晶体空间群

73种点式空间群中 的对称元素分别换成螺 旋轴、滑移面，并去掉 等价的空间群，便得到 另外157种空间群。合 起来共230种空间群。
等效点系
在晶体构造中，由 一任意点开始，通过空 间群所有对称操作的作 用，重复出来的一系列 规则分布点(等效点)的总 和，称等效位置或等效 点系。
《国际结晶学表》 A卷
The International Union of Crystallography
《International Tables for Crystallography》，是 国际上公认的关于晶体结 构知识的标准手册。该书 最早出版于1952年，以后 五次(1959,1962,1974， 1983，2002）修订再版。
Wyckoff位置是国 际表中最有用的信息， 告知在晶体中何处可 以找到原子。
Site symmetry 原子所在之 处具有的对称点 群。
空间群把 同一个等效 点系中的各 等效点联系 在一起；
167 : D R3c
6 3d
Ca(0, 0, 0)
在晶体构造 中，同一个等 效点系中的等 效点必为等质 点；
73种 点式空间群
三 斜 晶 族
b
a
c


a

b
P
C P1
1 1
c
C P1
1 i
b
a
c

90 90
单 斜 晶 族
a

b
c
90 90
P
2
C
P
2 m 2/m
P2 Pm P2/m
C
2 m 2/m
C2 Cm C2/m
b
a
c
90 90 90
正 交 晶 族
oP
oC
所谓晶体空间群， 即“空间对称操作(元 素)系”，就是能使三 维周期物体(无限大晶 体)自身重复的几何对 称操作的集合。
空间群是保持晶 体不变的所有对称操 作(包括点群操作、平 移以及它们的联合)的 集合。
空间群总共有230种。 其中不包含滑移面或螺 旋轴的有73种，称为简 单空间群；其余157种有 滑移面或螺旋轴，称为 非简单空间群。
空间群的序号、国际 符号、Schoenflies符 号、点群、晶系等；
一般等效点系图，其中 “+”表示 z>0， “- “表示 z<0；“，”表示点被翻 转。
一个一 般位置上 的原子经 空间群对 称操作 (除平移) 后的分布 图。
等效位置 包括一般等效点、特殊等 效点、多重性、 Wyckoff 符号、点对称性等；
➊在晶体中，方向相同 的同种对称元素有无数 多个，它们不可能交于 一点；
若去除空间对称操 作—平移、螺旋和滑 移，则晶体内部的微 观对称元素与宏观晶 体的对称元素一致， 空间群变成点群；
❸可以用14种布拉维格子作 为基本平移单元，这些格子 的所有对称元素通过平移后 将充满整个晶体空间。
❹若点群中的各对称元素加 上不同的移距，则点群分裂 成不同的空间群。
晶体空间群
点群一般用于研究有 限图形的对称性—对称元 素有限且必相交于一点。 但晶体内部是由无数个化 学质点在三维空间组合而 成的，相邻质点间距离一 般不到1nm。
晶体构造可认为是 沿三维空间延伸的无限 图形，所有对称元素(包 括对称元素的交点)在三 维空间作平行排列，也 不交于一点。
在晶体构造的无限 图形中，除了有限图形 的宏观对称元素外，还 有其特有的平移、螺旋 和滑移对称元素。
(1853.4.17—1928.5.27)
空间群被推导出来之 前，费德洛夫在乌拉尔矿 山工作，圣佛利斯在德国 Gö ttingen学习数学。圣佛 利斯的空间群工作略迟于 费德洛夫。他们原不认识， 都在独自工作。
1891年圣佛利斯发表巨 著《Crystal Systems and Crystal Structure》。但当他 得知费德洛夫的工作《The symmetry of regular systems of figures》已经先发表时， 他给费德洛夫写了一封信：
CaCO3
167
f：36点
e位:18点
d位:18点
c位:12点
b位：6点
a位：6点
D6h
碳原子的 等效位置：
p( D3h ) m s(C2v ) 24 6 4
C2v
P,R
3 3 321(312) 3m1(31m) 31m(3m1)
a
a
c
90 90 120
六 方 六晶 方 族 晶
系
P
P
6 6 6/m 622 6mm 6m2(62m) 6/mmm
a
90 90 90
a a
立 方 晶 族
P I
F
P,F,I
23 m3 432 43m m3m
157种非 点式空间群
一般等效点 系 等效点位 于空间群对称 元素外的等效 点系。
一般等效点
特殊等效点系 等效点位 于空间群的某 个或某些对称 元素上的等效 点系。
特殊等效点
Multiplicity(多重性) 某个特定位置的 原子，经空间群பைடு நூலகம்所 有对称操作，总共会 产生多少个原子；
Wyckoff letter 从高对称性位 置开始按英文字母 从下到上的顺序指 定的位置标记。
167 : D R3c
6 3d
由于起始点 不同，同一个 空间群可以推 导出不同的等 效点系、或不 同数目的等效 点。
c
1 (0, 0, ) 4
C
1 (0.2562, 0, ) 4
O
Ca
(0,0,0) a
O
b
不同等效点系 中的点，无法用 空间群中任何对 称操作使之相互 重合，但它们具 有同一个空间群。
如四方晶系四次对称 轴(4、41、42、43)，有P、 I两种格子，进行排列组 合可得6种空间群：
P4 P41 P42 P43 I4 I41 (I42 =I4 I43 =I41 )
空间群的 推导简介
Yevgraf Fyodorov
1853.12.22–1919.5.21
Arthur Moritz Schö nflies
―知音难寻，获悉我们 在空间群方面的观点一致 我感到无限高兴。您的工 作在我之前，但这对我来 说无关紧要。为了超越其 他晶体学者，我们还须继 续努力！”
两人从此成了好朋友。 230种空间群的圣佛利斯 符号现已载入《结晶学国 际表》中。两人的学术成 果及他们对学术成果的态 度为后人树立了一个榜样。
空间群符号
国际符号
三个窥视方向
P212121
格子类型 (P,F,I,A,B,C,R)
圣佛利斯符号 C4点群
1、 C4
、 、 4 、 C45 、 C46 C4
2 C4 3 C4
从宏观对称元素衍生 出来的微观对称元素：
m：a、b、c、n、d 2：21 3：31、32 4：41、42、43 6：61、62、63、64、65
oI
oF
正交晶族四种类型的空 间格子都不能相互取代。
P,C,I,F
考滤方向的 不同增加：
222 mm2 mmm
Amm2
a
a
c
90 90 90
四 方 晶 族
P
I
P,I
4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm 4m2
a
a
c
90 90 120
六 方 三晶 方 族 晶
系
P
R