2231x x x -+≥C.223x x -- D.()2231x x x --≥【答案】B 【解析】【分析】利用换元法即可得到答案.1t+=，则1t≥，且()21x t=-，则()()221223f t t t t=-+=-+，1t≥，则()()2231f x x x x=-+≥.故选：B.6.“0a b>>”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当0a b>>时，11a b>>，即0a b>>能推出11a b>，取1,2a b==，满足11a b>，而a b<，即11a b>不能推出0a b>>，所以“0a b>>”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A7.函数()()212,11,1a x a xf xx ax x⎧-+<=⎨++≥⎩，满足：对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，则a 的取值范围是（）A.11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,22⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】A【解析】【分析】利用函数为增函数且1x<的函数值不大于1x≥时的函数值列不等式组求解即可；【详解】因为对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，所以()f x在定义域上为递增函数，所以120121112a a a a a ⎧⎪->⎪-+≤++⎨⎪⎪-≤⎩，解得1122a -<≤，所以a 的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A.8.已知()f x 是二次函数，且对于任意的实数x 、y ，函数()f x 满足函数方程()()()2f x f y f x y xy +=+++，如果()512f =.下列选项错误的是（）A.()02f = B.()y f x x =+在()0,∞+上单调递增C.()y f x x =-为偶函数 D.()1y f x =+为偶函数【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B ，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C 、D ，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案.【详解】对于A ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令0x y ==，则()()()00002f f f +=++，解得()02f =，故A 正确；对于B ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令y x =-，则()()()202f x f x f x +-=-+，化简可得()()24f x f x x +-=-，设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则2224ax bx c ax bx c x +++-+=-，化简可得22224ax c x +=-，可得2124a c =-⎧⎨=⎩，所以()2122f x x bx =-++，由()151222f b =-++=，解得1b =，所以()2122f x x x =-++，由函数()21222y f x x x x =+=-++，则其对称轴为直线22122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =+在 ‸㐶上单调递增，在()2,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，由B 可知()2122y f x x x =-=-+，则其对称轴为00122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =-是偶函数，故C 正确；对于D ，由B 可知()()()221151112222y f x x x x =+=-++++=-+，则其对称轴为122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()1y f x =+为偶函数，故D 正确.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列计算正确的是（）A.11313-= B.()()2350a a a =>C.4π=-D.()0a a =>【答案】CD 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.【详解】对A ，11113331030-+=+=，故A 错误；对B ，()()2360a a a =>，故B 错误；对C ，4π=-，故C 正确；对D()1112360a a a ++==>，故D 正确.故选：CD.10.已知正数a ，b 满足22a b +=，下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为12B.21a b +的最小值为92C.224a b +的最小值为4D.4aa b+的最小值为4+【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.【详解】正数a ，b 满足22a b +=，对于A ，22a b =+≥12≤ab ，当且仅当21b a ==时取等号，A 正确；对于B ，2112112219(2)()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23b a ==时取等号，B 正确；对于C ，2222224(2)(2)(2)22a ab a b a b b ++-+=+≥=，当且仅当21b a ==时取等号，C 错误；对于D ，42(2)2444a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥++当且仅当2b aa b =，即a ==时取等号，D 正确.故选：ABD11.已知20ax bx c ++<的解集为{0}xx αβ<<<∣，则()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭的解可以是（）A.1,∞β⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,βα⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,0α⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集得到,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可；【详解】由题意可得0a >，0c >，且,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，因为0αβ<<，所以110ab>>，则,b c a aαβαβ+=-=，又()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭等价于()21110ax c bg x x x a x a a 骣骣-琪琪=++<琪琪桫桫，等价于()()21110ax g x x x a xab a b 骣-轾琪=-++<琪臌桫，等价于()()()11110ax g x x x a xa b 骣-琪=--<琪桫，等价于()()()()11110g x x ax x x a a b =---<，所以不等式的解为11x βα<<或10x a<<，故选：BD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数()()21mf x m m x =--在第一象限单调递增，则m =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出2m =或1-，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案.【详解】因为()()21mf x m m x =--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1-，当2m =时，()2f x x =，在(0,)+∞上单调递增，满足题意，当1m =-时，()1f x x -=，在(0,)+∞上单调递减，不合要求，舍去；故答案为：213.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x =__________.【答案】32x x -+【解析】【分析】根据偶函数特点()()f x f x =-即可得到答案.【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()3322f x f x x x x x =-=---=-+.故答案为：32x x -+.14.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =，一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有()()()()card =card +card -card A B A B A B .例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合A 表示田径运动会参赛的学生，用集合B 表示球类运动会参赛的学生，就有A ={xx ∣是田径运动会参赛的学生}，B ={x x ∣是球类运动会参赛的学生}，那么A B = {x x ∣是两次运动会都参赛的学生}，A B = {x x ∣是所有参赛的学生}，则()()()()card card card card 812317A B A B A B =+-=+-= ，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合{}1,2,3,,300A = ，集合{},3,N B xx A x k k =∈=∈∣，集合{},4,N C x x A x k k =∈=∈∣，集合{},5,N D x x A x k k =∈=∈∣，则()card B C D = __________.【答案】180【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】依题意，card()100,card()75,card()60B C d ===，而card()25,card()20,card()15B C B D C D === ，card()5B C D = ，所以card()card()card()card()card()card()card()B C B C d B D D C B D C ++--=- card()10075602520155180B C D +=++---+= .故答案为：180四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{12}A xx =-<<∣，{22}B x a x a =-<<+∣.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -<<；（2）3a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用并集的定义直接求解.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系求出a 的范围.