2020年中考·吉林大学附属中学2019-2020学年度第二学期九年级第二次模拟考试道德与法治试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4 2．改善空气质量的首要任务是控制 2.5PM ， 2.5PM 是值环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物，这里的0.00025用科学记数法表示为（ ） A ．42.510⨯ B ．32.510-⨯ C ．42.510-⨯ D ．52.510-⨯ 3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．主视图和俯视图B ．俯视图C ．俯视图和左视图D ．主视图4．将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（ ）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 5．下列各式计算正确的是（ ）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，DE∥BC，且BD=3AD ．那么AE:AC 等于（ ）A．2 : 3B．1 : 2C．1 : 3D．1 :47．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(2,3)-，(1,3)，点M的橫坐标的最小值为5-，则点N的橫坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩的解集是________.10．—元二次方程22310x x--=根的判别式的值是_____________；11．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AB x轴，点A的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．13．如图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为_______.14．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x=>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为12，则-a b 的值是_______________．三、解答题15．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中3x =-． 16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．17．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB DE 、的端点均在格点上．（1）在图①中画出以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使点C 在格点上；（2）在图②中画出以DE 为斜边的直角DEF ，使点F 在格点上且DEF 与ABC 不全等，再在DE 上找到一点P ，使得FP 最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）18．长春的冬天经常下雪，为了提高清雪的效率，市政府启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人的200倍，若用这台清雪机清理9000立方米的积雪，要比150名环卫工人清理这些积雪少用2小时，求一台清雪机每小时清雪多少立方米？ 19．如图，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BE ，使得BA 平分CBE ∠，过点A 作AD BE ⊥于点D ．（1）求证：DA 为O 的切线；（2）若1,tan 2BD ABD =∠=，则O 的半径为____________．20．“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2021年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2021年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．21．如图：甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 和折线BCD 分别表示货车和轿车离甲地的距离y ()km 与货车出发时间x ()h 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度为___________/km h ，当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米；（2）求轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．24．已知抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、. （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y m =与该抛物线交于点E F 、 （E 在F 的左侧），记抛物线在直线EF 下方的图象为1M ，在直线EF 上方的图象为2M ，将图象2M 沿直线EF 向下翻折得到图象3M ，图象1M 和图象3M 两部分组成的图象记为M .①设图象3M 的顶点为D ，当D 落在ABC 的边上时，求实数m 的值.②当0m =时,设()00,P x y 是图象M 上的动点.（i ）连结CP ，过线段CP 的中点作y 轴的平行线交x 轴于点Q ，当CPQ 是以Q 为直角顶点的直角角形时，直接写出0x 的值.（ii ）当00(0)x t t >时，0y 的最小值为u ，直接写出u 的最大值及相应的t 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. √916=34是分数，为有理数，此选项错误；B. √−83=-2是有理数，此选项错误；C. 237是分数，为有理数，此选项错误； D. π4是无理数，此选项正确.故选D【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00025=2.5×10-4，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．B【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．【详解】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，是轴对称图形，不是中心对称图形；从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；从上面看四个小正方形呈“+，是轴对称图形也是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．4．A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.5．B【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、a•a2=a3，故原题计算正确；C、a6÷a2=a4，故原题计算错误；D、（a2）3=a6，故原题计算错误；故选：B．【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．6．D【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∵BD=3AD，∴13 AD AEBB EC==，∴AE:AC=1:4；故选D.7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．B【分析】当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，M的横坐标为-5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，即可确定N的横坐标最大值．【详解】解：当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，∵M的横坐标为-5，∴N的横坐标为1，∴MN=6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，∴N的横坐标为4；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．9．a>2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩①②，解①得：2a＞，解②得：a＞-2，∴原不等式组的解集为2a＞；故答案为：2a＞.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．10．17【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．11．60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．12．13k ≤≤【分析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B （2，1），D （1，2），当直线y=kx 经过点D 时，则2=k-1，k=3当直线y=kx 经过点B 时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD 的边有交点，则k 取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A 、C 的坐标，掌握正方形的性质．13．13【解析】【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，根据AH=【详解】如图3中，连接AH ，由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，∴，【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a-b=4•OE，a-b=3•OF，再根据OF-OE=12，即可求出a-b的值．【详解】解：如图，由题意知：OE•BE=a①，OE•AE=-b②，①+②，得OE•BE+OE•AE=a-b，即a-b=4•OE，同理，可得a-b=3•OF，∴4OE=3OF，∴OE：OF=3：4，又∵OF-OE=12，∴OE=32，OF=2，∴a-b=6．故答案是：6．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键．15．化简得12x-；求值得15-．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】原式=()()()()22 222244()(222)() x x x xx x x x x x x x x-+-++-÷=⨯++-=12 x-，当x=-3时，原式=15 -．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确通分运算是解题关键．16．树状图见解析；12．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率12 =．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．17．（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）△ABC即为所求．（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．1500立方米【分析】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．等量关系为：一台清雪机清理9000立方米的积雪所用时间=150名环卫工人清理这些积雪所用时间-2小时，依此列出方程，解方程即可．【详解】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．根据题意得：90009000 200150x x-2，解得：x=7.5，经检验x=7.5是原方程的解，当x=7.5时，200x=1500．答：一台清雪机每小时清雪1500立方米．【点睛】此题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠ABD=2，∴AD=2，∴=，∴cos∠；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos CBA=∠=5．∴⊙O的半径为2.5．故答案为：2.5．【点睛】此题考查切线的判定，三角函数值，解题关键在于掌握要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．(1) 3.4棵、3棵；(2)70.【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵， 故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户， 故答案为：70．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.21．（1）60；30；（2）(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤；（3）3017小时． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得货车的速度和当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离；（2）根据函数图象中的数据可以求得轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得CD 段小轿车的速度，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，货车的速度为：300÷5=60km/h ， 当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离为：60×（5-4.5）=30（千米），故答案为：60，30；（2）设轿车改变速度后y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 2.5804.5300k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，得110195k b ⎧⎨-⎩＝＝，即轿车改变速度后y与x的函数关系式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）轿车CD段的速度为：（300-80）÷（4.5-2.5）=110km/h，设轿车从乙地出发后th时再次与货车相遇，（110+60）t=300，解得，t=3017，答：轿车从乙地出发后经过3017小时再次与货车相遇．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【问题探究】（1）72︒；（2）6AC=．【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BEDF EF DE===2，得出AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD ED CD=，∵BD=2CD，∴ADED=2，∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BEDF EF DE===2，∴AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠，∴，∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴；故答案为：．【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．23．（1）103t；（2）t=1211；（3）S=224912(0)2411123116(3)11t tt t t⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．S最大=4912；（4）t的值为1≤t≤65或2≤t＜3．【分析】（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PB•cos∠B，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当1211＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．∵PQ∥BC，∴PQ PA BC AB=，∴5375tPQ=，∴PQ=73t，∵四边形PQEF是正方形，∴∠QPF=∠F=90°，∵AH⊥EF，∴∠FHJ=90°，∴四边形PFHJ是矩形，∴JH=PF=PQ=73t，在Rt△APJ中，AJ=PA•sin∠APJ=533•5t=t，∴AH=AJ+JH=t+73103t=t．（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PB•cos∠B，∵四边形PQDB是平行四边形，∴BD=PQ，∴（5-457•335t=）t，解得t=12 11．（3）①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，S=7349•••••3117223442PQ PG t t==t2．②如图4中，当1211＜t ＜3时，重叠部分四边形PQDG ，S=S 平行四边形PQDB -S △PBG =535354•5553535132357t t t t ----（）（）（） =-3t 2+11t-6． 综上所述，S=224912(0)2411123116(3)11t t t t t ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜ ． 第一种情况，当t=1211时，S 最大=294121．第二种情况，当t=116时，S 最大=4912． 综上，S 最大=4912． （4）①如图5中，作DH ∥PE 交AB 于H ，连接EH ．∵DH ∥PE ，∴S△PED=S△PEH，∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由题意易知：PE∥AC∥DH，∴BD：BC=BH：BA，∴73t：7=BH：5，∴BH=53 t，∴PH=5-53t-53t=5-103t．∴m=（5-103t）：53t，∵12≤m≤1时，∴12≤310553tt-≤1，解得：1≤t≤65．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．同法可得：∴52103315tt-≤≤1，解得：2≤t≤3．综上所述，满足条件的t 的值为1≤t≤65或2≤t ≤3． 【点睛】 此题考查相似三角形综合题，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．24．（1）227133y x x ∴=-+-；（2）①1516或2548 ②（i ）0611x =或2或145- （ii ）max 1u =-，30＜2t ≤ 【分析】（1）将A 、B 、C 各点代入2y ax bx c =++得到三元一次方程组，解方程组即可求解；（2）①根据题意先求出抛物线M 3，再求M 3的顶点D 的坐标，分情况讨论：点D 在直线BC 上和x 轴上两种情况，列方程求解；②（i ）分三种情况：当012x ≤，0132x ≤＜，03x ＞时，根据相似三角形的判定和性质回答即可求解；（ii ）根据题意，结合图像回答即可．【详解】 解：（1）把()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、代入2y ax bx c =++得， 110420931a b c a b c c ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪-=⎪⎩ ，解得23731a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 227133y x x ∴=-+-； （2）①（i ）设点(),x y 是抛物线3M 上任意一点，则(),x y 关于直线y m =的对称点(),2x m y -一定在抛物线2M 上，将点(),2x m y -代入抛物线2M ：227133y x x =-+-，得 2272133m y x x -=-+-， 整理，得2272133y x x m =-++， ∴抛物线2327:2133M y x x m =-++， ∴抛物线3M 的顶点坐标为：725,2424m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()3,00,1B C -、，∴直线BC 为：113y x =-， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BC 上时，如图2517212434m -=⨯-， 解，得1548m =， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 轴上时，如图252024m -=， 解，得2548m =； 故m 的值为：1548m =或2548m =； ②过点P 作PT⊥x 轴于点T ，则△OCQ∽△TQP， OQ OC PT TQ= 当012x ≤时000122x x y -=-- ，整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+- ⎪⎝⎭，解，得01x =，02x =（舍去）当0132x ≤＜时，由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+ ， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 解，得010262,11x x == ，当03x ＞时，由由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭， 解得， 01x =（舍去），02145x +=综上所述，0x 的值为0611x =或2（ii ）如图当0102x <<时，0y 有最小值，01y =- 当01724x <≤时，200027133y x x =-+， 当07732423x -=-=⨯时，0y 有最小值，02524y =- 25124∴->- 把01y =- 代入抛物线3M ：200027133y x x =-+，200271133x x -+=-， 解，得01023,22x x ==（不合题意，舍去） ∴u 的最大值为-1， 30＜2t ≤【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像和性质，点的坐标特征，轴对称，相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，属于压轴题．。
