数字图像处理第三版中文答案冈萨雷斯

第二章

2.1（第二版是0.2和1.5*1.5的矩形，第三版是0.3和1.5圆形）

对应点的视网膜图像的直径x 可通过如下图题2.1所示的相似三角形几何关系得到，即

()()017

02302.x .d = 解得x=0.06d 。根据2.1 节内容，我们知道：如果把中央凹处想象为一个有337000 个成像单元的圆形传感器阵列，它转换成一个大小25327.?π成像单元的阵列。假设成像单元之间的间距相等，这表明在总长为1.5 mm （直径）的一条线上有655个成像单元和654个成像单元间隔。则每个成像单元和成像单元间隔的大小为s=[(1.5 mm)/1309]=1.1×10-6 m 。

如果在中央凹处的成像点的大小是小于一个可分辨的成像单元，在我们可以认为改点对于眼睛来说不可见。换句话说，眼睛不能检测到以下直径的点：

m .d .x 61011060-?<=，即m .d 610318-?<

2.2 当我们在白天进入一家黑暗剧场时，在能看清并找到空座时要用一段时间适应。2.1节描述的视觉过程在这种情况下起什么作用？

亮度适应。

2.3 虽然图2.10中未显示，但交流电的却是电磁波谱的一部分。美国的商用交流电频率是77HZ 。问这一波谱分量的波长是多少？

光速c=300000km/s ，频率为77Hz 。

因此λ=c/v=2.998 * 108(m/s)/77(1/s) = 3.894*106m = 3894 Km. 2.5

根据图2.3得：设摄像机能看到物体的长度为x (mm)，则有:500/x=35/14; 解得：x=200，所以相机的分辨率为：2048/200=10;所以能解析的线对为：10/2=5线对/mm.

2.7 假设中心在（x0,y0）的平坦区域被一个强度分布为： ]

)0()0[(22),(y y x x Ke

y x i -+--= 的光源照射。为简单起见，假设区域的反射

是恒定的，并等于1.0，令K=255。如果图像用k 比特的强度分辨率进行数字化，并且眼睛可检测相邻像素间8种灰度的突变，那么k 取什么值将导致可见的伪轮廓？

解：题中的图像是由：

()()()()()[]()()[]2

025501255y y x x y y x x e .e y ,x r y ,x i y ,x f -+---+--=?==

一个截面图像见图（a）。如果图像使用k比特的强度分辨率，然后我们有情况见图（b），其中()k

?。因为眼睛可检测4种灰度突变，因此，

255+

?，K= 6。也就是说，k2小于64的话，会出现可见的伪轮廓。G2

256

2.9

(a)传输数据包(包括起始比特和终止比特)为：N=n+m=10bits。对于一幅2048×2048 大小的图像，其总的数据量为()N

2048，故以56K 波特的速率传输

所需时间为：

()()min

2048

560002=

56000

748

T48

(b) 以3000K 波特的速率传输所需时间为

()()s

30000002=

2048

T98

3000000

2.10

解：图像宽高比为16:9，且水平电视线的条数是1080条，则：竖直电视线为1080

×（16/9）=1920 像素/线。

由题意可知每场用1s 的1/60，则：每帧用时2×1/60=1/30 秒。

则该系统每1/30 秒的时间形成一幅1920×1080 分辨率的红、绿、蓝每个像素都有8 比特的图像。又因为90min 为5400 秒，故储存90min 的电视节目所需的空间是：

s .bits .byte 10001110062854003038192010801212?=?=?????

2.11

解：p 和q 如图所示：

(a) 1S 和2S 不是4 邻接，因为q 不在()p N 4集中。 (b) 1S 和2S 是8 连接，因为q 在()p N 8集。

2.12 提出将一个像素宽度的8通路转换为4通路的一种算法。

解：找出一个像素点的所有邻接情况，将对角元素转化成相应的四邻接元素。如下图所示：

2.13 提出将一个像素宽度的m 通路转换为4通路的一种算法。解：把m 通道转换成4 通道仅仅只需要将对角线通道转换成4 通道，由于m 通道是8 通道与4 通道的混合通道，4 通道的转换不变，将8 通道转换成4 通道即可。

如图所示：

(1) 4 邻域关系不变

(2) 8 领域关系变换如下图所示

2.15 （没答案，自己做的，看对不对）

(1)在V＝｛0,1,2｝时，p和q之间通路的D

4距离为8（两种情况均为8），D

距

离为4，D

距离为6。

(2) 在V＝｛2,3,4｝时，p和q之间通路的D

4距离为∞，D

距离为4，D

距离为

5。

p 和q 之间不存在4 邻接路径，因为不同时存在从p 到q 像素的4 毗邻像素和具备V 的值，情况如图(a)所示。p 不能到达q。

2.16

解：

(a) 点p(x ，y ）和点q(s ，t)两点之间最短4 通路如下图所示，其中假设所有点沿路径V 。路径段长度分别为t y s x --和，由D4距离的定义可知，通路总长度| X-S|+| Y-T|，（这个距离是独立于任何点之间可能存在的任何路径），显然4D 距离是等于这两点间的最短4通路。所以当路径的长度是t y s x -+-，满足这种情况。

