离散数学自考第二章(课堂课资)

例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。其值取决于个体域。
可以将命题函数命题，有两种方法： a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x)
个体域的给定形式有二种：
①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有的个体从该域中取得。
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作业： P28 1a、c
⑴原子谓词公式是合式公式；
⑵若A是合式公式，则¬A也是合式公式；
⑶若A, B都是合式公式，则(AB)，(AB),(AB),(AB)都是合式公 式；
⑷若A是合式公式பைடு நூலகம்x是任何变元，则xA, xA也都是合式公式；
⑸只有按⑴-⑷有限次所求得的那些公式才是合式公式（谓词公式又 简称“公式”）。
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定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例：将“对于所有的x和任何的y，如果x高于y，那么y不高于x”写成
命题表达形式。
解： x y(G(x,y) ¬ G(y,x)) G(x,y)：x高于y
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（2）存在量词 “”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一些”， “对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着这样的” 等等。
例：（a）存在一个人；将（a）,（b）,（c）写成命题。 规定：M(x)：x是人；则 （a） x M(x) ；
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1.2.1量词
（1）全称量词 “”为全称量词符号，读作“对于所有的”，“对任一 个”，“对一切”。 例：“这里所有的都是苹果”，可写成： xA(x)或(x)A(x)
几种形式的读法： ·xP(x)： “对所有的x，x是…”； ·x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； ·¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； ·¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
在上述的谓词合式公式中，有的个体变元既可以是约束出 现，也可以是自由出现，为了避免混淆采用以下两个规 则。
1.下面介绍约束变元的改名规则： （a）在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时改掉； （b）改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
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例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不能改成 xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由变元，现在变为 约束变元了。
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成：
H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
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1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。
约定：最外层的括号可以省略，但需注意，量词后面若有括号则不能省略。
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例2. (x)(y)(P(x,y) Q(x,z)) (x)P(x，y) (x)( y)的作用域为P(x,y) Q(x,z)，x，y为约束变元，z为自由变元。 (x)为作用域为P(x，y)，x为约束变元，y为自由变元。
例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。
例：（ x）（P（x） （x）P（x，y））
（ x）的指导变元为x，作用域为P（x） （x）P（x，y）， （x）的指导变元 为x，作用域为P（x，y），x为约束变元，y为自由变元。
第二章 谓词逻辑
1 谓词的概念与表示法 2 量词与合式公式 3 谓词演算的等价式与蕴含式 4 前束范式 5 谓词演算的推理理论
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2.1 谓词的概念与表示法
在研究命题逻辑中， 原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题
进行分解，但原子命题可进一步用客体和谓词两个部 分刻画。 定义：可以独立存在的对象称为客体，客体亦称个体， 可以是具体事务也可以是抽象的事务。 定义：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： xP(x,y,z)是二元谓词， yxP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
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3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题
函数。
《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
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讨论定义： （a）若用任何客体去取代客体变元之后，则命题函数就变为命题； （b）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述域）。
“”表达式的读法：
· x A(x) ：存在一个x,使x是…；
· x¬A(x) ：存在一个x, 使x不是…；
·¬ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…；
·¬ x¬A(x) ：不存在一个x, 使章节x不内容是…。
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著名的苏格拉底三段论可论述如下： a. 所有人都是要死的； b. 因为苏格拉底是人； c. 所以苏格拉底总是要死的； 试讲其符号化为谓词公式。 解M（x）：表示x是人，D（x）：x是要死的；a：苏格拉底。 上述三段论可符号化为： a. （x）（M(x) → D（x）） b. M（a） c. D（a） 该三段论可用推理描述为： 前提：（x）（M(x) → D（x） ）， M(a) ， 结论： D（a）
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1.2.2合式公式
定义：原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称为原 子谓词公式，并用P(x1…xn)来表示。（P称为n元谓词， x1…xn称 为客体变元），当n=0时称为零元谓词公式。
定义：由一个或几个原子命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式 称为复合命题函数。
定义：谓词演算的合式公式（合式公式记为WffA）