【小问1详解】当1a =时，{13}B xx ∣=<<，而{12}A x x =-<<∣，所以{|13}A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，因此2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥.16.已知函数()2x b f x x a +=+是定义在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数且()113f =-.（1）求()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t 的不等式()()1340f t f t -+-->.【答案】（1）2()4xf x x =-（2）答案及解析（3）41{|}34t t -<<-【解析】【分析】（1）对于奇函数，有(0)0f =，再结合1(1)3f =-，可以求出函数中的参数a 和b ，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量1x ，2x ，然后作差12()()f x f x -，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式(1)(34)0f t f t -+-->即可.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，定义域为(2,2b a--，所以(0)0f =，即0b a =，所以0b =.又因为1(1)3f =-，1(1)1b f a+=+，把0b =代入得1113a =-+，解得4a =-.所以2()4xf x x =-，经验证此时为奇函数.【小问2详解】()f x 在(2,2)-上单调递减.理由如下：设1222x x -<<<.221212211222221212(4)(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----2212121212212122221212(4)(4)()4()(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x x x x x x x x x ----+-==----21122212()(4)(4)(4)x x x x x x -+=--因为1222x x -<<<，所以210x x ->，214x <，224x <，1240x x +>，2212(4)(4)0x x -->.所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减.【小问3详解】解关于t 的不等式(1)(34)0f t f t -+-->，因为()f x 是奇函数，所以(1)(34)0f t f t -+-->可化为(1)(34)(34)f t f t f t ->---=+.又因为()f x 在(2,2)-上单调递减，所以2122342134t t t t -<-<⎧⎪-<+<⎨⎪-<+⎩，解212t -<-<得13t -<<.解2342t -<+<得5144t -<<-.解134t t -<+得43t >-.综上，取交集得1{|1}4t t -<<-.17.已知函数()2122a f x x x ab a -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，0a ≠，0b ≠.（1）当1b =，且0a <时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若2a >，2b >，若()10f =，求a b +的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】【分析】解含参数的一元二次不等式，分102a -<<和102a -<<和12a =-求解即可；代入 f 海 ，再变形为()()223a b --=，结合基本不等式求解即可；【小问1详解】当1b =，且0a <时，不等式()0f x <即21220a x x a a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，等价于()21220ax a x +-->，等价于()()120ax x +->当12a ->即102a -<<时，12x a <<-；当12a -<即12a <-时，12x a -<<；当12a =-时，12a -=，解集为∅；所以不等式的解集为：当102a -<<时，1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当12a <-时，1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12a =-时，解集为∅；【小问2详解】()122101a f ab a -==+-，即1220ab a b +--=，即()()223a b --=因为2a >，2b >，所以322b a =+-，所以332244422a b a a a a +=++=-++≥+=+--，当且仅当322a a -=-即2a b ==+所以最小值为4+.18.已知函数()2425a f x x x=-+-，()2g x x ax a =-+.（1）当1a =时，若[]1,2x ∈，求()f x 的最大值；（2）若[]1,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若[]1,2x ∀∈，使得()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5-；（2）()2min 1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；（3）[)5,+∞【解析】【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论a 的范围结合二次函数的性质计算即可；（3）令2t x x =+并分离参数将不等式转化为2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，利用对勾函数的性质计算即可.【小问1详解】当()224221191524a f x x x x ⎛⎫=⇒=-+-=--- ⎪⎝⎭，令2t x =，即()211924f x t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由[][]1,21,2x t ∈⇒∈，则()2max1191524f x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】易知()2224a a g x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，对称轴为2a x =，若12a <，即2a <时，()g x 在[]1,2上单调递增，则()()min 11g x g ==；若22a >，即4a >时，()g x 在[]1,2上单调递减，则()()min 24g x g a ==-；若212a ≥≥，即42a ≥≥时，()g x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()2min 24a a g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；综上()2min1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；【小问3详解】由()()224250f x g x x a x a x x ⎛⎫≥⇒+-+++≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上恒成立，令2t x x=+，由对勾函数的性质知t在⎡⎣时单调递减，2⎤⎦上单调递增，易得t ⎡⎤∈⎣⎦，则222242225110x a x a x a x a t at a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++=+-+++=-++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分离参数得211t a t +≥-在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令2121211t y y t t t +=⇒=-++--，t ⎡⎤∈⎣⎦，由对勾函数的性质知y在t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，即2max 31531y +==-，所以5a ≥，即a 的取值范围[)5,+∞.【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函数进行计算，换元需注意所换元的范围即可.19.对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点；若()()00ff x x =，则称0x 为()f x 的稳定点；若0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠则称0x 为()f x 的周期点.已知函数()21f x x a =+-，()()221g x x a x =++-.（1）若2a =，求()f x 的不动点；（2）若2a =，求()g x 的稳定点；（3）若()()y g x f x =-存在周期点，求a 的取值范围.【答案】（1）-1（2）3132x -=，1x =-，4x =-（3）3a <-或1a >【解析】【分析】（1）由函数新定义求出即可；（2）由函数新定义先求不动点，再求稳定点即可；（3）由函数新定义，先求不动点，再由不动点一定是稳定点得到方程()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，然后再由存在周期点的情况得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零，再分类讨论即可；【小问1详解】2a =时，()21f x x =+，由题意可得21x x +=，即1x =-，所以()f x 的不动点为-1；【小问2详解】2a =时，()241g x x x =+-，先求不动点()241g x x x x =+-=，因为不动点一定是稳定点，故2310x x +-=，3132x -±∴=，则()()()()222414411g g x x x x x x =+-++--=()()222314311x x x x x x x ⇒+-+++-+-=；()()()222223123143141x x x x x x x x x x ∴+-+++-++-+-=，化简可得()()2231540x x x x +-++=，由于2310x x +-=的解是不动点，故2540x x ++=的解，即1x =-或4x =-为周期点，32x -±∴=，1x =-，4x =-为稳定点.【小问3详解】()()()()222121y g x f x x a x x a x ax a =-=++--+-=+-，令2x ax a x +-=，则()210x a x a +--=的解1x =和x a =为不动点，同时不动点一定是稳定点，则()()222x ax aa x ax a a x +-++--=，()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤∴+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，化简可得()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，由于()210x a x a +--=的解是不动点，故()()y g x f x =-存在周期点的情况为：()2110x a x +++=有解，且至少有一个解不是()210x a x a +--=的解，故()22Δ14230a a a =+-=+-≥，解得3a ≤-或1a ≥，同时，当1x =是()2110x a x +++=的解时，3a =-，此时()2110x a x +++=的解只有1x =，与题意不符合，故舍去；当x a =-是()2110x a x +++=的解时，1a =，此时()2110x a x +++=的解只有1x a =-=-，与题意不符合，故舍去；综上，3a <-或1a >.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于求稳定点的时候先求不动点；第三问关键在于由不动点一定是稳定点得到方程()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，再由周期点的定义得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零.。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学参考答案及解析
