§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT.
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§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间序列的傅里叶变换
离散时间序列 的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
dft变换,z变换,离散傅里叶三者变换关系
dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换(DFT)、Z变换和离散傅里叶变换(DTFT)是数字信号处理领域中常用的数学工具。
尽管它们的数学形式和实际应用略有不同，但它们之间存在紧密的联系。
首先我们来看离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
对于一个离散时间序列x(n)，DFT 将其表示为一组离散频谱X(k)，其中k表示频域中的离散频率。
DFT通过计算输入序列x(n)和一组复数旋转因子的点乘来实现。
在数学上，DFT的表达式如下：N-1X(k) = Σx(n)*e^(-j2πkn/N)n=0其中，N表示离散时间序列的长度，k表示离散频率的编号。
接下来我们来看Z变换。
Z变换是一种将序列转换为复数域表示的数学工具。
Z变换通过对序列x(n)中的每个样本进行加权求和，并使用复数变量Z来表示其变换结果。
Z变换的数学表达式如下：∞X(Z) = Σx(n)Z^(-n)n=0其中，X(Z)表示Z域中的复数函数，x(n)表示离散时间序列的样本值，Z表示复杂变量。
离散傅里叶变换(DFT)和Z变换之间存在紧密的联系。
如果我们将离散时间序列x(n)看作是一个去掉复杂变量Z的Z变换结果，那么离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换的特殊情况。
实际上，当变换的因子Z被设置为单位圆上的离散点时，离散傅里叶变换(DFT)和Z变换是等价的。
这时，离散傅里叶变换(DFT)可以用Z变换的形式表示：X(Z)|z=exp(-j2πk/N) = X(k)这个等式表示，当复数变量Z被设置为复数旋转因子z=exp(-j2πk/N)时，离散时间序列的Z变换结果X(Z)等于离散傅里叶变换(DFT)的离散频谱表示X(k)。
离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶变换(DTFT)之间也存在联系。
离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换(DTFT)的一种抽样。
离散傅里叶变换(DTFT)是将离散时间序列转换为连续频域表示的数学工具。
傅立叶变换的四种形式
第三章 离散傅里叶变换 DFT
——FT的四种形式
离散傅里叶变换(DFT)不仅具有明确的物理意 义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算
机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较 大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速 离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅 里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字 信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法(DCT、 WHT等)，但在许多应用中始终无法替代离散FS DFS
DTFT返 回
DFS 返回
时域间隔Ｔ
时域周期Ｔ０ 频域周期 Ω ｓ
频域间隔Ω０
变换形式 时域
FT
连续和非周期
FS
连续和周期（T0）
DTFT 离散（T）和非周期
频域
非周期和连续
非周期和离散（
）
周期（
）和连续
DFS
离散（T）和周期（T0） 周期（
）和离散（
）
——FT的四种形式
离散傅里叶变换(DFT)不仅具有明确的物理意 义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算
机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较 大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速 离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅 里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字 信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法(DCT、 WHT等)，但在许多应用中始终无法替代离散FS DFS
DTFT返 回
DFS 返回
时域间隔Ｔ
时域周期Ｔ０ 频域周期 Ω ｓ
频域间隔Ω０
变换形式 时域
FT
连续和非周期
FS
连续和周期（T0）
DTFT 离散（T）和非周期
频域
非周期和连续
非周期和离散（
）
周期（
）和连续
DFS
离散（T）和周期（T0） 周期（
）和离散（
）
离散傅里叶变换及快速算法
（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
离散时间系统
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
DSP 课件 第五章 离散时间傅立叶变换(DTFT)
G (e
j
) H (e
j
)
k
卷积定理的含义是，要计算 两个序列的卷积y[n]，可以先 求出两个序列的FT，在求FT 乘积，再进行逆变换，得到 y[n]。对于无限长序列求卷积， 该方法更为简便。
7. 调制(相乘)
g [ n ]h[ n ]
1 2
G ( e )H ( e
• 1759年，拉格朗日提出强烈批评：不可能用 三角级数来表示一个具有间断点的函数； • 1802年，傅立叶构思了关于三角级数的想法。 热的传播和扩散现象导致了傅立叶研究成果的 实际物理背景；
• 1829年，P.L狄里赫利给出了若干精确的条件， 在这些条件下，一个周期信号才可以用一个傅 立叶级数来表示；
• 19th / 20th century: 出现了两种Fourier 分析方法Continuous & Discrete； • 1965 年，IBM的 Cooley & Tukey 发明了FFT 算法， 使傅立叶变换得以在计算机平台上快速实现。
傅里叶变换 (Fourier Transform ,FT ) ：
解： d 0V ( e
j
) d 1e )
j
V (e
j
) p 0 p1 e
j
V (e
j
p 0 p1 e d 0 d 1e
j j
4. 频移
e
j 0 n
g [ n ] G (e
j ( 0 )
)
5. 频域微分
j
ng[n]
j
dG (e d
)
h[ n ] H ( e
1. 线性
j
)
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2、双边指数序列 x(n) a n
a 1