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在实数π，0，17，﹣4中，最大的是（ ） A ．πB ．0C ．17D ．﹣42．港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米，数据35578用科学记数法表示为（ ） A ．35.578×103 B ．3.5578×104 C ．3.5578×105D ．0.35578×1053．如图，水平的讲台上放置的圆柱体笔筒和正方体粉笔盒，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移3个单位长度得到111A B C ∆，再把111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒得到221A B C ∆，则点A 的对应点2A 的坐标是（ ）A ．(2,2)-B ．(6,0)-C ．(0,0)D ．(4,2)5．一元二次方程x 2﹣8x ﹣2=0，配方的结果是（ ） A ．（x+4）2=18B ．（x+4）2=14C ．（x ﹣4）2=18D ．（x ﹣4）2=147．如图，不等式组1010xx+⎧⎨-≤⎩f的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )A．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩B．8374y xx y-=⎧⎨-=⎩C．8374x yy x-=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩9．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝25 AB，连接OE交BC于F，则BF的长为()A．23B．34C．56D．110．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称为可入肺颗粒物，将25微米用科学记数法可表示为（）米．A．25×10﹣7B．2.5×10﹣6C．0.25×10﹣5D．2.5×10﹣511．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3 B．4 C．6 D．812．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．不等式1253x->的解集是________________14．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____．15．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正16．因式分解：3x 3﹣12x=_____．17．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．18．函数2xy x =-中，自变量x 的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，正方形ABCD 的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC 中点E 处，三角板绕点E 旋转，三角板的两边分别交边AB 、CD 于点G 、F ． （1）求证：△GBE ∽△GEF ．（2）设AG=x ，GF=y ，求Y 关于X 的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC 交GF 于点Q ，交EF 于点P ．当△AGQ 与△CEP 相似，求线段AG 的长．20．（6分）计算:2344(1)11x x x x x ++-+÷++. 21．（6分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：成绩x70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤84 85≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100学生甲______ ______ ______ ______ ______ ______乙 1 1 4 2 1 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学生极差平均数中位数众数方差甲______ 83.7 ______ 86 13.21乙24 83.7 82 ______ 46.21（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．22．（8分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调査结果绘制了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题:这次接受调查的市民总人数是_______人；扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是_________；请补全条形统计图；若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．24．（10分）我校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．组别正确数字x 人数A 0≤x＜8 10B 8≤x＜16 15C 16≤x＜24 25D 24≤x＜32 mE 32≤x＜40 n根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，m=，n=，并补全条形统计图．（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是．（3）有三位评委老师，每位老师在E组学生完成学校比赛后，出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果．学校规定：每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛，请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率．25．（10分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x获毛利润为W万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？26．（12分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）27．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线；若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【分析】根据实数的大小比较即可得到答案. 【详解】解：∵16＜17＜25，∴4＜5π＞0＞－4，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小. 2．B 【解析】 【分析】科学计数法是a×10n ，且110a ≤<，n 为原数的整数位数减一．【详解】解：35578= 3.5578×410， 故选B ． 【点睛】本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型．理解科学计数法的表示方法是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可． 【详解】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其左视图是一个含虚线的 长方形， 故选C ． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图． 4．D 【解析】 【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．解：根据题意，作出图形，如图：观察图象可知：A2（4，2）；故选：D.【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．5．C【解析】x2-8x=2，x2-8x+16=1，（x-4）2=1．故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6．D【解析】【分析】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2＞0，b=1＞0可知，一次函数y=2x+1的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.【详解】∵k=2＞0，b=1＞0，∴根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.故选D.【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.7．B首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可. 【详解】解：解第一个不等式得：x ＞-1； 解第二个不等式得：x≤1， 在数轴上表示，故选B. 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时 “≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示. 8．C 【解析】【分析】分析题意，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，”可分别列出方程. 【详解】设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意得8x-y 3y 7x 4=⎧⎨-=⎩故选C【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题.解题关键点：找出相等关系，列出方程. 9．A 【解析】 【分析】首先作辅助线：取AB 的中点M ，连接OM ，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB ∽△EOM 与OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF 的值． 【详解】取AB 的中点M ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OM∥AD∥BC，OM=12AD=12×3=32，∴△EFB∽△EOM，∴BF BE OM EM，∵AB=5，BE=25 AB，∴BE=2，BM=52，∴EM=52+2=92，∴2 39 22 BF＝，∴BF=23，故选A．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．10．B【解析】【分析】由科学计数法的概念表示出0.0000025即可.【详解】0.0000025=2.5×10﹣6.故选B.【点睛】本题主要考查科学计数法，熟记相关概念是解题关键.11．C【解析】【分析】根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，360606÷︒=on 的值为6，故选：C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.12．C【解析】A 、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B 、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C 、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D 、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．7<-x【解析】【分析】首先去分母进而解出不等式即可.【详解】去分母得，1-2x>15移项得，-2x>15-1合并同类项得，-2x>14系数化为1，得x<-7.故答案为x<-7.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．17【解析】【分析】先利用完全平方公式展开，然后再求和.【详解】根据（x+y ）2=25，x 2+y 2+2xy=25;（x ﹣y ）2=9, x 2+y 2-2xy=9,所以x 2+y 2=17.(1)完全平方公式：2222a b a ab b ±=±+（）.(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=22a b +.(3)常用等价变形：()2222 ,a b b a b a a b -=-=-+=-+ ()33a b b a -=--, ()()b a b a -=--,()22a b a b --=+.15．12【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【详解】解：∵∠E=∠ABD ，∴tan ∠AED=tan ∠ABD=AC AB =12． 故选D ．【点睛】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．16．3x （x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．17．（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）．18．2x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不为2；分析原函数式可得关系式x−1≠2，解得答案．根据题意得x−1≠2，解得：x≠1；故答案为：x≠1．【点睛】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为2．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣233．【解析】【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=4 4x -，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=44x -，由（1）知，BF'=CF=44x -，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+4 4x -当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE ，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE ，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt △BEG 中，BE=2，∴BG=23， ∴AG=AB ﹣BG=4﹣233， ②△AGQ ∽△CPE ，∴∠AQG=∠CEP ，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE ，∴∠AQG=∠FGE ，∴EG ∥AC ，∴△BEG ∽△BCA ，∴， ∴， ∴BG=2，∴AG=AB ﹣BG=2，即：当△AGQ 与△CEP 相似，线段AG 的长为2或4233． 【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.20．22x x -+ 【解析】【分析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.【详解】原式=()22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 22112x x x x +-+⨯++ =22x x -+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键.21．（1）0，1，4，5，0，0；（2）14，84.5，1；（3）甲，理由见解析【解析】【分析】(1)根据折线统计图数字进行填表即可；(2)根据稽查，中位数，众数的计算方法，求得甲成绩的极差，中位数，乙成绩的极差，众数即可；(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较．【详解】(1)由图可知：甲的成绩为：75，84，89，82，86，1，86，83，85，86，∴70⩽x⩽74无，共0个；75⩽x⩽79之间有75，共1个；80⩽x⩽84之间有84，82，1，83，共4个；85⩽x⩽89之间有89，86，86，85，86，共5个；90⩽x⩽94之间和95⩽x⩽100无，共0个．故答案为0；1；4；5；0；0；(2)由图可知：甲的最高分为89分，最低分为75分，极差为89−75=14分；∵甲的成绩为从低到高排列为：75，1，82，83，84，85，86，86，86，89，∴中位数为12（84＋85）＝84.5；∵乙的成绩为从低到高排列为：72，76，1，1，1，83，87，89，91，96，1出现3次，乙成绩的众数为1．故答案为14；84.5；1；（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．【点睛】此题考查折线统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差，极差，解题关键在于掌握运算法则以及会用这些知识来评价这组数据．22．(1)1000；(2)54°；（3）见解析；（4）32万人【解析】【分析】根据“每项人数＝总人数×该项所占百分比”，“所占角度＝360度×该项所占百分比”来列出式子，即可解出答案.【详解】解：(1)400÷40%＝1000(人)(2)360°×1501000＝54°，故答案为：1000人； 54°；(3)1－10%－9%－26%－40%＝15% 15%×1000＝150(人)(4)80×6601000＝52.8(万人)答：总人数为52.8万人.【点睛】本题考查获取图表信息的能力，能够根据图表找到必要条件是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）BH＝．【解析】【分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．24．（1）m=30，n=20，图详见解析；（2）90°；（3）7 27.【解析】分析：(1)、根据B的人数和百分比得出总人数，从而根据总人数分别求出m和n的值；(2)、根据C的人数和总人数的比值得出扇形的圆心角度数；(3)、首先根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出答案．详解：（1）∵总人数为15÷15%=100（人），∴D组人数m=100×30%=30，E组人数n=100×20%=20，补全条形图如下：（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360°×=90°，（3）记通过为A、淘汰为B、待定为C，画树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况，∴E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为7 27．点睛：本题主要考查的就是扇形统计图、条形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．解决这个问题，我们一定要明白样本容量=频数÷频率，根据这个公式即可进行求解．25．（1）y=110x1．z=﹣110x+30（0≤x≤100）；（1）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（1）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax1（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a＝1 10，故y与x之间的关系式为y＝110x1．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，10），设z＝kx＋b，则1002030k bb+=⎧⎨=⎩，解得：1k10b30⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，故z与x之间的关系式为z＝﹣110x＋30（0≤x≤100）；（1）W＝zx﹣y＝﹣110x1＋30x﹣110x1＝﹣x1＋30x＝﹣15（x1﹣150x）＝﹣15（x﹣75）1＋1115，∵﹣15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1115，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）令y＝360，得110x1＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W＝﹣15（x﹣75）1＋1115的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.26．（1）第一批T恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T恤衫每件售价至少要80元.【解析】【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解.【详解】解：（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得 45004950x x 9=+， 解得x=90经检验x=90是分式方程的解，符合题意.答：第一批T 恤衫每件的进价是90元.（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元．由（1）知，第二批购进495099=50件． 由题意，得120×50×45+y×50×15﹣4950≥650， 解得y≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.27．（1）见解析；（2）⊙O 直径的长是45．【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）先判断出AC ⊥BD ，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC ∽△BED ，求出BD ，即可得出结论．【详解】证明：（1）连接BD ，交AC 于F ，∵DC ⊥BE ，∴∠BCD ＝∠DCE ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠DEC+∠CDE ＝90°，∵∠DEC ＝∠BAC ，∴∠BAC+∠CDE ＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝即⊙O直径的长是【点睛】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．。