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学参考答案及解析一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.【答案】A【解析】因为A={-2,T,0,1,2},其中-2EB,-1EB,所以AC\B=—2,—1,故选 A.2.【答案】D【解析】由题，2=号,故团=舄=樽=籍所以z3=|z|2=§故选D.3.【答案】C【解析】((Q+b)・b=x+l+%(%+1)=必+2*+1=0,解得x=-1,故选 C.4.【答案】C【解析】由题，g(x)=sin(2x+2x%-^)=sin2的所以g(制)=sin：=§故选C.5.【答案】A【解析】设A,B,C三人的体质指数分别为a,b,c,则a+b+c=3X20=60,故5人体质指数的平均值M j(6。
+18+22)=20,又：[(a—20)2+(b—20)2+(b—20)2]=3,所以(q—20)2+(b—20)2+0—20)2=9,所以5人的体质指数的方差为?[(Q—20)2+(b—20)2+0—20)2+(18 -20)2+(22-20)2]=p故选 A.6.【答案】B【解析】设人31，无)伊3叩2),焦点F(0,1),则y Q=么号，由\AF\=无+1,\BF\=y2+l f则\AF \+\BF\^y1+y2+2>\AB\^6,所以=峥N2,当A,F,B三点共线时，yflZ得最小值2.微信公众号：浙江省高中数学故选B.7.【答案】C【解析】当有1个红球时，有侃=8种；当有2个红球时，有能=21种；当有3个红球时，有«=20种；当有4个红球时，有建=5种；当有5个及以上个红球时，不合题意，所以满足条件的不同排列方法的总数之和为54.故选C.8.【答案】B【解析】由V%球l,f(2—二)=—f(x)得f(—x+1)=—f(x+1),所以f(x+1)为奇函数，令g(x)= /'3+1)=[?弋2：)：2二F2，次当x>0时,-%<0,^(-%)=aZn(2x)-bx+b+c=-g(aln(-2x)+bx+b+c,x<0,(%)=—2ln(2x)—2x—2,所以a——2,b—2,b+c——2…即c=-4,所以abc=16,故选 B.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.【答案】ABD【解析】12。
七彩阳光联盟高三试卷数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)的图像关于直线x = 1对称，则f(x)的图像的对称轴是：A. x = 1B. y = 1C. x = 0D. y = 02. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为：A. 29B. 28C. 27D. 263. 已知复数z = 1 + i，若|z - 2i| = √5，则z的值是：A. 1 + 2iB. 2 + iC. 2 - iD. 1 - 2i4. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的图像与x轴的交点个数为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若等比数列{bn}中，b1 = 1，公比q = 2，则第n项bn的值为：A. 2^nB. 2^n - 1C. 2^n + 1D. 2^n - 26. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的正弦值为：A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/47. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上单调递增，则f(0)的值为：A. -1B. 0C. 1D. 28. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10的值为：A. 90B. 100C. 110D. 1209. 函数f(x) = log2(x + 1)的图像在y轴的左侧是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 若等比数列{bn}中，b1 = 1，公比q = -2，则第n项bn的值为：A. (-2)^nB. (-2)^n + 1C. (-2)^n - 1D. (-2)^n - 2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(x)的图像与x轴的交点坐标为________。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考高三数学学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合M={x|0<x<4}，N={x|−x2+2x+3>0}，则M∪N=（）A. (−∞,−1)∪(0,+∞)B. (0,3)C. (−3,4)D. (−1,4)2.己知i是虚数单位，复数a−3ii（a∈R）的虚部为1，则复数z=2+ai的模为（）A.√6B.√5C.√29D. 33.己知实数x，y满足约束条件{x≥1x−2y+1≤0x+y−5≤0，则目标函数z=−2x+y的最小值是（）A.−4B.−1C. 2D.−54.己知m、l是不同的直线，α、β是不同的平面，且m⊥α，l⊂β，则“α⊥β”是“m//l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，若棱长为a的正方体的外接球表面积为12π，则该几何体的体积为（）A.103B. 10 C.143D.2636.函数f(x)=x a∙sinxa|x|−1的图像不可能是（）A. B. C. D.7.设O为坐标原点，直线y=b与双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于A，B两点，若∆AOB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值是（）A. 16B. 8C. 4D. 28.十三世纪意大利数学家列昂那多斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：a 1=1，a 2=1，a n =a n−1+a n−2（n ≥3，n ∈N ∗），记其前n 项和S n ，若a 2020=m （m 为常数），则S 2018的值为 （ ）A. m −2B. m −1C. mD. m +19.在正三棱台ABC −A 1B 1C 1中，AB =3AA 1=32A 1B 1=6，D 是BC 的中点，设A 1D 与BC 、BB 1、BC 所成角分别为α，β，γ，则 （ ）A. α<γ<βB. α<β<γC. β<γ<αD. γ<β<α 10.己知实数x ，y 满足x 2+y 2=1，0<x <1，0<y <1，当4x +1y 取最小值时，x y 的值为 （ ）A. √43B. √33C. √3D. 1 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 设等差数列{a n }的公差为非零常数d ，且a 1=2，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则公差d =_______，a n =________．12. 圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的半径为________，若直线y =kx +1与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是________．13. 二项式(x √x 3)7的展开式中，各项系数和为________，含x 3项的系数是________． 14. 在∆ABC 中，acosC +(c −2b )cosA =0，b =2，π4≤B ≤π3，则A =________，边长c 的取值范围为__________．16. 己知函数f (x )=sin 2x +12|sinx −a |+b 2（a ，b ∈R ），若对于任意x ∈R ，均有|f (x )|≤1，则a +b 的最大值是______．17. 己知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，若存在m ，n ∈R ，使得mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为600，且|(mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−(nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.己知ω>0，a =(√3sinωx,−cosωx)，b ⃗ =(cosωx,cosωx)，f (x )=a ∙b ⃗ ，x 1，x 2是y =f (x )−12的其中两个零点，且|x 1−x 2|min =π．（I ）求f(x)的单调递增区间；（II ）若α∈(0,π2)，f (α2)=110，求sin2α的值．19.如图1，在矩形ABCD 中，BC =2AB =2，E 是AD 中点，将∆CDE 沿直线CE 翻折到∆CPE 的位置，使得PB =√3，如图2．（I ）求证：面PCE ⊥面ABCE ；（II ）求PC 与面ABP 所成角的正弦值．20.己知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n −(n −2)2，n ∈N ∗．（I ）求证：数列{a n +2n −1}是等比数列，并求{a n }的通项公式；（II ）设{1a n }的前n 项和为T n ，求证：T n <83，n ∈N ∗．21.己知椭圆C 1：y 22+x 2=1，抛物线C 2：y 2=2px （p >0），点A(−1,0)，斜率为k 的直线l 1交抛物线于B 、C 两点，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，经过点C 的斜率为−12k 的直线l 2与椭圆相交于P 、Q 两点． （I ）若抛物线的准线经过点A ，求抛物线的标准方程和焦点坐标；（II ）是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由．22.己知函数f (x )=e x −ax −1．（I ）讨论函数g (x )=f(x)x 在其定义域内的单调性；（II ）若f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，设ℎ(x )=e x f(x)，证明：ℎ(x)在R 上存在唯一的极大值点t ，且ℎ(t )<316．。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x x =-<<，集合{1,0,1,2}B =-，则AB =（ ） A ．{}13x x -<<B ．