2020年鲁教版(五四制)初一数学下学期三角形的有关证明测试卷及答案
2022年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明单元测试试题(含解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°，线段AD，AE，AF分别是ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，2、在ABC中，AB ACF的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定3、如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C 恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．A SA5、如图，在等边三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高，ABC ∠与ACB ∠的平分线交AD 于点E .已知CDE △的面积为2，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．12C ．9D ．66、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ）A ．①B ．②C ．③D ．都可以7、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠8、一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．9B ．12C ．9或12D ．11或12或139、下列语句中，为真命题的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．有理数与数轴上的点一一对应C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等10、下列语句中是命题的有（）①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC 和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等．2、如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为_____．3、如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．4、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．5、如图，在△ABC中，BC＝8，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：(1)∠AEB 的度数为 ；(2)线段AD 、BE 之间的数量关系是 ．(3)当点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化吗？ （填写“变化”或“不变”）．2、已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，连接PC 、PD ．(1)如图①，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是 ．(2)如图②，点C 、D 在射线OA 、OB 上滑动，且∠AOB ＝90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．3、如图，在ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒．(1)作AB垂直平分线交AC于点E，垂足为D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）的度数．(2)连接BE，求EBC4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．5、如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．(1)求证：DE∥BC；(2)若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080︒-⨯︒=︒综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．2、C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD >∠CAF >∠CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，∵∠CAH +∠BAE =∠BAC∴∠BAC >2∠CAH∵AF 平分∠BAC ∴12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ ∴12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ ∵AB <AC∴∠B >∠ACB∵∠B +∠ACB +∠BAC =180°∴∠B +∠ACB +∠BAC =180°>2∠ACB +∠BAC ∴1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠ ∴∠CAF <90°−∠ACB∵AD ⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3、D【解析】【分析】由折叠的性质可得CD=DF，EF=EC，结合D为BC的中点可得BD=CD=DF，可得△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质和余角的性质可得∠FAE=∠AFE，可得EF=EA可说明△AEF是等腰三角形．【详解】解：如图：∵D为BC的中点，∴BD=CD，∵将△CDE沿DE折叠，∴CD=DF，EF=EC，∴BD=CD=DF，∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∴∠FAE=∠AFE，∴EF=AE，∴△AEF是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形的个数为4．故选D．【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练运用折叠的性质是解答本题的关键．4、B【解析】【分析】利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．【详解】解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．故选：B．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．5、B【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高，可知160302BAD DAC ∠=∠=⨯︒=︒，EC 为ACB ∠的角平分线，可知160302ACE ECD ∠=∠=⨯︒=︒，可知AEC △为等腰三角形，可知AE CE =．在Rt EDC 中，2ED CE =，所以2ED AE =，在EDC △和AEC △中，高相等，所以24AEC EDC S S ==△△，所以22()12ABC ADC AEC DEC S S S S ==+=△△△△．【详解】∵等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高， ∴160302BAD DAC ∠=∠=⨯︒=︒．∵EC 为ACB ∠的角平分线， ∴160302ACE ECD ∠=∠=⨯︒=︒．∴30ACE EAC ∠=∠=︒∴AEC △为等腰三角形，∴AE CE =．在Rt EDC 中，2ED CE =，∴2ED AE =，在EDC △和AEC △中，高相等，∴24AEC EDC S S ==△△，在等边三角形中，AD 是BC 边上的高，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一）∴BD CD =，∴ABD ADC S S △△＝，∴22()12ABC ADC AEC DEC S S S S ==+=△△△△．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住30角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．6、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．7、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】解：由题意知，ABC DCB ∠=∠，BC=CB ，当AB DC =时，可依据SAS 证明△ABC ≌△DCB ，故选项A 不符合题意；当AC DB=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；∠=∠时，可依据ASA证明△ABC≌△DCB，故选项D不符合题意；当ACB DBC故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当以2为腰时，当以5为腰时，即可求解．【详解】解：当以2为腰时，该等腰三角形的三边长为2，2，5，+=<，∵2245∴不合题意，舍去；当以5为腰时，该等腰三角形的三边长为2，5，5，++=，∴这个等腰三角形的周长为25512∴这个等腰三角形的周长为12．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．9、A【解析】【分析】利用平行线的判定、有理数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；B、实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、有理数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的判定方法，难度不大．10、B【解析】【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题；②作点A关于直线l的对称点A'，不是命题；③三边对应相等的两个三角形全等吗？不是命题；④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题1、5或10##10或5【解析】【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，AB PQ AP AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论．2、12【解析】【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【详解】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，∵AB=5，AC=7，∴AB+AC=12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．3、55【解析】【分析】连接AF 并延长至点D ，根据线段垂直平分线的性质得到FA FB =，FA FC =，根据等腰三角形的性质得到FAB FBA ∠=∠，FAC FCA ∠=∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：连接AF 并延长至点D ，点F 是边AB 、AC 的中垂线的交点，FA FB ∴=，FA FC =，FAB FBA ∴∠=∠，FAC FCA ∠=∠，12BAD BFD ∴∠=∠，12CAF CFD ∠=∠， 111105522BAC BFC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：55．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4、2【解析】【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD的长．【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，而PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．5、8【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故答案为8．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．三、解答题1、(1)60°(2)AD＝BE(3)变化【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；（3）分类讨论当点E在ABC内部和当点E在ABC外部时，根据三角形内角和定理和全等三角形的性质即可证明．(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC-∠CED＝60°．故答案为：60°．(2)∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．(3)点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化，理由如下：①如图，当点E 在ABC 内部时∵60ABE ∠<︒，60BAE ∠<︒，∴120ABE BAE ∠+∠<︒，∴180********AEB ABE BAE ∠=︒-∠-∠>︒-︒=︒；②如图，当点E 在ABC 外部时，根据（1）同理易证()ACD BCE SAS △≌△，∴CAD CBE ∠=∠，∵120CAB ABC CAD BAD ABC ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴120CBE BAD ABC ∠+∠+∠=︒，即120ABE BAD ∠+∠=︒，∴120ABE BAE ∠+∠>︒，∴60AEB ∠<︒．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2、 (1)PC ＝PD(2)成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可知PC＝PD；（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．(1)解：PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；(2)证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE 和△PDF 中，PCE PDF PEC PFD PE PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PCE ≌△PDF （AAS ），∴PC ＝PD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的证明，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．3、 (1)作图见解析(2)45︒【解析】【分析】（1）分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可； （2）连接,BE 利用等腰三角形的性质，先求解,ABC ∠ 再证明30,A EBA 再利用角的和差关系可得答案.(1)解：如图，直线DE 是所求作的线段AB 的垂直平分线，(2)BE解：如图，连接,=，30AB AC∠=︒，A1ABC C1803075,2DE是AB的垂直平分线，∴=,EB EAA EBA30,EBC ABC EBA753045.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.4、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y=32y，解得y=1，∴DE=1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．5、 (1)见解析(2)72°【解析】【分析】（1）由角平分线的性质推出∠ABE=∠CBE ，由等边对等角求出∠ABE =∠DEB ，得到∠DEB =∠CBE ，即可推出结论；（2）根据等腰三角形的等边对等角的性质求出∠ABC 和∠C 的度数得到∠CBE 的度数，利用三角形内角和定理求出∠BEC ．(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DB ＝DE ．∴∠ABE =∠DEB ，∴∠DEB =∠CBE ，∴∥DE BC ；(2)解：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC =()()11180180367222C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴∠ABE=∠CBE =36°，∴∠BEC =18072CBE C ︒-∠-∠=︒．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，平行线的判定定理，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键．。
七下第10章三角形的有关证明10-4线段的垂直平分线习题鲁教版五四制
以点 B，C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两 弧交于点 E，作射线 AE，在射线 AE 上任取一点 D，
连接 DC．若 CD＝5，则 AD 的长为( )
A．10
B．11
C．12
D．6 5
【点拨】 连接 BE，CE，设 AD 交 BC 于点 O . 由作图步骤可知 BE＝CE， ∴点 E 在线段 BC 的垂直平分线上． ∵AB＝AC＝3 5， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上． ∴AE 垂直平分线段 BC.
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
【点拨】 若PA＝PB，只能说明点P是线段AB的垂直平分线上
的点，但过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线．
【答案】 D
4 已知C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD， 点P在直线CD上．若AP＝5，则BP的长为( ) A．2.5 B．5 C．10 D．25
【点拨】
∵AC＝BC，AD＝BD，∴点C，D都在线段AB的垂 直平分线上，即直线CD是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线CD上，∴BP＝AP＝5.