吉林大学附属中学2023年中考数学二模试卷word版附详细参考答案
吉林大学附属中学222-2023学年度第二学期第二次考试九年数学试题总分：120分时间：120分钟一、单项选择题(每题3分，共24分)1.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是( )2.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米，将55000000用科学记数法表示为( )A.0.55×108B.5.5×107C.5.5×105D.55×106 3.不等式组{2x −5＜1 3x +1≥2x的解集表示正确的是( )A.x ＜3B.x ≥−1C.−1≤x ＜3D.x ≤−1或x ＞3 4.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A.a ＞0 B.a ＜b C.b −1＜0 D.ab ＞05.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD 的高度，信号塔CD 对面有一座高15米的瞭望塔AB ，从瞭望塔顶部A 测得信号塔顶C 的仰角为53°，测得瞭望塔底B 与信号塔底D 之间的距离为25米，设信号塔CD 的高度为x 米，则下列关系式中正确的是( ) A.sin53°=x−1525B.cos53°=x−1525C.tan53°=x−1525D.tan53°=25x−156.如图，AB 是⊙0的切线，点A 为切点，B0交⊙0于点C ，B0的延长线交⊙0于点D ，第4题图正面点E 在优弧CDA 上，连接AD 、AB 、CE ，若∠B AD=122°，则∠CEA 的度数为( ) A.26° B.32° C.64° D.128°7.在△ACB 中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC 上确定点D ，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )8.如图，在平面直坐标系，等腰直角△ABC 的顶点A 、B 均在函数y=kx(k ＞0)的图象上，点C 在y 轴正半轴上，∠ACB=90°，若点A 的横坐标为−2，点B 的纵坐标为1，则k 的值为( )A.1B.2C.4D.6 二、填空题(每空3分，共18分) 9.因式分解：2x 2−2=_______.10.如果关于x 的一元二次方程a x 2+x −2=0有两个不相等的实数根，那么a 的值可以是_______.(写出一个a 值即可)11.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货_______吨. 12.如图，线段AB=2.以BC 为直径作半圆，再分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C.则图中阴影部分的周长为_______C. A BC DABC DA.D. ABCDB. ABC D第12题图第8题图第6题图A第5题图53°ADCB13.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则CG 的长是_______.14.在平面直角坐标系x 0y 中，点(−2，0)，(−1，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)在抛物线y=x 2+b x +c 上，若y 1＜y 2＜y 3，则y 3的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.(6分)先化简，再求值：x (3−x )+( x +1)(x −1)，其中x =−13.16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A ，B ，C ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.17.(6分)为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的12倍，结果提前2小时完成检测任务.求原计划每小时检测多少人？18.(7分)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹.(1)网格中∠B 的度数是_______°；(2)在图①中画出△ABC 中BC 边上的中线AD ；(3)在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE ⊥AC ；第13题图A D EFCBG(4)在图③中面出△B MN ，使得△B MN 与△BCA 是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13.19.(7分)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=DC ，CE 平分∠BCD 交边AB 于点E ，连结DE.(1)求证：四边形BCDE 是菱形；(2)连结BD ，若BD=AD=4，t an∠=12，则CE 的长为______.20.(7分)某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程抖音云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评.为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析. 【方案选择】以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生现看课程节数作为样本； 方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；方案三：从全校800名学生中按照学号随机的取50名学生的观看课程节数作为样本. 其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______(填写“方案一”、“方案二”或“方案三”)；第19题图ABCDE第18题图图①图②图③A CBA C BACB【分析数据】学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.I.观看课程节数的频数分布表如表：20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29.请根据所给信息，解答下列问题：(1)m=_______；n=_______；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是______.【做出预估】根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数.21.(8分)甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BC→CD-DE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了______h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，直接写出甲地与加油站之间的距离________km.22.(9分)【感知】如图①，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12AB ，易知∠B=30°(不需要证明).【探究】如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ´处.折痕交AE 于点G ，求∠ADG 的度数和AG 的长.【拓展】若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O(如图④)，若AB=6，直接写出EF 的长为_______.23.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，sinA=35，点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD ⊥AB 交折线AC 、CB 于点D ，连结BD.将△DBP 绕点D 逆时针旋转90°得到△DEF，设点P 的运动时间为t(秒). (1)用含t 的代数式表示线段PD 的长； (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长； (3)当点F 在△ABC 内部时，求t 的取值范围；(4)当线段DP 将△ABC 的面积分成1︰2的两部分时，直接写出t 的值为_______.第12题图图③AB CDFGE 图②A ´ 图①C ABCDFO图④E第21题图第23题图24.(12分)在平面直角坐标系中，函数y=x2−2m x+m2−4(m为常数)的图象记为G.(1)设m＞0，当G经过点(2，0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标.(2)判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由；(3)当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围.(4)线段AB的端点坐标分别为A(0，2)、B(7，4).当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D(点C在点D左侧)，直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m 的值.第24题图吉林大学附属中学222-2023学年度第二学期第二次考试九年数学试题总分：120分时间：120分钟一、单项选择题(每题3分，共24分)1.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是( )1.解：A 是左视图也是主视图，B 是俯视图，故选A .2.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米，将55000000用科学记数法表示为( )A.0.55×108B.5.5×107C.5.5×105D.55×106 2.解：55000000=5.5×107，A 与D 不符合科学计数法规范，故选B . 3.不等式组{2x −5＜1 3x +1≥2x的解集表示正确的是( )A.x ＜3B.x ≥−1C.−1≤x ＜3D.x ≤−1或x ＞3 3.解：解2x −5＜1得x ＜3；解3x +1≥2x 得x ≥−1，故不等式组的解集为−1≤x ＜3，故选C .4.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A.a ＞0 B.a ＜b C.b −1＜0 D.ab ＞04.解：由图知−2＜a ＜−1＜0＜2＜b ＜3，故a ＜0，a ＜b ，b −1＞0，ab ＜0，故选B .第4题图正面5.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD 的高度，信号塔CD 对面有一座高15米的瞭望塔AB ，从瞭望塔顶部A 测得信号塔顶C 的仰角为53°，测得瞭望塔底B 与信号塔底D 之间的距离为25米，设信号塔CD 的高度为x 米，则下列关系式中正确的是( ) A.sin53°=x−1525B.cos53°=x−1525C.tan53°=x−1525D.tan53°=25x−155.解：由题意可知tan53°=x−1525，故选C .6.如图，AB 是⊙0的切线，点A 为切点，B0交⊙0于点C ，B0的延长线交⊙0于点D ， 点E 在优弧CDA 上，连接AD 、AB 、CE ，若∠B AD=122°，则∠CEA 的度数为( ) A.26° B.32° C.64° D.128°6.解：连接AC 、AO ，则∠CEA =∠CDA ，∵AB 是⊙0的切线，∴∠OAB=90°，∴∠OAD=∠B AD −90°=32°，∵OA=OD ，∴∠CDA=∠OAD=32°，故∠CEA =32°，选B .7.在△ACB 中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC 上确定点D ，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )7.解：当BD ⊥AC 时，有∠C=∠ABD ，∠BDC=∠ADB ，A 中BD 是∠ABC 的角平分线，B 中BD 是中线，C 中BD ⊥AC ，D 中AB=AD ，故选C .C. A BC DABC DA.D. ABCDB. ABC D第12题图第8题图第6题图第5题图53°ADCB8.如图，在平面直坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y=kx(k＞0)的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB=90°，若点A的横坐标为−2，点B的纵坐标为1，则k的值为( )A.1B.2C.4D.6过C作x轴平行线DE，过A作AD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD，又∵BC=CA，∠BEC=∠CDA，∴△BEC≌△CDA(AAS)，∴BE=CD=2，AD=CE=k，∵AD=|y A|+y B+BE=k2+1+2，∴k2+1+2=k，解得k=6，故选D.二、填空题(每空3分，共18分)9.因式分解：2x2−2=_______.9.解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1).10.如果关于x的一元二次方程a x2+x−2=0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是_______.(写出一个a值即可)10.解：一元二次方程则a≠0；有两个不相等的实数根，则1+8a＞0，解得a＞−18，故a的值可以是1.11.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货_______吨. 11.解：3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，则6辆大货车与8辆小货车一次可以运货44吨；5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则10辆大货车与4辆小货车一次可以运货50吨，故有6+10=16辆大货车与8+4=12辆小货车一次可以运货44+50=94吨，4辆大货车与3辆小货车一次可以运货944=23.5吨.12.如图，线段AB=2.以BC为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C.则图中阴影部分的周长为_______12.解：∵AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，故阴影部分的周长=12π×2+60360×2π×2×2=73π.13.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则CG 的长是_______.13.解：由勾股定理知CF=√CD 2+DF 2=√42+(4−1)2=5，∵DF=AD −AF=3，CE=CD −DE=3，∴DF=CE ，又∵BC=CD ，∠BCD=∠CDF ，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CEB=∠DFC ，∵∠DFC+∠DCF=90°，∴∠CEB+∠DCF=90°，∴∠CGE=90°，∴△CGE ∽△CFD ，∴CG CD =CE CF，即CG 4=35，解得CG=125.14.在平面直角坐标系x 0y 中，点(−2，0)，(−1，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)在抛物线y=x 2+b x +c 上，若y 1＜y 2＜y 3，则y 3的取值范围是_______.14.解：将点(−2，0)代入y=x 2+b x +c 得c=2b-4，y 1=1−b+c ，y 2=1+b+c ，y 3=4+2b+c ，∵y 1＜y 2＜y 3，∴1−b+c ＜1+b+c ＜4+2b+c ，解得b ＞0，y 3=4+2b+c=4+2b+2b −4=4b ＞0，即y 3的取值范围是y 3＞0.三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.(6分)先化简，再求值：x (3−x )+(x +1)(x −1)，其中x =−13.15.解：原式=3x −x 2+x 2−1=3x −1，代入x =−13，原式=3x −1=3×(−13)−1=−2.16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A ，B ，C ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.16.解：所有可能的情况如下表：第13题图A D EFCBG故该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率为9=3 .17.(6分)为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务.求原计划每小时检测多少人？17.解：设原计划每小时检测x人，依题意可列方程3000 1.2x +2=3000x解得x=250经检验，x=250是原分式方程的解答：原计划每小时检测250人.18.(7分)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC 顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹.(1)网格中∠B的度数是_______°；(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；(4)在图③中面出△B MN，使得△B MN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为13.18.解：(1)网格中∠B 的度数是45°. (2)如图所示.(3)如图所示(相似三角形法). (4)如图所示.19.(7分)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=DC ，CE 平分∠BCD 交边AB 于点E ，连结DE.(1)求证：四边形BCDE 是菱形；(2)连结BD ，若BD=AD=4，t an∠A=12，则CE 的长为______.19.