{}13x x -≤<C ．{}13x x -<≤D ．{}13x x -≤≤ 2．已知a R ∈，若()21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 3．已知等比数列{}1n a +，10a =，53a =，则3a =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．14．若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2D ．35．已知空间中的三条不同直线l ，m ，n .则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0a >，0b >1=，则（ ）A ．b a a b ≥B ．b a a b ≤C ．12a b a b +>D ．1a b a b +< 7．已知(1,3)A -，(2,1)B -两点到直线l 的距离分别是2和3，则满足条件的直线l 共有（ ）条.A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2012(21)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则下列命题正确的是（ ）A ．当3n =时，不存在12k ≤≤，使得11k k k a a a -++≤B ．当3n =时，对任意12k ≤≤，都有11k k k a a a -++≤C ．当4n =时，必存在13k ≤≤，使得11k k k a a a -++>D ．当4n =时，对任意13k ≤≤，都有11k k k a a a -++>9．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（ ）（1）a c b d +>+，（2）ac bd >，（3）32a b >，（4）22294a c b +>A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．设集合S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ） A ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素 B ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素二、双空题11．已知log lg100a b =，若10b =，则a =________，若2b a =+，则a =________. 12．已知2sin cos 1θθ=-，则sin θ=________，sin 2θ=________.13．已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________.14．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y +-≤⎧⎨--≥⎩，则3z y x =-的最大值是________，22x y +的最小值是________.三、填空题15．已知点A ，直线l 与圆224x y +=交于M ，N 两点，若AMN 的垂心恰为原点O ，则直线l 的方程是________.16．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中黄球在第ξ次被首次取到（0ξ=表示黄球未被取到），则()E ξ=________.17．已知边长为2的等边ABC ，点M 、N 分别为边AB 、AC 所在直线上的点，且满足1MN =，则BN CM ⋅的取值范围是________.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知cos a B =sin 3b A =.（1）求角B 的大小；（2）求22sin cos A C +的取值范围.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面DBC ，60ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒，AC =AD .（1）证明：AD BC ⊥；（2）若AD =，求直线DE 与平面DBC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，()*12n n n nb c c n N b ++=⋅∈. （1）若{}n a 、{}n b 为等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若{}n c 为等差数列，公差0d >，证明：233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--，*n N ∈，3n ≥. 21．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，且满足4ab =，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交x 轴于点M .（1）若点(2,1)A ，求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）若椭圆1C点A 的纵坐标记为t ，若存在直线l ，使A 为线段BM 的中点，求t 的最大值.22．若函数21()(1)ln 2F x x a x x x b =+--+，(),a b ∈R 既有极大值点1x ，又有极小值点2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()2121(1)214F x F x a b +<--++.参考答案1．B【分析】由集合并集的运算即可得解.【详解】 因为{}13A x x =-<<，{1,0,1,2}B =-， 所以{}13A B x x ⋃=-≤<.故选：B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．C【分析】根据复数的分类和性质可得答案.【详解】若()21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数， 则21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-，故选：C.【点睛】本题考查复数的分类和性质，属于基础题.3．D【分析】根据31a +是11a +和51a +的等比中项列方程，注意31a +与51a +同号.【详解】解：由题意得：()()()23151114a a a +=+⋅+=，由()231110a a q +=+⋅>，得312a +=，故31a =， 故选：D.【点睛】考查等比数列的有关计算，基础题.4．A【分析】根据题意可得a b =e =即可求解. 【详解】解析：由已知得：a b =3b a =，∴e == 故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.5．A【分析】由平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】若空间中的三条不同直线l ，m ，n 两两垂直，则三条直线平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，故l ，m ，n 一定不共面；反之若l ，m ，n 不共面，可以两两成60度角，不一定两两垂直，所以，空间中的三条不同直线l ，m ，n .则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题借助空间的直线位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．6．C【分析】由题意可得01a <<，01b <<，结合指数函数的图象与性质可判断A 、B ；由指数函数的图象与性质结合基本不等式可判断C ；举出反例可判断D.【详解】由题意01a <<，01b <<，对于A ，当a b <时，b a a a a b <<，故A 错误；对于B ，当a b >时，b a a a a b >>，故B 错误；对于C ，由a a a >，b b b >，222a b ⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以12a b +≥，12a b a b a b +>+≥，故C 正确；对于D ，取14a b ==，可得1a b a b +=>，故D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.7．C【分析】由5AB ==，直线l 可以看成分别以(1,3)A -，(2,1)B -两点为圆心，2和3为半径的圆的切线，判断两圆的位置关系即可.【详解】解析：分别以(1,3)A -，(2,1)B -为圆心，半径分别是2和3画圆，5AB ==，两圆位置关系是外切，公切线有三条，故选：C.【点晴】此题的关键是发现直线l 和两点之间的关系，充分体现了数形结合思想的强大之处. 8．C【分析】通过举反例的方法判断出A B D 错误，对于C ：当4n =时，写出4(21)x -的展开式即可判断.【详解】当3n =时，323(21)16128x x x x -=-+-+，123a a a +<，A 错；012a a a +>，B 错；当4n =时，4234(21)18243216x x x x x -=-+-+，123a a a +>，C 对；012a a a +>，D 错；故选：C .【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题.9．B【分析】对32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠求导，可得1-和0x 是()0f x '=的两个根，作出()'f x 图象，可知0a <，利用(0)00f c '>⇒>、(1)0f -<，即可判断（1）， 02(1)03b x a+-=-<，因为0a <，可知0b <，由于(0)0f d =<，即得0ac <，0bd > ，可判断（2）， 02(1)3b x a +-=-，可得02103b x a =->，结合0a <，可得32a b <，可判断（3）， 222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，结合0ac <，可判断（4）.【详解】2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由()f x 的图象知：()0f x '=的两个根为1-和0x ， ()'f x 图象为开口向下的抛物线，所以0a <，又(0)00f c '>⇒>，(1)00f a b c d a c b d -<⇒-+-+<⇒+>+，（1）正确；222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，又0ac <，故（4）正确；又2()32f x ax bx c '=++，02(1)3b x a +-=-，若001x <<，则203b a-<，又0a <，故0b <，进一步，由(0)f d =知0d <，则（2）不正确； 又由02(1)3b x a +-=-得：0213b x a =-，又00x >，故2103b a->，又0a <，故32a b <，则（3）不正确；综上，（1）、（4）正确，故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数和图象研究函数的系数之间的关系，属于中档题.10．B【分析】根据定义逐一分析集合中元素特征，即可作出判断.