贺卡悉数交换之方法总数的探讨

“贺卡”悉数交换之方法总数的探讨
湖北省荆州中学 鄢文俊
【案例】1.现有坐在一排的八个人,若要交换其中三人的位置,其余的人保持不动,问有多
少种不同的变换方法?（答案：282C ⋅）
2.同寝室四人,在新年到来之际,每人写了一张新年贺卡,将四张贺卡放在一起后每人又从中拿,问每人都不拿自己写的贺卡的情况有多少种?
解析:分为四步:
第一步:甲取一张,有3种取法；
第二步:由甲取的那张贺卡的供卡人取,也有3种取法；
第三步:由剩余两人中一人取,有1种取法；
第四步:最后一人取,只有1种取法；
由分布计数原理得不同取法有9种。

【问题】案例中的人数变为5人,6人, …, n 个人,其结果又是多少呢?
对案例2中的人数变为5人后,求其方法数的操作方式可以仿照4人的情形,只是过程稍微麻烦一些而矣,其方法数为44。

而如果继续扩大数据,问题将会越来越繁琐,做起来也就会越来越困难。

【问题探索1】对案例2中人数变为6人后,我们试图用下述方式探求一下： 6人去拿已经放在一起的6张卡片,共有66A 种不同拿法.而这些拿法按最终结果又可以分成下列6种情况：
(1)6人全部拿自己写的卡片,方法数为1种；
(2)6人中只有两人没拿到自己所写的贺卡,方法数为2
6C 种；
(3) 6人中只有三人没拿到自己所写的贺卡,方法数为362C ⋅种；
(4) 6人中只有四人没拿到自己所写的贺卡,方法数为469C ⋅种； (5) 6人中只有五人没拿到自己所写的贺卡,方法数为5644C ⋅种；
(6) 6人中全部没拿到自己所写的贺卡,方法数设为x
根据加法原理，则有：234566666612944265C C C C x A x ++⋅+⋅+⋅+=⇒=。

同样地,若案例2中人数变为7人后，解决7人问题为：
234567777777129442651854C C C C C x A x ++⋅+⋅+⋅+⋅+=⇒=。

一般地：若案例2中人数变为更一般的n （8n ≥）个人呢?上述方式也就又不太实用
了！这时我们不妨把由人数的变化而带来方法数整理成一个数列{}n a ,则其前几项为：
10a =,2345671,2,9,44,265,1854,a a a a a a ======L
【问题探索2】当规定(3)n n ≥个人都不拿自己卡片时，由考察(1)n -个人拿卡片情形去
递推，符合要求的情形有两类：
其一：若(1)n -个人中有(2)n -个人没有拿自己写的贺卡,另一个拿到自己的贺卡的人与第n 个人交换即可以保证这n 个人均没有拿到自己的卡片,其方法数为112n n C a --⋅种；
其二：若(1)n -个人中都不拿自己写的贺卡,而只需把其中某一个人的卡片与第
n 个人交换即可,此时的方法数有111n n C a --⋅种；
根据加法原理有：111211n n n n n a C a C a ----=⋅+⋅,即21(1)(1)n n n a n a n a --=-⋅+-⋅ ①
下面研究①式：由①[]11212(1)(1)n n n n n n a na a n a a n a -----⇒-=-+-=--- 所以数列{}1n n a na --是以2121a a -=为数列,1-为公比的等比数列,从而：
1111(1)(1)(1)(1)n n n n n n a n a a n a --++-+=-⇒=++-
这就是说：上述数列{}n a 满足递推关系：11(1)(1)(1)n n n a n a n -+=++-≥，其中
10a =。

下面用数列归纳法证明：
（1）当1n =时,0212(1)2011a a =+-=⨯+=,成立。

（2）假设当(2)n k k =≥时有11(1)(1)k k k a k a -+=++-成立。

则当1n k =+时,
112111(1)(1)()(1)(2)(1)1k k k k k k k k a a k a a k a k a k -+++++⎡⎤--=++=++=++-⎢⎥+⎣⎦
即当1n k =+时,21(2)(1)k k k a k a ++=++-成立。

综合⑴,⑵得：11(1)(1)(1)n n n a n a n -+=++-≥（发表在《高校招生》2008年第10期）。