解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE=∠BEC ，∵CE 平分∠BCD，∴∠BEC=∠DCE=∠BCE ，∴BE=BC ，又∵BC=DC ，∴BE=BC=DC ，∴四边形BCDE 是菱形. (2)连接BD 交CE 于O ，则OE=OC ，OB=OD=2，∵BD=AD ，∴∠A=∠EBO ∵四边形BCDE 是菱形，∴BD ⊥CE ∴tan ∠EBO=t an∠A=12，∴EO OB =12，EO=12OB=1，故CE=2EO=2.20.(7分)某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程抖音云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评.为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析.O第19题图ABC DE第18题图图①图②图③A CBA C BACBDENM【方案选择】以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生现看课程节数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；方案三：从全校800名学生中按照学号随机的取50名学生的观看课程节数作为样本.其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是______(填写“方案一”、“方案二”或“方案三”)；【分析数据】学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.I.观看课程节数的频数分布表如表：20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29.请根据所给信息，解答下列问题：(1)m=_______；n=_______；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是______.【做出预估】根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数.20.解：【方案选择】其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三.【分析数据】(1)m=12；n=0.32；(2)随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是23.【做出预估】800×12+450=256，估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数为256名.21.(8分)甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 表示货车离甲地的距离y(km)与时间x (h)之间的函数关系，折线BC→CD -DE 表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x (h)之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了______h ； (2)求线段DE 对应的函数解析式；(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，直接写出甲地与加油站之间的距离________km.21.解：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了2.5−2=0.5h.(2)设DE 段对应的函数解析式为y=k x +b ，分别代入(2.5,80)、(4.5,300)得{2.5k +b =804.5k +b =300解得k=110，b=−195，故DE 段对应的函数解析式为y=110x −195.(3)货车速度=300÷5=60km/h ，轿车在DE 段的速度为110km/h ，2.5h 时货车行驶60×2.5=150km ，(150−80)÷(110−60)=1.4h ，故轿车行驶至加油站的时间为第21题图2.5+1.4−0.4=3.5h ，将x =3.5代入y=110x −195得y=190km ，即甲地与加油站之间的距离为190km.22.(9分)【感知】如图①，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12AB ，易知∠B=30°(不需要证明).【探究】如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ´处.折痕交AE 于点G ，求∠ADG 的度数和AG 的长.【拓展】若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O(如图④)，若AB=6，直接写出EF 的长为_______.由翻折的性质知∠AOF=∠D=90°，AD=AO ，BC=OC ，又∵AD=BC ，∴AC=AD+BC=2BC ，∴∠CAB=30°，∠DAC=60°，∵∠DAF=∠CAF ，∴∠CAF=30°，∴∠AFE=60°，又∵∠FAE=∠CAF+∠CAB=60°，∴△AEF 为等边三角形，EF=AE 令AE=t ，则BE=OE=6−t∵OE=AE ×sin30°=12AE=12t ，∴6−t=12t ，解得t=4，故EF 的长为4.22.解：【探究】∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴EF ∥BC ∥AD ，EF=2，AE=DF=1设AG=t ，则EG=1−t ，由翻折的性质知∠A ´DG=∠ADG ，A ´G=AG=t ，A ´D=AD=2，即A ´D=2DF ，∴∠DA ´F=30°∵EF ∥AD ，∴∠A ´DA=30°，∴∠ADG=12∠A ´DA=15°第12题图图③AB CDFGE 图②A ´ 图①C ABCDFO图④E由勾股定理知A ´F=√A ´D 2−DF 2=√22−12=√3， 则A ´E=2−√3在Rt △A ´EG 中，有A ´E 2+EG 2=AG 2，即(2−√3)2+(1−t)2=t 2，解得t=4−2√3 故AG 的长为4−2√3. 【拓展】23.(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，sinA=35，点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD ⊥AB 交折线AC 、CB 于点D ，连结BD.将△DBP 绕点D 逆时针旋转90°得到△DEF，设点P 的运动时间为t(秒). (1)用含t 的代数式表示线段PD 的长； (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长； (3)当点F 在△ABC 内部时，求t 的取值范围；(4)当线段DP 将△ABC 的面积分成1︰2的两部分时，直接写出t 的值为_______.23.解：(1)设BC=3t ，AB=5t ，由勾股定理易知AC=4t ，故4t=4，解得t=1，即BC=3，AB=5当PD 过点C 时，PD=AC×BC AB=4×35=125，AP=√AC 2−PD 2=165，此时t=165÷4=45当点P 与点B 重合时，t=54当D 在AC 上时，0≤t ≤45，PD=AP ×tanA=4t ×BC AC=4t ×34=3t当D 在BC 上时，45＜t ≤54，PD=BP ×tanB=(5−4t)×AC BC =43(5−4t)第23题图含t 的代数式表示线段PD 的长为PD={3t(0≤t ≤45)203−163t(45＜t ≤54).(2)由旋转的性质知BD=ED ，DP=DF ，∠DPB=∠F=90°，∠BDE=∠PDF=90°，∴四边形DPEF 为正方形，∴ED=√2DP ，∠EDP=45，∴△BDP 为等腰直角三角形，∴BP=DP=√22BD=√22ED 令DP=t ，则AP=DP tanA=DP ×AC BC =43t ，∵BP=AB −AP=5−43t=DP ，∴5−43t=t ，解得t=157∴AD=√AP 2+DP 2=√(43×157)2+(157)2=257.(3)由旋转的性质知DP=DF,∠PDF=90°，∵BP=AB −AP=5−4t ，∴BD=BP cos ∠B=BP ×AB BC =53(5−4t),DP=BP ×tan ∠B=BP ×AC BC =43(5−4t)，∵DP ⊥AB ，DF ⊥DP ，∴DF ∥AB ，∴∠FDC=∠B ，∴CD=DF ×cos ∠FDC=DF ×cos ∠B=DP ×BC AB =43(5−4t)×35=45(5−4t) ∵BD+CD=BC=3，∴53(5−4t)+ 45(5−4t)=3，解得t=3537由(1)知当点P 与点B 重合时，t=54故当点F 在△ABC 内部时，t 的取值范围为3537＜t ＜54.(4)S △ABC =12×BC ×AC=6，ABCPD ABCPABCPEFD ABCP DF E①当D 在AC 上时，若S △APD =13S △ABC =2，即12×AP ×DP=12×AP ×AP ×tan ∠A=12×4t ×4t ×34=2，解得t=±√33(舍去负值)；若S △APD =23S △ABC =4，有12×4t ×4t ×34=4，解得t=√63(舍去负值)＞45，此时D 不在AC 上，不合题意②当D 在BC 上时，若S △BPD =13S △ABC =2时，即12×BP ×PD=12×(5−4t)×BP ×tanB=12×(5−4t)×(5−4t)×43=2，解得t 1=5+√34(＞54，舍去)，t 2=5−√34综上述，满足条件的t 值有√33、5−√34. 24.(12分)在平面直角坐标系中，函数y=x 2−2m x +m 2−4(m 为常数)的图象记为G. (1)设m ＞0，当G 经过点(2，0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标. (2)判断图象G 与x 轴公共点的个数，并说明理由；(3)当2m≤x ≤m+3时，图象G 的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m 的取值范围. (4)线段AB 的端点坐标分别为A(0，2)、B(7，4).当图象G 与x 轴有两个公共点时，设其分别为点C 、点D(点C 在点D 左侧)，直接写出四边形ACDB 周长的最小值及此时m 的值.24.解：(1)将点(2，0)代入y=x 2−2m x +m 2−4得4−4m+m 2−4=0，解得m 1=0(舍去)，m 2=4 故函数表达式为y=x 2−8x +12∵y=x 2−8x +12=(x −4)2−4，∴顶点坐标为(4，−4).第24题图(2)将y=0代入y=x2−2m x+m2−4得方程x2−2m x+m2−4=0其根的判别式Δ=4m2−4(m2−4)=16＞0，此方程有两个不相等的实数根故图象G与x轴有2个公共点.(3)y=x2−2m x+m2−4的对称轴为x=m，顶点坐标为(m, −4)，开口向上∵2m≤m+3，∴m≤3，其中m=3时，x的取值范围为x=3，图象G只有一个点，不合题意①当m＜−3时，∵2m＜m，m+3＞m，且m+3−m＜m−2m，∴当x=m时y有最小值−4，当x=2m时y有最大值m2−4，m2−4+4=9，解得m=±3，不合题意②当−3≤m≤0时，∵2m≤m，m+3＞m，m+3−m=3＞m−2m=−m，∴当x=m时y有最小值−4，当x=m+3时y有最大值5，5+4=9，符合题意③当0＜m＜3时，∵2m＞m，m+3＞m，m+3−m=3＞m−2m=−m，∴当x=2m时y有最小值m2−4，当x=m+3时y有最大值5，5−m2+4=9，解得m=0，不合题意综上述，m的取值范围为−3≤m≤0.(4)令C、D点坐标分别为(x1,0)、(x2,0)，由韦达定理知x2+ x1=2m，x1x2=m2−4∵(x2− x1)2=x22+ x12+2x1x2−4x1x2=(x2+ x1)2−4x1x2∴(x2− x1)2=4m2−4(m2−4)=16，∴x2− x1=4，即CD的长为定值4∵AB=√(4−2)2+(7−0)2=√53，即AB的长为定值√53∴当AC+BD的值最小时，四边形ACDB周长有最小值将点A向右平移4个单位长度至点E(4,2)，连接DE，则四边形ACDE为平行四边形，AC=DE作E关于x轴对称点F(4, −2)，连接DF，则DE=DF当B、D、F三点共线时，DE+BD有最小值，此时AC+BD有最小值，最小值等于BF长BF=√(4+2)2+(7−4)2=3√5故四边形ACDE周长的最小值=AB+CD+BF=4+3√5+√53由点B(7,4)、点F(4, −2)易得直线BF解析式为y=2x−10，令y=0可得点D横坐标为5∵CD=4，对称轴为x=m，∴m=5−2=3.。
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是( )A．90°B．30°C．45°D．60°2．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．23．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）4．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）每周做家务的时间（小时）0 1 2 3 4人数（人） 2 2 3 1 1 A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，25．下列计算中，正确的是（）A．3322a a=（）B．325a a a+=C．842a a a÷=D．236a a=（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞57．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．3 C．5 D．1或58．近似数25.010精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位9．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣23）B．（﹣4，﹣3C．（﹣2，﹣3D．（﹣2，﹣2 310．已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( ) A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2C．–2<x1<3<x2D．x1<–2<x2<311．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：次序第一次第二次第三次第四次第五次甲命中的环数(环) 6 7 8 6 8乙命中的环数(环) 5 10 7 6 7根据以上数据，下列说法正确的是( )C．甲、乙成绩的众数相同D．甲的成绩更稳定12．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为_____时，△PAB的面积最小．14．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．15．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．16．如果53xx y=-，那么xy=______．17．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为______．18．若一个棱柱有7个面，则它是______棱柱．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图．（1）根据图中所给信息填写下表：投中个数统计平均数中位数众数B 7 7（2）如果这个班只能在A 、B 之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题进行分析说明．20．（6分）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP ＝CQ ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转(保持点P 在△ABC 内部)，连接AP 、BP 、BQ ．如图1求证：AP ＝BQ ；如图2当三角板CPQ 绕点C 旋转到点A 、P 、Q 在同一直线时，求AP 的长；设射线AP 与射线BQ 相交于点E ，连接EC ，写出旋转过程中EP 、EQ 、EC 之间的数量关系．21．（6分）我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：7.5(04)510(414)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？22．（8分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48︒，测得底部C 处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC （结果取整数）.参考数据：tan48 1.11︒≈，tan58 1.60︒≈.23．（8分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．()1小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________； ()2求他们三人在同一个半天去游玩的概率．24．（10分）如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A 、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=1．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2）， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC ﹣CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运动，运动时间为 t 秒． （1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标． （3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为()4,0-，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60的角，且交y 轴于C 点，以点()213,5O 为圆心的圆与x 轴相切于点D .（2）将2O 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O 第一次与1O 外切时，求2O 平移的时间.26．（12分）计算：|2﹣1|﹣2sin45°+38﹣21()2- 27．（12分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF ，然后求出△CEF 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∵△BEC 绕点C 旋转至△DFC 的位置， ∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF ， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∴∠EFC=45°. 故选：C. 【点睛】本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故CEF ∆ 为等腰直角三角形.根据“一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m和n的一元一次不等式，求出m和n的值，代入m+n即可得到答案．【详解】解：根据题意得：x1+x2＝﹣m＝2+4，解得：m＝﹣6，x1•x2＝n＝2×4，解得：n＝8，m+n＝﹣6+8＝2，故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键．3．D【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：91110813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．4．D【解析】试题解析：表中数据为从小到大排列．数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选D．考点：1.众数；1.中位数.根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．【详解】A、（2a）3=8a3，故本选项错误；B、a3+a2不能合并，故本选项错误；C、a8÷a4=a4，故本选项错误；D、（a2）3=a6，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．【详解】解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b=0，b=2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞1k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜1．故选C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．7．D【解析】【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．8．C【解析】【分析】【详解】根据近似数的精确度：近似数5.0×102精确到十位．故选C．考点：近似数和有效数字9．D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=10°，∴BC=4，∴AB=23，∴AD=AB ACBC⋅=2324⨯=3，∴BD=2ABBC=2234（）=1．