【2020-2021自招】天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021天津耀华嘉诚中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．25．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,48．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．函数的定义域为___．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围. 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．24．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂=∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.5．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数.则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．8．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.9．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3） 【解析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.14．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性． 三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <． 试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =，设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数，所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣， 综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩； （2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-， 则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩，解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.24．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得；（3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析 解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵2x y =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f mmt -++≤-+，即22212m m m mt -++≥-+， 因为()1,2m ∈，所以121t m m ≤-++， 原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m =-++在区间()1,2上为减函数， ∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
天津市耀华中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段检测数学试题 含答案
天津市耀华中学2020-2021学年高一第一学期第二次阶段性检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第Ⅰ卷（选择题 共48分）一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．1.已知集合2{|450}A x x x =−−≤，2{|log (1)}B x y x ==−，则A B ⋂=（ ）A. {|15}x x <≤B.{|15}x x −<≤C.{|15}x x ≤≤D. {|15}x x −≤≤2.已知函数()3log ,0,2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则19f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ） A.4B.14 C.-4D. 14−3.函数()()lg 31f x x =+的定义域是（ ）A. 1,3⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭B. 1[2,)3−C. 1(,2]3−D.(,2]−∞4.函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为（ ）A B C D5.已知1log 2am =，log 3a n =，则2m n a +等于（ ） A.3B.34C.9D.926.已知35xy a ==，且112x y+=，则a 的值为（ ）A.B.15C. D.2257.若3x <|6|x −的值是（ ） A.-9B.9C.-3D.38.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<9.函数()1lg 2f x x x=−−的零点所在区间为（ ） A.(0,1)B.(3,)+∞C.(2,3)D.(1,2)10.方程1ln 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.已知函数()lg f x x =，0a b >>且()()f a f b =，则22a b a b+−的最小值等于（ ）A.B.C. 2+D. 12.已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A.(1,)−+∞ B.[1,1)−C.(,1)−∞D.(1,1]−第Ⅱ卷（非选择题 共52分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上． 13.函数y =___________________．14.函数213log (23)y x x =+−的单调增区间为___________________．15.设函数()1221,,00x x f x x x −⎧−≤⎪=⎨⎪>⎩，若()01f x >，则0x 的取值范围是___________________．16.函数()22log (4)log (2)f x x x =⋅，1[,4]4x ∈的值域为___________________．17.已知()(31)4,1log ,1a a x a x f x x x −+<⎧=⎨≥⎩是(),−∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是___________________．18.已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧−≤⎪=⎨>⎪−⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________________．三．解答题：本大题共3小题，共28分，将解题过程及答案填写在答题纸上． 19.（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88−−−−−−⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦（2211113322a b−−−20.计算或化简：（1）2log 3332log log 2log 32⋅−+（2）294(lg2)lg20lg5log 2log 3+⋅+⋅21.已知a R ∈，函数()f x 满足()()22log log 1f x x ax =++． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程()122log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的值；（Ⅲ）设0a >，若对13[,]22t ∀∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．天津市耀华中学2020-2021学年高一第一学期第二次阶段性检测数学学科试卷答案一、选择题：（每道题4分，共计48分）二、填空题：（每小题4分，共计24分） 13. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦14.(,3)−∞−15.(,1)(1,)−∞−⋃+∞16. 1[,12]4−17. 1173a ≤< 18.(0,1)三、解答题：（共3小题，共计28分） 19.（本小题满分8分） 解：（1）原式12101121013333333−⎛⎫=−⨯+=−= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b a bab a aa b−−−−−+−−⋅⋅==⋅==⋅． 20.（本小题8分）解：（1）原式32331log 3134222=−−+=−+=−． （2）2lg 2lg3(lg 2)(2lg 2lg5)lg5lg9lg 4++⋅+⋅ 22lg 2lg3(lg 2)2lg 2lg5(lg5)2lg32lg 2=+⋅++⋅ 215(lg 2lg5)44=++=． 21.（本小题12分）解：（Ⅰ）由题意可得201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，得112x +>，解得{|01}x x <<．（Ⅱ）方程()122log f x x =有且仅有一解，即222log (1)log 2log ax x x +−=−． 等价于210axx +−=有且仅有一解，且0x >，10ax +>，当0a >时，因为()010f =−<，方程有一个正根，满足题意． 当0a =时，1x =符合题意； 当0a <时，140a ∆=+=，14a =−此时2x =满足题意， 综上，0a ≥或14a =−． （Ⅲ）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log ()log ()a a x x +>+所()f x 在(0,)+∞上单调递减函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +，2211()(1)log ()log ()11f t f t a a t t −+=+−+≤+即2(1)10at a t ++−≥对任意13[,]22t ∈恒成立，因为0a >，所以函数2(1)1y at a t =++−在区间13[,]22上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a −， 由31042a −≥，得23a ≥ 故a 的取值范围为2[,)3+∞．。