【答案】 B
5 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则 点D在线段( )的垂直平分线上.
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
【点拨】 ∵BC＝BD＋AD＝BD＋CD， ∴AD＝CD.∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【答案】 B
6 【2023·威海荣成市期中】如图，点E，F，G，Q，H 在一条直线上，且EF＝GH，直线l为线段FG的垂直 平分线，下列结论正确的是( )
A．AE＝AQ
B．AE＝AH
鲁教版七年级下数学《第十章三角形的有关证明》单元测试含答案
第十章 三角形的有关证明 单元测试一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm2.如图1，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得P A +PC ＝BC ，则下列选项正确的是（ ）3.如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70° 4.如图3，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为（ ）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 mA. 若a ＝b ，则a 2＝b 2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等7.如图5，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（ ）A.3B. 1C.2D. 28.如图6，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积为（ ）A. 10B. 7C. 5D. 49.如图7，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）图4 D C B A E 图2 A B C D图1 C B A C B A P C B A P C B A P P C B A NC B A M 图3E C B A D 图5 D C B A E 图6 图7A. 18B. 32C. 12D. 2310.如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（ ）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5 二、填空题（每小题4分，共32分）12.若一个三角形的三边长分别为3 m ，4 m ，5 m ，那么这个三角形的面积为＿＿＿.13.如图9，点D ，C ，A 在同一条直线上，在△ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝3∶5∶10，若△EDC ≌△ABC ，则∠BCE 的度数为＿＿＿.14.如图10，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，若CD ＝1，则BD ＝＿＿＿.16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为＿＿＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）17.如图13，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是＿＿＿.18.如图14，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……依次画下去，直到得到第n 条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n ＝＿＿.三、解答题（共58分）19.（6分）如图15，A D 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，那么△ACE 是等腰三角形吗？请证明你的结论.20.（8分）如图16，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，试求CD 的长.D C B AE P 图8E BC D A 图9 D C B A 图10 图12 图11 O A 1 A A 3 A 2 A 4 B C 图14 图13 D C B A 图1521.（8分）如图17，在△ABC 中，AB=AC=10 cm ，∠B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F .求证：OE ＝OF .23.（12分）如图19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是△ABC 的角平分线，点O 在BD 上，分别过点O 作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足为E ，F ，且OE=OF.（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长.24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图20，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，延长BC ，使CE ＝CD ，连接DE ，求证：BC +DC ＝AC .思路点拨：（1）由已知条件AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD ＝120°得到∠D CE ＝＿＿＿，且CE ＝CD ，可知＿＿＿；（2）要证BC +DC ＝AC ，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿.请写出完整的证明过程.附加题（15分，不计入总分）25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.参考答案一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m 2 13. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9 D C B A O E F 图18 10 8 6 图21 D C B A E F O 图19 D E C B A 图20 图17 E C B A D 图16三、19. 解：△ACE 是等腰三角形．证明：因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD=∠CAD ．因为CE ∥AD ，所以∠BAD=∠E ，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.所以AE=AC ，即△ACE 是等腰三角形．20. 解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以CD ＝AD .所以AB ＝BD +AD ＝BD +CD.设CD ＝x ，则BD ＝5－x.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得 CD 2＝BC 2+BD 2，即x 2＝32+(5－x )2，解得x ＝3.4.故CD 的长为3.4.21. 解：在△ABC 中，因为AB=AC=10 cm ，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD 是AB 边上的高，所以∠D=90°.所以CD=12AC=12×10=5（cm ），即CD 的长是5 cm ． 22. 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD . 所以∠ABD ＝∠CBD .所以BD 平分∠ABC .又因为OE ⊥A B ，OF ⊥CB ，所以OE ＝OF .23. 证明：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M .因为B D 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E ，所以OM ＝OE .又OE=OF ，所以OM=OF.所以点O 在∠BAC 的平分线上.（2）连接OC.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝13. 因为S △ABO +S △BCO +S △ACO =S △ABC ，所以12×13·OM+12×12·OE+12×5·OF=12×5×12. 由（1）知OM=OE=OF ，所以15OE=30，解得OE ＝2.24. 解：（1）等边 60° △DCE 是等边三角形（2）AC BE（3）△BED ≌△ACD证明过程如下：连接AC ，BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 是等边三角形.所以AD ＝BD ，∠ADB ＝60°. 因为∠BCD ＝120°，所以∠DCE ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°.因为CE ＝CD ，所以△DCE 是等边三角形.所以CD ＝DE ，∠CDE ＝60°.所以∠ADB +∠BDC ＝∠C DE +∠BDC ，即∠ADC ＝∠BDE .在△ADC 和△BDE 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，DC ＝DE ，所以△ADC ≌△BDE .所以AC ＝BE ＝BC +CE=BC+DC .25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+2284 ＝20+45；如图1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x 2＝(x +6)2，解得x ＝73，① 4 10 8 6② 10 6 10 8 6 ③ x +6 x 10 8 6 ④10 8 10 8 6 图1所以拼成的等腰三角形的周长为2×763⎛⎫+⎪⎝⎭+10＝803；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.。
强化训练鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习试卷(无超纲带解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）m n，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的1、若实数m，n满足等式360周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．63、下列命题中，假命题是（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等4、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A．50°B．70°C．80°D．20°或70°5、等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°6、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=（）A．2 B C D．38、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或249、如下图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）A ．ABC 三条角平分线的交点B ．ABC 三条边的中线的交点 C ．ABC 三条高的交点D ．ABC 三条边的垂直平分线的交点10、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④BRP QSP ≅△△．正确的有________（填序号）．2、如图，已知等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，则∠EFD ＝_____．3、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．5、在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠2、如图，读句画图，并回答问题．(1)画ABC 的高CD ；根据__________，因此______CD AC ；（填>、<、=、≤、≥）(2)以ABC 的边CB 上的点P 为顶点，用直尺与圆规画BPE ∠，使180BPE C ∠+∠=︒，BPE ∠的边PE 交线段AC 于点E ．3、如图①，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，过点A 作直线AC 的垂线交BC 于点D ．(1)求∠BAD 的度数；(2)若AC ＝AB 的长；(3)如图②，过点A 作∠DAC 的角平分线交BC 于点P ，点D 关于直线AP 的对称点为E ，试探究线段CE 与BD 之间的数量关系，并对结论给予证明．4、如图，在△ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AB =4，BC =12，AD =3，若点P 在BC 上运动．(1)求线段DP 的最小值；(2)当DP 最小时，求CDP 的面积．5、如图，在ABC 中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．(1)求证：ABE CAD ∠=∠(2)试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n值，再根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系解答即可．【详解】m n，解：∵实数m，n满足等式360∴m－3=0，n－6=0，∴m=3，n=6，∵m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，∴当n=6为腰长时，m=3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC的周长是3+6+6=15；当n=6为底边长时，m=3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去，综上，△ABC的周长是15，故选：C．【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，利用分类讨论思想和三角形的三边关系求解是解答的关键．2、A【解析】【分析】过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得2==，进而根据S△ADB＋S△ADC＝7，利用三角形DE EF面积公式即可求得AC的长【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝7，∴S△ADB＋S△ADC＝7，∴1122AB DE AC DF⨯⨯+⨯⨯＝7，∴1142222AC⨯⨯+⨯⨯＝7，解得：AC＝3，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C 符合题意； 如图，90,,,,,C N AD MF AB MN BD DC NF FG,Rt ADB Rt MFN ≌,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.4、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．5、C【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，（180°-80°）=50°．∴它的底角度数为12故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、A【解析】【分析】根据直角三角形30︒角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =， ∴12BC AB =， ∴2AB =，故选：A ．