温州大学数学分析考研真题2004--2007

温州大学2004年数学分析1、（12分）设0lim ()x x f x A →= ，0lim ()x x g x B →=，并且A B <.求证：存在0δ>，使当00x x δ<-< 时 成立 ()()f x g x < . 2、（16分）设数列{}n a 满足条件：对任何正整数n 成立 112n n na a +-≤. （1）求证：当n >m 时12111222n m n n ma a ---≤+++ ； （2）应用柯西收敛准则证明{}n a 收敛. 3、（16分）计算下列极限：（1） 2220lim ln(1)x xx a b x →-+ (0)a b >>，（2）112310lim 10n n nnn →+∞⎛⎫++++⎪⎝⎭.4、（12分）（1）求证：2200sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x xππ=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠； （2）求积分 20sin sin cos x dx x xπ+⎛⎜⎠ 的值.5、（15分）设空间闭区域V 由曲面22z x y =+，222()z x y =+及圆柱面22(1)1x y +-=所围成，试求V 的体积.6、（10分）设()f x 在闭区间[]a b ，连续，01λ<<，求证：存在[]a b ξ∈，，使得 ()()(1)()f f a f b ξλλ=+-.7、（15分）设 2()(1)n nxf x x =+（0x ≤<+∞，2n ≥）， （1）求0max ()n n x a f x ≤<+∞=；（2）求极限lim )n n a →+∞.8、（16分）设0n a >，1nn a+∞=∑收敛，n kk nr a+∞==∑，求证下列结论：（1）{}n r 单调减少并趋于0；（2a ≤-； （3）1n +∞=收敛.9、（16分）设222222(2,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++++≠⎪=⎨⎪+=⎩ ，（1） 求(,)x f x y ，(,)y f x y 并讨论它们在点(0,0)处的连续性； （2）讨论(,)f x y 在点(0,0)处的可微性.10、（12）设0α>，对[0,)x ∈+∞考察级数1nxn x eα+∞-=∑，（1）求这个级数的和函数()f x ；（2）讨论这个级数在[0,)+∞的一致收敛性. 11、（10分）设()f t dt +∞-∞⎰存在，证明：()()sin g x f t tx dt +∞-∞=⎰在(,)-∞+∞一致连续.温州大学2005年数学分析1、（15分）（1）设ln(1),0()1,xx x f x e x --+≥⎧=⎨-<⎩，求证：(())f f x x =.（2）除上述函数及y x =，y x c =-+以外，试再给出一个函数使满足x ∀∈ ，(())f f x x = .2、 （15分）设()f a '存在，()()g x f x =，求证：（1） 若()0f a ≠，则()g x 在点a 可导.（2） 若()0f a =，则()g x 在点a 可导当且仅当()0f a '=.3、（10分）设()f x 在区间开(,)a b 连续，(,)k x a b ∈ (1,2,,)k n = ，求证： 存在(,)a b ξ∈使122()[()2()()](1)n f f x f x nf x n n ξ=++++ .4、（15分）设()f x 在(,)-∞+∞内连续，并且是单调增加的奇函数，又设()(2)()xg x t x f x t dt =--⎰ .试判断()g x 的单调性和奇偶性并证明之.5、（15分）讨论(,)2f x y x y =+在点(0,0)处的可微性.6、（15分）设()f u 非零并且可微，22()yz f x y =-，求证： 211z z z x x y y y∂∂⋅+⋅=∂∂. 7、（20）（1）求222(,,)254f x y z x y z y z =++-在单位球面S ：2221x y z ++=上的最小值和最大值；（2）求证：3(,,)x y z ∀∈ 成立不等式2222222222546()x y z x y z yz x y z ++≤++-≤++ .8、（15分）证明函数项级数1sin n nxn +∞=∑在开区间(0,2)π收敛但不一致收敛. 9、（30分）计算下列积分： （1）设()f x 在闭区间[0,1]连续，1()f x dx m =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.