奥数第4讲-巧求周长与面积
四年级奥数几何问题：巧求周长【三篇】
【导语】成功根本没有秘诀可⾔，如果有的话，就有两个：第⼀个就是坚持到底，永不⾔弃；第⼆个就是当你想放弃的时候，回过头来看看第⼀个秘诀，坚持到底，永不⾔弃，学习也是⼀样需要多做练习。
以下是为⼤家整理的《四年级奥数⼏何问题：巧求周长【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
下图中是⼀个⽅形螺线.已知两相邻平⾏线之间的距离均为l厘⽶，求螺线的总长度.
【第⼆篇】
有10张长3厘⽶，宽2厘⽶的纸⽚，将它们按照下图的样⼦摆放在桌⾯上，那么这10张纸⽚所盖住的桌⾯的⾯积是多少平⽅厘⽶？
每多盖⼀张，遮住的⾯积增加2×1，所以这10张纸⽚所盖住的桌⾯的⾯积是3×2+2×1×9=24cm2.
【第三篇】
有红、黄、绿三块⼤⼩⼀样的正⽅形纸⽚，放在⼀个正⽅形盒内，它们之间相互叠合（如右图），已知露在外⾯部分中，红⾊⾯积是20，黄⾊⾯积是12，绿⾊⾯积是8，那么正⽅形盒的底⾯积是多少？
黄⾊纸⽚露出部分与绿⾊纸⽚露出部分⾯积不同，把黄⾊纸⽚向左移动，在这个移动过程中，黄⾊纸⽚露出部分减少的⾯积等于绿⾊纸⽚纸⽚露出部分增加的⾯积，它们露出的⾯积和不变，所以图2中黄⾊露出部分⾯积为10，绿⾊⾯积也为10。
红、黄、绿三个长⽅形的⾯积已经求出，因为长⽅形中对⾓的⾯积乘积相等，故有：黄×绿=红×⽩。
空⽩长⽅形的⾯积应为10×10÷20=5，纸盒的底⾯积为20+10+10+5=45。
解答此题的关键是让黄⾊正⽅形纸⽚移动，使复杂的图形变为基本图形。
六年级奥数讲义-巧求周长及面积(附答案)
数学学科教师辅导教案知识精讲知识点一（长方形、正方形的周长）【知识梳理】同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
【典型例题】例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
答案：72课堂练习一:1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
答案：18*2=36厘米2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
答案：178厘米45cm3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
答案：14厘米例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？答案：192-4*4=176平方厘米176/4=44厘米44*2=88厘米课堂练习二：1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
答案：6*4=24米2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？答案：4*8=32厘米3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？答案：280/2*2+2*2=284平方米例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？答案：2a+4b课堂练习三:1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
小学奥数模块教程巧求周长和面积
一、基本概念（1）周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． （2）面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式（1）长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．（2）正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．三、常用方法对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（1）转化是一种重要的数学思想方法在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形． （2）化归思想寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段． （3）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．知识框架巧求周长和面积 发现不同（4）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变． （5）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题． （6）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助． （7）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 三只猴子走得一样快，所走的路线如下图.哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的( )里画勾.B ( )C ( )A ( )例题精讲【巩固】一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处.你知道其中的道理吗？【例 2】计算下列图形的周长(单位：厘米).【巩固】试求左下图的周长(单位：厘米).【例 3】求下面两个图形的周长(单位：厘米).【巩固】下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形.求这个图形的周长.【例 4】下图是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度.【巩固】在一个长方形的面积为169平方厘米．在这个长方形内任取一点P，则点P到长方形四边的距离之和最小值为_______厘米.【例 5】边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？【巩固】用一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？84【例 6】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【巩固】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【例 7】如图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形．