【点睛】本题主要考查含30︒角直角三角形的性质，熟练掌握30︒角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．8、D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分PA =PB ，PA =AB ，AB =PB 三种情况求解．【详解】∵∠ACB =90°，AB =25cm ，AC =7cm ，∴BC ，当PA =PB 时，设PA =PB =x ，则PC =24-x ，∴222(24)7x x =-+，解得x =62548， ∴t =625248÷=62596； 当AB =PB 时，则AB =PB =25，∴t =252； 当AB =PA 时，则BC =PC =24，∴t =482=24； 故当△APB 为等腰三角形时，t 的值为62596或252或24，故选D ．【点睛】本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．10、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】∠=∠，BC=CB，解：由题意知，ABC DCB=时，可依据SAS证明△ABC≌△DCB，故选项A不符合题意；当AB DC=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当AC DB当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；当ACB DBC ∠=∠时，可依据ASA 证明△ABC ≌△DCB ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．二、填空题1、①②③④【解析】【分析】先利用直角三角形全等的判定定理证出Rt APR Rt APS ≅，再根据全等三角形的性质可得,30AS AR PAR PAS =∠=∠=︒，由此可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论①；先根据等腰三角形的性质可得30PAS APQ ∠=∠=︒，从而可得PAR APQ ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断结论③；先根据三角形的外角性质可得60PQS ∠=︒，从而可得B PQS ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可判断结论④．【详解】解：ABC 是等边三角形，60B BAC ∴∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，PR PS AP AP=⎧⎨=⎩， ()Rt APR Rt APS HL ∴≅，1,302AS AR PAR PAS BAC ∴=∠=∠=∠=︒，则结论②正确； AP ∴是BAC ∠的角平分线，AP BC ∴⊥（等腰三角形的三线合一），则结论①正确；AQ PQ =，30PAS APQ ∴∠=∠=︒，PAR APQ ∴∠=∠，QP AR ∴，则结论③正确；60PQS PAS APQ ∠=∠+∠=︒，B PQS ∴∠=∠，在BRP △和QSP 中，90BRP QSP B PQS PR PS ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BRP QSP AAS ≅∴，则结论④正确；综上，正确的有①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．2、45°【解析】【分析】根据等边三角形的性质与折叠的性质可得60FDE A ∠=∠=︒，AFE DFE ∠=∠由DE BC ⊥，可得30DEC ∠=︒，进而根据△FED 与FEA 的内角和为360°，即可求得90AFE FDE ∠+∠=︒，即可求得∠EFD【详解】解：∵ABC 是等边三角形60A C ∴∠=∠=︒DE BC ⊥9030DEC C∴∠=︒-∠=︒150AED∴∠=︒沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，60FDE A∴∠=∠=︒∴36090AFE DFE FDE A AED∠+∠=︒-∠-∠-∠=︒∴90AFE DFE∠+∠=︒∴AFE DFE∠=∠45=︒故答案为：45°【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．3、2【解析】【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD的长．【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，而PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．4、2【解析】【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=12BC=12×4=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．5、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，AB=12 BC，∴△ABD是等边三角形，∴BD=CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．三、解答题1、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．2、 (1)见解析；根据点与直线上所有点的连线，垂线段最短；＜(2)见解析【解析】【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的基本步骤画图即可；（2）画线段CP 的垂直平分线，根据等腰三角形的性质，平角的定义画图即可．(1)根据直线外一点作垂线的步骤，画图如下：根据点与直线上所有点的连线，垂线段最短；因此CD AC <；故答案为：垂线段最短，＜．(2)如图，作线段CP 的垂直平分线，与AC 交于点E ，则BPE ∠即为所求作．【点睛】本题考查了过直线外一点画已知直线的垂线，垂线段最短原理，线段垂直平分线的画法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．3、(1)15°(2)2(3)CE=2BD【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC=105°，再由∠DAC=90°，即可得出答案；AC（2）作AF⊥BC于F，由含30°角的直角三角形的性质得AF=12得AF=BF，从而求出AB的长；（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，则BD=BF-DF-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出结论．(1)解：∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；(2)作AF⊥BC于F，∵∠C=30°，AC∴AF=12∵∠ABF=45°，∴AF=BF∴AB AF；(3)CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠DAF=∠C=30°，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，∵BF=AF，∴BD=BF-DF-x，∵点D关于直线AP的对称点为E，∴AE=AD=2x，∴CE=AC-AE=-2x，∴CE=2BD．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．4、 (1)DP的最小值是3；(2)当DP最小时，△CDP的面积为12．【解析】【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．(1)解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，当DP⊥BC时，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；(2)解：∵∠A=90°，∴BD，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，∴PB=4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面积=12CP×DP=12×8×3=12，即当DP最小时，△CDP的面积为12．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．5、 (1)见解析(2)AB =BD +CD ，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证△ADC ≌△BDH ，可得DH =DC ，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB =BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC =∠ADC =90°，∴∠C +∠DAC =∠C +∠EBC =90°，∴∠EBC =∠DAC ，∴∠ABE =∠DAC ；【小题2】AB =BD +CD ，理由如下：在△ADC 和△BDH 中，DAC DBE ADC BDH AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△BDH （AAS ），∴DH =DC ，∴BD +DH =DB +DC =BC =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．。
鲁教版七年级三角形的有关证明练习50题及参考答案(难度系数0.2)
七年级三角形的有关证明（难度系数0.2）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线一点，当PA=CQ 时，连结PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 25【答案】 A【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质 2.如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ， AE 平分∠BAD ， 下列结论：①∠AED =90° ②∠ADE =∠CDE ③DE =BE ④AD ＝AB ＋CD ， 四个结论中成立的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】 A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质3.如图在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ=PQ ，PR=PS,AB=AC ，下面三个结论：①AS=AR ；②PQ ∥AB ；③△BRP ≌△CSP ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】 D【考点】角的平分线，全等三角形的判定与性质4.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）A. （12）n•75° B. （12）n﹣1•65° C. （12）n﹣1•75° D. （12）n•85°【答案】C【考点】等腰三角形的性质5.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质6.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为（）A. 28B. 35C. 28或35D. 21或28【答案】B【考点】等腰三角形的判定与性质7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（）A. 1.5B. 2C. √32 + 34D. √3【答案】A【考点】含30度角的直角三角形，轴对称的应用-最短距离问题8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB=DE ， BC= EF ， ∠A=∠DB. ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC= DEC. ∠A=∠E ， ∠B=∠F ， ∠C=∠DD. AB=DE ， BC= EF ， △ABC 的周长等于△DEF 的周长【答案】 D【考点】三角形全等的判定9.如图，已知∠AOB 是直角，∠AOC 是锐角，ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ，则∠MON 是（ ）A. 45ºB. 45º+12∠AOCC. 60°－12∠AOCD. 不能计算【答案】 A【考点】角平分线的性质10.等腰三角形的底角为15，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A. √3−12aB. 1+√32aC. √6−√22aD. √6+√22 a 【答案】D【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值二、填空题（共8题；共17分）11.如图，在数轴上方作一个4×4的方格(每一方格的边长为1个单位)，依次连结四边中点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，点A 落在数轴上，用圆规在点A 的左侧的数轴上取点E 使AE=AB ．若点A 在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E 表示的数是________。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克试卷(含答案详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等2、已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对3、已知ABC 的周长是16，且AB AC =，又AD BC ⊥，D 为垂足，若ABD △的周长是12，则AD 的长为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4⊥，交AB于点E．关于下面4、如图，在△ABC中，60ABC=∠，BD平分∠ABC，CE BD∠=，40A两个结论，说法正确的是（）=．结论①20ADE∠=︒；结论②BC BEA．结论①②都正确B．结论①②都错误C．只有结论①正确D．只有结论②正确5、一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．11或12或136、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A ．50°B ．70°C ．80°D ．20°或70°8、如图，已知ABD CBD ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABD ≌CBD 的是（ ）A ．AB CB = B ．AC ∠=∠ C ．AD CD = D ．ADB CDB ∠=∠9、如图，等腰直角OAB 中，OA OB =，过点A 作AD OA ⊥，若线段OA 上一点C 满足CDB OBD ∠=∠，则CBD ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．45︒D ．60︒10、下列命题中，假命题是（ ）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 长是___．2、如图，在ABC ∆中，AB AC =，//AB CD ，过点B 作BF AC ⊥于E ，交CD 于点F ，BD CD ⊥于D ，8CD =，3BD =，4BF =，ABE ∆的周长为 __．