高三数学 二项式定理

二项式定理

1． 知识精讲：

（1）二项式定理：()n

n n r r n r n n n n n n

b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*

∈N n ）

其通项是=+1r T r

r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555

156b a C T T n n -+==

亦可写成：=+1r T r n r n a

b a C )(

()()()n n n n r

r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n

x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*

∈N n ）

其中，r

n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。

例1．n n

n n n n C C C C 13

21393-++++Λ等于 （ ） A ．n

4 B 。n

43⋅ C 。134-n D.3

1

4-n 解：设n

n

n n n n n C C C C S 13

21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333

3221++++=Λ=133333

32210

-+++++n

n n n n n n C C C C C Λ

故选D

例2．（1）求7

(12)x +的展开式的第四项的系数；

（2）求91

()x x

-的展开式中3

x 的系数及二项式系数解：（1）7

(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，

∴7

(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9

1()x x

-的展开式的通项是9921991

()(1)r r

r r r r r T C x

C x x

--+=-=-， ∴923r -=，3r =，

∴3x 的系数339(1)84C -=-，3

x 的二项式系数3984C =．

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的

二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k

n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()

1

22

m ax

+==n n n r

n

T C C ；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即

()

1

211

212

12

1max

+++-+-====n n n n

n n

r n

T T C C C 。

③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n 2即n

n n n n C C C 210=+++Λ；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即

131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ

例3．已知727

0127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：

（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，7

7

(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a ++++L

∴0127a a a a ++++L 1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①

令1x =-，7

012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：7

13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132

+-.

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，

∴由（2）中①+② 得：7

02462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=，

∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

例4．（1）如果在n

x x ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+4

21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

（2）求3

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式的常数项。 解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8

)

1(-n n ，

由题意得：2×2n =1+8

)

1(-n n 得n =8。

设第r+1项为有理项，4

3168

12

1

r r r r x

c T -+⋅⋅=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。

有理项为2

954

12561

,835,x T x T x T =

=

=。 【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r 。

（2）

3

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+x x 6

1⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=x x ，其展开式的通项为

()2

2

66111r

r

r

r

r x x

C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+()22661r r r r x C ---=，令02r 26=-—r 得3=r

所以，常数项为

204-=T

【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。

（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：()N n n n n

∈≥>,322取

()n

n 112+=的展开式中的四项即可。

例5、 若n 为奇数，则77

771

2211---++++n n n n n n n C C C Λ被9除得的余数是 （ ） A ．0 B 。2 C 。7

解：77

771

2211---++++n n n n n n n C C C Λ()11918--=-=n

n =()()119199

11

1

1--+-++----n

n n n n n n

C C Λ

因为n 为奇数，所以原式=()2]9199

[11

1

1--++----n n n n n n

C C Λ

所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C 例6：当N n ∈且n >1，求证3)11(2<+

n