这9个小长方形的周长之和是多少?ADC【巩固】如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．【例 8】一个长为12厘米，宽为10厘米的长方形，挖去一个边长为4厘米的正方形补在另一边上（如图）．所得图形的周长为厘米.【巩固】如图所示，这是三个边长为10厘米的正方形纸片．从（1）和（2）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方形，从（3）中剪去一个面积是4平方厘米的长方形．比较（1），（2），（3），剩下部分周长最小的是_________（填图形编号），它的周长是_________厘米．（1）（2）41（3）【例 9】 将边长为10厘米的五张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为多少 厘米?【巩固】 下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？【例 10】 下图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是多少厘米?HGFEDCB A【巩固】 如图，在长方形ABCD 中，EFGH 是正方形．已知10cm AF =，7cm HC =，求长方形ABCD 的周长．H GFEDCBA【例 11】 如图，一个长方形的周长是26厘米，如果它的长和宽各增加3厘米，那么增加的面积是多少平方厘米？【巩固】 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？23【例 12】 两个同样的长方形摆放成如图所示图形，图中单位是厘米，每个长方形的面积是多少平方厘米？【巩固】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【例 13】 用两个同样的等腰直角三角形ABC 拼成一个正方形，如图，等腰直角三角形的斜边AC=6厘米，那么正方形ABCB′的面积是多少平方厘米？【巩固】 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的．一个正方形的面积是多少平方厘米？【例 14】 如图1，△ABC 是等腰直角三角形(AC=BC ，∠ACB 是直角)，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，DE长8厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？【巩固】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．乙甲6厘米8厘米4厘米【例 15】如图，正方形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别是E、F、C、H，已知AB =8厘米，正方形EFGH 的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC的中点，G是CD的中点，H是DA的中点，I是EF 的中点，J是FG的中点，K是GH的中点，L是HE的中点，正方形ABCD的周长是32厘米，那么正方形IJKL的面积是多少平方厘米？【例 16】图内9个相同的小长方形构成大长方形，大长方形周长为90，则每个小长方形周长为多少？【巩固】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长．【例 17】 一块长方形铁皮（如图），将长边剪去6厘米，短边剪去3厘米后，得到的正方形面积比原来少了54平方厘米，那么原长方形的面积是多少平方厘米？【例 18】 图中是由1个小正方形与8个相同的长方形拼成的大正方形．已知小正方形的面积是900平方厘米，大正方形的周长是200厘米．那么，每个长方形的长是多少？【例 19】 图中每个小方格的边长是2厘米，正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？【巩固】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．1cm1cmABC D EF课堂检测【随练1】一个长方形，长减少1厘米和宽增加1厘米，得到一个正方形，那么正方形面积比长方形的面积( )．①多2平方厘米②多1平方厘米③少2平方厘米④少1平方厘米⑤同样大【随练2】右图的正方形的周长是48厘米，中间有一个长方形，长方形的四个顶点恰好把正方形每边分作两段，其中长的那段长度是短的那段长度的两倍．长方形的面积是平方厘米．【随练3】右图ABCD是个正方形：它的边长是4厘米，E、F分别是边AB、BC的中点，图中阴影部分的面积是平方厘米．【随练4】右图中，三角形ABC是等腰直角三角形(AC＝BC，∠ACB是直角)，D是AC的中点；E是BC的中点，AD长6厘米．阴影部分的面积是平方厘米．【随练5】如图，里面正方形的周长24厘米，外面长方形的各边分别平行于正方形的四条边，那么根据图中给出的数据(单位均为厘米)，长方形的周长是( )厘米．A. 32B. 36C. 40D.44E.48【随练6】下图是一副七巧板拼成的正方形．正方形的边长是20厘米，问七巧板中图形4和图形5的面积之和是平方厘米．【随练7】如右图，有一块正方形的草坪，周边用边长为3分米的方砖铺了一条宽12分米的小路(如图阴影部分)，共用方砖1504块．则小路所围草坪的面积是( )平方分米．A. 79524B. 76176C. 72900D. 57600E. 90000【随练8】一个长方形，如果长和宽都增加6厘米，则面积增加156平方厘米．原来的长方形的周长是多少厘米？【随练9】有5个相同的长方形拼成下图的大长方形MNPQ，已知小长方形的长比宽多2厘米，则大长方形MNPQ的面积是( )平方厘米．A. 6B. 5C. 4D. 3E. 2【随练10】在长方形ABCD中，EFGH是正方形．如果AG＝12厘米，EC＝9厘米，那么长方形ABCD的周长是厘米．【随练11】两张同样大小的正三角形纸片，每张面积是36平方厘米(如下图)，一张是一个顶点向下，一张是一个顶点向上，叠在一起得到一个六角星形．这个六角星形的面积是多少平方厘米？【随练12】如下图，把一个大正方形分割成六个小长方形，如果这六个小长方形的周长总和是90厘米，那原大正方形的面积是平方厘米．【随练13】如图所示，把长2厘米，宽1厘米的长方形一层、二层、三层······那么摆下去，摆到第15层，这个图形的周长是厘米，面积是平方厘米．【随练14】右图是陈老师家房屋平面图(单位：米)，陈老师要将卧室、客厅的房顶四周装木条装饰线，请你帮助算一算，要买木条装饰线的米数至少是( )．A. 68B. 62C. 58D. 54E. 48家庭作业【作业1】一张长方形纸片的周长是64厘米，3张这样的长方形纸片恰好拼成一张正方形纸片，如图，拼成的正方形纸片的周长是多少厘米？【作业2】如图一个正方形分割成六个长方形，这六个长方形的周长和比原正方形周长增加了24厘米，原正方形周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？【作业3】如图，A、B、C、D分别是长方形各边上的三等分点，阴影部分四边形ABCD的面积为24平方厘米，长方形EFGH的面积是多少平方厘米？【作业4】如图所示阴影部分的面积是73平方厘米，那么图中正方形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【作业5】一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是______ （写出所有可能的结果）．【作业6】下图是一个边长为3的正八边形，它的阴影部分与没有阴影部分的面积之差是多少？。