天津市耀华中学2021-2022学年高考数学全真模拟密押卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯- 3．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0,0x y >>，则“222x y xy +=的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 6．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =--B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+ D ．(1)2n i i -=+ 8．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 10．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．212．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (解析版)
2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x2−3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则(∁U A)∩B等于()A. ⌀B. {0,1}C. {1,2}D. {1,2，3}2.设等比数列{a n}中，每项均是正数，且a5a6=81，则log13a1+log13a2+log13a3+⋯+log13a10=( )A. 20B. −20C. −4D. −53.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的()．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为()A. 3√34B. 3√32C. 9√34D. 9√325.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁6.已知a=log52，b=log72，c=0．5a−2，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b7.将函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)的图象向右平移π8个单位，得到函数f(x)的图象，则f(x)=()A. cos(x−π8) B. sin(x−π8) C. sin2x D. sin4x8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线y 2=8x 的准线于点B ，若三角形AOB(O 为原点)的面积3√3，则双曲线的方程为( )A. x 212−y 24=1B.x 24−y 212=1C.x 23−y 2=1D. x 2−y 23=19. 若函数f(x)=|4x −x 2|+a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4,0]B. (−4,0)C. [0,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设z =1−i(i 为虚数单位)，则2z +z 2= ______ ． 11. 在(x √x )4的展开式中，x 的系数为______.(用数字作答)12. (1)在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______．(2)设随机变量X ̃B (2,p )，随机变量Y ̃B (3,p )，若P (X ≥1)=59，则D (3Y +1)=_________．(3)如果η∼B (100,12)，当P (η=k )取最大值时，k =_____________．(4)现有A 、B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分。
2020-2021天津耀华嘉诚中学初三数学下期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021天津耀华嘉诚中学初三数学下期中第一次模拟试题(附答案) 一、选择题1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y22．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△AB C的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）A．y=12xB．y=24xC．y=32xD．y=40x4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AE DEAB BC=，④AD AEAC AB=，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤5．观察下列每组图形，相似图形是（）A．B．C．D．6．在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A．B．C．D．7．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:98．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252-B．25-C．251-D．52-9．在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）10．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（）A．1 : 2B．1 : 3C．2 : 3D．4 : 911．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3x；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③二、填空题13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．--，则这个反比例函数的表达式为________. 14．已知一个反比例函数的图象经过点(2,3)15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.16．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则∠1+∠2= ．17．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）18．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）19．若函数y＝(k－2)2k5x-是反比例函数，则k＝______.20．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm．三、解答题21．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD 切⊙O于点D，连接AD．(1)求证：BC＝CD；(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．22．计算：cos45tan45sin60cot60cot452sin30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC 的值．24．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为9m ，请你计算DE 的长．25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30°的方向上，且10AB km =.(1)求景点B 与C 的距离.(2)求景点A 与C 的距离.(结果保留根号)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2＜x 3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y =﹣1x中k =﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴B 、C 两点在第四象限，A 点在第二象限，∴y 2＜y 3＜y 1．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．C解析：C【解析】试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.综上最多有3条.故选C．3．C解析：C【解析】【分析】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB ∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入y=kx求出k即可．【详解】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，则∠AMO=∠BNC=90°，∵四边形AOCB是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB∥OC,OA∥BC，∴∠AOM=∠BCN ，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM 和△BCN 中AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B 点的坐标是(8,4)，把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，即y=32x， 故答案选C.【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.4．A解析：A【解析】①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立．②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立． ③AE DE AB BC =，但AED V 比一定与B Ð相等，故ADE V 与ACD V 不一定相似． ④AD AE AC AB=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB V V ∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC=无法确定出ADE V ， 故不能证明：ADE V 与ABC V 相似．故答案为A ．点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.5．D解析：D【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状不同，故不是相似图形；D、两图形形状相同，故是相似图形；故选：D．【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．6．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．7．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B ．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．8．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：12AP AB = ，得1422AP =⨯= .故选A. 9．