(完整版)高等数学第七版下册复习纲要
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
最新2023年人教版七年级数学下册复习提纲(全册)
最新2023年人教版七年级数学下册复习
提纲(全册)
1. 基本概念复
- 数的基本概念和运算规律
- 有理数的概念和性质
- 整式的加减乘除法
- 算术式和代数式的转化
2. 分数与分式
- 分数的概念和意义
- 分数的相等性质和大小比较
- 分数的四则运算
- 分式的概念和运算法则
3. 一次函数
- 一次函数的概念和性质
- 一次函数的图像和表示方法
- 一次函数的斜率和截距
- 一次函数的应用问题
4. 几何图形与运动
- 几何图形的分类和性质
- 平面图形的周长和面积计算- 直角坐标系和平面直角坐标系- 图形的变换与运动
5. 数据统计
- 统计调查的方法和步骤
- 数据的收集和整理
- 统计图表的绘制和分析
- 数据的描述和解读
6. 算法与逻辑
- 算法的基本概念和特点
- 算法设计的基本思想和方法- 逻辑推理和问题求解
- 编程思维的培养
7. 考试复重点
- 各章节的重点知识和考点
- 典型题型的解题思路和方法
- 题的抽取和分类复
- 考前重点强化和应试技巧
以上就是最新2023年人教版七年级数学下册的复习提纲，希望对你的学习和备考有所帮助。
祝你学习进步！。
高等数学下册考试提纲
高等数学下册考试提纲第一篇：高等数学下册考试提纲高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限二、求向量投影，已知一定条件求平面方程三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题第二篇：《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲――各专业（工科及管理类专业）适用1.极限与连续数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。
函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。
微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。
3.中值定理及其导数应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。
函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。
曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。
4.不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。
高等数学-下期末复习提纲 PPT课件
易得最大值、最小值分别为 f (3, 0) 9, f (0, 0) 0 .
第四章 多元函数积分学
重 点 二重积分计算(直角系与极坐标)、三重积分计算 (直角系、柱坐标系、球坐标系)、利用三重积分 求物体体积与质量.
再见！
x0
ln(
y
x)
y 1
y 1
x
ln(1
0)
1
1 02
1.
例8、设
z
4x3
3x2
y
3xy 2
x
y
,
求
2z x2
,
2z .
yx
解 z 12x2 6xy 3y 2 1,
x
z 3x2 6xy 1;
例7、求下列函数的极限
(1)
lim (x2
x0
y2
)sin
x2
1
y2
;
y0
解
lim( x 2
x0
y2 ) sin
x2
1
y2
lim u sin 1
u0
u
0,
其中u
=
x2
y2；
y0
(2) limln( y x)
y
.
xy01
1 x2
解
lim
与球面
所围立体.
高等数学第七版下册复习纲要
高等数学第七版下册复习纲要Chapter 7: XXXI。
XXX1.Order of a XXX: The highest order of the unknown n'XXX is called the order of the XXX.2.XXX an identity is called a XXX.XXX the same number of independent arbitrary constants as the order of the n is called the general XXX.Particular XXX.3.XXX: A particular XXX initial ns。
or it can be directly observed from the n of the XXX。
XXX not always XXX.II。
XXX1.XXX1) Form of the n: g(y)dy = f(x)dx.2) XXX: n of variables.3) n steps:① Separate the variables and write XXX(y)dy =② XXX(y) = F(x) + C in the form of ∫g(y)dy = ∫f(x)dx;③ Make the XXX.2.XXX1) Form of the n:dyφdx2) XXX: Variable n.3) n steps:① Introduce a new variable u = y/x。
then y = ux and dy/dx = u + xdu/dx;② Substitute y = ux and dy/dx = u + xdu/dx into the original n to get u + xdu/dx = φ(u);③ Separate variables and XXX;④ Substitute u back to get the n in terms of y and x.3.XXX1) Form of the n:dy/dx + P(x)y = Q(x).XXX: dy/dx + P(x)y = 0.Non-XXX: dy/dx + P(x)y = Q(x) ≠ 0.2) XXX:XXX: XXX variables.The general XXX is y = Ce^(-∫P(x)dx)。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高等数学第七版下册教学大纲
高等数学第七版下册教学大纲一、课程简介本课程为高等数学下册，主要内容为多元函数微积分学，包括多元函数的极限、连续、偏导数及其应用、多元函数的微分、多元函数的泰勒展开公式等。
通过学习本课程，学生将会深入理解高维空间中的函数、方向导数、梯度、散度、旋度等概念，并学习应用于物理、工程等领域的典型问题。