【详解】若S 有2个元素，不妨设{},S a b =，因为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆由②知,x y S y x S -∈-∈,因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{},S a a =-； 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由得：m S -∈，则m a =±，{}0,T a =-或{}0,T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{}0,,T m n =，m ，n ，m -，n -，m n -，n m S -∈，由于m n ≠，0m ≠，0n ≠，所以m m ≠-，n n ≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这3个元素若m n ≠-，则 集合S 中至少有,,m n n -这3个元素都与集合S 中只有2个元素矛盾；综上，{}0,,S T a a =-，故B 正确；若S 有3个元素，不妨设{},,S a b c =，其中a b c <<；则{},,a b b c c a T +++⊆，所以c a -，c b -，b a -，a c -，b c -，a b S -∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{},,S a b c =矛盾，排除C 、D.故选：B【点睛】本题考查集合新定义，考查分析理解判断能力，属中档题.11 2；【分析】由log lg100a b =得：2b a =，代入计算即可.【详解】lg1002=，由log lg100a b =得：2b a =，0a >且1a ≠，若10b =，则a =，若2b a =+，则220a a --=，即2a =，；2.【点晴】此题考对指互化，属于简单题.12．0 0【分析】根据平方数恒为非负数以及余弦函数是有界的函数可得cos 1θ=，sin 0θ=，然后可得角度θ，最后可得结果.【详解】2sin cos 10cos 1θθθ=-≥⇒≥，故cos 1θ=，sin 0θ=，故2k θπ=，k Z ∈，∴sin 02θ=.故答案为：0，0【点睛】本题考查三角函数的有界性，审清题意，细心计算，属基础题.13．2【分析】根据三视图还原几何体的直观图，观察直观图即可得.【详解】此几何体的直观图如图所示，其中，SD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，由图可知，此几何体最短棱长为2AB SD ==,最长棱长为SB ，由三视图得：SB ===故答案为：2；【点睛】此题考由三视图还原几何体的直观图，属于简单题.14．4-92【分析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义，即可得出结论.【详解】根据线性约束条件作出可行域如图：由3z y x =-得1133y x z =+，作0l ：13y x =，将0l 沿着可行域的方向平移，过A 时，截距最大，即z 最大，由31030x y x y +-=⎧⎨--=⎩得：51,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以max 153422z ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，22x y +最小为原点到30x y --==， 所以22x y +的最小值是92， 故答案为：4-；92 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是转化为几何意义，属于中档题.1520y ++=；【分析】由垂心恰为原点O ，也为圆心，知AMN 为正三角形，直线l 的斜率与OA 斜率互为负倒数，由32AH AO =易求,()H x y ，则直线l 的方程易求. 【详解】解：OA k =，∵AMN 的垂心恰为原点O ，∴直线l 的斜率k =直线OA 与直线l 的交点记为H ，结合圆的垂径定理知AMN 为等边三角形，设,()H x y ，故()()33,1233,12AH x y AO ==---=-，得122H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线l 20y ++=20y ++=.【点睛】以直线和圆的位置关系为载体，结合三角形的性质，考查求直线方程，基础题.16．56【分析】ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出()E ξ.【详解】ξ的可能取值为0，1，2， 1111(0)4433P ξ==+⋅=，111211(2)434326P ξ==⋅+⋅⋅=， 故1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==； 所以1115()0123266E ξ=⋅+⋅+⋅=. 故答案为：56 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的期望，属于基础题.17．313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】设AN AC λ=，AM AB μ=，求出MN ，又1MN =，得到,λμ的关系式，再求出BN CM ⋅，令x y x y λμ=+⎧⎨=-⎩，得到2811836BN CM x x ⋅=-+，求出对称轴，得到函数的单调性，即可得出结论.【详解】设AN AC λ=，AM AB μ=，则MN AC AB λμ=-，又1MN =，所以22()1MN AC AB λμ=-= 化简得：2214λμλμ+-⋅=， 另一方面，()()24()2BN CM AC AB AB AC λμλμλμ⋅=-⋅-=-++， 因为2214λμλμ+-⋅=， 令x y x y λμ=+⎧⎨=-⎩， 则22134x y +=， ()2224()2282BN CM x y x λμλμ⋅=-++=--+， 将221123x y =-代入得：2811836BN CM x x ⋅=-+， 对称轴32x =， 由22111012322x y x =-≥⇒-≤≤， 进一步知：2811836BN CM x x ⋅=-+在1122x -≤≤上单调递减， 所以BN CM ⋅的取值范围是313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了平面数量积的计算，考查向量数量积公式的应用，属于中档题.18．（1）3B π=；（2）17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据正弦定理以及sin 3b A =可得sin 3a B =，结合cos a B =tan B =，3B π=；（2）将22sin cos A C +32cos 214C C ++，根据锐角三角形可得62C ππ<<，可得sin(2)3C π<+<22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）由正弦定理知：sin sin 3b A a B ==①又由已知条件：cos a B =由①②知：tan B =因为0B π<<，∴3B π=.（2）221cos 21cos 2sin cos 22A C A C -++=+ 11cos 2cos 2122C A =-+ 11cos 2cos 21223C C ππ⎡⎤⎛⎫=---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 112cos 2cos 21223C C π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 1122cos 2(cos cos 2sin sin 2)12233C C C ππ=--+32cos 214C C =++213C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. ∵ABC 是锐角三角形，所以022032C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，∴62C ππ<<， ∴242333C πππ<+<，所以sin(2)3C π<+<，∴2123C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了降幂公式，考查了两角和的余弦公式，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由余弦定理知求出DC =，从而可得AD DC ⊥，再利用面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DBC ，进而可得AD BC ⊥.（2）方法一：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，由（1）可得ABD ∠为所求角，在ABC 中，利用余弦定理可得AB =，在ADB △中即可求解；方法二：以A 点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】（1）证明：设AD =，则AC 2a =，又45ACD ∠=︒，由余弦定理知：DC =.由勾股定理的逆定理知：AD DC ⊥，又平面ACFD ⊥平面DBC ，平面ACFD 平面DBC DC =，AD ⊂平面ACFD ，∴AD ⊥平面DBC ，∵BC ⊂平面DBC ，∴AD BC ⊥.（2）方法一：解：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，由（1）知∴AD ⊥平面DBC ，∴ABD ∠为所求角.AD =，则BC a =，又AC 2a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =， ∴在直角三角形ADB中，sin AD ABD AB ∠===， （2）方法二：解：令AD =，则BC a =，又AC 2a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =， ∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，∴AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，∴BD a ==，如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系(0,2,0)C a，3,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， 设点D 为(),,x y z，则2222222222222222(2)2322AD x y z a AC x y a z a DB x a y a z a ⎧⎪⎪=++=⎪=+-+=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=-+-+= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩得到：,,33D a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴31,,022CB a a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，∴3,,33CD a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z=11111310223033n CB ay n CD ax ayaz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 得到(1,3,n =，又33,,022AB a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴||23sin 3||||32AB n a AB n a θ⋅===. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、定义法求线面角、空间向量法求线面角，考查了考生的计算能力，属于基础题.20．