(b) 路径可能未必惟一的，取决于V 和沿途的点值。

2.18

由公式H [f(x,y)]=g(x,y)(2.6-1),

让H 表示相邻的和操作,让1S 和2S 表示两个不同子图像区的小值,并让1S + 2S 表示相应的总数1S 和2S 像素,如在2.5.4节里的解释. 注意到附近的大小(即像素数字)并没有随着这总和的改变而改变。H 计算像素值是一个给定的区域。然后,

()21bS aS H +

意味着:

(1)在每个子区域里乘像素,

(2)从1aS 到2bS 每个像素值相加(首先产生一个单独的子区域)

(3)在单独的子图像区域里计算所有像素值的和。让1ap 和2ap 表示两个任意(但相应的)像素21bS aS +。

然后我们可以依据Eq.(2.6 - 1),表明H 是一个线性算子。

2.19（两个版本答案，一个意思）

（1）中值ζ表示，数集的一半数值比它大，另一半比它小。

一个简单的例子能够表明,Eq.(2.6 - 1)的平均算子操作。

让S1 = {1,-2，3}, S2 = {4，5，6}, a = b = 1. 在这种情况下,H是平均算子。

然后有H(S1 + S2)=中值{ 5,3,9 } = 5，S1 + S2是S1和S2的和。

接下来,计算H(S1)=中值{ 1、-2、3 } =1和H(S2)=中值{ 4、5、6 } = 5。

然后,从H(aS1 + bS2)≠aH(S1)+ bH(S2),因此,子图像区域S中值的算子是非线性的。

（2）

2.20

因为()()()y ,x y ,x f y ,x g η+= ()==

∑1

,(,)K

i i

g x y g x y K

()=??

??=????

∑11,(,)K

i i E g x y E g x y K ()()()η=??=+???

∑1

,,K

i i i

E f x y x y K ()()()η==????

=+= ? ?????

∑∑1111,,,K

K i i i i E f x y E x y f x y K K ()σσ=????= ?????∑2

211,(,)K

i i g x y g x y K

()()()ση=??=+????

∑22

11,,K

i i i f x y x y K

()()ησσησ==????=+= ? ?????

∑∑2

22111

11,,K K i i i i f x y x y K K K

2.23 （没答案看看做的对不对）

(a) 为A 的补集

(b) C B A I I

()()()C B A C A C B B A I I I Y I Y I 2- ()()C B B A B C A I I Y I -- 2.24（看看翻的对不对）

答：使用三角区即三个约束点，所以我们可以解决以下的系数为6的线性方程组：

543

21c y c x c y c y c x c x ++='++='

实施空间变换。插值强度可使用2.4.4节的方法。 2.25（看看翻的对不对）

傅里叶变换核是可分的，因为：

()()()()()()v ,y r u ,x r e e e v ,u ,y ,x r N /vy j M /ux j N /vy M /ux j 21222===--+-πππ

傅里叶变换核是对称的，因为：

()()()()()v ,y r u ,x r e e e N /vy j M /ux j N /vy M /ux j 11222==--+-πππ

2.26（看看翻的对不对）

由可分离变换核的定义知其中：

当x值固定时，可看作f(x,y)某一行的一维变换，当x从0变换到M-1时计算出整个数组T（x,v），然后，通过替换这个数组的最后一行以前的方程我们可以得到T（x,v）按列的一维变换。也就是说，当一个图像是内核可分的，我们可以计算图像沿行的一维变换，然后我们计算中间的一列得到最终的二维变换T(u,v).这和先计算列的一维变换再计算中间行得到二维变换最终结果是相同的。

从式（2.6-33），二维傅里叶变换是由：

它很容易验证，傅立叶变换核是可分离的（参见题2.25），所以我们可以写这个方程：

是沿着f(x,y)行的一维傅里叶变换，X= 0，1，……，M-1。

第三章

（a ）由2

)(Kr Ae

r T s -==，3/2

0A Ae KL =-得：)3/1ln(20=-KL ，2

0/0986.1L K =

0986

.1)(r L Ae r T s -==

（b ）、由

， 4/)1(2

0B e KL =--B 得：

)4/3ln(20=-KL ,2

0/2877.0L K =

)1()(2

2877.0r L e B r T s --==

（c ）、

3.4

逐次查找像素值，如（x ，y ）=（0，0）点的f （x ，y ）值。若该灰度值的4比特的第0位是1，则该位置的灰度值全部置1，变为15；否则全部置0，变为0。因此第7位平面[0,7]置0，[7,15]置1，第6位平面[0,3]，[4,7]置0，[8,11]，[12,15]置15。依次对图像的全部像素进行操作得到第0位平面，若

