2018-2019学年第二学期浙江省七彩阳光联盟第三次联考高三年级数学试题答案
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考 数学答案
高三数学学科 参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
C
D
A
A
C
C
C
B
B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
=
−
2b 3a
得：
x0
=1−
2b 3a
，又
x0
0 ，故1−
2b 3a
0
，又 a
0
，故 3a
2b ，则(3)
不正确；综上，(1)、(4)正确，选 B
10，解析：若 S 有 2 个元素，不妨设 S = {a, b} ，由②知集合 S 中的两个元素必为相反数，故可设
S = {a,−a}；由①得 0 T ，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素 m T ，当集
所以， MN 2 = ( AC − AB)2 = 1化简得： 2 + 2 − = 1 4
另一方面， BN CM = ( AC − AB) ( AB − AC ) = 2 − 4( + ) + 2
因为， 2
+
2
−
=
1 4
，令
= =
x+ x−
y y
，则
x2
+ 3y2
=
1 4
BN CM = 2 − 4( + ) + 2 = 2(x2 − y2 ) − 8x + 2
2024届浙江省七彩阳光联盟高三下学期开学考数学试题及答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,M N 是I 的非空子集，M N M ∪=，则（ ） A.M N ⊆ B.N M ⊆ C.I N M ⊆ D.I M N ⊆2.若()1i 1z −=（i 是复数单位），则z =（ ）D.23.6611x x x x ++−的展开式中含2x 项的系数为（ ）A.-30B.0C.15D.304.设,a b 为正实数，则“a b >”是“22log ab >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从()2105,15X N ∼，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ） A.23 B.46 C.159 D.317附：若()2,N ξµσ∼，则()0.6827,(22)0.9545P P µσξµσµσξµσ−<<+=−<<+=. 6.已知,a b 是异面直线，P 是空间任意一点，存在过P 的平面（ ） A.与,a b 都相交 B.与,a b 都平行 C.与,a b 都垂直 D.与a 平行，与b 垂直7.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB 的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A.1 B.34 C.12 D.388.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1221,1,2,N n n n n S a a a a a n n ++===+∈，则下列结论不正确的是（ ）A.1n n a a +是递增数列 B.{}221n n a a +−是递增数列 C.101023S < D.13n na a +< 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,2,0a b ==−，则下列结论正确的是（ ）A.||||a b =B.a 与b 的夹角为3π4C.()a b a +⊥D.b 在a 上的投影向量是()1,1−−10.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω=−>图象关于点π,04中心对称，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期3π B.π12f=C.()f x 的图象关于直线πx =对称D.()f x 的图象向左平移π4个单位长度后关于y 轴对称 11.已知函数()(),f x g x 定义域为R ，且()()()()()()()()()(),f x g y f y g x f x y g x g y f x f y g x y −=−−=−，()00g ≠，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 为奇函数 B.()g x 为偶函数C.若()()111f g +=，则()()1001001f g −=D.若()()111f g −=，则()()1001001f g += 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数()()π2cos sin2R 4f x x x x=−+∈的值域为__________. 14.已知正四面体ABCD 的边长为1,P 是空间一点，若222253PA PB PC PD +++=，则PA 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S . 16.（15分）如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAC ⊥平面,ABCD PAC 为等边三角形，AD ∥BC ，,22,BC CD BC CD AD M ⊥==是棱PA 的中点.（1）证明：PB MC ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元. （1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，双曲线222:1(0).2x C y x P −=>是1C 的右顶点，过P 作直线1l 分别交1C 和2C 于点,A C ，过P 作直线2l 分别交1C 和2C 于点,B D ，设12,l l 的斜率分别为12,k k .（1）若直线AB 过椭圆1C 的右焦点，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=−，求四边形ABCD 面积的最小值. 19.（17分）设实数0a >，已知函数()()2ln xf x e ax a ax =−+. （1）当1a =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDACADC8.提示：由题意易得0n a >，由221n n n a a a n ++=+得21121112n n n n n n n n a a a a na a a a a a ++++++>≥，所以A 正确；且1121212n n n n n n a a a a a a a −−−−=⋅> ，所以91010122211023S >+++=−= ，故C 错误；由上面知{}n a 也是递增数列，所以2222122n n n n n a a an a a ++++<+=，即22222221112n n n n n n a a a a n a a ++++−>−+>−，所以B 正确；由上得211112111222n n n n n n n n n n n n n a a a a n n na a a a a a ++++−−++=+<+=+⋅，累加得()1223351112322222n n n a a n n a a +−−<+++++≥ ，用错位相减法可求得()352323123183122222992n n n n n −−−+++++=−≥⋅ ， 所以12383123992n n n a n a +−+=+−<⋅，故D 正确. 二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案BCDBCABD11.提示：由()()()()()f x g y f y g x f x y −=−得()()()()()f y g x f x g y f y x −=−， 所以()()f y x f x y −=−−，故()f x 是奇函数，所以A 正确； 由()()()()()g x g y f x f y g x y −=−得()()()()()g y g x f y f x g y x −=−， 所以()()g y x g x y −=−，故()g x 是偶函数，所以B 正确；由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −−−=−−+()()()()f y g y f x g x =+⋅− ，令1y =得()()()()()()1111f x g x f g f x g x −−−=+−由()f x 是奇函数得()00f =，且()()()()220]0]0,00g f g g −=≠ ，解得()01g =当()()111f g +=时，()()()()100100001f g f g −=−=− ，所以C 错误. 由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −+−=−+−()()()()g y f y f x g x =−⋅+ ，令1y =得()()()()()()1111f x g x g f f x g x −+−=−+ 当()()111f g −=时，()()()()100100100(1)001f g f g +=−+=，所以D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32； 13.3,32−；； 15.