（1）12n na ；14n nb -=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由121c a a =-可求出22a =，进而求出{}n a 的公比，得出{}n a 的通项公式，由2311b c c b =⋅可求出322114c b q b c ===，得出{}n b 的通项公式； （2）由()*12n n n n b c c n N b ++=⋅∈得12n n n n b c b c ++=，利用累乘法求出12n n n c c b c +=，进而得出211n n n c b c c +=，再利用裂项相消法求出2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，后用放缩法得到22232121111111n n c c b b b d c c d c d+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭，再利用1n n n c a a +=-，用累加法求出n a ，证明31113n a a n d+⋅⋅⋅+≥--即可. 【详解】解：（1）∵1n n n c a a +=-，令1n =，∴121c a a =-，∴22a =， 由{}n a 为等比数列，∴2112a q a ==， ∴11112n n n a a q --==，令2n =，∴232422c a a =-=-=， 令3n =，∴343844c a a =-=-=， ∵12n n n nb c c b ++=⋅，令1n =， ∵2311b c c b =⋅，∴322114c bq b c ===， ∴11124n n n b b q --==.（2）证明：12n n n nb c c b ++=⋅，∴12n n n n b cb c ++=，令1n =，∴3211c b b c =； 令 2n =，∴3422b c b c =；∴111n n n n b c b c +--=， 将以上各式相乘，得：12n n n c c b c +=， ∴2211111n n n n n c c b c c d c c ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭， ∵11c =公差0d >，∴10n c +>，∴22232121111111n n c c b b b d c c d c d+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭，∵1n n n c a a +=-，且1(1)n c n d =+-，∴()()12111211(1)(2)112n n n n n n n a a a a a a c c c a n d -----=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=++++-+=∴(2)(1)2n n n a n d --=+，显然3n ≥时，0n a n ->，∴33111133n a a n a d+⋅⋅⋅+≥=---， ∴3n ≥，n *∈N 时，233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--. 【点晴】此题考数列求和方法的综合运用，关键是合理利用数列{}n c ，找到{}n a 、{}n b 与{}n c 的关系，运用放缩法完成证明，属于难题.21．（1）1C 的方程为：22182x y +=；22:2x C y =；（2）2. 【分析】（1）点(2,1)A 代入椭圆1C 与4ab =联解及抛物线2C 的方程得解； （2）由椭圆1C4ab =联解求得椭圆方程，设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，与椭圆1C 方程联解及A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ，得22B A y y t ==，再利用根与系数关系化简得2222642(36)(4)t λλλ=++再分离变量得解.【详解】解：（1）点(2,1)A 在抛物线22:2(0)C y px p =>上，代入得14p =，14p =，故抛物线22:2x C y =.点(2,1)A 在椭圆1C 上，故22411a b+=，又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=.（2）椭圆1C的离心率为2，故2c a =，又c a =12b a =.又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=.设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，联立椭圆1C 方程得：22182x y m x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入化简得：222(4)280y m y m λλ+++-=，224A B m y y λλ+=-+，2284A B m y y λ-⋅=+，222222Δ44(4)(8)6432160m m m λλλ=-+-=+->，由于A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ， 故22B A y y t ==，得：2234m t λλ=-+，222824m t λ-=+，消t 得：22272(4)36m λλ+=+，代入222824m t λ-=+得：2222642(36)(4)t λλλ=++， 又222226464641144(36)(4)402440λλλλλ=≤=+++++， 所以212t t ≤⇒的最大值为2，当212λ=，m =时，t 取到最大值. 【点睛】本题考查圆锥曲线方程及直线与圆锥曲线位置关系求参数最值，属于较难题. 22．（1）1a >；（2）证明见解析. 【分析】（1）两次求导可知()F x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，从而判断(1)0F '<，即可得出a 的范围；（2）不等式等价于()()2221212(1)2a x x x x -++-<-，根据极值点关系可得只需证明22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>即可，通过证明∆<0即可.【详解】 （1）()ln F x x x a =-'-，11()1x F x x x-''∴=-= ()F x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，且当0x →时，()F x ∞'→+，当x →+∞时，()F x ∞'→+， ∴(1)0F '<时()F x 有两个极值点，10a ∴-<，解得1a >.（2）要证()()2121(1)214F x F x a b +<--++， 即证()()()22121211221(1)ln ln 22x x a x x x x x x b ++-+-++21(1)214a b <--++， 即证()()()222221212112211(1)(1)124x x a x x x ax x ax a ++-+--+-<--+， 即证()()222121211(1)124x x x x a -+++<--+，即证()()2221212(1)244a x x x x -<+-++，即证()()2221212(1)2a x x x x -++-<-， 由（1）可知1122ln 0,ln 0x x a x x a --=--=，12122ln ln 22x x x x a ∴+-=++-，1212ln ln x x x x -=-，∴()()2221212(1)2a x x x x -++-<-等价于2(1)a -[]()221212ln ln 2(1)ln ln x x a x x <++-+-整理得22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>， 只需证明22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>即可，由于()()2221212Δ16ln ln 24ln ln x x x x =+-+，又1201x x <<<，∴()221212Δ32ln ln 8ln ln 0x x x x =-+<， ∴22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x ---++>恒成立，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式，属于较难题.。
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷 (含答案解析)
2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x<2}，B={x≥1}，则A∪B=()A. {x|x<2}B. {x|1≤x<2}C. {x|x≥1}D. R2.若复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，则log2a的值为()A. iB. 1C. 12D. −i3.已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于()A. 7B. 8C. 9D. 104.双曲线x29−y2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=23x，则双曲线的离心率等于()A. √53B. 53C. 43D. √1335.“m>3”是“曲线mx2−(m−2)y2=1为双曲线”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知−1<a<4，1<b<2，则a−b的取值范围是()A. (−2,3)B. (−2,2)C. (−3,2)D. (−3,3)7.已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，A、B分别是圆C1和圆C2上的动点，则|AB|的最大值为()A. √41+4B. √41−4C. √13+4D. √13−48.已知(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯a8x8，则a1+2a2+3a3+⋯8a8=()A. −8B. 8C. −16D. 169.已知函数f(x)=ae x+bx2(a,b∈R)的图像如图，则()A. a <0,b >0B. a >0,b <0C. a >0,b >0D. a <0,b <010. 已知集合S ={x|3x +a =0}，如果1∈S ，那么a 的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知|a −8b |+(4b −1)2=0，则log 2a b =__________． 12. 若sin 2θ+2cosθ=−2，则cosθ=______．13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为______．14. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≥1x +y ≥12x −y ≤4，则z =x 2+(y +2)2的最小值为_______．15. 已知直线l 与圆M ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为P(1,1)，则直线l 的方程是______，直线l 被圆M 所截得的弦长等于______．16. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则Eξ=________．17. 