是第i 位平面，则该位置的第i 位值是0还是1，若是1，则全置1，变为15，若是0，则全置0

设像素的总数为

n ，

是输入图像的强度值，由

，rk

对应sk ，所以，由

和得由此

得知，第二次直方图均衡化处理的结果与第一次直方图均衡化处理的结果相同，这里我们假设忽略不计四舍五入的误差。 3.11

dw w p z G v z z )()(0?

==,??

?=<<-5.0041

5.044)(ππw w

w w

z w p

{

5.0021

5.02210

22)()(<<<<+-=

==?z z z z z z

z dw w p z G v

令v s =得

所以?????

=????

?==-<<+-±<<--+-±

±-±-5.0

102215.0121)2(25.022125.01

2)(r r r r r r v v v G z 3.12 第k 个点邻域内的局部增强直方图的值为：

P r (r k )=n k /n (k=0,1,2,……K-1)。这里n k 是灰度级为r k 的像素个数，n 是邻域内像素的总个数，k 是图像中可能的灰度级总数。假设此邻域从左以一个像素为步长向右移动。这样最左面的列将被删除的同时在后面又产生一个新的列。变化后的

直方图则变成： (k=0,1,2,……K-1)

这里n lk 是灰度级r k 在左面的列出现的次数，n rk 则为在右面出现的次数。上式也可以改写成：

(k=0,1,2,……K-1)

同样的方法也适用于其他邻域的移动：

这里a k 是灰度级r k 在邻域内在移动中被删除的像素数，b k 则是在移动中引入的像素数：

(k=0,1,2,……K-1)

上式等号右边的第一项为0（因为f 中的元素均为常数）。变量是噪声的简单

抽样，它的方差是

。因此

并且我们可以得到

。上述过程证明了式2

),(2

)

,(1y x y x g K

ησσ=

的有效性。

（A ）中值是]2/)1[(2+=n ζ的最大值

（B ）一旦中值被找出，我们简单的删除邻域边缘的值，在合适的位置插入合适的值

旋转前坐标的拉普拉斯定义为22222

x f f ??+??=?，旋转后坐标的拉普拉斯定义为

2'22'22

x f f ??+??=?，现在给出θθθθcos sin sin cos ,,,,y x y y x x +=-=和，其中θ指

轴旋转的角度，若想证明拉普拉斯变换是各向同性的，只需证明

2'22'22222y f x f y f x f ??+??=??+??，首先，θθsin cos ,,'y

f x f x y y f x x x f x f ??+??=????+????=?? 两边对'x 求导得，

θθθθθθ2222

222

,2sin sin cos )(cos sin )(cos y

f x f y y f x x f x f ??+????+????+??=?? （1）同理可得，

θθcos sin ,,'y

x f y y y f y x x f y f ??+??-=????+????=?? 两边对,y 求导得，

θθθθθθ2222

222

,2sin sin cos )(cos sin )(cos y f x f y y f x x f y f ??+????-????-??=?? （2）（1）和（2）式相加得，2'22'22222y

x f y f x f ??+??=??+??，所以拉普拉斯变换是各向同

性的。

3.28 使用式（3.6-6）给出的拉普拉斯定义，证明从一幅图像中减去相应的拉普拉斯图像等同于对图像进行非锐化模板处理。

),(4)]1,()1,(),1(),1([2y x f y x f y x f y x f y x f f --+++-++=? （3.6.6）

考虑到下列公式

其中),(_

y x f 是),(y x f 预先确定的临域的平均数，更确切的说就是以),(y x 为中心并且包括中心像素以及四个相邻像素。把上面的等式的最后一行的常量视为均衡因子（或比例因子），我们可以写出

),(),(),(),(_

y x f y x f y x f y x f -≈?-

等式的右端就是等式),(),(),(_

y x f y x f y x f s -=给出的非锐化掩膜处理的定义。因此验证了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜处理。 3.29题

/1222

/122])()[(

][)f (y

f x f G G ma

g f y x ??+??=+=?=? （3.6.11） |

|||y x G G f +≈?

（3.6.12）

（a ）由

θθsin cos 'y f x f x f ??+??=??和θθcos sin 'y

f x f y f ??+??-=??