二、教学目标本课程的教学目标是：1.掌握多元函数的极限、连续、偏导数及其应用；2.理解多元函数的微分、泰勒展开公式；3.能够应用多元函数微积分学知识解决物理、工程等领域的相关实际问题。
三、教学内容3.1 多元函数的极限、连续、偏导数及其应用• 3.1.1 二元函数的极限、连续、偏导数及其应用• 3.1.2 三元函数的极限、连续、偏导数及其应用• 3.1.3 多元函数的极限、连续、偏导数及其应用3.2 多元函数的微分、泰勒展开公式• 3.2.1 二元函数的微分、全微分• 3.2.2 三元函数的微分、全微分• 3.2.3 多元函数的微分、全微分• 3.2.4 多元函数的泰勒展开公式3.3 多元函数微积分学的应用• 3.3.1 高维空间中的方向导数• 3.3.2 高维空间中的梯度、散度、旋度• 3.3.3 多元函数的最值与最优化四、教学方法本课程采用讲授、案例分析、课堂思考与演示、互动式探究等教学方法。
其中，案例分析将重点介绍一些典型的物理、工程等建模问题，丰富学生的数学应用能力；课堂思考与演示将通过小组或单独讨论的方式，促进学生理解、运用多元函数微积分学知识的能力。
同时，互动式探究也将为学生提供更多自主学习的机会。
五、评测方式评测方式采用平时成绩与期末考试成绩结合的方式，其中平时成绩占总成绩的30%、期末考试成绩占总成绩的70%。
其中，平时成绩包括参与课堂讨论及小组报告等。
六、教材及参考书目6.1 教材高等数学第七版下册，同济大学出版社6.2 参考书目1.微积分学，J. Stewart，第七版，机械工业出版社2.多元函数微积分学及其应用，R. Adams，第七版，机械工业出版社七、教学进度教学进度根据具体学期情况而定。
高数下册知识点 - 第七版
求出所有驻点，对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) ，令
A f xx ( x0 , y0 ) ， B f xy ( x0 , y0 ) ， C f yy ( x0 , y0 ) ，
2 ① 若 AC B 0 ， A 0 ，函数有极小值， 2 若 AC B 0 ， A 0 ，函数有极大值；
2） a b a b 0 a b a x bx a y by a z bz 2、 向量积： c a b 大小： a b sin ，方向： a , b , c 符合右手规则 1） a a 0 2） a // b a b 0 i j k a b ax a y az bx by bz 运算律：反交换律 b a a b
x x0 mt y y0 nt 3、 参数式方程： z z0 pt 4、 两直线的夹角： s1 (m1 , n1 , p1 ) ， s2 (m2 , n2 , p2 ) ，
cos
m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 m12 n12 p12 m2 n2 p2
f y ( x0 , y0 ) lim
6、 方向导数：
y0
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y
7、 梯度： z f ( x, y) ，则 gradf ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。
cos 2 cos 2 cos 2 1
a a cos ，其中 为向量 a 与 u 5） 投影： Pr ju 的夹角。
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② . 两端积分： g ( y)dy f (x)dx ，得隐式通解 G ( y) F ( x) C ；
③ . 将隐函数显化 .
2. 齐次方程及其解法
dy
y
(1). 方程的形式：
.
dx
x
(2). 方程的解法：变量替换法
(3). 求解步骤
①．引进新变量 u
y ，有 y ux 及 dy
du ux ；
x
dx
三、直线
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
1. 过点 P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s ( m, n, p) 为方向向量的直线的点向式 ( 对称式、标准 ) 方程：
x x0 m
y y0 n
z z0 . p
2. 过点 P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s (m, n, p) 为方向向量的直线的参数式方程：
dz z du z dv dt u dt v dt
2. 中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：
5
z f (u,v),u ( x, y),v ( x, y), z f ( (x, y), ( x, y)) ，
z zu zv z zu zv ,
x u x vx y u x vx
六、隐函数微分法
对方程
P( x) y
Q( x) ，设 y
u( x)e
P(x)d x
为其通解，其中
u( x) 为未知函数，
dx
从而有
dy u ( x) e P(x ) d x u( x) P( x)e P (x) d x ， dx
代入原方程有 u ( x) e P( x) d x u( x) P( x)e P( x )d x P( x)u( x)e P (x) d x Q (x) ，
L1 L 2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 .
7. 直线 L1 : x x1 m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 的夹角： p2
cos
m1 m2 n1n 2 p1 p2
m12 n12 p12
m22
n
2 2
.
p
2 2
x 8. 直线 L :
P( x) y
Q( x)
0.
dx
1
(2). 一阶齐次线性微分方程 dy P(x) y 0 的解法 : 分离变量法 . dx
通解为 y Ce P (x )d x ,( C R ). ( 公式 )
(3). 一阶非齐次线性微分方程 dy P( x) y Q(x) 0 的解法 : 常数变易法 . dx
dy
yx
注：若二阶混合偏导数
2z
2z
与
连续，则二者相等 .
xy yx
三、二元函数的全微分： dz
z dx
x
z dy y
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系
1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系
.