于是 其中
X (e j)
x(n)e jn
1
a ne jn a ne jn
n
n
n0
1
ae j
ane jn ane jn
n
n 1
1 ae j
所以
X (e j )
ae j 1 ae j
1
1 ae j
1 a2 1 2a cos a2
3、矩形窗序列 x(n) RN (n) u(n) u(n N )
1
1 ae
j
1
1
1
1 ae j 1 ae j(2) 1 ae je j2
2、线性 设 xi (n) DTFT X i (e j )
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大连海事大学信息科学技术学院பைடு நூலகம்
则
Ci xi (n) DTFT Ci X i (e j )
i
i
例如：双边指数序列 x(n) anu(n 1) anu(n)
则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列, 根据时移性
x(n N 1)
1
2
3 21 1 2 3 n
RN (n
N 1) DTFT 2
sin( N ) 2
s in( )
2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
x(n N 1)
1
2
大连海事大学信息科学技术学院
X (e j )
《Signals & Systems》
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二、离散时间傅里叶变换的举例
x(n)
1、单边指数序列 x(n) anu(n)
a 1
a0
于是
0 1 2 3 45 n
X (e j ) x(n)e jn
n
a ne jn
n0
1 1 ae j
x(n)
a0
即
a
nu(n)
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§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
一、离散时间傅里叶变换的定义
设离散时间序列x(n)的z变换
X (z) x(n)zn n
单位圆被包含在它的收敛域之内。于是
X (e j ) X (z) |ze j
x(n)e jn
n
定义为序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。记为
N 1
X (e j ) x(n)e jn e jn
n
n0
《Signals & Systems》
x(n) R4 (n) 1
0 1 2 3 45 n
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X
(e
j )
1 e jN 1 e j
(e jN / 2 e jN / 2 )e jN / 2 (e j/ 2 e )e j/ 2 j/ 2
x(n) R4 (n) 1
0 1 2 3 45 n
N
sin( 2
)
j N 1
e2
X (e j ) e j()
sin( )
2
X (e j )
N4
sin( N )
X (e j )
2
sin( )
2
0
2
()
()
N 1 2
argsisninN2
2
3 4
0
2
3 4
《Signals & Systems》
X (z)zn1dz
1
X (e j)e j(n1)de j
2j z 1
2j
记为
1
X (e j)e j(n1) je jd
1
X (e j)e jnd
2j
2
x(n) IDTFT{X (e j)}
1
X (e j)e jnd
2
《Signals & Systems》
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于是，我们得到一对变换关系：
是以π偶对称的，相位函数是奇对称的。
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记为
X (e j ) DTFT {x(n)} x(n)e jn -------DTFT变换式 n
x(n) IDTFT{X (e j)} 1
X (e j)e jnd
-------DTFT反变换式
2
x(n) DTFT X (e j )
由以上反变换式可见，DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率ω 的复指数序列ejωn的组合，X(ejω)是不同分量的复振幅的相对大小， 习惯上，称X(ejω)是序列x(n)的频谱。
N 5
3 21 1 2 3 n
0
2
RN
(n
N 1) DTFT 2
sin( N ) 2
s in( )
X (e j )
N 5
2
0
2
因为，此时序列是一偶对称信号，
与连续时间傅氏变换相同，其变换应是
()
纯实函数。变换的波形如图所示。
离散时间信号的傅立叶变换是以2π
0
2
为周期的连续函数，其幅度函数的波形
a 1
则 X (e j ) DTFT {anu(n 1)} DTFT {anu(n)}
ae j 1 ae j
1
1 ae j
1
1 a2 2a cos
a2
3、时移与频移性
设 则有
x(n) DTFT X (e j ) x(n m) DTFT X (e j )e jm
x(n)e j0n DTFT X (e j(0 ) )
X (e j ) DTFT {x(n)} x(n)e jn n
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由离散时间序列x(n)的反z变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2j C
由于单位圆在X(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。
于是
x(n) 1
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三、离散时间傅里叶变换的基本性质
1、周期性 X (e j ) X (e j(2) )
即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以2π为周期的 周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是离 散的。
例如：单边指数序列
X
(e
j )
DTFT{anu(n)}
DTFT
1
1 ae
j
0
1 35 24
n
以上序列的z变换为 1
X (z) 1 az1
za
当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以
X (e j)
X (z) ze j
1 1 ae j
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j Im{z} a 1 Re{z}
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例如：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，
x(n) R5 (n)
X (e j )
N 5
1
我们已知
0 1 2 3 45 n
RN
(n)
DTFT
sin( N 2
s in( )
)
e
j
N 1 2
2
0
2
()
4 5
0
2
4 5