提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD，正四面体ABCD，则 22222222PA PB PC PD PA PB PC PD +++=+++2222()()()()PO OA PO OB PO OC PO OD =+++++++()22424PO PO OA OB OC OD OA =+++++22235404423PO PO +++=，即PO = 所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA的最小值为OA PA −==.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得，()1121252a d a d +=+，所以，3d = 故，{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+−=−.（2）由21n n n n a b a b ++=得，123135n n n n a b n b a n ++−==+，所以()()11221112113103231n n n n n n n n n b b b a a b a b b b b a a a n n −−−+−−=⋅=⋅=+− ， 所以()()103231n b n n =+−.由()()101011323133132nb n n n n==− +−−+得1110115101111313232323232558nnS n n n n =−+−++−=−−= −+++ . 16.【解折】（1）在梯形ABCD 中，由AD ∥,,22BC BC CD BC CD AD ⊥==，得AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面,PAC AC AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC 又等边,PAC M 是棱PA 的中点，所以MC PA ⊥， 所以MC ⊥平面PAB ， 故PB MC ⊥.（2）方法一：取AC 中点O ，易知OP AC ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，建立如图空间直角坐标系O xyz −，设4BC =，则()C()(()0,,,0,,A P M D ，由（1）知平面PAB的一个法向量是0,CM =，又)(,0,DCCP == 设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，则000n DC n CP ⋅= ⇒ ⋅=+= ， 令1z =，可得()n =，所以cos ,n CM n CM CMn ⋅===故，平面PAB 与平面PCD.方法二：延长BA 和CD 交于E 点，连接PE ，则平面PAB ∩平面PCD PE =因为由（1）MC ⊥平面PAB 所以过M 作MF PE ⊥于F 点，连接FC ，又因为CM PE ⊥，PE CM ⊥所以PE ⊥面MCF ，所以PE CF ⊥则MFC ∠为平面PAB 与平面PCD 所成角的平面角.又因为设4BC =则4,1,PB MF MC===CF =cos MFC ∠=故平面PAB 与平面PCD. 17.【解析】（1）由题意知，随机变量X 的取值为1,2,3,4，则()()()()231212214281,2,3,433393327327P X P X P X P X ==×========×= ， 即X 的分布列为所以()124865123439272727E X =×+×+×+×=. （2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381 =.，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181−=. 记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为()()65656526003010183010188127819E Y E X =××−×=××−×=，故摊主每天利润的期望为26009元.18.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为1x my =+，与椭圆方程联立，得 ()22121222212210,,,22m my my y y y y m m −−=+=−=++++ ()()()212122121224222,1122m x x m y y x x my my m m −++=++==++=++，所以12k k ⋅（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线,AC BD 方程分别为12121x n y x n y n n =+=−，联立1x n y =+与2212x y +=得1y =2y =，联立1x n y =+与2212x y −=得3y =，同理4y =， 所以四边形ABCD面积为412S AC BD y =⋅=−−令2212t n n =+，易知221202,02n n <<<<，且121n n =−，则52,,2t S ∈，因为S 关于t 单调递增，所以min 64212825169S ×==−， 当S 取最小值1289时，122,1,1t n n ===−，经检验满足题意. 19.【解析】（1）当1a =时，()()12ln ,2xxf x e x x f x e x=−+−+′= ()()12,11f e f e =−=−′所以所求切线方程为()()()112y e x e =−−+−，即()11y e x =−−. （2）由()0f x ≥得，()ln xe ax ax a ax −≥−（*）令()()ln ,x ag x x a x g x x′−=−=，易知()g x 在()0,a 上单调递减，(),a ∞+上单调递增当(]0,a e ∈时，因为[)1,x ∞∈+，所以,x e e a ax a ≥≥≥， 所以不等式（*）等价于()()xg eg ax ≥，也等价于xe ax ≥，即xe a x≤，又()'210x x e x e x x − =≥，所以x e x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，x e e x ≥， 故(]0,a e ∈满足题意.当(),a e ∞∈+时，由xe x 在[)1,∞+上单调递增知，x e ax =在[)1,∞+上有唯一实数解，设为0x ，且()()000001,,,ln x x e ax ax x ∞∈+==. 所以()00002ln 0xf x e ax a ax =−+=， 所以要使()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则()00f x ′=，另一方面，()()020000001220x a x a a f x e a ax a x x x ′−=−+=−+=>，矛盾.故(),a e ∞∈+不满足题意， 综合得，a 的取值范围为0a e <≤.（2）解法二：先证明()10f ≥对任意0a >恒成立，设()()()12ln (0),ln 1g a f e a a a a g a a ==−+>′=−，当()0,a e ∈时，()()0,g a g a ′<在()0,e 上单调递减，(),a e ∞∈+时，()()0,g a g a ′>在(),e ∞+上单调递增，所以()()0g a g e ≥=，即()10f ≥对任意0a >恒成立. 又()2xa f x e a x =−+′，设()2xa h x e a x =−+，则()2x a h x e x=−′， 易知()h x ′单调递增，所以()()1h x h ′≥′. 当(]0,a e ∈时，()()10,0h e a h x =−≥′≥′，所以()h x 单调递增，()()()()10,f x h x h e a f x =≥=−≥′单调递增， 所以()()10f x f ≥≥，符合题意. 当(),a e ∞∈+时，同解法一.。
浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考数学参考答案