3、如图，在ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AE 平分BAC ∠，60D DBC ∠=∠=︒，若BD=6cm ，DE=4cm ，则BC 的长是______cm ．4、如图，已知在ABC 中，∠C ＝90°，MN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，则CM ＝___cm ．5、如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AC ，垂足为点E ，交BC 于点D ，连结AD ．若∠C ＝α，则∠ADB ＝_____．（用含α的代数式表示）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．2、在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，120∠=︒，EDFEDF∠的两边分别交直线AB，AC于点E，F．⊥时，请直接写出线(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DE AB⊥，DF AC段DE与DF的数量关系：______；(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：CF=，请求出(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2AE=，4AB．3、如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．4、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、点B （0，2），以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°．(1)求直线y ＝kx ＋b 的解析式；(2)求出△ABC 的面积；(3)若P （1，m ）为坐标系中的一个动点，连接PA ，PB ．当△ABC 与△ABP 面积相等时，求m 的值．5、如图，在ABC 中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．(1)求证：ABE CAD ∠=∠(2)试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．【详解】两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．2、A【解析】【分析】三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．【详解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD =DC =12BC ，∵AB +BC +AC =2AB +2BD =16，∴AB +BD =8，∴AB +BD +AD =8+AD =12，解得AD =4．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．4、A【解析】【分析】由三角形内角和定理得80ACB ∠=︒，根据ASA 可证明BCO BEO ∆≅∆得出BC BE =，CO EO =，从而得到BD 是CE 的垂直平分线，得DC =DE ，又可得70BCE ∠=︒，从而10DEC DCE ∠=∠=︒再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC 中，60A ∠=，40ABC =∠，∴180180604080ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴ABD CBD ∠=∠又CE BD ⊥∴90BOE BOC ∠=∠=︒在BEO ∆和BCO ∆中，ABO CBO BO BOBOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEO BCO ∆≅∆∴BC =BE ，CO =EO ∴18040702BCE BEC ︒-︒∠=∠==︒ ∴807010ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∵CO =EO ，CE BD ⊥∴BD 是CE 的垂直平分线，∴DC =DE ，∴10DEC DCE ∠=∠=︒∴101020ADE DEC DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5、B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当以2为腰时，当以5为腰时，即可求解．【详解】解：当以2为腰时，该等腰三角形的三边长为2，2，5，∵2245+=< ，∴不合题意，舍去；当以5为腰时，该等腰三角形的三边长为2，5，5，∴这个等腰三角形的周长为25512++= ，∴这个等腰三角形的周长为12．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE +∠DAC =360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．8、C【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．【详解】解：∵∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴当添加AB ＝CB 时，可根据“SAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故A 选项不符合题意；当添加∠A ＝∠C 时，可根据“AAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故B 选项不符合题意；当添加AD ＝CD 时，不能判断△ABD ≌△CBD ，故C 选项符合题意；当添加∠BDA ＝∠BDC 时，可根据“ASA ”判断△ABD ≌△CBD ，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用SAS 、SSS 、AAS 、ASA 判定三角形全等是解答本题的关键，SSA 不能判定三角形全等是解答本题的易错点．9、C【解析】【分析】过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，由“AAS ”可证BED BFD ∆≅∆，可得BE BF BO ==，EBD FBD ∠=∠，由“HL ”可证Rt BCF Rt BCO ≌，可得OBC CBF ∠=∠，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，AD AO ⊥，BD AO ⊥，//AD BO ∴，EDB DBO ∴∠=∠，又CDB OBD ∠=∠，EDB BDC ∴∠=∠，45BAD ∠=︒，DA AO ⊥，45DAB BAO ∴∠=∠=︒，又BE AD ⊥，BO AO ⊥，BE BO ∴=，在BED ∆和BFD ∆中，90E BFD BDE BDF BD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED BFD AAS ∴∆∆≌，BE BF BO ∴==，EBD FBD ∠=∠，在Rt BCF 和Rt BCO △中，BF BO BC BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BCF Rt BCO ≌，OBC CBF∴∠=∠，∠+∠+∠+∠=︒，360E EAO AOB OBEOBE∴∠=︒，90∴∠+∠+∠+∠=︒，EBD DBF FBC CBO90∴∠=︒，45DBC故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；C N AD MF AB MN BD DC NF FG如图，90,,,,,≌,Rt ADB Rt MFN,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.二、填空题1、4【解析】【分析】作DF AC ⊥于F ，先利用角平分线的性质得到3DF DE ==，再根据ABD ACD ABC S S S +=△△△即可得．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于F ，AD 平分BAC ∠，,,3DE AB DF AC DE ⊥⊥=，3DF DE ∴==，15,6ABD ACD ABCS S S AB +===， 116331522AC ∴⨯⨯+⨯=， 解得4AC =，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2、11【解析】【分析】由等边对等角解得∠=∠ACB ABC ，再根据两直线平行内错角相等得到ABC BCD ∠=∠，继而得到ACB BCD ∠=∠，接着证明()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ≅，由全等三角形对应边相等解得8CE CD ==，最后根据线段的和差解题．【详解】解：AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，//AB CD ，ABC BCD ∴∠=∠，ACB BCD ∴∠=∠，BE CE ⊥，BD CD ⊥，3BE BD ∴==，在Rt ΔBCE 与Rt BCD ∆中，CB CB BE BD=⎧⎨=⎩ ()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ∴≅，8CE CD ∴==，8AC AE AB AE ∴+=+=，ABE ∴∆的周长8311AE AB BE =++=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得Rt ΔRt ΔBCE BCD ≅是解题的关键．3、10【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，∵AB =AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN =CN ，∵∠DBC =∠D =60°，∴△BDM 为等边三角形，∴BD =DM =BM =6，∵DE =4，∴EM =6-4=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=12ME=1，∴BN=6-1=5，∴BC=2BN=10（cm），故答案为10．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．4、5【解析】【分析】连接BM，根据垂直平分线的性质可得MB MA，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得MC的长．【详解】如图，连接BMMN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，MB MA ∴=10=30MBA A ∴∠=∠=︒60CMB MBA A ∴∠=∠+∠=︒∠C ＝90°30CBM ∴∠=︒152CM BM ∴== 故答案为：5【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．5、2α【解析】【分析】根据线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等可知AD ＝CD ，根据等边对等角可知∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠CAD ＝∠C ＝α，∴∠ADB ＝∠CAD +∠C ＝2α．故答案为：2α．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，以及外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．三、解答题1、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y =32y -， 解得y =1，∴DE =1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．2、 (1)DE DF =(2)结论成立，理由见解析(3)4AB =【解析】【分析】（1）如图所示：连接AD ，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；（2）过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出BDG CDH ≅，DG DH =，再由各角之间的数量关系得出EDG FDH ∠=∠，利用全等三角形的判定和性质即可证明；（3）过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，根据平行线及等边三角形的性质可得60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，结合图形，利用各角之间的数量关系可得MDE CDF ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质得出MDE CDF ≅，ME CF =，设AM x =，则2AB x =，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．(1)（1）DE DF =；如图所示：连接AD ，∵ABC 为等边三角形，且点D 是BC 的中点，∴AD 平分BAC ∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，故答案为：DE DF =；(2)结论成立．DE DF =．理由：如图所示，过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ABC ∠=∠=︒，∵DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H ，∴90BGD DHC ∠=∠=︒，30BDG CDH ∠=∠=︒，∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =，在BDG 与CDH △中，B DCH BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDG CDH ≅∴DG DH =，∴180120GDH BDG CDH ∠=︒-∠-∠=︒，120EDF ∠=︒，∴GDH EDH EDF EDH ∠-∠=∠-∠，∴EDG FDH ∠=∠，在EDG △与FDH △中，EDG FDH DG DHEGD FHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴EDG FDH ≅，∴DE DF =；(3)如图，过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，∵DM AC ∥，ABC 是等边三角形，∴60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴BD DM CD BM ===，120DME DCF MDC ∠=∠=∠=︒，∵120EDF ∠=︒，∴MDE CDF ∠=∠，在MDE 与CDF 中，DME DCF DM DCMDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴MDE CDF ≅，∴ME CF =， ∵12BD BC =，AB BC =， ∴12BM AB =， 设AM x =，则2AB x =，∵CF ME AE AM ==+，2AE =，4CF =，∴24x ，∴2x =，∴24==．AB x【点睛】题目主要考查等边三角形三线合一的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3、见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，根据角平分线的定义得到∠EAD=∠DAC，于是得到结论．