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3）．∵BD=1，∴BD1=1，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣2，﹣3）．∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣2，﹣3﹣2）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．10．B【解析】【分析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.11．D【解析】【分析】根据已知条件中的数据计算出甲、乙的方差，中位数和众数后，再进行比较即可．【详解】把甲命中的环数按大小顺序排列为：6，6，7，8，8，故中位数为7；把乙命中的环数按大小顺序排列为：5，6，7，7，10，故中位数为7；∴甲、乙成绩的中位数相同，故选项B错误；根据表格中数据可知，甲的众数是8环，乙的众数是7环，∴甲、乙成绩的众数不同，故选项C错误；甲命中的环数的平均数为：（环），乙命中的环数的平均数为：（环），∴甲的平均数等于乙的平均数，故选项A错误；甲的方差=[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(6−7)2+(8−7)2]=0.8；乙的方差=[(5−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(7−7)2]=2.8，因为2.8＞0.8，所以甲的稳定性大，故选项D正确.【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．同时还考查了众数的中位数的求法.12．C【解析】【分析】首先提取公因式2a ，进而利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：8a 3﹣8a 2+2a=2a(4a 2﹣4a+1)=2a(2a ﹣1)2，故选C.【点睛】本题因式分解中提公因式法与公式法的综合运用.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（-1，2）【解析】【分析】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P 点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．【详解】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P 点，设平移后的直线为y=-x-2+b ，∵直线y=-x-2+b 与抛物线y=x 2+x+2相切，∴x 2+x+2=-x-2+b ，即x 2+2x+4-b=0，则△=4-4（4-b ）=0，∴b=3，∴平移后的直线为y=-x+1，解212y x y x x -+⎧⎨++⎩＝＝得x=-1，y=2， ∴P 点坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键．14．1【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1．故答案为1．点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．15．256或5013．【解析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=20，∴在Rt△ABC中，2cos cos45201022AC BC C BC=⋅=⋅︒=⨯=∵DE是△ABC的中位线，∴1110252 22CE AC==⨯=∴在Rt△CFE中，2sin sin455252EF CE C BC=⋅=⋅︒==，5FC EF==.∵BM=3，BC=20，FC=5，∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，5 tan12EFEMFMF∠==，∵DE是△ABC的中位线，BC=20，∴11201022DE BC==⨯=，DE∥BC，∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，∴5 tan tan12DEO EMF∠=∠=，∴在Rt△ODE中，525tan10126 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，222212513ME MF EF+=+=，∴在Rt△MFE中，5 sin13EFEMFME∠==，∵∠DEO=∠EMF，∴5 sin sin13DEO EMF∠=∠=，∵DE=10，∴在Rt△DOE中，550sin101313 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.综上所述，DO的长是256或5013.故本题应填写：256或5013.点睛：在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.16．52；【解析】【分析】先对等式进行转换，再求解.【详解】∵53 xx y-＝∴3x＝5x－5y ∴2x＝5y∴5.2 xy＝【点睛】本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.17．3 4±【解析】【分析】首先求出一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标；由于函数与x轴的交点的纵坐标是0，可以设横坐标是a，然后利用勾股定理求出a的值；再把（a，0）代入一次函数的解析式y=kx+3，从而求出k的值．【详解】在y=kx+3中令x=0，得y=3，则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；设函数与x轴的交点坐标是（a，0），根据勾股定理得到a2+32=25，解得a=±4；当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=34 -；当a=-4时，把（-4，0）代入y=kx+3，得k=34；故k的值为34或34-【点睛】考点：本体考查的是根据待定系数法求一次函数解析式解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得函数与x轴的交点坐标，进而求出k的值．18．5【解析】分析：根据n棱柱的特点，由n个侧面和两个底面构成，可判断.详解：由题意可知：7-2=5.故答案为5.点睛：此题主要考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）7，9，7；（2）应该选派B ；【解析】【分析】（1）分别利用平均数、中位数、众数分析得出答案；（2）利用方差的意义分析得出答案．【详解】（1）A 成绩的平均数为16（9+10+4+3+9+7）=7；众数为9； B 成绩排序后为6，7，7，7，7，8，故中位数为7；故答案为：7，9，7；（2）2A S =16[（7﹣9）2+（7﹣10）2+（7﹣4）2+（7﹣3）2+（7﹣9）2+（7﹣7）2]=7； 2B S =16 [（7﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣8）2+（7﹣7）2+（7﹣6）2+（7﹣7）2]= 13； 从方差看，B 的方差小，所以B 的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B ．【点睛】此题主要考查了中位数、众数、方差的定义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．20．（1）证明见解析（2（3）EP+EQ=EC【解析】【分析】（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ ，即可证△ACP ≌△BCQ ，可得 AP=CQ ；作 CH ⊥PQ 于 H ，由题意可求 ，可得 ，根据勾股定理可求，即可求 AP 的长；作 CM ⊥BQ 于 M ，CN ⊥EP 于 N ，设 BC 交 AE 于 O ，由题意可证△CNP ≌△ CMQ ，可得 CN=CM ，QM=PN ，即可证 Rt △CEM ≌Rt △CEN ，EN=EM ，∠CEM=∠CEN=45°，则可求得 EP 、EQ 、EC 之间的数量关系．【详解】解：（1）如图 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ 且 AC=BC ，CP=CQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴PA=BQ如图 2 中，作CH⊥PQ 于H∵A、P、Q 共线，PC=2，∴PQ=22，∵PC=CQ，CH⊥PQ∴CH=PH= 2在Rt△ACH 中，AH=22= 14AC CH∴PA=AH﹣PH= 14-2解：结论：EP+EQ=2EC理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO=∠OBE，∵∠AOC=∠BOE，∴∠OEB=∠ACO=90°，∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，∴∠MCN=∠PCQ=90°，∴∠PCN=∠QCM，∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，∴△CNP≌△CMQ（AAS），∴CN=CM，QM=PN，∴CE=CE，∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EC=2EN，∴EP+EQ=2EC【点睛】本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．21．(1)工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)第11天时，利润最大，最大利润是845元．【解析】分析：（1）根据y=70求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．本题解析：解：(1)若7.5x＝70，得x＝>4，不符合题意；则5x＋10＝70，解得x＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件．(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40，当4<x≤14时，设P＝kx＋b，将(4，40)、(14，50)代入，得解得∴P＝x＋36.①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，∵W随x的增大而增大，∴当x＝4时，W最大＝600；②当4<x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，∴当x＝11时，W最大＝845.∵845>600，∴当x ＝11时，W 取得最大值845元．答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．点睛：本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价-成本，学会利用函数的性质解决最值问题．22．甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为38m .【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．详解：如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .则90AED BED ∠=∠=︒.由题意可知，78BC =，48ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒.可得四边形BCDE 为矩形.∴78ED BC ==，DC EB =.在Rt ABC 中，tan AB ACB BC∠=， ∴tan5878 1.60125AB BC =⋅︒≈⨯≈. 在Rt AED 中，tan AE ADE ED ∠=， ∴tan48AE ED =⋅︒.∴tan58EB AB AE BC =-=⋅︒ 78 1.6078 1.1138≈⨯-⨯≈.∴38DC EB =≈.答：甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为38m .点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．23．（1）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；（2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意，画树状图如图：由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为28=14；（2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种，∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为28=14．答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是14．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．24．（1）y=43x+2；（2）y=43x+2；（2）①S=﹣2t+16，②点P的坐标是（103，1）；（3）存在，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，1﹣7．【解析】分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD 为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；②设P（m，1），则PB=PB′=m，根据勾股定理求出m的值，求出此时P坐标即可；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．详解：（1）如图1，∵OA=6，OB=1，四边形OACB 为长方形， ∴C （6，1）．设此时直线DP 解析式为y=kx+b ， 把（0，2），C （6，1）分别代入，得2610b k b =⎧⎨+=⎩，解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2； （2）①当点P 在线段AC 上时，OD=2，高为6，S=6； 当点P 在线段BC 上时，OD=2，高为6+1﹣2t=16﹣2t ，S=12×2×（16﹣2t ）=﹣2t+16； ②设P （m ，1），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=1，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8， ∴B′C=1﹣8=2，∵PC=6﹣m ，∴m 2=22+（6﹣m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，1）； （3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB ﹣OD=1﹣2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 12286-7，∴AP 1=1﹣7P 1（6，1﹣7）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 32286-7，∴AP 3=AE+EP 37+2，即P 3（6，7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，7）或（6，1﹣7）．点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键． 25．（1）直线l 的解析式为：3123y x =-（2）2O 平移的时间为5秒.【解析】【分析】（1）求直线的解析式，可以先求出A 、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．（2）设⊙O 2平移t 秒后到⊙O 3处与⊙O 1第一次外切于点P ，⊙O 3与x 轴相切于D 1点，连接O 1O 3，O 3D 1． 在直角△O 1O 3D 1中，根据勾股定理，就可以求出O 1D 1，进而求出D 1D 的长，得到平移的时间．【详解】（1）由题意得OA 4812=-+=，∴A 点坐标为()12,0-.∵在Rt ΔAOC 中，OAC 60∠=︒， OC OAtan OAC 12tan60123∠==⨯︒=∴C 点的坐标为(0,123-.设直线l 的解析式为y kx b =+，由l 过A 、C 两点， 得123012b k b ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩， 解得1233b k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴直线l 的解析式为：y 3x 123=--.（2）如图，设2O 平移t 秒后到3O 处与1O 第一次外切于点P ，3O 与x 轴相切于1D 点，连接13O O ，31O D .则1313O O O P PO 8513=+=+=，∵31O D x ⊥轴，∴31O D 5=，在131Rt ΔO O D 中，2225111331O D O O O D 13512=-=-=.∵11O D O O OD 41317=+=+=，∴1111D D O D O D 17125=-=-=，∴5t 51==（秒）， ∴2O 平移的时间为5秒.【点睛】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．26．﹣1【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】原式=1）﹣2×2+2﹣4=﹣1+2﹣4=﹣1．【点睛】 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．27． (1) (2)△ABC ∽△DEF.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+=，BC ==故答案为(2)△ABC ∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，∴∠ABC=∠DEF.∵2,2,AB BC FE DE ====∴2AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF.【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.。
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析