（2）33(2))L xy y dx x dy -+-⎰（L 为圆周224x y +=逆时向）（3）222()()()Sy z dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-⎰⎰（其中S 为锥面z = (0)z h ≤≤，法线朝下）.温州大学2006年数学分析1、（15分）设A x f ax =→)(lim ，B x g Ax =→)(lim 而且在某)(0a U 内A x f ≠)(.（1）求证：B x f g ax =→))((lim ；（2）举例说明去掉条件“在某)(0a U 内A x f ≠)(”结论（1）不成立.2、（20分）（1）求证：0→x 时xx x f 1sin 1)(=是无界量但不是无穷大量. （2）设)(x f 在],[b a 上连续，*x 是)(x f 在],[b a 上唯一的最大值点.如果],[}{b a x n ⊂使得)()(lim *x f x f n n =∞→，求证：*lim x x n n =∞→.3、（18分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f m.试确定整数m 的取值范围，使得 （1）)(x f 在0=x 处连续； （2）)(x f 在0=x 处可导； （3）)(x f '在0=x 处连续.4、（20分）（1）设)(x f 在],[b a 上连续，)(x f '在),(b a 中存在而且0)()(==b f a f .求证：存在),(b a ∈ξ使得)()(ξξf f ='.（2）试求方程x x sin 2π=在闭区间]2,0[π上的解.5、（12分）设)(x f 在]1,0[上可微，0)0(=f 而且当)1,0(∈x 时，1)(0<'<x f .求证：⎰⎰>1321)())((dx x f dx x f .6、（15分）（1）设0>n a )1(≥n .求证：n n a ∞=∑1与nnn a a +∑∞=11具有相同的敛散性.（2）讨论级数3cos )1(21n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=（其中a 为常数）的敛散性.7、（16分）（1）试构造一个二元函数，使它在原点处可微但偏导数不连续，并加以说明. （2）设由),(y x f z =，)(xy y x ϕ+=所确定的隐函数)(x z z =可微，试求dxdz. 8、（10分）计算第二型曲面积分：⎰⎰+++++++=Szy x dxdyz dzdx y dydz x I 222333)1()1()1(，其中S 是球面2222R z y x =++，0≥z 的上侧. 9、（12分）求函数项级数n nn x5sin41∞=∑的收敛域、一致收敛域及和函数的连续域. 10、（12分）（1）确定参变量α的取值范围使得下述含参变量广义积分收敛：⎰∞+-+= 02)1ln()(dx x x I αα.（2）确定参量函数)(αI 的连续域.温州大学2007年数学分析１．(10分) 证明：数列n {sin }不收敛 .２．(10分) 已知(0)0f =，(0)f '存在，求极限：()lim f x x x +→ ．３．(15分) 计算积分01(1)n nt n dt t --⎛⎜⎜⎠．４．(15分) 已知()f x ''连续，(0)(1)0f f ==，()f x A ''<，求证：2(),[0,1]A f x x '≤∈．５．(10分) 设()f x 是以T 为周期的连续周期函数，求证：（1）00()()()xTxx f t dt f t dt T ϕ=-⎰⎰也是以T 为周期的周期函数；（2）011lim ()()xTx f x dx f t dt x T →+∞=⎰⎰ ．６．(15分) 设()f x 在0+∞[)，连续，x f x A →+∞=≠lim ()0， 求证：of x xdx +∞⎰()sin 发散．７．(15分) 设1nn a∞=∑是收敛的正项级数，并且{}n a 单调下降收敛于零．证明：11()nn n n aa ∞+=-∑收敛，而且111()n n n n n n a a a ∞∞+==-=∑∑．８．(１0分)判断正项级数1n ∞=⎛∑的敛散性． ９．(１0分) 求幂级数13(1)nnn n x n ∞=⎡⎤+-⎣⎦∑的收敛半径与收敛域．10．(15分) 证明函数项级数113sin4n n n x∞=∑在(0,)+∞中不一致收敛， 但其和函数在(0,)+∞中连续．11．(10分) 讨论函数 2222221sin ,0(,)0,0y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)处的连续性、可导性与可微性．12．(15分) 设()f x 在[0,]a 上连续，证明等式：200()2()()aa ax f x dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰．。