高三年级数学试题参照答案选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1． C2． D 提示：双曲线x2y2 1 的渐近线方程为yx，由题意1 3 ，所以 a 1 ．a a a93． A提示：由 z 3i12i10得 z2i ，所以 z 2 i ．4. D提示：由函数分析式易知f x log 3 x 3x 1在 0,上为增函数，且 f x 1 10 f 3 ，所以原不等式等价于 x1 3 ，解得 x 4 ，再联合 x10 得 1 x 4 ．5. B提示：由 3 2m1m 0 得m 3 或 m 2，经查验 m 3 或 m 2 时，直线3x my40 与直线m 1 x 2y20平行.6. A提示：由f x 的分析式知只有两个零点x 2与 x0 ，清除B；又 f x 3 x28x 2 e x，由3f x0知函数有两个极值点，清除C， D，应选 A．7． C提示： f x 2sin(2 x) m ，由图知 f x 在0,上单一递加，312在, 上单一递减，又 f 03, f 2 ，f x 在0,上有122122y23π2Oπx 12- 3两个零点，故m3,2．8． A提示：当 x 0 ,3a 时， fx3x 212ax 3x x4a0 ，∴ f x 在0 , 3a 上单一递加．所以f 3aa227a 10，解得 0a ≤ 1．279． Cuuur rur uur uurr uur 2提示： OB be 1 ke 2 （ k R ）表示点 B 在与 e 2 平行的水平线 l 上运动， ae 2 表示点 A 在4uur2为半径的圆圆上运动，过圆心以 C （点 C 在 e 2 所在直线的反向延伸线上，且 OC 1 ）为圆心，4r r BD 2 22 rr2 ． C 作直线 CB l ，交圆 C 于点 D ， a b，即 a b 的最小值为min244 410．答案： C3 m 23 2提示：设这 4 个数为, 3 m , 3 , 3m ，且 a b cm3 m 3 k ，整理3k ，于是329m 27 3k 0 ，由题意上述方程有实数解且m 3 ．如 m 3 ，则 k 3 ，而当 k 3 时， m 3得 m或 6 ， 当 m 6 时 ， a 3 ， b 3 ， c 3，此时，其公比 1 ， 不 满 足 条 件 ， 所 以 k 3 ， 又△ 814 27 3k12k270 ，综上得 k9且 k3 ．4非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．11.10,0 ，64．392 PB 得 x10264 提示：设 P x, y ，由 PAy 23912．，15 2 ．提示：该几何体为圆锥的一半，且底面向上搁置。
2018年5月17日浙江省学考选考新高考研究联盟第三次联考数学试题及参考答案
ABM 为等腰三角形， 6． 已知 A, B 为双曲线 C 的左、 右焦点， 点 M 在 C 上， 且顶角为 120 ，
则双曲线 C 的离心率为（ A．
） C．
3 1 2
B． 3
2 1 2
D． 2
2 x y 0 7．设实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 3 0 ，则 z x y 的取值范围是（ ） x 1
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18． （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) sin( 2x （Ⅰ）若 1 ，求函数 f ( x ) 的单调递增区间； （Ⅱ） 若函数 f ( x ) 图象的相邻两对称轴之间的距离为
20． （本小题满分 15 分）已知函数 f ( x ) a ln x
2 ( x 1). x
（Ⅰ）若函数 f ( x ) 在区间 [1, ) 上不单调，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）当 a 1 时，证明： f ( x )
x2 x 3. 2
21 ． （本小题满分 15 分）如图，以 P(0,1) 为直角顶点的等腰直角 PMN 内接于椭圆
2
16．已知平面向量 a , b, c 满足 a b 1, c ( a b) a b ，则 c 的最大值为
2
17．已知二次函数 f ( x ) x x 2 ，若函数 g ( x ) f ( x ) f ( x ) 2mx 2m 有三个不 同的零点，则实数 m 的取值范围为 ．
A． [
3 ,3] 2
B． [ 1,3]
2
C． [
3 ,0] 2
） D． 1
2018-2019学年第二学期浙江省七彩阳光联盟第三次联考高三年级数学试题
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A.a>P>r c.r>P>a -
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B.2
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2
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2019届浙江省七彩阳光联盟高三下学期第三次联考数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省七彩阳光联盟高三下学期第三次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x x =≤，N 为自然数集，则A N ⋂=（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4【答案】C【解析】可求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|04}A x x =<…； ∴{}1,2,3,4A N ⋂=．故选：C ． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，对数函数的定义域和对数函数的单调性，以及交集的运算．2．双曲线22221y x a b-=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．y x = 【答案】D【解析】运用双曲线的离心率的公式2ce a==，再由双曲线的a ，b ，c 的关系，可得b =，再由焦点在y 轴上的渐近线方程，即可得到所求方程． 【详解】 由2ce a==，即有2c a =，Qb =，由双曲线的渐近线方程ay x b=±，可得渐近线方程为3y x =±．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率公式的运用和渐近线方程的求法，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )A．16 B．32 C．44 D．64【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．然后由直角三角形面积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．⊥．则BC PC∴该几何体的表面积1(34543445)32S=⨯+⨯+⨯+⨯=．2故选：B．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 4．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；222||11z x y x ∴=+=+…，即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题． 5．函数sin 2xy -=的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】求出函数的值域，和当0x =时，1y =即可判断． 【详解】1sin 1x -Q 剟，1|sin |0x ∴--剟，∴112y 剟，故排除A ，B ， 当0x =时，1y =，故排除C ， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数图象的识别，关键掌握三角形函数的性质和指数函数的性质，属于基础题． 6．已知直线a ，b ，平面α，β，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，分两步来判断： ①当//αβ时，a α⊥Q ，且//αβ，a β⊥Q ，又b β⊂，a b ∴⊥，则a b ⊥是//αβ的必要条件， ②若a b ⊥，不一定//αβ，当a αβ⋂=时，又由a α⊥，则a b ⊥，但此时//αβ不成立， 即a b ⊥不是//αβ的充分条件， 则a b ⊥是//αβ的必要不充分条件， 故选B ．【考点】直线与平面的位置关系 7．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则()D ξ（ ）A ．与n 有关，有最大值23B ．与n 有关，有最小值23 C ．与n 无关，有最大值23D ．与n 无关，有最小值23【答案】C【解析】求出()D ξ的表达式，分析其与n 的关系，求最值即可． 【详解】依题意，2a c b +=，1a b c ++=，所以13b =， ()(1)(2)()22E na n b n c n a b c b c n b c ξ=++++=++++=++． 2222()(1)(2)E n a n b n c ξ=++++，所以222222282()()()(1)(2)(2)499D E E n a n b n c n b c c c ξξξ=-=++++-++=-++，2(0)3c 剟，所以()D ξ与n 无关，且当13c =时，()D ξ有最大值23．故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，二次函数的最值等，考查公式的应用能力与字母运算能力．本题属于中档题．8．如图，在三棱锥S ABC -中，SC ⊥平面ABC ，E ，F 是棱SC 的两个三等分点，设二面角S AB F --、F AB E --、E AB C --的平面角分别为α、β、γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γβα>>D ．γαβ>>【答案】C【解析】假设AC BC ⊥，1AC BC CE EF SF =====，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出γβα>>．