2'22'22222y f x f y f x f ??+??=??+??或2/12'22'22/12222)()(y

f x f y f x f ??+??=??+?? 因此,我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子（b ）从上面的结果得||

||x

G x ??=，||||y f G y ??=

|sin cos |||

||''θθy f x f x f G x ??+??=??=，|cos sin |||||''θθy

x f y f G y ??+??-=??= 显然得到||||||||''y x y x G G G G +≠+

4.1 重复例4.1，但是用函数()2(/4/4)

f t=，对于其他所有

=-≤和()0

f t A W W

的t值。对你的结果和例子中的结果之间的任何不同，解释原因。

解：

()()()()2244

424

2sin 22sin 2sin 22

j t W j t W W j t

W j W j W

j W j W

j j F f t e dt Ae dt A e j A e e j A e e j e e j

W F W AW

W πμπμπμπμ

πμπμ

πμθ

θμπμ

πμπμθπμμπμπμπμ∞

--∞-------===-

??=--??

????=-????

-=??

∴=

????? ?

??=?

Q 傅立叶变换的幅值是不变的；由于周期不同，

4.2 证明式（4.4-2）

()()()()()()~

2222j t j t n j t n j n Tt

n n F f t e dt

f t t n T e dt f t t n T e dt

f e πμπμπμπμμδδ∞--∞∞

∞

--∞=-∞∞

∞

--∞

=-∞

∞

-?=-∞

==-?=-?=

∑

∑?∑

中的

()~

F μ在两个方向上是无限周期的，周期为1/T ?

证明：

(1) 要证明两个方向上是无限周期1/T ?，只需证明

根据如下式子：

可得：

其中上式第三行，由于k, n 是整数，且和的极限是关于原点对称。 (2) 同样的需要证明

根据如下式子：

()()()()()()~

2222j t j t n j t n j n Tt

n n F f t e dt

f t t n T e dt f t t n T e dt f e πμπμπμπμμδδ∞--∞∞

∞

--∞=-∞∞

∞

--∞

=-∞

∞

-?=-∞

==-?=-?=

∑

?∑?∑

可得：

其中第三行由于k, n 都为整数，所以

21j kn

π-=。

4.3 可以证明（Brancewell[2000]）1()1()t t δδ??和。

使用前一个性质和表4.3中的平移性质，证明连续函数()cos(2)f t nt π=的傅立叶变换是()()()()1/2F n n μδμδμ=++-????，其中是一个实数。证明：

根据一维傅里叶变换公式：

可得：

?∞

∞

---∞

∞

--∞∞----∞

∞

--∞

∞

-+=

=dt

e e dt e

e dt

e e e dt

e nt dt

e t

f ut j nt j ut

j nt j ut j nt j nt j ut j ut j ππππππππππ2222222222

1 ][21

)2cos( )(F(u)

根据傅里叶变换性质可得：

根据一个常数f(t)=1的傅里叶变换是一个脉冲响应可得：

所以可得如下两个等式：

2-2(1)()(1)(+)

j nt j nt

e n e

n ππδμδμ=-=

所以：

[

])()(2

1F(u)n u n u -++=

δδ 4.4 考虑连续函数()cos(2)f t nt π=

(a) ()f t 的周期是多少？(b)()f t 的频率是多少?

(a) 根据22nt ππ=，所以周期为1/t n =

(b) 频率为n ，给定的正弦波的连续傅立叶变换如在图。 P4.4（a ）（见习题4.3），采样数据（示出了几个期间）的变换所示的一般形式的如图P4.4（b ）（虚线框是一个理想的过滤器，将允许重建如果该正弦函数进行采样，采样定理满意）。

4.8

解：

(a) 根据正交性，将式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得

最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-4)代入式(4.6-5)应用同样的过程生成n f 的相似特性。

(b) 如上小题，根据正交性，将式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得

最后一步是根据问题的陈述中给出的正交条件，将式(4.4-6)代入式(4.6-7)应用同样的过程生成()f x 的相似特性。

4.9证明式(4.4-8) ()()F u kM F u +=和式(4.4-9) ()()f x kM f x +=的正确性。证明：

(1) 证明等式()()

k 0,1, 2...F u kM F u +==±±

将u u kM =+代入4.4.6式()12/0

(),0,1,2,,1M j ux M n F u f x e u M π--===-∑K ：

()1

2()/0

12/20() () F(u)

M j u kM x M

n M j ux M j kx

n F u kM f x e f x e e

πππ--+=---=+=??=????

=∑∑

最后一步因为k 和x 都是整数，21j kx

π-=。

(2) 同理可以对4.4.9式周期性的证明，将u u kM =+代入4.4.7式

()12/0

(),0,1,2,,1M j ux M

n f x F u e

u M M

π-==

=-∑K

()()()()

12()/0

12/201

1 =M j u kM x M

n M j ux M j kx

n f x kM F u e M

F u e e M f x πππ-+=-=+=

??=????∑

∑

4.10 证明一个变量的离散卷积定理的正确性[见式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式(4.2-10) ]。证明：

证明卷积定理等价于证明