【详解】证明：∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，∴∠BED=∠BDE，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAC，∴∠EAD=∠ADE，∴∠BED=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，∴∠BDE=∠BED=2∠ADE，∴∠ADB=3∠EDA．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．4、 (1)y＝－23x＋2(2)13 2(3)173或－3【解析】【分析】（1）根据,A B的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝13，根据△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12AB2，即可求出△ABC的面积；（3）过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），根据△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）=132，解绝对值方程求解即可．(1)解：直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），则032k bb=+⎧⎨=⎩，解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线l的表达式为：y＝－23x＋2；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝32＋22＝13，∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝12AB2＝132；(3)过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），P（1，m）PH∴=|m－43|∵△ABC与△ABP面积相等，∴△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）＝12×|m－43|×3＝132；解得m＝－3或17 3故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为173或－3【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．．5、 (1)见解析(2)AB=BD+CD，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证△ADC ≌△BDH ，可得DH =DC ，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB =BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC =∠ADC =90°，∴∠C +∠DAC =∠C +∠EBC =90°，∴∠EBC =∠DAC ，∴∠ABE =∠DAC ；【小题2】AB =BD +CD ，理由如下：在△ADC 和△BDH 中，DAC DBE ADC BDH AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△BDH （AAS ），∴DH =DC ，∴BD +DH =DB +DC =BC =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．。
精品试题鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明达标测试试卷(精选含答案)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明达标测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252B．252或24或12C．62596或24或12 D．62596或252或243、如图，ABC中，分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线DE与AB边交于点F，与AC边交于点G，连接BG，若AC＝8，BC＝3，则GBC的周长为（）A．5 B．8 C．11 D．134、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（）A．①B．②C．③D．都可以5、下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形6、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7、如图，在△ABC中，F是高AD，BE的交点，AD=BD，BC=6，CD=2，则AF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．28、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°=．作9、如图，点C为AOB∠的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD CEOD OE的长为（）OF=，则+CF OA⊥，垂足为F，若5A．10 B．11 C．12 D．1510、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，还不能证明△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．2、若等腰三角形的一个内角为80︒，则其顶角的度数为__________．3、在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为42°，则B ∠=______．4、如图，AB =AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．若BE ∥AC ，则∠C =____．5、如图，在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，OA OB =，OC OD =，连接AC ，BD 交于点E ，BD 交OA 于点M ，AC 交OD 于点N ，连接OE ．下列四个结论一定成立的是_________（填序号）．①BD AC =②AEB AOB ∠=∠③OM ON④EO平分∠BEC三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．(1)用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．(2)当∠ABC=_____°时，BF=CA．2、如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，AB∥DE，求证：ABC≌CDE．3、在矩形ABCD中，8个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，L型模板有四个顶点落在该矩形的边上．求证：CD+BF=AD．4、如图①，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，过点A 作直线AC 的垂线交BC 于点D ．(1)求∠BAD 的度数；(2)若AC ＝AB 的长；(3)如图②，过点A 作∠DAC 的角平分线交BC 于点P ，点D 关于直线AP 的对称点为E ，试探究线段CE 与BD 之间的数量关系，并对结论给予证明．5、如图，平面直角坐标系xOy 中，1l ：124y x =-+交x 轴于A ，交y 轴于B ．另一直线2l ：2y kx b =+交x 轴于C ，交y 轴于D ，交1l 于E ．已知COD △≌BOA △．(1)求2l 解析式．(2)P ，Q 分别在线段AB 和CD 上，且CQ BP =，当PQ x ∥轴时，P 、Q 两点的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】分两种情况讨论，当腰长为6cm 时，当腰长为3cm 时，再结合三角形的三边关系可得答案.【详解】解：等腰三角形边长分别为6cm 和3cm ，当腰长为6cm 时，则三边分别为：6，6，3，符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的周长为66315++=（cm ），当腰长为3cm 时，则三边分别为：6，3，3，不符合三角形的三边关系，舍去，故选C【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握“利用等腰三角形的腰进行分类讨论”是解本题的关键.2、D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分PA =PB ，PA =AB ，AB =PB 三种情况求解．【详解】∵∠ACB =90°，AB =25cm ，AC =7cm ，∴BC ，当PA =PB 时，设PA =PB =x ，则PC =24-x ，∴222(24)7x x =-+，解得x =62548， ∴t =625248÷=62596； 当AB =PB 时，则AB =PB =25，∴t =252； 当AB =PA 时，则BC =PC =24，∴t =482=24； 故当△APB 为等腰三角形时，t 的值为62596或252或24，故选D ．【点睛】 本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据作图得知DE 是AB 的垂直平分线，得出AG =BG ，3811GBC C BC CG BG BC CG AG BC AC ∆=++=++=+=+=即可．【详解】解：根据作图得知DE 是AB 的垂直平分线，∴AG =BG ，∴3811GBC C BC CG BG BC CG AG BC AC ∆=++=++=+=+=．故选C ．【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长，掌握尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长是解题关键．4、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．5、D【解析】【分析】根据三角形外角性质、平面直角坐标系特点、全等三角形的判定和等边三角形的判定判断即可．【详解】解：A、三角形的外角大于该三角形任意一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；B、如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P不一定在第二象限，可能在第四象限，原命题是假命题；C、如果两个直角三角形，有两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；D、如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形，是真命题；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，要熟练掌握，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6、A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，AD=BD=12 AB，∵△BCE的周长是10，∴BC+BE+EC=10，即AC+BC=10，∵△ABC的周长是16，∴AB+AC+BC=16，∴AB=16-10=6，∴AD=12AB=12×6=3（cm）．故选：A．【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7、D【解析】【分析】先证明∠FBD =∠DAC ，从而利用ASA 证明△BDF ≌△ADC ，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．【详解】证明：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADC =∠FDB =∠AEF =90°，∴∠DAC +∠AFE =90°，∠FBD +∠BFD =90°，又∵∠BFD =∠AFE ，∴∠FBD =∠DAC ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD ADC FDB BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF =CD =2，∴AD =BD =BC -CD =4，∴AF =AD -DF =4-2=2；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．8、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080︒-⨯︒=︒综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．9、A【解析】【分析】过点C 作CM OB ⊥于点M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到CF CM =，再通过证明Rt CFD Rt CME ≅和Rt OCF Rt OCM ≅，得到210OD OE OF +==．【详解】如图所示，过点C 作CM OB ⊥于点M ，∵点C 为AOB ∠的角平分线l 上一点，∴CF CM =，在Rt CFD △和Rt CME 中，∵CD CE CF CM=⎧⎨=⎩， ∴()Rt CFD Rt CME HL ≅，∴DF EM =，在Rt OCF 和Rt OCM △中，∵OC OC CF CM =⎧⎨=⎩， ∴()Rt OCF Rt OCM HL ≅，∴OF OM =，∴2OD OE OF FD OE OF EM OE OF OM OF +=++=++=+=，∵5OF =，∴210OD OE OF +==．故答案选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．10、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A.∵在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；B.∵AB ＝AC ，BD ＝CE ，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C.∵在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），故本选项不符合题意；D 、根据AB ＝AC ，BE ＝CD 和∠A ＝∠A 不能推出△ABE ≌△ACD ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．二、填空题1、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，AB=12 BC，∴△ABD是等边三角形，∴BD=CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．2、80︒或20︒【解析】【分析】根据题意，分80︒的角为顶角和底角两种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求解即可【详解】解：当80︒的角为顶角时，其顶角的度数为80︒；︒-⨯︒=︒当80︒的角为底角时，其顶角的度数为18028020故答案为：80︒或20︒【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角的性质，分情况讨论是解题的关键．3、66°或24°##24°或66°【解析】【分析】分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案. 【详解】AB AC ADE DH是AB的垂直平分线，解：如图，由题意得：,42,B C DHA,90,DAH B C904248,1B DAH24,2AB AC ADE DH是AB的垂直平分线，如图，由题意得：,42,ABC ACB ADH,42,1A B904248,1804866,2综上：24B∠=︒或66.B故答案为：24︒或66.