吉林省吉林市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式正确的是（）A．﹣（﹣2018）=2018 B．|﹣2018|=±2018 C．20180=0 D．2018﹣1=﹣2018 2．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）A．94分，96分B．96分，96分C．94分，96.4分D．96分，96.4分3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=18，则△ABD的面积是（）A．18 B．36 C．54 D．724．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃D．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上5．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．8233π- B ．433π- C ．8333π- D ．9344π- 6．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--o7．函数y=2x -的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x ＜2C ．x≥2D ．x ＞28．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）A ．613B ．513C ．413D ．3139．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（ ） A ．350B ．351C ．356D ．35810．一元二次方程x 2+kx ﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A ．3B ．﹣1C ．﹣3D ．﹣211．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．112．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．（12）6B ．（12）7C ．（22）6D ．（22）7二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某校园学子餐厅把WIFI 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．14．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -，()8,2.B 如图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是______．15．如图，在平面直角坐标系中，点P(﹣1，a)在直线y ＝2x+2与直线y ＝2x+4之间，则a 的取值范围是_____．16．因式分解a 3－6a 2+9a=_____．17．已知m 、n 是一元二次方程x 2+4x ﹣1＝0的两实数根，则11m n+＝_____． 18．已知平面直角坐标系中的点A （2，﹣4）与点B 关于原点中心对称，则点B 的坐标为_____三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C 点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．20．（6分）计算：2112(1)6tan303π-︒⎛⎫+--+-⎪⎝⎭解方程：544101236x xx x-++=--21．（6分）解不等式组11232x x--≤，并将它的解集在数轴上表示出来．22．（8分）如图，海中有一个小岛A，该岛四周11 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）23．（8分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A 书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？24．（10分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．25．（10分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A 逆时针旋转，得到△AB′C′，若∠BAC+∠B′AC′=180°，我们称△ABC是△AB′C′的“旋补三角形”，△AB'C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”（特例感知）（1）①若△ABC是等边三角形（如图2），BC=1，则AD=；②若∠BAC=90°（如图3），BC=6，AD=；（猜想论证）（2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（拓展应用）（3）如图1．点A，B，C，D都在半径为5的圆上，且AB与CD不平行，AD=6，点P是四边形ABCD内一点，且△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，请确定点P的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并求BC的长．26．（12分）如图，Rt V ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：点F是AC的中点；（2）若∠A=30°，327．（12分）解分式方程：21133xx x-+=--．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】根据去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则依次计算各项即可解答．【详解】选项A，﹣（﹣2018）=2018，故选项A正确；选项B，|﹣2018|=2018，故选项B错误；选项C，20180=1，故选项C错误；选项D，2018﹣1=12018，故选项D错误．故选A．【点睛】本题去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则，熟知去括号法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解决问题的关键.2．D【解析】【分析】【详解】解：总人数为6÷10%=60（人），则91分的有60×20%=12（人），98分的有60-6-12-15-9=18（人），第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；这些职工成绩的平均数是（92×6+91×12+96×15+98×18+100×9）÷60=（552+1128+1110+1761+900）÷60=5781÷60=96.1．故选D．【点睛】本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；1.算术平均数，掌握概念正确计算是关键．3．B【解析】【分析】根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．【详解】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠C=90°，CD=1，∴CD=DH=1．∵AB=18，∴S△ABD=12AB•DH=12×18×1=36故选B．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．4．B【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．【详解】解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出剪刀的概率是13，故A选项错误，掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4的概率是16≈0.17，故B选项正确，一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃得概率是14，故C选项错误，抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上的概率是18，故D选项错误，故选B．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键．5．A【解析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴BH=32AB=3，OH=1，∴△OBC的面积=12×BC×OH=3，则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积=3，由圆周角定理得，∠BOC=120°，∴图中的阴影部分面积=2240223360π⨯-=8233π-．故选A．点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．6．A【解析】【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 7．D【解析】【分析】根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.【详解】有意义,解：∵函数y=x-2∴x-2>0,即x＞2故选D【点睛】本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.8．B【解析】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：5．故选B．139．B【解析】【分析】根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101，根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在该页写的数.【详解】解：小昱所写的数为1，3，5，1，…，101，…；阿帆所写的数为1，8，15，22，…，设小昱所写的第n个数为101，根据题意得：101=1+（n-1）×2，整理得：2（n-1）=100，即n-1=50，解得：n=51，则阿帆所写的第51个数为1+（51-1）×1=1+50×1=1+350=2．故选B.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．10．C【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．11．A【解析】【分析】由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解．【详解】∵|-1|=1，|-1|=1，∴|-1|＞|-1|=1＞0，∴四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1．故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．12．A【解析】试题分析：如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S 1=22=4，S 2=12S 1=2，S 2=12S 2=1，S 4=12S 2=12，…，由此可得S n =（12）n ﹣2．当n=9时，S 9=（12）9﹣2=（12）6，故选A ． 考点：勾股定理．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．143549【解析】【分析】根据题中密码规律确定所求即可.【详解】5⊗3⊗2=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=1510259⊗2⊗4=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，8⊗6⊗3=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，∴7⊗2⊗5=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.故答案为：143549【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.14．x<-2或x>1【解析】试题分析：根据函数图象可得：当12y y f 时，x ＜－2或x ＞1．考点：函数图象的性质15．0a 2<<【解析】【分析】计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值，再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值，即可得答案．【详解】解：当P 在直线y 2x 2=+上时，()a 212220=⨯-+=-+=，当P 在直线y 2x 4=+上时，()a 214242=⨯-+=-+=，则0a 2<<．故答案为0a 2<<【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 16．a(a-3)2【解析】【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.【详解】解：3269a a a -+()269a a a =-+()23a a =-故答案为：()23a a -.【点睛】本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.17．1【解析】【分析】先由根与系数的关系求出m•n 及m+n 的值，再把11m n +化为m+n mn 的形式代入进行计算即可． 【详解】∵m 、n 是一元二次方程x 2+1x ﹣1＝0的两实数根，∴m+n ＝﹣1，m•n ＝﹣1， ∴11m n+＝m+n mn ＝-4-1 ＝1． 故答案为1．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝c a ． 18．（﹣2，4）【解析】【分析】根据点P(x,y)关于原点对称的点为（-x,-y ）即可得解．【详解】解：∵点A （2，-4）与点B 关于原点中心对称，∴点B 的坐标为：（-2，4）．故答案为：（-2，4）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=﹣x2+2x+1．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（1）y=﹣x+1；P点到直线BC，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（1）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1，∴点C的坐标为（0，1），点P的坐标为（2，1），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（1）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（1，0）、C（0，1）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+1），∴点F的坐标为（t，﹣t+1），∴PF=﹣t2+2t+1﹣（﹣t+1）=﹣t2+1t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（1）①利用三角形的面积公式找出S关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．20．(1)10;(2)原方程无解.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝3231693+-⨯+＝10；（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，解得：x＝2，经检验：x＝2是增根，原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．x≤1，解集表示在数轴上见解析【解析】【分析】首先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．【详解】去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤3，去括号，得：3x﹣2x+2≤3，移项，得：3x﹣2x≤3﹣2，合并同类项，得：x≤1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．22．不会有触礁的危险,理由见解析.【解析】分析：作AH⊥BC，由∠CAH=45°，可设AH=CH=x，根据BHtan BAHAH∠=可得关于x的方程，解之可得．详解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=1．设AH=x，则CH=x．在Rt△ABH中，∵1060310BH xtan BAH tan x xAH x∠+=∴︒=∴=+，，，解得：53513.65x=+≈．∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（1）答案见解析；（2）1 4【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率41. 164 ==点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24．（1）证明见解析；（2）25r a48=；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可．（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=12CD=12a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r．（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．【详解】解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°．又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°．∴OB⊥FB．∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上．∴BF是⊙O的切线．（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F．∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=12CD=12a．∵tan∠F=34，∴AE3tan ACFCE4∠==，即AE314a2=．解得3AE a8=．连接OC，设圆的半径为r，则3OE r a8=-，在Rt△OCE中，222CE OE OC+=，即22213a r a r28⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25r a48 =．（3）证明：连接BD，∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F．又∵∠FGB=∠FGB，∴△BDG∽△FBG．∴DG GBGB GF=，即GB2=DG•GF．∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF．25．（1）①2；②3；（2）AD=BC；（3）作图见解析；BC=4；【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=1、∠BAC=60，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′=AC′=1、∠B′AC′=120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′=90°，通过解直角三角形可求出AD的长度；②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′=90°=∠BAC、AB=AB′、AC=AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′=BC=6，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；（2）AD=BC，过点B′作B′E∥AC′，且B′E=AC′，连接C′E、DE，则四边形ACC′B′为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC=∠AB′E、BA=AB′、CA=EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC=AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出AD=BC；（3）作AB、CD的垂直平分线，交于点P，则点P为四边形ABCD的外角圆圆心，过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度．【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴AB=AC=1，∠BAC=60，∴AB′=AC′=1，∠B′AC′=120°．∵AD为等腰△AB′C′的中线，∴AD⊥B′C′，∠C′=30°，∴∠ADC′=90°．在Rt△ADC′中，∠ADC′=90°，AC′=1，∠C′=30°，∴AD=AC′=2．②∵∠BAC=90°，∴∠B′AC′=90°．在△ABC和△AB′C′中，，∴△ABC≌△AB′C′（SAS），∴B′C′=BC=6，∴AD=B′C′=3．故答案为：①2；②3．（2）AD=BC．证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E=AC′，连接C′E、DE，则四边形ACC′B′为平行四边形．∵∠BAC+∠B′AC′=140°，∠B′AC′+∠AB′E=140°，∴∠BAC=∠AB′E．在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC=AE．∵AD=AE，∴AD=BC．（3）在图1中，作AB、CD的垂直平分线，交于点P，则点P为四边形ABCD的外接圆圆心，过点P 作PF⊥BC于点F．∵PB=PC，PF⊥BC，∴PF为△PBC的中位线，∴PF=AD=3．在Rt△BPF中，∠BFP=90°，PB=5，PF=3，∴BF==1，∴BC=2BF=4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用解含30°角的直角三角形求出AD=AC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出AD=AE=BC；（3）利用（2）的结论结合勾股定理求出BF的长度．26．（1）见解析；（2）316π-【解析】【分析】（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=33AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．【详解】（1）证明：连接OD、CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC 为⊙O 的切线，∵EF 为⊙O 的切线，∴FD=FC ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠A ，∴FD=FA ，∴FC=FA ，∴点F 是AC 中点；（2）解：在Rt △ACB 中，而∠A=30°，∴∠CBA=60°，， ∵OB=OD ，∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD=60°，∵EF 为切线，∴OD ⊥EF ，在Rt △ODE 中，∴S 阴影部分=S △ODE ﹣S 扇形BOD =12×2601360π⋅⋅16π． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．27．2x =．【解析】试题分析：方程最简公分母为(3)x -，方程两边同乘(3)x -将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．试题解析：方程两边同乘(3)x -，得：213x x --=-，整理解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解．考点：解分式方程．。