【详解】 利用特殊值法，假设AC BC ⊥，1AC BC CE EF SF =====，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,0,2),(0,0,1),(0,0,0)A B S F E C ,(1,1,0),(1,0,3),(1,0,2),(1,0,1)AB AS AF AE =-=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r设平面ABS 的法向量(m x =r，y ，)z ，则030m AB x y m AS x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1z =，得(3,3,1)m =r ， 设ABF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则020n AB x y n AF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1z =，得(2,2,1)n =r ，||cos 0.994||||m n m n α⋅∴===≈⋅r r r r ， 设平面ABE 的法向量(p x =r，y ，)z ，则0p AB x y p AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1z =，得(1,1,1)p =r ，||cos 0.962||||n p n p β⋅∴==≈⋅r r r r ， 平面ABC 的法向量(0,0,1)q =r，||cos 0.577||||p q p q γ⋅==≈⋅r r r r， 1cos cos cos 0αβγ>>>>Q ， γβα∴>>．故选：C ．【点睛】本题考查三个二面角的大小的判断，考查特殊值法的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知平面向量a r ，b r ，c r满足：1a b c ===r r r ，0a b ⋅=r r ，则122c a c b -+-r r r r 的最小值为（ ） A ．17 B ．2 C ．52D 5【答案】A【解析】如图，O e 为单位圆，A 、B 、C 在O e 上，OA OB ⊥，根据相似三角形和向量的运算，结合向量的几何意义即可求出． 【详解】如图，O e 为单位圆，A 、B 、C 在O e 上，OA OB ⊥，2BOA π∠=，B ′在OB 的延长线上，2OB '=，B ''为OB 中点，A '为OA 中点，A ''在OB 的延长线上，2OA ''=，设a OA =u u u r r，b OB =u u u rr ，C 为O e 上一点，c OC =u u u rr， 则12OA OC OC OA '=='''， OCA ∴∆'∽△OA C ''， 2CA A C ∴'='，同理12CB CB ''='， 122()2()22c a c a OC OA A C -=-=-'='u u u r u u u r u u u u r r r r r11111(2)(2)()22222c b c b c b OC OB B C -=-=-=-'='u u u r u u u r u u uu r r r r r r r ∴11117|2|||2||||||||||4224c a c b A C B C B C CA B A -+-='+'=''+''''''=+=u u u u r u u u u r r r rr …， 故选：A ．【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求模的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．数列{}n a 满足11a =，1sin n n n a a a +=+，对于n *∈N ，下列选项错误．．的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．12n n a -≤C ．n a π≤D ．2n a ≤【答案】D【解析】计算数列的前几项，可判断D ；由()sin (0)f x x x x =+>，求得导数，可判断数列的单调性，再由0n a >，可得sin n n a a „，可判断A ，B ，再由诱导公式可判断C ．【详解】11a =，1sin n n n a a a +=+，可得21sin1 1.8a =+≈，31sin1sin(1sin1) 2.7a =+++≈，由()sin (0)f x x x x =+>，()1cos 0f x x '=+…， 可得()f x 在0x >递增， 可得2n a >，故D 错误；即有1n n a a +…，即A 正确；又0n a >，可得sin n n a a „， 可得1sin 2n n n n a a a a +=+„， 即有132112112222n n n n a a a a a a a a --=⋅⋅⋅⋅=L L „， 故B 正确；又sin sin()n n n n a a a a πππ+⇔--剟，恒成立， 显然0n a π-…，即n a π„，故C 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查导数的运用：求单调性，以及三角函数的诱导公式，考查运算能力，属于中档题．二、双空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数20194i z e π=，则z 的实部为______，2z =______.【答案】2-i - 【解析】根据欧拉公式可得20192019cos sin 44z i ππ=+，化简求值即可． 【详解】Q 复数20194i z eπ=，∴由欧拉公式，有20192019cossin 44z i ππ=+, 33cossin 44i ππ=+=，2z i ∴=-，故答案为：2-；i -． 【点睛】本题考查欧拉公式和复数的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意诱导公式的运用.12．已知不等式组,1,.y xx yy a≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为94，则a=______；若(),P x y 在该平面区域内，则2z x y=+的最大值为______.【答案】1- 3【解析】由约束条件作出可行域，结合可行域的面积求得a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由不等式组,1,.y xx yy a⎧⎪+⎨⎪⎩„„…作出可行域如图，联立1y xx y=⎧⎨+=⎩，解得1(2C，1)2，联立y xy a=⎧⎨=⎩，解得(,)A a a，联立1y ax y=⎧⎨+=⎩，解得(1,)B a a-，119(12)()224S ABC a a∴∆=--=g，即1a=-，(2,1)B∴-，化目标函数2z x y=+为2y x z=-+，由图可知，当直线2y x z=-+过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故答案为：1-；3．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是常考题．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222a c b ac +-=，2cos b a A =，2c =，则a =______，ABC ∆的面积为______.【答案】1或2【解析】由余弦定理化简已知可得1cos 2B =，结合范围(0,)B π∈，可求3B π=，由正弦定理可得sin sin a B b A=g ，结合已知可求得sin sin 2B A =，解得：6A π=，或3π，分类讨论可求a 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解ABC ∆的面积． 【详解】222a c b ac +-=Q ，2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===，(0,)B π∈Q ，3B π∴=，Qsin sin a b A B=，可得：sin sin a B b A =g ，又2cos b a A =Q ，∴sin 2cos sin a Ba A A=g ，解得：sin 2sin cos sin 2B A A A ==，2B A ∴=，或2B A π+=，解得：6A π=，或3π，2c =Q ，∴当6A π=时，2C π=，由sin aA c =，可得：122a =，解得：1a =，∴11sin 122222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=；当3A π=时，2a b c ===，∴11sin 22222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=．故答案为：1或2 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．三、填空题14．()()()()1121314x x x x ++++展开式中2x 的系数为______. 【答案】35【解析】利用多项式乘积的定义，结合22x 的特点进行求解即可． 