︒【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解本题的关键.4、60°##60度【解析】【分析】根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．【详解】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°．∵BE//AC，∴∠EAC=90°．∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2．∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC =∠1+∠3=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°．故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键．5、①②④．【解析】【分析】证明△AOC ≌△BOD ，即可判断①；利用△AOC ≌△BOD ，推出∠CAO =∠DBO ，得到∠OAB +∠OBA =∠OAB +∠ABE +∠CAO ，由三角形内角和定理即可判断②；无法证明△AON ≌△BOM ，即无法判断OM ON =，由此判断③；过O 作OG ⊥BD 于G ，OH ⊥AC 于H ，根据全等三角形的性质得到OG=OH ，由此判断④【详解】解：在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，∴∠AOC =∠BOD ，∵OA OB =，OC OD =，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO=∠DBO，∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABE+∠CAO，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB+∠ABE+∠CAO+∠AEB=180°，∴AEB AOB∠=∠，故②正确；∵OA=OB，∠NAO=∠MBO，无法证明∠BOM=∠AON，∴无法证明△AON≌△BOM，即无法判断OM ON=，故③错误；过O作OG⊥BD于G，OH⊥AC于H，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴1122BD OG AC OH⋅=⋅，∴OG=OH，∴EO平分∠BEC，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题1、 (1)BE＋CD＝BC，理由见解析；(2)40【解析】【分析】（1）利用角平分线得出∠EBF＝∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM＝∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG＝CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．(1)解：BE＋CD＝BC，理由如下：在BC上取一点M，使BM＝BE，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠BCF＝12∠ACB，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝120°，∴∠BFC＝180°−（∠CBF＋∠BCF）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝120°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFD ＝∠BFE ＝60°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBF ＝∠MBF ，在△BEF 和△BMF 中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEF ≌△BMF （SAS ），∴∠BFE ＝∠BFM ＝60°，∴∠CFM ＝∠BFC −∠BFM ＝60°，∴∠CFM ＝∠CFD ＝60°，∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠FCM ＝∠FCD ，在△FCM 和△FCD 中，CFM CFD CF CFFCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCM ≌△FCD （ASA ），∴CM ＝CD ，∴BC ＝CM ＋BM ＝CD ＋BE ；(2)解：当∠ABC ＝40°时，BF ＝CA ，理由如下：在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC ＝40°，∴∠ACB ＝80°，∵BD ，CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝20°，∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝40°，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠BCE ＝80°，∠ABC ＝∠BCE ，∴BE ＝CE ，在△ABC 的边AB 左侧作∠ABG ＝20°，交CE 的延长线于G ，∴∠FBG ＝∠ABD ＋∠ABG ＝40°＝∠ACE ．∵∠AEC ＝80°，∴∠BEG ＝80°，∴∠G ＝180°−∠ABG −∠BEG ＝80°＝∠BEG ＝∠AEC ，∴BG ＝BE ，∴BG ＝CE ，在△BGF 和△CEA 中，4080FBG ACE BG CEBGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△BGF ≌△CEA （ASA ），∴BF ＝AC ．故答案为：40．【点睛】主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出∠CFM ＝∠CFD ，（2）作出辅助线，判断出BG ＝CE ．2、见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得到B EDC ∠=∠，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴B EDC ∠=∠，在ABC 和△CDE 中，B EDC ACB E AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC CDE AAS ≌．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．3、证明见解析【解析】【分析】由“AAS ”可证△FEB ≌△EDC ，可得DC ＝BE ，CE ＝BF ，即可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =90°，AD =BC ，∴∠BFE +∠FEB =90°．∵8个完全相同的小正方形组成的L 型模板如图放置，∴∠FED =90°，EF =DE ，∴∠FEB +∠DEC =90°，∴∠EFB =∠DEC ，在△FEB 与△EDC 中，B C BFE DEC EF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FEB ≌△EDC （AAS ），∴DC =BE ，CE =BF ，∴AD =BC =BE +EC =BF +CD ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△FEB ≌△EDC 是本题的关键．4、 (1)15°(2)2(3)CE =2BD【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC =105°，再由∠DAC =90°，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，由含30°角的直角三角形的性质得AF =12AC得AF =BF ，从而求出AB 的长；（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，则BD=BF-DF-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出结论．(1)解：∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；(2)作AF⊥BC于F，∵∠C=30°，AC∴AF=12∵∠ABF=45°，∴AF=BF∴AB AF；(3)CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠DAF=∠C=30°，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，∵BF=AF，∴BD=BF-DF-x，∵点D关于直线AP的对称点为E，∴AE=AD=2x，∴CE=AC-AE=-2x，∴CE=2BD．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．5、 (1)212 2y x=+(2)44,33P⎛⎫⎪⎝⎭，44,33Q⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由1l 的解析式求出与x y ，轴的交点AB 、的坐标，根据全等条件求出CD 、两点坐标，将点坐标代入2l 解析式中求出k b ，的值，回代入解析式即可；（2）当PQ x ∥轴时，连接PQ ，交y 轴于点H ，过Q 作QM x ⊥轴于点M ，过P 作PN x ⊥轴于点N ，可得BPH CQM ≌，PH QM =，QM PN =，PH PN =；设P 点坐标为(),a a ，代入11:24l y x =-+求得P 点坐标，PQ x ∥轴，P Q ，有相同的纵坐标，进而求解Q 点坐标即可．(1)解：AB 、的坐标分别为()(),00,A B x y ， 将坐标代入124y x =-+得2404A B x y -+=⎧⎨=⎩解得2=4A B x y =，∴AB 、的坐标分别为()()2,00,4， ∵COD BOA ≌∴=4=2CO BO DO AO ==，∴()4,0C -，()0,2D将C D 、两点坐标代入2l 解析式得402k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得122k b ==， ∴2l 的解析式为：2122y x =+． (2) 解：如图当PQ x ∥轴时，连接PQ ，交y 轴于点H ，过Q 作QM x ⊥轴于点M ，过P 作PN x ⊥轴于点N在BPH 和CQM 中∵90HBP MCQ BHP CMQ BP CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴BPH ()CQM AAS ≌∴PH QM =，QM PN =∴PH PN =设P 点坐标为(),a a ，代入1l 的解析式中得24a a =-+ 解得43a = ∴P 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭ 把243y =代入2122y x =+中得41232x =+ 解得43x =- ∴Q 点坐标为44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭∴P Q ，两点的坐标分别为44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形全等，一次函数解析式，平行直线点坐标的特点等知识．解题的关键在于正确的求值．。
2022年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题测试练习题(精选含解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°2、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A．50°B．70°C．80°D．20°或70°3、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个x-=．则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）4、若实数x，y满足30A．9 B．12 C．15 D．12或155、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（）A．①B．②C．③D．都可以6、如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．67、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=（）A．2 B C D．38、如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（）A ．（12）2021B ．（12）2022C ．（12）2023D ．（12）2024 9、△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠BDC ＝72° C ．S △ABD ：S △BCD ＝BC ：AC D ．△BCD 的周长＝AB +BC10、如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD ≌△ACD ，请你添加一个条件是 _____．（写出一个即可）2、如图，等腰△ABC 中，AB AC =，50BAC ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC 的度是______．3、定义：对于线段MN 和点P ，当PM PN =，且120MPN ∠≤︒时，称点P 为线段MN 的“等距点”．特别地，当PM PN =，且120MPN ∠=︒时，称点P 为线段MN 的“强等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()．（1）若点B 是线段OA 的“强等距点”，且在第一象限，则点B 的坐标为____________；（2）若点C 是线段OA 的“等距点”，则点C 的纵坐标t 的取值范围是_________．4、如图，等边三角形ABC 是由3个全等的三角形和一个小等边三角形DEF 无缝拼接而成．若DF ＝2AF ，AB ＝DE 的长是 _____．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连结AE．如果AE∥CD时，恰好CD＝2.5，那么此时BE＝________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC 中，按照下列步骤作图：BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C 为圆心，以大于12②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AD，请解决下列问题：(1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)当AC：CB=3：4 时，求BD：AC 的值．2、△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A ′BD ．(1)如图1，若α＝15°，则∠CBA ′＝ ．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且∠DAP ＝∠DBC ＝α．①试探究AP ，BP ，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若BP ＝10，CP ＝m ，求CA ′的长．（用含m 的式子表示）3、如图，在ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒．(1)作AB 垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接BE ，求EBC ∠的度数．