吉林省吉林市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
吉林省吉林市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．计算－5x 2－3x 2的结果是( ) A ．2x 2B ．3x 2C ．－8x 2D ．8x 22．下列运算正确的是（ ） A ．a 2+a 3=a 5B ．（a 3）2÷a 6=1 C ．a 2•a 3=a 6D ．（+）2=53．对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】A ．在同一条直线上B ．在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点4．平面直角坐标系中，若点A （a ，﹣b ）在第三象限内，则点B （b ，a ）所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列计算结果正确的是（ ）A ．329()a a -=B ．236a a a ⋅=C ．3332a a a +=D ．0(cos 600.5)1︒-=6．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-7．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x=0B ．x 2﹣2x ﹣1=0C ．x 2﹣2x+1 =0D ．x 2﹣2x+2=08．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表： 次序第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中的环数(环) 6 7 8 6 8 乙命中的环数(环)510767根据以上数据，下列说法正确的是( ) A ．甲的平均成绩大于乙B ．甲、乙成绩的中位数不同C ．甲、乙成绩的众数相同D ．甲的成绩更稳定10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )． A ．3229x x -=+B ．3(2)29x x -=+C ．2932x x +=- D ．3(2)2(9)x x -=+11．下列运算正确的是（ ） A ．﹣3a+a=﹣4a B ．3x 2•2x=6x 2 C ．4a 2﹣5a 2=a 2D ．（2x 3）2÷2x 2=2x 4 12．如图，AB ∥CD ，那么（ ）A ．∠BAD 与∠B 互补 B ．∠1=∠2C ．∠BAD 与∠D 互补 D ．∠BCD 与∠D 互补二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如图，点A 在反比例函数y=3x（x ＞0）上，以OA 为边作正方形OABC ，边AB 交y 轴于点P ，若PA ：PB=1：2，则正方形OABC 的面积=_____．14．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 15．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5cm ， 且tan ∠EFC＝，那么矩形ABCD 的周长_____________cm ．16．如图，线段AB 两端点坐标分别为A （﹣1，5）、B （3，3），线段CD 两端点坐标分别为C （5，3）、D （3，﹣1）数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐标________．17．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2：3，点B 、E 在第一象限，若点A 的坐标为（1，0），则点E 的坐标是______.18．若一次函数y=-2x+b （b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是_________.（写出一个即可）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知抛物线，2:3L y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且抛物线L 的对称轴为直线1x =．（1）抛物线的表达式；（2）若抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点（点'A 在点'B 左侧），要使'2ABC A BC S S ∆∆=，求所有满足条件的抛物线'L 的表达式．20．（6分）已知y 关于x 的二次函数22(0).y ax bx a =--≠（1）当2,4a b ==时，求该函数图像的顶点坐标.（2）在（1）条件下，(,)P m t 为该函数图像上的一点，若p 关于原点的对称点p '也落在该函数图像上，求m 的值（3）当函数的图像经过点（1，0）时，若12113(,),(,)22A y B y a-是该函数图像上的两点，试比较1y 与2y 的大小.21．（6分）现种植A 、B 、C 三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A 种树苗8棵；或植B 种树苗6棵，或植C 种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A 种树苗的工人为x 名，种植B 种树苗的工人为y 名．求y 与x 之间的函数关系式；设种植的总成本为w 元， ①求w 与x 之间的函数关系式；②若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C 种树苗工人的概率．22．（8分）如图,已知△ABC,以A 为圆心AB 为半径作圆交AC 于E,延长BA 交圆A 于D 连DE 并延长交BC 于F, 2CE CF CB =⋅(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)如图1,若BE=CE=23,求⊙A 的面积； (3)如图2,若tan ∠CEF=12,求cos ∠C 的值.23．（8分）给定关于x 的二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3（k≠0），当该二次函数与x 轴只有一个公共点时，求k 的值；当该二次函数与x 轴有2个公共点时，设这两个公共点为A 、B ，已知AB ＝2，求k 的值；由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y 轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点； 请判断以上结论是否正确，并说明理由． 24．（10分）如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x 轴交于点C ． (1)求双曲线解析式；(2)点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为5，求点P 的坐标.25．（10分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米2？该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？26．（12分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.求证：BDE CAD ∆∆∽；若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.27．（12分）如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD=CE ．求证：MD=ME ．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C【解析】 【分析】利用合并同类项法则直接合并得出即可． 【详解】解：222538.x x x --=- 故选C. 【点睛】此题主要考查了合并同类项，熟练应用合并同类项法则是解题关键． 2．B 【解析】 【分析】利用合并同类项对A 进行判断；根据幂的乘方和同底数幂的除法对B 进行判断；根据同底数幂的乘法法则对C 进行判断；利用完全平方公式对D 进行判断． 【详解】解：A 、a 2与a 3不能合并，所以A 选项错误； B 、原式=a 6÷a 6=1，所以A 选项正确； C 、原式=a 5，所以C 选项错误； D 、原式=2+2+3=5+2，所以D 选项错误．故选：B ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除、二次根式的混合运算，：二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．A 。
吉林大学附属中学2019-2020学年第二学期第二次模拟考试英语试题(11页)
吉林大学附属中学2019-2020学年第二学期第二次模拟考试英语试题九年级英语试题一、基础知识I.在下列各句的空白处填入一个适当的词，使句子意思完整、语法正确。
1.To keep safe, we shouldn't tell our personal________to strangers.2.Bob has two brothers, but________of them lives in the same city as Bob does.3.Don't eat too many desserts, ________you will have a toothache.4.I made some notes to________myself of what I wanted to say in the meeting.5.The guide dogs make a big difference________the disabled in daily life.II.用所给词适当形式填空。
6.Whose bag is heavier, yours or________ (I)?7.Tom is the________ (nine) student passing the finishing line.8.Light________ (pollute) in big cities makes it difficult to see the stars at night.9.Make a call to your parents as soon as possible, they are looking forward to________ (receive) your good news.10.I can't tell you the exact time. My watch goes a few minutes________ (fast).III.单项选择。
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(下)第二次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. (−3)2的值是( )A. −9B. 9C. −6D. 62. 据统计，2020年1至2月份，全国减税降费共计402700000000元，分别来自2020年新出台支持疫情防控和经济社会发展的税费优惠策和2019年更大规模减税降费政策在2020年继续实施形成的减税降费.其中402700000000用科学记数法表示为( )A. 4.027×1011B. 40.27×1010C. 0.4027×1012D. 4.027×10103. 如图，图①和图②均是由6个相同的小正方体组成的立体图形，则下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 俯视图相同C. 左视图相同D. 主视图、俯视图、左视图都不相同4. a 8可以表示为( )A. a 2⋅a 4B. a 4+a 4C. (a 2)4D. a 16÷a 2(a ≠0)5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.它记载一问题如下；“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x 人，买此物的钱数为y ，依题意可列方程组为( )A. {8x +3=y7x +4=yB. {8x −3=y7x −4=yC. {8x +3=y7x −4=yD. {8x −3=y7x +4=y6.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.则∠ACD的大小为()A. 60°B. 75°C. 65°D. 70°7.如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为lcm，AB=2cm，∠B=60°，则拉开部分的面积(即阴影面积)是()A. 1cm2 B. √32cm2 C. √3cm2 D. 2√3cm2 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴.函数y=kx (k>0,x>0)经过OA的中点D，且与AB交于点C，则ACBC的值为()A. 32B. 3 C. 34D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：a2−4a=______．10.使不等式−x+2>3成立的x的值可以是______ (写出一个即可)．11.如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米.从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为α，则AC的长为______ 米(用三角函数表示)．12.如图，在平面直角坐标系中，A(−2,3)、B(−2,1).经过原点的某条直线将△AOB的面积分成相等的两部分，则该直线所对应的函数表达式为______ ．13.如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开，得到一个四边形根据图中所给数据，剪下部分展并得到的四边形的面积为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=−x2+2和抛物线C2：y=x2+2x相交于点A、B(点A在点B的左侧)，P是抛物线C2：y=x2+2x上AB段的一点(点P不与A、B重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线C1：y=−x2+2于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN.设点P的横坐标为m，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共80.0分）15.先化简，再求值：(xx+1+x21−x2)÷x2+xx2+2x+1，其中x=1−√2．16.一个不透明口袋中有3个小球小球上分别标有−1、2、3三个数字，小球除所标数字不同外其余都相同.小明同学从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图或列表的方法，求第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的概率．17.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．18.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD，∠ADC=90°．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB=6，∠ACD=40°，则AC⏜的长度为______ ．19.图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．(1)在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD=______ ；(2)在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE=______ ．20.2020年初，受新冠肺炎疫情的影响，全国各中小学都采取了线上学习方式.为了解九年级学生网上学习的效果，甲、乙两个学校同时参加了一次相同的网上测试，记录成绩(百分制).分别从甲、乙两所学校随机抽取了20名学生的测试成绩，数据如下(百分制)：甲：63709584758278788696921005289888484929084乙：759585938592848996984686771001006850857869整理上面的数据，得到表格如下：测试成绩(分)x<6060≤x≤7070<x≤8080<x≤9090<x≤100甲12395乙22367样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：统计量平均数中位数众数甲83.1m84乙82.485.5n根据以上信息，解答下列问题：(1)表中的m=______ ，n=______ ；(2)若甲学校共有500名学生，请用样本中的数据估计甲学校共有多少人的测试成绩达到优秀(规定：测试成绩≥85分为优秀)；(3)根据以上数据推断一所你认为成绩较好的学校，并说明理由.(至少从两个不同的角度结合数据说明推断的合理性)21.一个蓄水池有甲、乙两个注水管和一个排水管丙，三个水管均已关闭，已知乙注水管的注水速度为10升/分.先打开乙注水管4分钟，再打开甲注水管，甲、乙两个水管均注水20分钟.设甲注水管的工作时间为x(分)，甲注水管的注水量y(升)与时间x(分)的函数图象为线段OA，乙注水管的注水量y(升)与时间x(分)的函数图象为线段BC，如图所示．(1)求甲注水管的总注水量；(2)求线段BC所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)乙注水管打开的16分钟后，打开丙出水管.已知出水管丙的排水速度为20升/分，求丙出水管打开多长时间能将蓄水池的水排空．22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103−104页的部分内容．如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：AB．CD=12定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．定理应用：(1)如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D(点D在BC上)，CE 是AB边上的中线，DG垂直平分CE.求证：∠B=2∠BCE；(2)在(1)条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD.当△DEF是等边三角形，且BD=3，AF=1时，△DEF的周长为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4√3，D为AB的中点，动点P从点B出发以每秒2√3个单位向终点A匀速运动(点P不与A、D、B重合)，过点P作AB的垂线交折线AC−BC于点Q.以PQ、PD为邻边构造矩形PQMD.设矩形PQMD，设矩形PQMD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t 秒．(1)直接写出PD的长(用含t的代数式表示)．(2)当点M落在△ABC的边上时，求t的值．(3)当矩形PQMD与△ABC重叠部分图形不是矩形时，求S与t的函数关系式.并写出t 的取值范围．(4)沿直线CD 将矩形PQMD 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的t 的值．24. 函数y ={x 2−2x −a(x ≥a),−x 2−2x +a(x <a)(a 为常数)． (1)求点(1,1)在函数图象上，求a 的值．(2)当a =2时，若直线y =m(m 为常数)与函数恰好有三个交点时，设三个交点的横坐标从左至右依次为x 1、x 2、x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围．(3)已知A(12,2)、B(4,2).若函数图象与线段AB 有两个交点时，求a 的取值范围． (4)当2a ≤x ≤2a +1时，函数值y 满足a −1≤y ≤5，直接写出a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【知识点】有理数的乘方【解析】解：(−3)2=9．故选B．根据乘方的性质即可求解．本题考查了乘方的性质，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；−1的奇数次幂是−1，−1的偶数次幂是1．2.【答案】A【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：402700000000=4.027×1011．