奥数第4讲-巧求周长与面积
巧求周长与面积掌握巧求周长与面积的基本方法；1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。
【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是__________厘米。
【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。
FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形ADHE 的长与宽之和。
所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。
【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。
甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。
由于4 1.56AE =⨯=，6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，642EF AE AF =-=-=（厘米）。
【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？[分析] 大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=L ，所以有三角形19238⨯=个，小平行四边形38139+=个。
三年级《巧求周长》奥数课件
1、下图中每个小方格边长是1厘米，求该图 的周长是多少厘米？
方法一： (3+5)×2=16（厘米） 方法二： 1×16=16（厘米）
答：该图形的周长是16厘米。
2、卡尔用学具盒里的三个同样大小的长方形拼 成了一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘 米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。
大长方形的长和宽的总和：
平移法
求下面图形的周长是多少。（单位：厘米）
30
80×4=320（厘米） 50
80
答：图形的周长是320厘米。
下图（1）是由若干个相等的正方形组成的“土”字，已知 每个正方形的边长是3厘米，求这个图形的周长是多少厘米。
方法一： 3×5×4+3×4=72（厘米） 方法二： 24×3=72（厘米）
答：这个图形的周长是72厘米。
剩下的宽：32-30=2（厘米）
剩下的周长： （15+2）×2=34（厘米）
32厘米
第二次 剪下
第一次 剪下
15厘米
答：最后余下的长方形周长是34厘米。
这节课我们学习了巧求周长，在学习不规则图形的周 长时我们可以用平移法转化成长方形和正方形，然后再 用长方形和正方形周长公式求出图形的周长，并且在求 剩下的图形的周长时，我们先要根据已知条件先求出剩 下的长和宽再来求出剩下的周长。
一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形 的宽都为4厘米，长方形的长是多少厘米？
应先求出正方形的周长
正方形的周长
4×4=16（厘米）
长方形的周长： 16×2=32（厘米） 长方形的长： 32÷2-4=12（厘米）
答：长方形的长是12厘米。
一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽都 为6厘米，长方形长是多少厘米？
(完整word版)小学奥数模块教程四年级杯赛备战讲义——巧求面积
上课日期： 上课时间： 教师姓名：知识点一：格点面积 一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、 三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．知识点二：图形剪拼巧求面积知识框架毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．（1）把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．（2）反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．（3）将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．一、解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
三年级奥数经典课题――巧求周长和面积
巧求周长和面积-授课学案学生姓名：授课教师：班主任：科目：三年级奥数上课时间： 2012 年月日时—时跟踪上次授课情况上次授课回顾○完全掌握○基本掌握○部分掌握○没有掌握作业完成情况○全部完成○基本完成○部分完成○没有完成本次授课内容授课标题巧求周长和面积学习目标重点难点例题与方法例1．有一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正方形。
拼成的正方形的周长是多少分米？例2．两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长的和减少6厘米。
原来一个正方形的周长是多少厘米？例3．求图3和图4的周长和面积。
（单位：米）图3 图4例4．图7是一座厂房的平面图，求这座厂房平面图的周长。
例5．图9是个多边形，图中每个角都是直角，它的周长是多少？例6．一个正方形被分成3个大小、形状完全不一样的长方形（如图10），每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长。
图10例7．图11是由四个一样大的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形。