边长为2的等边△ABC 中，点M 为BC 边上的一个动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知在锐角△ABC中，∠A=45°，a=2，c=√6，求B和边b．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠CAA1=∠BAA1=60°，点D是AA1的中点．(1)求证：BD⊥平面AA1C1C；(2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.已知等比数列{a n}的公比为q>1，a1+a3+a5=42，a3+9是a1,a5的等差中项.数列{b n}的通项公式为b n=n√a−1+√a−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明：b1+b2+...+b n<√2n+1−1,n∈N∗．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．22.已知函数．(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x<2}，B={x≥1}，∴A∪B=R．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【试题解析】本题考查复数的概念，对数的运算，属于基础题．由复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，求出a的值，然后再由对数运算进行求解即可．解：复数z=(a−√2)+3i为纯虚数，所以a−√2=0，解得a=√2，所以log2a=log2√2=12，故选C．3.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由题意可求得q2，a9=a7q2，代入求解即可．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2=a7a5=64=32，∴a9=a7q2=6×32=9．故选C．4.答案：D解析：解：根据题意，得a=3，ba =23，∴b=2，∴c=√a2+b2=√13，∴e=ca =√133．故选：D．首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到b的取值，然后，求解离心率即可．本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题．5.答案：A解析：当m>3时，m−2>0，mx2−(m−2)y2=1⇒x 21 m −y21m−2=1，原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m>0,m−2>0⇒m>2；由以上说明可知m>3是“曲线mx2−(m−2)y2= 1是双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为A．6.答案：D解析：本题考查了不等式的性质，是一道基础题．由1<b<2，得出−b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可．解：−1<a<4，①，∵1<b<2，∴−2<−b<−1，②，①+②得：−3<a−b<3，故选：D．7.答案：A解析：本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题．求出两圆的圆心距d，再求圆C1、C2上的两点间的距离最大值．解：圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1的圆心为(−1,−1)，半径为1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d=√(−1−3)2+(−1−4)2=√41>1+3，两圆外离，∴圆C1和圆C2上的两点|AB|的最大值为d+r1+r2=√41+4．故选：A．8.答案：D解析：解：∵(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，∴两端求导得：8(1−2x)7×(−2)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+8a8x7，令x=1得：a1+2a2+3a3+⋯8a8=8×(−1)×(−2)=16．故选：D．利用导数法与赋值法可求得a1+2a2+3a3+⋯8a8的值．本题考查导数与二项式定理的应用，对(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两端求导是关键，也是难点，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了函数图象和利用导数研究函数的极值，属于基础题．由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有极大值极小值，所以f′(x)=ae x+2bx= 0有两解，可得b<0，即可得出结论．解：由图象可得f(0)=a>0，故排除A，D，又由图象可得f(x)有增有减，有极大值和极小值，所以f′(x)=ae x+2bx=0有两不等的解，所以ae x=−2bx有两不等的解，即y=ae x与y=−2bx有两个不同的交点，所以−2b>0，即b<0，故排除C，选项B符合题意，故选B．10.答案：A解析：解：∵S ={x|3x +a =0}，且1∈S ， ∴3×1+a =0， 解得：a =−3． 故选：A ．根据集合S ={x|3x +a =0}，且1∈S ，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a 的值． 此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题．11.答案：14解析：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b =log 2214=14．故答案为14．12.答案：−1解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．利用同角三角函数的基本关系可得(cosθ−3)(cosθ+1)=0，由此解得cosθ的值． 解：∵sin 2θ+2cosθ=−2，∴1−cos 2θ+2cosθ=−2，(cosθ−3)(cosθ+1)=0， 解得cosθ=−1，或cosθ=3(舍去)， 故答案为：−1．13.答案：3解析：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．难度不大，属于基础题．由已知画出几何体，分别求出各棱长，得到最大值．解：由三视图得到几何体如图，CD=1，BC=√5，BE=√5，CE=2√2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3．故答案为3．14.答案：92解析：本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：x+y−2=02√2解析：解：∵P(1,1)为线段AB的中点，∴OP⊥AB，∵k OP=1，∴k AB=−1，则A，B所在直线l的方程为y−1=−1×(x−1)，即x+y−2=0；∵|OP|=√2，圆M：x2+y2=4的半径为2，∴直线l被圆M所截得的弦长等于2√22−(√2)2=2√2．故答案为：x+y−2=0，2√2．由已知求得OP的斜率，得到AB所在直线当斜率，由直线方程的点斜式可得直线l的方程，再由垂径定理求直线l被圆M所截得的弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．16.答案：0.5解析：【试题解析】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属基础题．首先确定ξ的可能取值，再分别求出相应的概率，则数学期望Eξ可求．解：ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)=C42C53=35，P(ξ=1)=C32C53=310，P(ξ=2)=1C53=110，∴Eξ=0×35+1×310+2×110=0.5．故答案为0.5．17.答案：6解析：解：设BC 中点为D ，则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2×2×cos60°+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4+2+2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．故答案为：6．设BC 中点为D ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出结果．本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：在锐角△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =c sinC ，即√22=√6sinC ，解得sinC =√32，∴C =60°，∴B =180°−A −C =75°． ∴b =asinA sinB =2√22×√6+√24=√3+1．解析：在锐角△ABC 中，由正弦定理求得sinC =√32，可得C =60°，再由三角形内角和公式求得B ，利用正弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题． 19.答案：(1)证明：连接A 1B ，∵AB =A 1A ，∠BAA 1=60°，∴△BAA 1为正三角形;∵D 是AA 1的中点，∴BD ⊥AA 1，又∵平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =AA 1，BD ⊂平面AA 1B 1B ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)解：连接DC1，由(1)知BD⊥平面AA1C1C，又DC1⊂平面AA1C1C，∴∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，BD⊥DC1．设AB=2a，则正三角形△BAA1中，BD=√3a，△A1DC1中，A1D=a，A1C1=2a，∠DA1C1=120°，∴DC12=a2+(2a)2−2×a×2a×cos120°=7a2．故DC1=√7a，在Rt△BDC1中，BC1=√3a2+7a2=√10a，则sin∠BC1D=BDBC1=√3a10a=√3010，即直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为√3010．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．(1)连接A1B，推导出BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C.(2)连接DC1，则∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，由此能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．20.答案：解：(I)由a3+9是a1，a5的等差中项得a1+a5=2a3+18，所以a1+a3+a5=3a3+18=42，解得a3=8，由a1+a5=34，得8q2+8q2=34，解得q2=4或q2=14，因为q>1，所以q=2，所以a n=2n；(II)证明：由(I)可得b n=n√2n−1+√2n+1−1n∈N∗，∴b n=2n(√2n−1−√2n+1−1)(√2n−1+√2n+1−1)(√2n−1−√2n+1−1)=2n(√2n−1−√2n+1−1)−2n=√2n+1−1−√2n −1，∴b 1+b 2+⋯…+b n=(√22−1−√21−1)+(√23−1−√22−1)+⋯…+(√2n+1−1−√2n −1)=√2n+1−1−1<√2n+1−1．