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：图①的主视图，底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；图②的主视图，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；故选项A不合题意；图①的俯视图，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；图②的俯视图，底层左右两边各一个小正方形，上层是三个小正方形；故选项B不合题意；图①和图②的左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选项C符合题意．故选：C．根据三视图解答即可．本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4.【答案】C【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 【解析】解：A 、a 2⋅a 4=a 6，故本选项不合题意； B 、a 4+a 4=2a 4，故本选项不合题意； C 、(a 2)4=a 8，故本选项符合题意； D 、a 16÷a 2=a 14，故本选项不合题意． 故选：C ．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】D【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】 【分析】设有x 人，买此物的钱数为y ，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【解答】解：设有x 人，买此物的钱数为y ，由题意得： {8x −3=y 7x +4=y ， 故选：D ．6.【答案】B【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质【解析】解：由尺规作图可知，线段BC 的垂直平分线交AB 于D ， ∴DC =DB ，∴∠DCB =∠B =30°， ∵∠A =45°，∠B =30°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=75°，故选：B．根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】C【知识点】平行四边形的性质【解析】解：由平行四边形的一边AB=2cm，∠B=60°，可知平行四边形的高为：ℎ=2sinB=√3cm．设拉开后平行四边形的长为acm，拉开前平行四边形的长为bcm，则a−b=1cm，则拉开部分的面积为：S=aℎ−bℎ=(a−b)ℎ=1×√3=√3cm2．故选：C．可设拉开后平行四边形的长为a，拉开前平行四边形的面积为b，则a−b=1cm；根据三角函数的知识可求出平行四边形的高，接下来结合平行四边形的面积公式计算即可．本题主要考查平行四边形的性质，解答本题的关键是采用大面积减小面积的方法进行不规则图形面积的计算．8.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：连接OC，过D作DE//AB，交x轴于E，∵∠ABO=90°，函数y=kx(k>0,x>0)经过OA的中点D，∴S△DOE=S△BOC=12k，∵DE//AB，∴△ODE∽△OAB，∴S△ODES△OAB =14，∴S△AOCS△BOC=3，∵S△AOCS△BOC =12AC⋅OB12BC⋅OB=ACBC，∴ACBC=3，故选：B．利用反比例函数k的几何意义得到S△DOE=S△BOC=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，即可求得S△AOCS△BOC=3，根据三角形面积公式可得结论．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．9.【答案】a(a−4)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：a2−4a=a(a−4)．故答案为：a(a−4)．由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．10.【答案】−2【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：−x+2>3，−x>3−2，∴x<−1，故答案为：−2(答案不唯一)．利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．11.【答案】10sinα【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：由题意知，DE=AB=2.17米，∴CE=CD−DE=12.17−2.17=10(米)．在Rt△CAE中，∠CAE=α，sin∠CAE=CEAC，∴AC=CEsinα=10sinα(米)．故答案为：10sinα．在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．本题考查解直角三角形的应用−俯角仰角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.【答案】y=−x【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式【解析】解：设AC的中点为C，如图，则直线OC平分△AOB的面积，设直线OC的解析式为y=kx，∵A(−2,3)、B(−2,1)，∴C(−2,2)，把C(−2,2)代入y=kx得−2k=2，解得k=−1，∴直线OC的解析式为y=−x，即该直线所对应的函数表达式为y=−x．故答案为y=−x．设AC的中点为C，如图，根据三角形面积公式可判断直线OC平分△AOB的面积，设直线OC的解析式为y=kx，利用线段中点坐标公式得到C(−2,2)，然后利用待定系数法求出直线OC的解析式即可．本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．13.【答案】24【知识点】剪纸问题【解析】解：如图，由题意，AO=3，AB=5，∠AOB=90°，∴OB=√AB2−AO2=√52−32=4，∵剪下部分展开得到的四边形是菱形，菱形的对角线分别为6，8，∴菱形的面积=12×6×8=24，故答案为：24．剪下部分展开得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线的长，可得结论．本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】−1−√174<m<0【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质【解析】解：由题意得点P在第三象限，设点P横坐标为m，则点P坐标为(m,m2+2m)，点Q横坐标与点P横坐标相同为m，则点Q坐标为(m,−m2+2)，∵点P在第三象限，点Q在第二象限，∴{m2+2m<0−m2+2>0，解得−√2<m<0，∵PQ=−m2+2−(m2+2m)=−2m2−2m+2，∴点M，N横坐标为m+(−2m2−2m+2)=−2m2−m+2，∵点M，N在y轴右侧，∴−2m2−m+2>0，解得−1−√174<m<−1+√174，∴−1−√174<m<0满足题意．故答案为：−1−√174<m<0．设点P横坐标为m，用含m代数式表示出PQ与点M，N的横坐标，由点P在第三象限，点Q在第二象限，M，N在y轴右侧列不等式求解．本题考查二次函数与图形的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．15.【答案】解：(xx+1+x21−x2)÷x2+xx2+2x+1=(xx+1−x2x2−1)÷x(x+1)(x+1)2 =x(x−1)−x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x(x+1)=−x(x+1)(x−1)⋅x+1x=−1x−1，当x=1−√2时，原式=−(1−√2)−1=√22．【知识点】分式的化简求值【解析】先算括号内的加法，变形除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．16.【答案】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的有3种情况，∴第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的概率是39=13．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是(x−10)千米/时，依题意得：450x =400x−10解得x=90经检验：x=90是原方程的解x−10=80答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．【知识点】分式方程的应用【解析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是(x−10)千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，根据时间=路程速度，列方程求解．18.【答案】43π【知识点】弧长的计算、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD//OC，∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ACD=40°，∴∠ACO=90°−∠ACD=90°−40°=50°，∴∠AOC=180°−2∠ACO=80°，∵AB=6，∴OC=3，∴AC⏜的长为80π×3180=43π．故答案为：43π．(1)连接OC，根据角平分线定义得∠DAC=∠OAC，而∠OAC=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，所以可判断AD//OC，由于AD⊥DC，则OC⊥DC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；(2)求出∠AOC=80°，由弧长公式可得出答案．本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】6 92【知识点】尺规作图与一般作图、三角形的面积【解析】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD =12×2×3+12×2×3=6．故答案为：6．(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE =12×2×3+12×1×3=92．故答案为：92．(1)根据要求作出图形，利用分割法求出面积．(2)根据要求画出图形，利用分割法求出面积．本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】84 85【知识点】用样本估计总体、中位数、频数(率)分布表、众数【解析】解：(1)将甲班成绩重新排列为：52，63，70，75，78，78，82，84，84，84，84，86，88，89，90，92，92，95，96，100，所以甲的中位数m=84+842=84，乙成绩的众数n =85， 故答案为：84、85；(2)估计甲学校测试成绩达到优秀的人数为500×920=225(人)； (3)乙学校成绩较好，理由：乙班成绩的中位数大于甲班且乙班成绩在90分以上人数多于甲班． (1)将甲班成绩重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； (2)用总人数乘以样本中甲学校成绩达到优秀人数所占比例即可； (3)答案不唯一，合理均可．考查平均数、中位数、众数意义和求法，理解各个统计量的意义，掌握平均数、众数、中位数的求法是解决问题的前提．21.【答案】解：(1)由题意可得，10×(4+8)÷8×20 =10×12÷8×20=300(升)，即甲注水管的总注水量是300升； (2)由题意可得，点B 的纵坐标是10×4=40，横坐标是0；点C 的纵坐标是10×20=200，横坐标是16；∴点B 的坐标为(0,40)，点C 的坐标为(16,200)， 设线段BC 所对应的函数关系式是y =kx +b ， {b =4016k +b =200，解得{k =10b =40， 即线段BC 所对应的函数关系式是y =10x +40(0≤x ≤16)； (3)设丙出水管打开a 分钟能将蓄水池的水排空， 20a =10×20+300， 解得a =25，即丙出水管打开25分钟能将蓄水池的水排空．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)根据题意和图象中的数据，可以计算出甲注水管的总注水量；(2)根据题意和函数图象，可以得到点B 和点C 的坐标，从而可以求得段BC 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)根据题意，可知用进水总量除以丙的排水速度，即可得到丙出水管打开多长时间能将蓄水池的水排空．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】9【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的性质【解析】解：定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，CE，则CD=12∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴▱ACBE是矩形，∴CE=AB，AB；∴CD=12(1)连接DE，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵AD⊥BC，AB=AE=BE，∴DE=12∴∠B=∠BDE，∵DG垂直平分CE，∴DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠BDE=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE；(2)由(1)得DE=BE，∵DG垂直平分CE，∴DE=DC，EF=CF，∵△DEF是等边三角形，∴EF=DF=DE，∠EDF=60°，∴DF=CF=CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CDF=60°，∴∠BDE=180°−∠CDF−∠EDF=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∴等边△DEF的周长为9，故答案为：9．定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；(1)连接DE，由线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠DEC=∠BCE，由直角三角形斜边的中线和等腰三角形的性质证得∠B=∠BFE，根据三角形外角定理及等量代换即可证得结论；(2)证得△BDE和△CDF都是等边三角形，即可求得结果．本题考查了直角三角形的性质、线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵AB=4√3，D为AB的中点，∴BD=2√3，P到D运动时间为1s，∴PD=2√3−2√3t(0<t<1)或PD=2√3t−2√3(1<t<2)．(2)如图，∵∠ABC=30°，=2，∴PQ=MD=BD⋅tan30°=2√3×√33又∵AP=AB−BP=4√3−2√3t，∴在Rt△APQ中，∠A=60°，tan60°=PQAP =24√3−2√3t=√3，解得t=53．(3)如图，当1<t≤32时，DM交BC于点F，∵QM//AB，∴∠FQM=∠B=30°，又∵PD=QM=2√3t−2√3，∴MF=QM⋅tan∠FQM=PD⋅tan30°=(2√3t−2√3)×√33=2t−2．∴S△FQM=12QM⋅FM=12(2√3t−2√3)(2t−2)=2√3t2−4√3t+2√3．∵PQ=BP⋅tan30°=√33×2√3t=2t，∴S矩形PQMD=PQ⋅PD=2t(2√3t−2√3)=4√3t2−4√3t，∴S=S矩形PQMD−S△FQM=4√3t2−4√3t−(2√3t2−4√3t+2√3)=2√3t2−2√3．如图，当32<t<53时，DM，QM分别交BC于点F，E，∵AP=AB−BP=4√3−2√3t，∠A=60°，∴PQ=DM=AP⋅tan60°=√3(4√3−2√3t)=12−6t．DF=BD⋅tan30°=2√3×√33=2，∴MF=DM−DF=10−6t，∵EM//AB，∴∠FEM=∠B=40°，∠EFM=60°，EM =FM ⋅tan60°=√3(10−6t)=10√3−6√3t. ∴S △FEM =12FM ⋅EM =12(10−6t)(10√3−6√3t)=18√3t 2−60√3t +50√3， S 矩形PQMD =PQ ⋅PD =(12−6t)(2√3t −2√3)=−12√3t 2+36√3t −24√3， ∴S =S 矩形PQMD −S △FEM =−30√3t 2+96√3t −74√3，综上所述，S ={2√3t 2−2√3(1<t ≤32)−30√3t 2+96√3t −74√3(32<t <53)． (4)如图，①Q 与C 重合时满足题意，t =32．②点Q 落在AC 上时，QM 交CD 与点N ，∵MN//AB ，∴△CNQ∽△CDA ，△CMN∽△CBD ，∴NQ DA =CN CD ，MN BD =CN CD ， ∴NQDA =MN BD ，又∵D 为AB 中点，AD =BD ，∴NQ =MN ，由(2)问可知t =53．③当CD 经过PQ 中点K 时，∵CD 为直角三角形ACB 的中线，∴DC =DB ，∴∠DCB =∠B =30°，∴∠PDK60°，∴tan60°=PK PD =12PQ PD =2√3t−2√3=√3， 解得t =65．综上所述，t =32或53或65．【知识点】四边形综合【解析】(1)分类讨论点P 在BD 与AD 上两种情况．(2)数形结合，通过相似三角形的性质求解．(3)分类讨论点P 在BD 与AD 上两种重叠部分图形不是矩形的情况，利用三角函数求解．(4)CD 为矩形对角线或CD 所在直线经过矩形一边中点满足题意，通过数形结合求解． 本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与矩形的性质，掌握三角函数解题技巧． 24.【答案】解：(1)若1≥a ，则将(1,1)代入y =x 2−2x +a ，得：1=1−2−a ，解得：a =−2，成立，∴a 的值为−2或4；(2)当a =2时，y ={x 2−2x −2(x ≥2)−x 2−2x +2(x <2)， y =x 2−2x −2的对称轴为x =−−22×1=1，∵x ≥2，∴该图象对称轴仅有右半支的一部分，x =2时，y =4−4−2=−2，y =−x 2−2x +2的对称轴为x =−−22×(−1)=−1，∵x <2，∴该图象对称轴两侧均有图象，x =2时，y =−4−4+2=−6，x =−1时，y =−1+2+2=3，在y =x 2−2x −2上，令y =3，得x 2−2x −2=3，解得：x 1=1−√6(舍去)，x 2=1+√6，若直线y =m(m 为常数)，与函数恰好有三个交点时，则m ≥−2，∴x 1+x 22=−1，即x 1+x 2=−2，1+√6≥x 3≥2，∴−2+1+√6≥x 1+x 2+x 3≥−2+2，∴0≤x 1+x 2+x 3≤−1+√6；(3)若a >0，此时两段抛物线各有一个交点，将A(12,2)代入y =−x 2−2x +a ，解得：a =134，若y =−x 2−2x +a 与AB 有交点，则a ≥134，在y =x 2−2x −a(x ≥a)上，若x =a 时，y =2，则2=a 2−2a −a ，解得：a =3+√172或a =3−√172，若y =x 2−2x −a(x ≥a)与AB 有交点，则3−√172≤a ≤3+√172， ∴134≤a ≤3+√172；若a <0，此时y =x 2−2x −a 需与AB 有2个交点，将A(12,2)代入y =x 2−2x −a ，解得：a =−114，由对称轴为直线x =−−22×1=1，可知，若y =x 2−2x −a 需与AB 有2个交点， 则当y =2时，2=x 2−2x −a ，即x 2−2x −a −2=0，则(−2)2−4×1×(−a −2)>0，解得：a >−3，∴−3<a <−114；综上所述，134≤a ≤3+√172或−3<a <−114；(4)当a>0时，2a≤x≤2a+1在x≥a范围，x=1，y=1−2−a=−1−a，令x=2a，则y=4a2−4a−a=4a2−5a，∴4a2−5a≥a−1，解得：a≤3−√54(舍去)或a≥3+√54，令x=2a+1，则y=4a2+4a+1−4a−2−a=4a2−a−1，∴4a2−a−1≤5，解得：1−√978≤a≤1+√978，∴3+√54≤a≤1+√978，当a≤0时，x=−1，y=−1+2+a=a+1，满足范围，因此x=2a和x=2a+1时，y≥a−1，在y=−x2−2x+a中，令x=2a，则y=−4a2−4a+a=−4a2−3a，∴−4a2−3a≥a−1，解得：−√2+12≤a≤√2−12，令x=2a+1，则y=−4a2−4a−1−4a−2+a=−4a2−7a+3，∴−4a2−7a+3≥a+1，恒成立，∵a≤0，∴−√2+12≤a≤0；综上所述，3+√54≤a≤1+√978或−√2+12≤a≤0．【知识点】一次函数综合【解析】(1)分1≥a和1<a两种情况讨论，分别将(1,1)代入对应的解析式求解即可；(2)当a=2时，若直线y=m(m为常数)与函数恰好有三个交点，则y=x2−2x−2与直线有2个交点，即可得到x1+x2=−2，且直线位于y=x2−2x−2顶点的下方，从而确定了m的范围，即可求得1+√6≥x3≥2，从而得到结果；(3)分情况讨论，当a>0，此时两段抛物线各有一个交点，若a<0，此时y=x2−2x−a 需与AB有2个交点，据此进行计算即可；(4)分别讨论a>0和a≤0两种情况，分别计算当x=2a，x=2a+1时y的值，然后计算判断范围即可．本题考查了二次函数图象和性质，是一道难度较大的关于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．。