第4章 多自由度系统振动(b)PPT课件
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件
( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2
dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c
(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0
U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin
u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
机械动力学-多自由度系统
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
第四章 多自由度体系(自由振动)
第四章多自由度体系无阻尼自由振动主要内容1 多自由度体系的自振振型和自振频率2 振型的正交性3 位移的振型展开和能量的振型展开1 多自由度体系的自振振型和自振频率所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K uM根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得{}{}{})sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2θωφω+−==t t u u对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
第四章(第1节) 两自由度系统的振动
(4.1-1)
方程 (4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的 微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。 方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家
是荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695) 。根据 伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642)发现 的钟摆的等时性原理，他于 1656 年把 单摆引入了机械钟，研制成第一个摆 钟。 1665 年 2 月的一天，因为身体不适，他躺在家里休 养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自 己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。
方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程， 它是2的二次方程，其根为 12 1 m1k22 m2 k11 2 m1m2 2 2
2 1 m1k22 m2 k11 k11k22 k12 4 2 m1m2 m1m2 2
(4.1-12)
(4.1-13)
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基 频；2为第二阶固有频率。
多自由度系统振动b
x3 2k
(K 2 M ) φ 0
0 k 3k
3k m 2 k 0
3 1 0 1 2 1
3k K k 0
k 2k k
k 2k m 2 k
1 k 2 0 3k m 2 3 0
2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
n n n n
(K i2 M )φ(i ) 0
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
n 个方程 奇次方程组
当 i 不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ( i ) 的某个元 (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
（自由振动方程）
KX P (t ) MX
KX 0 MX
X Rn
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
运动规律的时间函数
X φ f (t )
f (t ) R1
常数列向量 代表着振动的形状
1 ：基频
9
固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
X FP (t ) 位移方程： FMX
X 0 自由振动： FMX
X Rn
F K 1 柔度矩阵
主振动：
X φsin( t )
特征值
1/ 2
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例2：
I 0 1 I 0 2 1 2 k 1 k k 2 2 k 2k k 2 3 1 2 M M 1 2 ( (tt) )
m12 x0
k1 m 2 l
k2
惯性力 m1
惯性力
m 2 x
m 21
0
m2g
I
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m 22
1
m2g
令： x0 1
m 12m 2lm 2l
m 2 2I m 2 l2 m 2 l2
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
m11m1m2 m12m2l
可统一表示为： MX KXP(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维。
2020/11/12
3
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：刚度矩阵和质量矩阵
m ij、 k ij 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例：两自由度系统
摆长 l，无质量，微摆动 求：运动微分方程
x
k1
k2
m1
m2
2020/11/12
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解： 先求解刚度矩阵
令： x 1 0 静态平衡
k1
需要施加的力和矩 k11 k 21
x
k11 x 1
系统刚度矩阵：
K
k1
k2 0
0 m2gl
2020/11/12 《振动力学》
x k2
m1
m2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
求解质量矩阵
令： x1 0 瞬时动态
m11
x1
k1
惯性力
k2
m 1 x m1
m 1 1(m 1 m 2 ) x m 1 m 2
m 21(m 2x)lm 2l
k2
A m1
x方向力平衡
k 21
0
k 1 1(k 1 k 2 ) 1 k 1 k 2
m2g
A点力矩平衡
k21 0
刚度矩阵第一列：
k1
0
k
2
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
令： x0 1
k1
需要施加的力和矩 k12 k22
x
k12 x0
2020/11/12 《振动力学》
第j个坐标单 确定 质量矩阵第j j=1~n 系统质量矩
位加速度
列
阵 4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例：
两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不 同质量，使用影响系数法求系统运动方程。
提示：
杆1、杆2绕其固定点 的惯性矩分别为：
J1
m1l 2 3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 位移方程和柔度矩阵
对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度 矩阵建立作用力方程来得更方便些 。
柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形。
物理意义及量纲与刚度恰好相反。
以一个例子说明位移方程的建立
P1 m1
P2 m2
无质量弹性梁，有若干集中质量
m21m2l
m22m2l2
k1
质量矩阵： Mm1m2lm2
m2l m2l2
刚度矩阵：
Kk1
k2 0
0 m2gl
运动微分方程：
x k2
m1
m2
m 1 m 2 lm 2 m m 2 2 ll2 x k1 0k2
0x 0 m 2g l 0
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《振动力学》
k2
A m1
x方向力平衡
k12 (k1k2)00
A点力矩平衡
k2 2m 2g lsi nm 2gl
k 22
1
m2g
刚度矩阵第二列：
0
m
2
gl
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
刚度矩阵第一列：
k1
0
k2
k1
刚度矩阵第二列：
0
m
2
gl
物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这 种方法称为影响系数方法。
刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
第j个坐标产 确定 刚度矩阵第j j=1~n 系统刚度矩
生单位位移
列
阵
质量矩阵 M 中的元素 m ij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
M 11 k13 4lsin1 3 4l196k1l2
M 21 k1 3 4l sin1 3 4l1 9 6k1l2
（2） 如图所示，令 1 0 ， 2 1 别需要施加弯矩 M 1 2 ，M 2 2 分别为：
，对杆1和杆2分
M 12 k1 3 4l sin1 3 4l1 9 6k1l2
第四章
多自由度系统振动
2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程 • 刚度矩阵和质量矩阵 • 位移方程和柔度矩阵 • 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 • 耦合与坐标变换
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2
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：作用力方程
M 2 2 k 13 4 l3 4 l k 21 2 l1 2 l 1 9 6 k 1 l2 1 4 k 2 l2
运动微分方程：
2020/11/12
《振动力学》
m 3 1l2
0
47m 8 02l2 1 2 l219 196 k6 k11 19 6 k1 196 k1 41k2 1 2 0
6
（质量连续分布的弹性梁的简化 ）
x1
x2
假设 P1、P2 是常力 以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
2020/11/12 《振动力学》
取质量 m1、m2 的静平衡位置为坐标 x1、x2 的原点。 13
J2m 12l2 2m 2(4 l)247m 82l2
2020/11/12 《振动力学》
质量矩阵：
M
m1l 3
2
0
0
7 48
m2l
2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解： 使用影响系数法计算系统刚度阵
（1） 如图所示，令 1 1 ，2 0 ，对杆1和杆2 分别需要施加弯矩 M 11 ，M 21 分别为：