4、如图，等腰直角三角形ABC ，E 是射线AT 上一点，点B 作BM ⊥AT 于M ，在射线MB 上取点F ，使∠ECF =45°．(1)在图1中按要求补全图形．(2)猜想图1中AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．(3)点E 在射线AT 上运动时AE ，BF ，EF 之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后AE ，BF ，EF 之间的数量关系．5、对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；例如：如图，已知ABC ∆，90BAC ∠=︒，作直角边AB 的垂直平分线DE ，分别交BC 与AB 于D 、E 两点，连接AD ，则AD 将ABC ∆分割成两个等腰三角形ADC ∆，ADB ∆．证明：DE 垂直平分ACAD DB ∴=12∠∠∴=在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒2390∴∠+∠=︒，1490∠+∠=︒34∴∠=∠CD DA∴=∴∆，ADBADC∆是等腰三角形(1)根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成4个等腰三角形；(2)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒︒-⨯︒=︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．2、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．3、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4、C【解析】【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．【详解】解：∵实数x，y满足|3-x，∴x=3，y=6．当3为腰时，三边为3、3、6，而3+3=6，则3、3、6不能组成三角形；当3为底时，三边长分别为3、6、6，∴等腰三角形周长为3+6+6=15．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．5、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．6、B【解析】【分析】连接AF,得到∠AFC=90°，再证AE=EF,可得EF=AE=EC，即可求出EF的长.【详解】解：如图：连接AF,∵AB=AD, F是BD的中点,∴AF⊥BD,∵EF=EC,∴∠EFC =∠C ,∵在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∴∠AFE +∠EFC =90°,∠FAC +∠C =90°,∴∠AFE =∠FAC ,∴AE=EF ,∵AC ＝8,∴EF=AE=EC=12AC=4.故选B .【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线.7、A【解析】【分析】根据直角三角形30︒角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =， ∴12BC AB =， ∴2AB =，故选：A ．【点睛】本题主要考查含30︒角直角三角形的性质，熟练掌握30︒角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．【解析】【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=12OA1=1，O2A2=12O1A2=（12）1，O3A3=12O2A3=（12）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（12），点A3的纵坐标为（12）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【详解】解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，∴∠O1OA1=30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=12OA1=1，即点A1的纵坐标为1，同理，O2A2=12O1A2=（12）1，O3A3=12O2A3=（12）2，即点A2的纵坐标为（12）1，点A3的纵坐标为（12）2，…∴点A2023的纵坐标为（12）2022．故选：B．【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．【解析】【分析】根据作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒，由作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，∴36A ABD DBC ∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，72BDC BCD ∠=∠=︒，故A 、B 正确；∵72BDC BCD ∠=∠=︒，∴BC BD AD ==，结合图形可得：ABD 与BCD 的高相同，∴:::ABD BCDS S AD CD BC CD ==，故C 错误； BCD 的周长为：BC CD BD BC AC BC AB ++=+=+，故D 正确；故选：C ．【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．10、A【解析】【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，142=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．二、填空题1、AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠ADC【解析】【分析】判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，因而根据SAS，可以添加条件：AB=AC；根据AAS，可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加∠ADB=∠AD C．故答案是：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠AD C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．2、15°##15度【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD =BD ，根据等边对等角的性质，可得∠ABD =∠A ，然后求∠DBC 的度数即可．【详解】解：∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ABC =12（180°-∠A ）=12（180°-50°）=65°， ∵MN 垂直平分线AB ，∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A =50°，∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =65°-50°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．3、 )1t ≥或1t ≤- 【解析】【分析】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M ，根据“强等距点”的定义可得出120ABO ∠=︒，BO BA =，根据等腰三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质即可求出线段OM 、BM 的长度，再由点B 在第一象限即可得出结论；（2）结合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出t 的取值范围．【详解】解：（1）如图，过点B ．作BM x ⊥轴于点M ，∵点B 是线段OA 的“强等距点”，∴120ABO ︒∠=，BO BA =，∵BM x ⊥轴于点M ，∴12OM AM OA ==1602OBM ABO ︒∠=∠=．在Rt OBM ∆中，OM =60OBM ︒∠=，∴1BM =．∴点B 的坐标为)，或)1-， ∵点B 在第一象限，∴)B ．故答案为：)．（2）由（1）可知：线段OA 的“强等距点”坐标为)1-或)． ∵C 是线段OA 的“等距点”，∴点C 在点)的上方或点)1-下方， ∴1t ≥或1t ≤-．故答案为：1t ≥或1t ≤-．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30度角的直角三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键．4、4【解析】【分析】取FD 的中点为G ，连接,,BG BF EG ，且过C 作AB 的垂线，得3ABD GBD SS =，过点D 作BG 的垂线，交于J ，设AF x =，则DG BG x ==，得出3ABD GBD SS =，2FED S ，12ABC S CH AB =⋅=据3FED ABC ABD S S S =-，建立等式求解即可．【详解】取FD 的中点为G ，连接,,BG BF EG ，且过C 作AB 的垂线，垂足为H ，如下图：2DF AF ，AF FG GD ∴==，3ABD GBD S S ∴=，60EDF ∠=︒，120BDG ∴∠=︒，等边三角形ABC 是由3个全等的三角形和一个小等边三角形DEF 无缝拼接而成，AF BD ∴=，DG BD ∴=，过点D 作BG 的垂线，交于J ，设AF x =，则DG BG x ==，1122DJ DG x ∴==，由勾股定理得：GJ21133222ABD GBD S S x x ∴==⨯⨯⨯=，EG EF ==，211222FED S EG FD x ∴=⋅=⋅=，同理CH =1122ABC S CH AB ∴=⋅== 3FED ABC ABD S S S =-，223x ==， 解得：2x =，2AF ∴=，24DE DF AF ===，故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、勾股定理，解题的关键是作适当辅助线，找到三角形面积之间的关系，通过勾股定理求出面积建立等式求解．5、4.8【解析】【分析】画出图形，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，先根据勾股定理可得5AB =，根据折叠的性质可得,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，再根据平行线的性质可得,AED EDC EAD BDC ∠=∠∠=∠，从而可得AED EAD ∠=∠，根据等腰三角形的判定可得AD DE =，从而可得1 2.52AD BD AB CD ====，然后根据等腰三角形的三线合一可得1 1.52BG BC ==，利用勾股定理可得2DG =，最后利用BCD △的面积可求出BF 的长，由此即可得．【详解】解：如图，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，5AB ∴==，由折叠的性质得：,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，AE CD ，,AED EDC EAD BDC ∴∠=∠∠=∠，AED EAD ∴∠=∠，AD DE ∴=，1 2.52AD BD AB ∴===， 2.5CD =，2.5BD CD ∴==，1 1.52BG BC ∴==（等腰三角形的三线合一），2DG ∴==，1122BCDS CD BF BC DG =⋅=⋅， 112.53222BF ∴⨯=⨯⨯， 解得 2.4BF =，2 4.8∴==，BE BF故答案为：4.8．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题1、 (1)△ABC是直角三角形，理由见解析(2)BD：AC 的值为5：6【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到CD=AD=BD，得到∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，再由三角形内角和得出∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，△ABC为直角三角形；（2）设AC=3k，CB=4k，利用勾股定理求得AB=5k，进一步求解即可．(1)解：△ABC为直角三角形．理由如下：由作图知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B．∵CD=AD，∴∠ACD=∠A．∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴△ABC 为直角三角形；(2)解：∵AC ：CB =3：4，∴设AC =3k ，CB =4k ，∵△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°，∴AB =5k ，∵CD =AD =BD ，∴BD =12AB =52k ， ∴BD ：AC =52k ：3k =5：6． 【点睛】本题考查了复杂作图和勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．2、 (1)30°(2)①BP AP CP =+；②102m -【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得60ABC ∠=︒，根据角度计算可得ABD ∠=45︒，由折叠的性质可得ABD A BD '∠=∠，根据A BC A BD CBD ''∠=∠-∠即可求解；（2）①连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，证明BP C APC '≌，PP C '是等边三角形，即可得到BP AP CP =+；②先证明,,A C P '三点共线，结合①的结论求解即可．(1) ABC 是等边三角形∴60ABC ∠=︒60ABD ABC CBD α∴∠=∠-∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，ABD A BD '∴∠=∠=60α︒-15α=︒6060230A BC A BD CBD ααα''∴∠=∠-∠=︒--=︒-=︒故答案为：30(2)①BP AP CP =+，理由如下：连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，如图，ABC 是等边三角形60,ACB BC AC ∴∠=︒=DAP DBC α∠=∠=BP C APC '∴≌CP CP '∴=，BCP ACP '∠=∠60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PP C '∴是等边三角形60CPB ∴∠=︒，P P PC '=BP BP PP AP CP ''∴=+=+即BP AP CP =+②如图，由①可得60BPC ∠=︒180120BCP BPC PBC α∴∠=︒-∠-∠=︒-由（1）可知602CBA α'∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，BA BA '∴=BC BA '∴=()()111801806026022BCA CBA αα''∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ 12060180BCP BCA αα'∴∠+∠=︒-+︒+=︒,,A C P '∴三点共线折叠BA BA '∴=,ADB A DB '∠=∠ADP A DP '∴∠=∠DP DP =ADP A DP '∴≌AP AP '∴=由①可得BP AP CP =+10,BP CP m ==10AP BP CP m ∴=-=-10A P AP m '∴==-10102CA A P CP m m m ''∴=-=--=-【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)作图见解析(2)45︒【解析】（1）分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可； （2）连接,BE 利用等腰三角形的性质，先求解,ABC ∠ 再证明30,A EBA 再利用角的和差关系可得答案.