解析：(Ⅰ)由等差中项的性质可求得a 3=8，进而得到a 1+a 5=34，进一步求得公比q ，由此即可得解；(Ⅱ)化简b n ，由此即可得证．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由c a =√32及c 2=a 2−b 2， 可得a 2=4，b 2=1．则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0，解得k >√32或k <−√32， 则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题． 22.答案：解：(Ⅰ)a =3时，f′(x)=−2x +3−1x =−2x 2−3x+1x =−(2x−1)(x−1)x ，令f ′(x)>0，得12<x <1，令f ′(x)<0，得x >1 或 0<x <12，由于x ∈[12,2]，故此时x ∈(1,2], 故函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x =1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根．故a 应满足{Δ>0a 2>0⇒{a 2−8>0a >0⇒a >2√2, ∴函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是a >2√2．解析：本题主要考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，会求函数在某点取极值的条件．(Ⅰ)把a =3代入到f(x)中，求出导函数=0时x 的值为1得到函数的最大值为f(1)，然后判断f(12)和f(2)即可；(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值，首先必须f′(x)=0有两个不同正根，即2x 2−ax +1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a 的范围得到必要性；然后证明充分性：由a 的范围得到f′(x)=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的a 的范围．。
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一、等比数列选择题1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±2．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞04．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40B ．81C ．121D ．2426．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．167．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20208．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．3210．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N=+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．711．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8012．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1113．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1014．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202015．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．19B ．17C ．13D ．716．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1518．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项ma ，n a 14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．53B ．32C ．43D ．11620．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．36二、多选题21．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >22．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25 B ．26C ．27D ．2823．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－1224．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T25．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩26．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值28．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=29．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--30．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 31．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列32．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-34．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 2．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 3．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 4．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 5．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 6．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，∴2318a a q ==．故选：C . 7．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 8．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 9．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，令210t q =>，则()222421211t t t q q -=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 10．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 11．B【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 12．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 13．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 14．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.15．B 【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2174a a a =可求得7a 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得24354a a a a ==，解得41a =， 17a =，21741a a a ==，因此，717a =. 故选：B. 16．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24nna =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 17．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．B第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ．二、多选题21．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 22．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 23．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-，故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 24．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 25．ABD 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 26．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确.选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=,则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 27．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 28．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 29．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 30．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 31．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 32．ABD 【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．AC【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列，2213a a a ∴=，()461r ∴=+， 解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.34．BC【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 35．ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。