【详解】22(1)(12)(13)(14)(231)(1271)x x x x x x x x ++++=++++，则对应2x ，项为222211123735x x x x x ⨯+⨯+=g ， 即2x 的系数为35， 故答案为：35. 【点睛】本题主要考查多项式系数的计算，结合多项式乘积的定义是解决本题的关键．15．函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f -=______，若存在四个不同的实数a ，b ，c ，d ，使得()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围为______. 【答案】1 [)0,1【解析】代值计算即可，画出函数()f x 的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出． 【详解】Q (3)|31|2f -=-+=，2(2)|log 2|1f ==，((3))1f f ∴-=，画出()f x 的图象，如图所示，Q ()()()()f a f b f c f d ===,不妨设01a b c d <<<<„，22|log ||log |c d ∴=，1cd ∴=，a ，b 关于直线1x =-对称，则2a b +=-，且10b -<„，22(2)2(1)1ab b b b b b ∴=--=--=-++01ab ∴<„，01abcd ∴<„，故答案为：1，[0,1)．【点睛】本题考查函数与方程，问题的关键在于找出对称性，利用对称性来解题，属于中档题． 16．安排4名男生、3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则这样的排法有______种. 【答案】53【解析】由排列组合中的分类原理分别讨论：①设社团甲人数为3人，②设社团甲人数为4人，即可得解． 【详解】①设社团甲人数为3人，由社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则这样的排法有21343422C C C +=g 种，②设社团甲人数为4人，由社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则这样的排法有223144343431C C C C C ++=g g 种，综合①②得：这样的排法有223153+=种， 故答案为：53． 【点睛】本题考查排列组合中的分类原理，考查逻辑推理能力、运算求解能力．17．已知P 为椭圆C ：22143x y +=上一个动点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若12247PF PF ⋅=，则d ＝__________. 14 【解析】计算1||PF ，2||PF 的值得出P 点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算d ． 【详解】解：设1||PF m =，2||PF n =，则4247m n mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨设P在第一象限，则1||2PF =，2||2PF =， 故以1F 为圆心以1PF为半径的圆为：222(1)(2x y ++=，①以2F 为圆心以2PF为半径的圆为：222(1)(2x y -+=，②①-②得：x，代入椭圆方程可得：y =，故P，当0y >时，由22143x y +=得1223(3)4y x =-，故122133(3)()242y x x -'=--g ，∴椭圆在P处的切线的斜率1213163(3)(12472k -=--=-g g ．∴切线方程为：(y x =-，即0x y +=， ∴原点O到切线的距离d =．故答案为：2． 【点睛】本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题．四、解答题18．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上. （1）求cos2α的值； （2）若角β满足()αβ-=tan 21，求tan β的值.【答案】（1）35-（2）7 【解析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【详解】（1）由已知得tan2α=所以，22222222cos sin1tan3 cos2cos sincos sin1tan5ααααααααα--=-===-++（2）由（1）知22tan4tan21tan3ααα==--，而()()()41tan2tan23tan tan22741tan2tan2113ααββααβααβ----=--===⎡⎤⎣⎦+-⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．19．如图，在四楼锥P ABCD-中，BC⊥面PCD，CD ABP，22,2,AB CD BC PC PD AB====⊥.（1）求PD的长.（2）求直线AD与面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）1PD=（2）23【解析】（1）可证PD⊥平面ABCD，从而得到PD DC⊥后可计算PD的长. （2）在直角梯形中可计算出3AD=，再利用等积法求出D到平面PAB的距离（可转化C到平面PAB的距离），从而可得线面角的正弦值.【详解】解：（1）BC⊥Q平面PCD，BC PD∴⊥，又,PD AB AB BC B⊥⋂=，PD∴⊥平面ABCD，,PD DC PDC ∴⊥∴∆是直角三角形，由已知2,1PC CD ==，1PD ∴=.（2）解法1：BC ⊥Q 平面PCD ，,BC CD BC PC ∴⊥⊥，如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DE AB ⊥，交AB 于E . 故2,1DE BC AE ===，所以3AD =.设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ 则sin 3d AD θ==. AB CD Q ∥，CD ⊄面PAB ，AB Ì面PAB ，CD ∴P 平面PAB ，∴C 到平面PAB 的距离也为d .在三棱锥B PAC -中，C P A ABC P B V V --=，PD ⊥Q 平面ABCD ，,2PD AD PA ∴⊥∴=.又2,,2BC PC BC PC PB ==⊥∴=，11121223323p ABC ABC V PD S -∴=⨯=⨯⨯⨯=1333C PAB PAB V dS d -∆==，22sin 333d d AD θ∴=∴===即直线AD 与面PAB 所成角的正弦值为23. 解法2：由（1）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，,,DC DP DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,0,2),(1,0,2),(0,1,0)C A B P --，则(2,0,0),2),(1,0,2)AB AP DA ===-u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r ，则由00AB n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r ，得020x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =.可得(0,2,1)n =r. 设直线AD 与面PAB 所成角为θ.则2sin |3||||n DA n DA θ⋅==u u ur r u u u r r ，即直线AD 与面PAB 所成角的正弦值为23【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.线面角的计算，可以利用空间向量计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角，也可以利用斜线段的长和斜线段的端点到平面的距离来计算，后者可用等积法来计算. 20．已知正项数列{}n a 的前n 项为n S ，若{}n a 、{}nS 分别公差为d 、12d 的等差数列.（1）求n a ，n S ；（2）若2nn n a b =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <.【答案】（1）2n S n =，21n a n =-.（2）见解析【解析】（1）设{}n a 的首项为1a ，运用等差数列的通项公式和求和公式，化简解方程可得首项和公差，进而得到所求； （2）求得212n nn b -=，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）设{}n a 的首项为1a()12n d -=+，所以()(221114n n S a d n -=++-所以()(()(2222111121244n n n n n a S S a d n a d n ---=-=++-----222233424n d d n d -==-所以221122134d d d a d a d⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩-=-，或100d a =⎧⎨=⎩（舍去）所以2n S n =，21n a n =-.