2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：
全微分存在，偏导数存在；反之未必 .( 偏导数不存在，全微分一定不存在 )
ux
vx
uv
，可以解出
,.
G Gu Gv
xx
0
x ux vx
七、偏导数的几何应用
1. 曲线的切线方程和法平面方程
x 1). 以参数式方程 y
z
(t ), (t), 表示的曲线在 t (t )
t0 对应的点 M ( x0 , y 0 , z0 ) 的
切线方程：
x
'
x0
(t 0)
y y0
'
(t 0)
z z0
第七章：微分方程
一、微分方程的相关概念
1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶
.
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解
.
通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解
.
特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解
.
3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；
dx ，( 公式 )
即 非齐次线性方程通解 =齐次线性方程通解 +非齐次线性方程特解 .
第八章：空间解析几何与向量代数
一、向量 a (xa , ya , za ), b ( xb , yb, zb), c ( xc , yc , zc )
1. 向量 a ( xa , ya, za ) 与 b (xb, yb, zb ) 的数量积： a b a b cos
1. yoz平面上的曲线 C ： f ( y , z) 0 绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面为
S ： f ( x2 y 2 , z) 0 .
F ( x, y, z) 0
2. 空间曲线 C ：
关于 xoy 平面上的投影柱面方程为： H ( x, y) 0 ；
G( x, y, z) 0
4
H (x, y) 0
x
y
cos
, cos
, cos
x2 y 2 z2
x2 y 2 z2
cos2
cos2
cos2
1 ； sin 2
sin 2
sin 2
2.
y
，
x2 y 2 z2
4. 向量 a ( xa , ya , za ) 与 b ( xb , yb , zb ) 垂直的判定：
a b a b 0 xa xb xb yb za zb 0 .
dx
du ②．代入原方程得： u x
dx
③．分离变量后求解，即解方程
(u) ；
du
dx
；
(u) u x
④．变量还原，即再用
y 代替 u . x
3. 一阶线性微分方程及其解法
(1). 方程的形式： dy P(x) y Q( x) . dx
一阶齐次线性微分方程
dy
:
P( x) y
0.
dx
dy
一阶非齐次线性微分方程 :
1. 二元函数
f ( x, y ) 在 (x0 , y 0) 点的二重极限：
lim f ( x, y)
( x ,y ) ( x0 , y0 )
A.
2. 二元函数 f ( x, y) 在 (x0 , y0) 点的连续性： lim f ( x, y) f (x0 , y0) . ( x , y) ( x0 , y0 )
: Ax By Cz D 0 的夹角：
Am Bn Cp
sin
.
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
11. 点 P( x0 , y 0 , z0 ) 到直线
A1 x B1 y C1z D1
0 的距离： d
A2 x B2 y C2z D2 0
四、曲线、曲面
PM s ，其中 M 是直线上任意一点， s
s
n1 n2 .
二、平面
ab a
xa xb xb yb xa2 ya2
za zb . za2
1. 过点 P (x0 , y0, z0 ) ，以 n ( A, B, C ) 为法向量的平面的点法式方程：
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0) 0 .
2. 以向量 n ( A, B,C ) 为法向量的平面的一般式方程： Ax By Cz D 0 .
3. 点 M ( x1, y1, z1) 到平面 Ax By Cz D 0 的距离 d
Ax1 By1 cz1 D
错误 ! 未找到引用源。 .
A2 B2 C 2
4. 平面 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 与 2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0 平行的判定：
1 // 2
n1 // n2
1. 由一个方程确定的隐函数微分法： F ( x, y, z) 0 确定隐函数 z f ( x, y ) ，
直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即
F dx x dx
F dy y dx
F z 0 ，即 zx
F 1 F 0 F z 0 ，解得 z
x
y
zx
x
Fx' Fz'
2. 由方程组确定的隐函数组微分法：
x1
m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 平行的判定： p2
L1 // L 2
s1 // s2
m1
n1
p1 .
m2 n2 p2
x 6. 直线 L1 :
x1
m1
y y1 n1
z z1 与 L 2 : x x 2
p1
m2
y y2 n2
z z2 垂直的判定： p2
F (x, y, u, v) 0
u u( x, y)
确定隐函数
，
G(x, y, u, v) 0
v v(x, y)
直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即
F dx x dx G dx x dx
F dy y dx G dy y dx
Fu ux Gu ux
Fv vx Gv vx
0
，即
0
F Fu Fv
0
x
xa xb xb y b za zb ；
i jk 2. 向量 a ( xa , ya , za ) 与 b ( xb , yb , zb ) 的向量积： a b xa ya za .