每个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？图例8．一根铁丝长12厘米，能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形，每咱长方形的长和宽各是几厘米？围成的正方形的边长是几厘米？例9. 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是30平方厘米，求这个大长方形的周长。
练习与思考1．把一个长10厘米，宽5厘米的长方形，分成两个大小一样的正方形，每个正方形的周长是多少？2．用一个长8厘米，宽4厘米的长方形与7个边长4厘米的正方形，拼成一个大正方形。
拼成的大正方形的周长是多少？3．图14是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？4．有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，把它们按图（16）的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？5．一块长方形布，周长是18米，长比宽多1米，这块布的长是几厘米？宽是几米？6．用4个一样大的长方形和一个小正方形，拼成一个边长是16分米的大正方形（如图18），每个长方形的周长是多少？例题与方法例1．一块长方形土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪（如图1），草坪的面积是多项式少平方米？例2．图2是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。
三年级奥数巧求周长
三年级奥数巧求周长三年级数学第四讲巧求周长例题与⽅法例1⽤3个周长是16厘⽶的正⽅形拼成⼀个长⽅形(见图)。
求所拼成的长⽅形的周长【思路点睛】周长是指围成⼀个平⾯图形所有边线长的总和。
原采3个正⽅形拼成⼀个⼤长⽅形以后，有4条边两两重合了。
解法⼀：(1) 正⽅形的边长是多少厘⽶? 16÷4＝4(厘⽶)(2) 两两重合的4条边共长多少厘⽶? 4×4＝16(厘⽶)(3) 3个正⽅形的周长共是多少厘⽶? 16×3＝48(厘⽶)(4) 拼成的长⽅形周长是多少厘⽶? 48－16＝32(厘⽶)答：拼成的长⽅形周长是32厘⽶。
解法⼆：(1) 正⽅形的边长是多少厘⽶? 16÷4＝4(厘⽶)(2) 拼成长⽅形的长是多少厘⽶? 4×3＝12(厘⽶)(3) 长⽅形的周长是多少厘⽶? (12＋4)×2＝32(厘⽶)答：(略)【思路点睛】1．⽤4个周长为16厘⽶的⼩正⽅形拼成⼀个⼤正⽅形(见图)。
求所拼成的⼤正⽅形的周长。
4个⼩正⽅形拼成⼀个⼤正⽅形后，有8条边两两重合。
解法⼀：(1) ⼩正⽅形的边长是多少厘⽶? 16÷4＝4(厘⽶)(2) 两两重合的8条边共长多少厘⽶? 4×8＝32(厘⽶)(3) 4个⼩正⽅形周长⼯共是多少厘⽶ 16×4＝64(厘⽶)(4)拼成的⼤的正⽅形的周长是多少厘⽶？64－32＝32(厘⽶)答；拼成的⼤正⽅形的周长是32厘⽶解法⼆：(1) ⼩正⽅形的边长是多少厘⽶? 16÷4＝4(厘⽶j：(2) ⼤正⽅形韵边长是多少厘⽶? 4×2＝8(厘⽶)(3) ⼤正⽅形的周长是多少厘⽶? 8×4＝32(厘⽶)答：(略)。
例2有—块⼩麦地，形状见图，请根据所给条件求出这块地的周长。
【思路点睛】这是个不规则图形想⼀想求它的周长能杏转化为求正⽅形的周长。
将图形的两条边平移，如右图，得到⼀个正⽅形，原来不规则图形的周长就是这个正⽅形的周长。
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巧求周长与面积掌握巧求周长与面积的基本方法；1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。
【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是__________厘米。
【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。
FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形ADHE 的长与宽之和。
所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。
【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。
甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。
由于4 1.56AE =⨯=，6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，642EF AE AF =-=-=（厘米）。
【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？[分析] 大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=，所以有三角形19238⨯=个，小平行四边形38139+=个。
【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。
【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54 1.25÷=倍。
每个小长方形的面积为4595÷=平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽5=，所以宽为2厘米，长为2.5厘米。
大长方形的周长为(2.542 2.5)229⨯++⨯=厘米。
G F E A C B乙丙甲J IF E H D B A[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽。
[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25⨯=倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16÷⨯+=平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312⨯=厘米，宽为4610+=厘米。
【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。
原正方形的边长是______分米。