（2）由2nn n a b =得212n nn b -=， 所以 23135212222-=++++L n nn T ，①231113232122222n n n n n T +--=++++L ，② ①-②得，23111111212+++222222n n n n T +-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭L 2111112111++22222n n n -+-=++--L1121121222nn n +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，∴21213322n n nn T --=--<.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分别交AB 、x 轴于M 、P ，已知P (4，0).(1)求M 点的横坐标； (2) 求PAB ∆面积的最大值. 【答案】（1）2；（2）8【解析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标；（2）设直线0:()2AB x m y y =-+即0:2AB x my my =-+，与抛物线24y x =联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值． 【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ， 则121200,22x x y y x y ++==，2114y x =，2224y x =， ∴121212042y y k x x y y y -===-+，而004MP y k x =-， 由1MP k k =-g 得042x -=-，即02x =；（2）设直线0:()2AB x m y y =-+即0:2AB x my my =-+，与抛物线24y x =联立得204480y my my -+-=，则124y y m +=，12048y y my =-，所以12|||AB y y -=， 而P 到直线AB 的距离为d =，所以01||2|22PAB S d AB my ∆==+又由于012y m k ==，所以222(24(PAB S m m ∆=++t =，则0t >且222m t =-， 所以234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-， 令3()124(0)g t t t t =->，则2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+，当01t <<，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，故()3()12418g t t t g =-=„，即PAB ∆面积的最大值为8． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 22．已知()31ln 6f x x ax x =-+. （1）若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围. （2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：122x x +>.【答案】（1）32a ≤（2）见解析 【解析】（1）由题意知211()02f x x a x'=-+…在(0,)+∞上恒成立，然后利用分离参数法求出211()2g x x x=+的最小值即可；（2）由()0f x '=知，2112a x x=+，设211()2g x x x =+，然后令()(1)(1)h x g x g x =+--，(1,0)x ∈-，求导后判断()h x 的单调性，根据条件可得11()(2)0g x g x -->，进一步得到121()()(2)g x g x g x =>-即可．【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,+∞，由题意知()21102f x x a x'=-+≥在()0,+∞上恒成立，即2112a x x≤+在()0,+∞上恒成立， 令()2112g x x x =+，0x >， 则()32211x g x x x x-'=-=， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以，当1x =时，()g x 有最小值()312g =， 所以，32a ≤. （2）因为()2112f x x a x '=-+， 由()0f x '=知，2112a x x=+，设()2112g x x x =+，0x >， 由（1）()()12g x g x =，且()g x 在()1,+∞上单调递增，()g x 在()0,1上单调递减， 所以，1201x x <<<，令()()()11h x g x g x =+--，()1,0x ∈-，则()()()()()2211111111h x g x g x x x x x '''=++-=+-+--+- ()()()()()()222222221122221111x x x x x x x --++=-=⨯+-+-(()()222211x x x x x -=⨯+-，所以()h x 在()1,0-上单调递减，且()00h =，所以，当()1,0x ∈-时，()()00h x h >=，又()10,1x ∈，∴()111,0x -∈-∴()110h x ->，即()()1120g x g x -->所以，()()()1212g x g x g x =>-，因为，11<x ，121x ->，21>x ，且()g x 在()1,+∞上单调递增，所以，212x x >-即122x x +>.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值和分离参数法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第三次联考数学试题(含答案)
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第三次联考数学试题(含答案)2019届浙江名校联盟第三次联考一、选择题：本大题共10小题，共40分1.已知集合A={x|y=x-1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=（）A。
(-1,1)B。
(-1,1]C。
[1,2)D。
(1,2)2.已知z(1+i)=2i（i为虚数单位），则复数z对应点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限3.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=2，该双曲线的焦点为（）A。
±√23,0B。
±√43,0C。
±√25,0D。
±√45,04.“a=3”是“圆O:x^2+y^2=2与圆C:(x-a)^2+(y-a)^2=8外切”的（）A。
必要不充分条件B。
充分不必要条件C。
充要条件D。
既不充分条件也不必要条件5.已知实数x，y满足不等式x+y≥22，则x^2+y^2最小值为（）A。
2B。
4C。
22D。
86.已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A。
f(x)=(ex-1)/(x+1)B。
f(x)=x*sin^2xC。
f(x)=(ex-1)/xD。
f(x)=x*cos^2x7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（）A。
15.5元B。
31元C。
9.5元D。
19元8.已知a>b>0，则下列不等式正确的是（）A。
ln a - b。
ln b - aB。
a - b < b - aC。
ln a - b < ln b - aD。
a - b。
b - a9.用四种颜色给右图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）A。
浙江省“七彩阳光”联盟2018届高三上学期期初联考数学试题word版含答案
2017学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三年级数学学科 试题本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页，总分值150分，考试时间120分钟。