(1)解：如图，直线DE 是所求作的线段AB 的垂直平分线，(2)解：如图，连接,BEAB AC =，30A ∠=︒，11803075,2ABC CDE 是AB 的垂直平分线，,EB EA ∴=30,A EBA 753045.EBC ABC EBA【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.4、 (1)作图见解析(2)EF AE BF =+(3)当45ACE ∠<︒时，不会发生变化；当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-【解析】【分析】（1）如图过点B 作BM AT ⊥交点为M ；连接CE ，以C 、E 为圆心，大于12CE 长度为半径画弧，连接两交点，与CE 交于点P ；以P 为圆心，PC 为半径画弧与CE 的垂直平分线交点为Q ，连接CQ 与BM 交点即为F ；（2）将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，，9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒，在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，，180CAE CBM ∠+∠=︒，=CAE CBD ∠∠，180CBD CBM ∠+∠=︒，F B D 、、在一条直线上，进而可证()CEF CDF SAS ≌，得到EF DF FB BD BF AE ==+=+即可；（3）当45ACE ∠>︒时，如图所示，将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，，9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒，在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，，180CAE CBM ∠+∠=︒，=CAE CBD ∠∠，180CBD CBM ∠+∠=︒，F B D 、、在一条直线上，进而可证()CEF CDF SAS ≌，得到EF DF BD BF AE BF ==-=-即可．(1)解：如图过点B 作BM AT ⊥交点为M ；连接CE ，以C 、E 为圆心，大于12CE 长度为半径画弧，连接两交点，与CE 交于点P ；以P 为圆心，PC 为半径画弧与CE 的垂直平分线交点为Q ，连接CQ 与BM 交点即为F ．(2)解：EF AE BF =+证明过程如下：将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，∴9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒∵在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，∴180CAE CBM ∠+∠=︒∵=CAE CBD ∠∠∴180CBD CBM ∠+∠=︒∴F B D 、、在一条直线上在CEF △和CDF 中∵45CE CD ECF FCD CF CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()CEF CDF SAS ≌∴EF DF FB BD BF AE ==+=+∴EF BF AE =+．(3)解：①当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-，证明：当45ACE ∠>︒时，如图所示将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，∴9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒∵在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，∴180CAE CBM ∠+∠=︒∵=CAE CBD ∠∠∴180CBD CBM ∠+∠=︒∴F B D 、、在一条直线上在CEF △和CDF 中∵45CE CD ECF FCD CF CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()CEF CDF SAS ≌∴EF DF BD BF AE BF ==-=-∴EF AE BF =-．②当45ACE ∠<︒时，不会发生变化，如图，将ACE 逆时针旋转90°到BCG 的位置，同①可证，F B G 、、在一条直线上，()CEF CGF SAS ≌，∴EF GF BG BF AE BF ==-=+即EF BF AE =+不变．综上可知，当45ACE ∠<︒时，不会发生变化；当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，旋转的性质，三角形全等．解题的关键在于将三角形进行旋转．5、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）模仿例题，利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可；（2）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．(1)解：如图，分割线如图所示．(2)解：如图，分割线即为所求．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的有关证明单元测试题（二）山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平时间: 120分钟满分:120分姓名:一、选择题：（每题4分，满分48分）1. 如图1，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF2.下列说法中，不正确的是( )A．等腰三角形的两底角相等B．两边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的顶角最大为90°D．等腰三角形是一个轴对称图形3. 下列长度为边，构成三角形是直角三角形的是（）A．2,3,4 B．3,4,6 C．，，D．4,4,84. 如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，则CD的长为 ( )A.3B.4C.4.8D.55. 如图3，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中，错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD6. 如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°,CD ⊥AB ，垂足为D,AC=8，则BD 的长为（ ）A ．4B ．2C ．D ．7. 如图5，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是 （ ）A ．PC⊥OA，PD⊥OB B ．OC=ODC ．∠OPC=∠OPD D ．PC=PD8. 如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是 （ ）A ．15B ．30C ．45D ．609. 如图7，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A.5 C. 14510. 如图8，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°11. 如图9，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A B C D12. 如图10，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°二、填空题：（每题4分，满分20分）13. 如图11，△ABC是等边三角形，E,F分别是BC,CA上的点，且BE=CF.连接AE,BF,交于点H,.则∠AHF 的度数为 .14. 在三角形ABC中，AB=AC，且∠B=40°，则∠A的度数为 .15. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图11所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图12所示），则该凸六边形的周长是cm．16. 如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是．17. 如图14，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是度．三、解答题（共7小题，满分52分）18. （满分5分）如图15所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．19. （满分5分）已知：如图16，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．20. （满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，点D是腰AC的中点，延长BC到点E，使得CE=CD，延长BA到点F 使得AF=AD，若三角形ABC的一个角为40°，求∠EDF的度数.21. （满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点.（1）连接EF，求证：EF∥BC；（2）连接AD，线段AD和EF有怎样的关系？证明你的猜想.22. （满分8分）如图19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）三角形BCE的面积．23. （满分9分）已知：如图20，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．24. （满分9分）已知△ABN和△ACM位置如图21所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．参考答案：三角形的证明单元测试题（二）一、选择题：1. D．2. C．3. C．4. D.5. B6. D．7. D．8. B．9. B.10. D．11. B．12. D．二、填空题：（每题5分，满分25分）13. 60°14. 100°15.+1616. 3．17. 60°三、解答题（共7小题，满分52分）18.证明：（1）如图所示，连结AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以∠AEP=∠AFP=90°,又因为AE=AF，AP=AP，所以Rt△AEP≌Rt△AFP，所以PE=PF.（2）因为Rt△AEP≌Rt△AFP，所以∠EAP=∠FAP，所以AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上.19.解：（1）证明：因为OB=OC ，所以∠OBC=∠OCB．因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°又因为BC=CB，所以△BDC≌△CEB（AAS），所以∠DBC=∠ECB ，所以AB=AC ，所以△ABC是等腰三角形 (2)点O是在∠BAC的角平分线上．如图，连结AO. 因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°，因为OB=OC ，∠BOD=∠COE,所以△BOD≌△COE（AAS），所以OD=OE．因为AO=AO，所以△ADO≌△AEO（HL），所以∠DAO=∠EAO ，所以点O 是在∠BAC的角平分线上．20.解：因为AF=AD ，所以∠F=∠ADF ，因为∠BAC 是三角形ADF 的一个外角，所以∠BAC=∠F+∠ADF ， 所以∠BAC=2∠ADF ，所以∠ADF=12∠BAC ； 因为CD=CE ，所以∠E=∠CDE ，因为∠BCA 是三角形CDE 的一个外角，所以∠BCA=∠E+∠CDE ，所以∠BCA=2∠CDE ，所以∠CDE=12∠BCA ；所以∠EDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-12∠BAC -12∠BCA ， 当∠BAC=40°时，因为AB=AC ，所以∠BCA=70°，所以∠EDF=180°-12∠BAC -12∠BCA=125°； 当∠BCA=40°时，因为AB=AC ，所以∠BAC=100°，所以∠EDF=180°-12∠BAC -12∠BCA=110°； 所以∠EDF 的度数为110°或125°.21.解：（1）因为AB=AC ，，E,F 分别是边AB,AC 的中点，所以AE=AF ，因为AB=AC ，所以∠ABC=∠ACB ， 所以2∠ABC=180°-∠BAC,所以∠ABC=90°-12∠BAC ，同理可证，∠AEF=90°-12∠BAC ， 所以∠ABC=∠AEF ，所以EF ∥BC ；（2）线段AD 和EF 的关系是：AD ⊥EF ，且AD 平分EF.理由：因为AB=AC,BD=DC ，所以AD ⊥BC ，因为EF ∥BC ，所以AD ⊥EF ，因为AE=AF ，所以GE=GF ，所以AD ⊥EF ，且AD 平分EF.22.解：（1）因为AD=2CD ，AC=3，所以AD=2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，所以∠A=∠B=45°，，因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，所以AE=DE ，所以222AD DE AE =+,所以2222AE =,所以所以BE=AB ﹣，即线段BE 的长为；（2）过点E 作EH⊥BC，垂足为点H ，如图所示：因为∠B=45°，∠EHB=90°，所以∠B EH =45°，所以∠B=∠B EH ，所以EH=HB ，所以222BE EH BH =+,所以222EH =,所以EH=2,所以三角形BCE 的面积为： 113222BC EH ⨯⨯=⨯⨯=3 .23.证明：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACD，因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC，因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中，因为EAC BCEA ADBAC AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE且AB∥DE.理由如下：连接DE，因为AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°，由（1）知：△ABD≌△CAE，所以AD=CE，在△A DE和△ECA中，因为AE AECEA DAECE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△A DE≌△ECA，所以DE=AC，因为AB=AC，所以DE=AB；因为△A DE≌△ECA，所以∠ADE=∠AC E，所以∠EDC=∠AC B，所以∠EDC=∠B，所以AB∥DE，所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.24.（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ABD≌△ACE（SAS ）所以BD=CE ；（2）证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，所以∠BAN=∠CAM， 由（1）得：△ABD≌△ACE，所以∠B=∠C， 在△ACM 和△ABN 中，B C AB AC CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,所以△ACM≌△ABN（ASA ），所以∠M=∠N．。