【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301117378+⨯=平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为11718+=分米，所以原正方形边长为：3781821÷=分米。
【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即BC 相等，不妨假设2BC =厘米，可以算得：8AC =厘米，10CD =厘米。
于是可以算得：368 4.5GC =÷=厘米，30103BE =÷=厘米，128 1.5EF =÷=厘米。
于是大长方形的长为10818+=厘米，宽为4.523 1.511+++=厘米，因此大长方形的面积为1811198⨯=平方厘米。
【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【分析】 小正方形的面积为：3030900⨯=平方米。
用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为：99009009000-=平方米。
而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。
长方形的宽为30米，那么长为：450030150÷=米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150********⨯=（平方米）。
711B C E FG D A 3020121636【例8】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。
已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？【分析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E （如右图b 所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。
这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=（平方厘米）。
长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等。
所以，长方形ABCD 的面积为：(225145)240-÷=（平方厘米）。
[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816-=，所以4a =,2847b =÷=，原正方形面积为7749⨯=（平方厘米）。
【例9】 如图，正方形ABCD 的边长是5，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE 的面积。
【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555⨯÷=，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。
中中大C 1A 1AD C B C 1D 1E 1A 1E B CD AG F E AC BB C D A E F G【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。
如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。
【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a )，由已知，图中最小的小正三角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a 进行分割，得到图b 。
从图b 可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。
由此可以求出，一个大正三角形中包含9981⨯=个小正三角形，在图a 中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：993912120⨯+⨯+=个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a 中图形的面积为120平方厘米。
【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形。
已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD 的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。
【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。
大正方形的面积等于四边形ABCD 的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236+÷=平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为64248⨯⨯=厘米。
【例12】 （2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？【分析】 如果标号为5的正方形的边长是a ，那么1号比2号大a ，2号比3号大a ，所以1号比3号大2a ，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18144-=，即24a =，2a =，标号为5的正方形的面积是224⨯=。
[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，图b G F D C 5244431边长30228=-=(厘米)，正方形5的边长2+⨯正方形3的边长22=厘米，所以正方形5的边长22826=-⨯=厘米，周长为6424⨯=厘米。
[拓展] 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。
设最小的正方形边长为x 厘米，又因为小正方形A 的边长为7厘米，小正方形B 的边长为4厘米，所以小正方形C 的边长可以表示为7x +（厘米），小正方形D 的边长可以表示为772x x x ++=+（厘米），小正方形E 的边长可以表示为7411x x -+=-（厘米），小正方形F 的边长可以表示为11415x x -+=-（厘米），小正方形G 的边长可以表示为15419x x -+=-（厘米），小正方形H 的边长可以表示为7714x x ++=+（厘米），观察大长方形可知：小正方形D 、C 、H 的边长之和等于小正方形F 、G 的边长之和，可以列方程为：(72)(7)(14)(15)(19)x x x x x +++++=-+-，解得1x =。