考生注意：1． 答题前，请务必将自己的、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2． 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应位置上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的外表积公式 锥体的体积公式 24S R π= 13V Sh =球的体积公式 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高343V R π=台体的体积公式 其中R 表示球的半径 1()3a ab b V h S S S S =+⋅柱体的体积公式 其中a b S S 、分别表示台体的上、下底面积， V Sh = h 表示台体的高 其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高选择题部分〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|31,R}B y y x x ==-+∈，则AB =〔 〕A.{|31}x x -<≤B.{|12}x x ≤<C.{|11}x x -<≤D.{|13}x x << 2. 已知i 是虚数单位，假设复数z 满足411i z=-+，则z z ⋅=〔 〕 A.4 B.53. 某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的外表积为〔 〕A.842+B.6223C.642+D.62223+4. 假设,R a b ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是〔 〕 A.||4a b +≥ B.||4a ≥ C.||2a ≥且||2b ≥ D.4b <-5. 假设220(,0)m n m n +=>，则lg (lg lg 2)m n ⋅+的最大值是〔 〕 A.1 2 36. 函数223()2xx xf x e +=的大致图象是〔 〕A. B. C. D.7. 已知变量,x y 满足约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，假设不等式220x y m -+≥恒成立，则实数m的取值范围是〔 〕A.[6,6]B.(,6][6,)-∞+∞C.[7,7]D.(,7][7,)-∞+∞ 8. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为〔 〕21 2 21 22 9. 假设N*n ∈时，不等式(6)ln()0nnx x-≥恒成立，则实数x 的取值范围是〔 〕 A.[1,6] B.[2,3] C.[1,3] D.[2,6]10. 已知直角三角形ABC 的两条直角边2,3AC BC ==，P 为斜边AB 上一点，沿CP 将此三角形折成直二面角A CP B --，此时二面角P AC B --2，则翻折后AB 的长为〔 〕A.2 56 7非选择题部分〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 621(1)(1)x x-+展开式中3x 的系数为 . 12. 某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游玩经验，每次开启一个新游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为111,,234〔这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响〕，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为 . 设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的数学期望为 .13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，假设14,9k k S S -==，则k a = ，1a 的最大值为 .14. 已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为 ，2ABF ∆的面积的最大值为 .15. 已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点，假设()()6f x f π≤对R x ∈恒成立，则ω的值为 ，当ω最小时，函数()()32g x f x π=--区间[0,22]的零点个数为 . 16. 假设向量,a b 满足22112a ab b +⋅+=，则||a b +的最大值为 . 17. 设关于x 的方程220x ax --=和210x x a ---=的实根分别为12,x x 和34,x x ，假设1324x x x x <<<，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.〔此题总分值14分〕已知2()sin 21(R)f x x x x =+-∈.求：〔1〕()f x 的单调增区间； 〔2〕当[,]44x ππ∈-时，求()f x 的值域.19.〔此题总分值15分〕如图，ABCD 为正方形，PDCE 为直角梯形，90PDC ∠=，平面ABCD ⊥平面PDCE ，且22PD AD EC ===.〔1〕假设PE 和DC 延长交于点F ，求证：//BF 平面PAC .〔2〕假设Q 为EC 边上的动点，求直线BQ 与平面PDB 所成角正弦值的最小值.20.〔此题总分值15分〕已知函数ln ()x a xf x x+=在1x =处的切线的斜率为1. 〔1〕如果常数0k >，求函数()f x 在区间(0,]k 上的最大值；〔2〕对于0m >，如果方程2()0mf x x -=在(0,)+∞上有且只有一个解，求m 的值.21.〔此题总分值15分〕已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线12,l l ，切点分别为1122(,), (,)A x y B x y . 〔1〕如果点P 在直线1y =-上，求11||||AF BF +的值； 〔2〕假设点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求||||AF BF ⋅的值.22.〔此题总分值15分〕在数列{}n a 中，1112, 2(1)n n a a a n+==+. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求数列{}2n n S S -的最小值；〔3〕求证：当2n ≥时，271112n n S +≥.2017学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三年级数学学科 参考答案选择题部分〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C提示：{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}231,1B y y x x R y y ==-+∈=≤，则A B ={}11x x -<≤，故选C ．2．B提示：由411i z =-+，得41121z i i=-=+-，则25z z z ⋅==，故选B ． 3．A提示：把该三视图复原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE 为三视图复原后的几何体，其外表积为842+. 4．D提示：由4b <-可得4a b +>，但由4a b +>得不到4b <-，如1,5a b ==． 5．A提示：()()22lg 2lg lg 2lg lg lg 2lg lg 224m n m n m n m n ⋅+⎛⎫⋅+=⋅≤==⎪⎝⎭，又由 22022m n mn +=≥，所以50mn ≤，从而()lg lg lg 21m n ⋅+≤，当且仅当10m =，5n =时取最大值． 6．B提示：由()f x 的解析式知有两个零点32x =-与0x =，排除A ，又()2232xx x f x e -++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．D提示：作出约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩所对应的可行域〔如图中阴影部分〕，令2z x y =-+，当直线经过点()4,1A --时，z 取得最大值，即()max 2417z =-⨯--=，所以(,7][7,)-∞-+∞，故选D ．DECBA8．C提示：根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中ct b=．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin()4A t t π+=+，从而122t t+≤，解得t 的最大值为21+．9. B提示：原式有意义所以0x >,设()6,()ln()nf n xng n x=-=，则(),()f n g n *n N ∈时，(),()f n g n 同号，只需两函数图像和横坐标轴〔n 为自变量〕交点间的距离不超过1，即6||1x x-≤，解得[2,3]x ∈，检验2,3x =两个端点符合题意，所以[2,3]x ∈.10. D提示：如图，在平面PCB 内过P 作直二面角A CP B --的棱CP 的垂线交边BC 于E ，则EP ACP ⊥．于是在平面PAC 中过P 作二面角P AC B --的棱AC 的垂线，垂足为D ，连接DE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，且tan 2EPPDE PD∠==，设DP a =，则2EP a = ．如图，设BCP α∠=，则90ACP α∠=-，则在直角三角形DPC 中，()cos sin 90a a PC αα==-，又在直角三角形PCE 中，tan PE PCα= 则tan 2cos aa αα⋅=，2sin 2cos αα= 所以45α=，因为二面角A CP B --为直二面角，所以cos cos cos ACB ACP BCP∠∠∠=⋅，于是2221cos sin 22AC BC AB ACP ACP AC BC ∠∠+-=⋅=⋅⋅，解得7AB =．解法二：由045BCP ACP ∠=∠=得3222,,22AM BN MN ===,翻折后AB AM MN NB =++,故()27AB AM MN NB =++=。
