函数的单调性教案

课题：1.3.1函数的单调性
教学目标
（一）、知识目标
1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；
2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；
（二）、能力目标
1、对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；
2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
（三）、情感目标
1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；
2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美．
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性．
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性．
教学用具：直尺，彩色粉笔，小黑板
课型：新授课.
课时：第1课时.
教学方法：探究研讨法，讲练结合法。

教学过程：
（一）创设情境，引入课题
这是某市2010年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图，
（1） 什么时候温度最低，什么时候温度最高
（4点最低，14点的时候最高）
（2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的）
随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降.
这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. （二）讲授新课
函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像
那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 2y x =+，2y x =-+，2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像，从左至右上升 第二个图像，从左至右下降
那对于第三个图像呢，(,0)-∞下降，(0,)+∞上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2y x =这个图像，我们可以再y 轴右边取一些
通过这个表格，我们可以发现，
自变量x 增大时，函数值y 也相应的增大，那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x ，2x ，同学们思考一下是不是有
22
12x x <，函数2()f x x =图象在y 轴左侧从左至右“下降”
，函数图象在y 轴右侧从左至右
“ 上升”； 现在以2()f x x =在y 轴右侧为例，函数值()f x 随x 的增大而增大，我们就说2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，这是从图象的角度来认识增函数的．如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢？
从解析式角度用数学语言描述：在区间(0,)+∞上，任意取两个实数1x ，2x ，由解析
式可得到22
1212()()f x f x x x -=-=1212()()x x x x +-，当12x x <时，有12()()f x f x <.所以函
数2()f x x =在区间(0,)+∞上为增函数.
对于一般的函数()y f x =，我们应当如何给增函数下定义
1、增函数的定义
设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上为增函数．
现在我们看2()f x x =在y 轴左侧，随着自变量x 的增大，函数值()f x 反而减小，就称2()f x x =在(,0)-∞上为减函数．可类似用上述数学语言描述可得到当12x x <时，有
12()()f x f x >.
于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义． 2、减函数的定义
设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．
如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．
说明： 1)增函数的图象从左至右是上升的，减函数的图象从左至右是下降的；
2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的局部性质；
（三）例题讲解，深化知识
例1 如图所示函数y= f(x )是定义在[-5，5]上的单调函数，说出它的单调区间以及
在这些区间上是增函数还是减函数？
例2 物理学中的玻意耳定律k
P V
=
（k 为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强P 将增大，试用函数的单调性证明之。

分析：把k P V =看成是一个函数，V 为自变量，P 为函数值，则只要证明函数k P V =在
区间(0,)+∞上是减函数即可。

证明：任取12,V V (0,)∈+∞，且12V V <，
1212
()()k k
P V P V V V -=
- 2121()k V V V V -=，
由12,(0,)V V ∈+∞得120VV >， 又由12V V <得210V V ->.
又0k >，于是 12()()0P V P V ->,即12()()P V P V >.
所以函数k
P V
=
在（(0,)+∞上为减函数，当体积V 减小时，压强P 增大. 总结：通过这个例题可以归纳出用定义证明函数单调性一般有四个步骤： （1）设值：任取1x ，1x ∈D ，且12x x <；
（2）作差变形：作差12()()f x f x -，通常采用因式分解、配方、有理化等变形； （3）定号，即确定差12()()f x f x -的符号； （4）结论,即根据定义作出结论． （四）反馈练习，巩固提高
课堂练习：证明函数x x f =)(在(0,)+∞上是增函数． （五）课堂小结
提问：这节课你学到了哪些新知识？然后归纳总结： 1、单调函数的图像的特征和单调性的定义． 2、判断单调性的方法有两种：图像法、定义法． 3、用定义证明函数单调性的四个步骤. （六）布置作业
必做题：课本P39习题1.3的A 组1，2，3题．
探究题:探究函数)0(1
>+=x x
x y 的单调性，画出其草图，并证明你的结论
板书设计。