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2018学年第二学期浙江七彩阳光联盟第三次联考高三年级 数学参考答案1-5 CDBAD 6-10 BCCAD11.2-,－i 12.－1,3 13.1或2,214.35 15.1,[0,1) 16.5318.（Ⅰ）由已知得tan 2α= ………2分所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22tan 4tan 21tan 3ααα==--， ………10分而41tan 2tan(2)3tan tan[2(2)]741tan 2tan(2)1()13ααββααβααβ----=--===+-+-⨯.……14分19. （Ⅰ）∵ BC ⊥平面PCD ， ∴ BC PD ⊥，又 PD AB ⊥，∴ PD ⊥平面ABCD ， ………3分∴ PD DC ⊥，∴ PDC ∆是直角三角形，由已知1PC CD ==，∴ 1PD =. ………6分 （Ⅱ）解法1：∵ BC ⊥平面PCD ，∴ BC CD ⊥，BC PC ⊥在四边形ABCD 中，由于//AB CD，2,1AB BC CD ===，可以求得AD = ………7分 设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ，则sin d AD θ==， ………9分 ∵ //AB CD∴ //CD 平面PAB ，∴ C 到平面PAB 的距离也为d ， 在三棱锥B PAC -中，P ABC C PAB V V --=，A∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD AD ⊥ ∴ 2PA =， 又BC PC BC PC ==⊥，∴ 2PB =， ∴111123323P ABC ABC V PD S -∆=⨯=⨯⨯⨯=， ………12分13C PAB PAB V dS -∆==， ………14分 ∴d =， ∴sin 3d AD θ===， 即直线AD 与平面PAB所成角的正弦值为3. ………15分 解法2：由（Ⅰ）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，DC 、DP 、DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. ………8分则(1,0,0),(1,0,(1,0,(0,1,0)C A B P -，则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,AB AP DA ===-， 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,AB n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，可得(0,2,1)n =-， ………12分 设直线AD 与平面PAB 所成的角为θ， 则2sin ||3||||n DA n DA θ⋅==. ………15分20. （Ⅰ）设{}n a 的首项为1a(1)2n d -=， 所以221(1)(4n n S a d n -=++- ………2分A所以2222111(1)(2)((44n n n n n a S S a d n a d n ---=-=++-----222233424n d d n d -=+=+-所以221234d d d a d⎧=⎪⎪-=-121d a =⎧⇒⎨=⎩,或100d a =⎧⎨=⎩（舍去） ………5分 所以2,21n n S n a n ==-. ………7分（Ⅱ）由2nn n a b =得212n n n b -=， ………8分 所以 23135212222n nn T -=++++， ① 231113232122222n n n n n T +--=++++， ② ………10分 ①-②得，23111111212(+++)222222n n n n T +-=+- 2111112111++22222n n n -+-=++-- 112112(1)222n n n +-=---， ………13分 ∴ 21213322n n nn T --=--<. ………15分 21.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则121200,22x x y yx y ++==，………2分 ∴ 121212042y y k x x y y y -===-+， ………4分而 004MP y k x =-， ………5分由1MP k k ⋅=-得042x -=-，即02x =. ………6分 （Ⅱ）设直线0:()2AB x m y y =-+即0:2AB x my my =-+，与抛物线24y x =联立得204480y my my -+-=，则121204,48y y m y y my +==-， ………8分所以12|||AB y y =-= 而P 到直线AB 的距离为d =所以，01||2|2|2PAB S d AB my ∆==+………11分 又由于012y m k ==，所以222(24(PAB S m m ∆=+=+ ………12分t =，则0t >且222m t =-，所以234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-，令3()124(0)g t t t t =->，则2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+，当01t <<，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，故3()124(1)8g t t t g =-≤=，即PAB ∆面积的最大值为8. ………15分 22.（Ⅰ）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，由题意知211()02f x x a x'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即2112a x x≤+在(0,)+∞上恒成立， ………2分 令211(),02g x x x x=+>， 则32211()x g x x x x -'=-=， ………4分所以，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以，当1x =时，()g x 有最小值3(1)2g =， 所以，32a ≤. ………6分 （Ⅱ）因为211()2f x x a x'=-+， 由()0f x '=知，2112a x x =+，设211(),02g x x x x=+>， 由（Ⅰ）12()()g x g x =，且()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，1201x x <<<，令()(1)(1),(1,0)h x g x g x x =+--∈-， ………8分 则2211()(1)(1)11(1)(1)h x g x g x x x x x '''=++-=+-+--+- 2222222222(1)(1)22(1)(1)(1)(1)x x xx x x x +--+=-=⨯+-+-2=所以()h x 在(1,0)-上单调递减，且(0)0h =， ………10分 所以，当(1,0)x ∈-时，()(0)0h x h >=， 又1(0,1)x ∈，∴11(1,0)x -∈-∴ 1(1)0h x ->，即11()(2)0g x g x -->所以，121()()(2)g x g x g x =>-， ………13分 因为，1121,21,1x x x <->>,且()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以，212x x >-即122x x +>. ………15分方法2：因为211()2f x x a x'=-+， 由()0f x '=知，2112a x x =+，设211(),02g x x x x=+>， 由（Ⅰ）12()()g x g x =，且()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，1201x x <<<，令()()(2),(0,1)h x g x g x x =--∈， ………8分 则2211()()(2)2(2)h x g x g x x x x x '''=+-=-+--- 22222222442(1)[(1)3]2(2)(2)x x x x x x x x -+---=-=--， 所以，()h x 在(0,1)x ∈上单调递减，又(1)0h =，故()(1)0h x h >=恒成立， ………10分 所以，()(2)g x g x >-对(0,1)x ∈上恒成立， 因为101x <<，所以11()(2)g x g x >-，即21()(2)g x g x >-， ………13分 又211,20x x >->且()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-即122x x +>. ………15分。