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.10．C解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD=AB ．∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=1：2，∴EC ：DC=CE ：AB=2：3，∴C △CEF ：C △ABF =2：3．故选C ．11．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】解：设竹竿的长度为x尺∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺标杆长=一尺五寸=15尺影长五寸=05尺∴＝解得x=45（尺）故答案为：四丈解析：四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．14．【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k值即得到反比例函数的解析式【详解】设这个反比例函数的表达式为了则所以这个反比例函数的表达式为故答案是：【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式解题关解析：6y x=【解析】【分析】 把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【详解】 设这个反比例函数的表达式为了(0)k y k x=≠，则 (2)(3)6k =-⨯-=， 所以这个反比例函数的表达式为6y x =. 故答案是：6y x=. 【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是设关系式、再将已知点坐标代入，从而求解即可． 15．6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD 然后把OA=1OD=3AB=2代入计算即可【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似原点O 是位似中心∴AB：DE=OA ：OD 即2：DE=1：3∴D解析：6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD ，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，∴DE=6．故答案是：6．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．16．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG 的长度（用a 表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA 问题即可解决【详解】设正方形的边长为a 则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△解析：45°．【解析】【分析】首先求出线段AC 、AF 、AG 的长度（用a 表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF ∽△GCA ，问题即可解决．【详解】设正方形的边长为a ，则=，∵ACCF a ==CG AC == ∴AC CG CF AC=， ∵∠ACF=∠ACF ，∴△ACF ∽△GCA ，∴∠1=∠CAF ，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．点睛：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．17．24π【解析】解：由图可知圆柱体的底面直径为4高为6所以侧面积=4π×6=24π故答案为24π点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力圆柱体的侧面积公式根据主视图判断出圆柱体的底面直径与 解析：24π【解析】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．18．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>【解析】【分析】由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离QD =Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >【详解】由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC 由图可知2QD =1QC =∴ 2sin QD AOP OP ∠==1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠, ∴m n OP OP> ∴m n >【点睛】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.19．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k 的值即可【详解】解：若函数y ＝(k －2)是反比例函数则解得k ＝﹣2故答案为﹣2解析：-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩，解出k 的值即可． 【详解】解：若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，则2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩解得k ＝﹣2，故答案为﹣2．20．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O 连接OBOC 交AB 于D∴OC⊥ABBD=AB 由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．三、解答题21．(1)证明见解析；3【解析】【分析】(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．【详解】(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；(2)连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝3．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．214-．【解析】试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可.试题解析：原式23321121 22322.124 122=⋅-⋅--==+⨯23．.【解析】【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC-BD=14-9=5，∴AC==13，∴sinC=．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．24．（1）见解析；（2）13.5m.【解析】【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案；（2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：EF 即为所求；（2）∵AB ＝6m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝4m ，DE 在阳光下的投影长为9m ， ∴64＝DE 9， 解得：DE ＝13.5m ，答：DE 的长为13.5m ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.25．(1)BC=10km ；3【解析】【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.【详解】解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，∴∠CAD =∠C ，∴BC =AB =10km .(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC ∠=，∴sin 6053CD BC km ==o g ， 在Rt ACD ∆中，1sin 2CD CAD AC ∠==，∴2103AC CD km ==.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.。
2020年天津市耀华中学高一上学期月考数学试卷与答案
⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 4 分，共 32 分，在每⼩题的 4 个选项中，只有项是符合题⽬要求的，将答案涂在答题卡上．1设集合 ，，，则 A ．B ．C ．D ．U ={x ∈N |0<x ⩽8}S ={1,2,4,5}T ={3,5,7}S ∩(∁U T )=(){1,2,4}{1,2,3,4,5,7}{1,2}{1,2,4,5,6,8}2命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，∃x ∈R x 2+2x +2⩽0()∃x ∈R x 2+2x +2>0∃x ∈R x 2+2x +2⩾0∀x ∈R x 2+2x +2>0∀x ∈R x 2+2x +2⩽03若 ，则 等于A ．B ．C ．D ．−2x 2+5x −2>0√4x 2−4x +1+2|x −2|()4x −5−335−4x4已知条件 ：，条件 ：，则 是 的A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件p x ⩽1q <11x¬p q ()5集合 ，，定义 ，则 的真⼦集个数为A ．B ．C ．D ．P ={3,4,5}Q ={6,7}P ∗Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q }P ∗Q ()316332646设 ，则下列不等式中恒成⽴的是A ．B ．C ．D ．a >1>b >−1()<1a 1b >1a 1ba >b 2a 2>2b7如果存在 ，使得不等式 成⽴，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．x ∈R <1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +3m ()(1,3)(−∞,+∞)(∞,1)∪(2,+∞)(−∞,3)8设正实数 ， 满⾜ ，，不等式 恒成⽴，则 的最⼤值为A ．B ．C ．D ．x y x >12y >1+⩾m 4x 2y −1y 22x −1m ()2√24√2816⼆、填空题；本⼤题共 7 ⼩题，每⼩题 4 分，共 28 分，将答案填写在答题纸上．9已知集合 ，，，则 ．A ={1,2,m 3}B ={1,m }A ∩B =B m =10若集合 ⾄多有⼀个元素，则 的取值范围是．A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a 11不等式 的解集是．⩾3x +12−xitemId: 60fb76c7a1252f6b5f4eb635itemId: 60fb76ebe7c40c5b01152888itemId: 60fb770b4e37b51aa45063e5itemId: 60fb77228794351efdc89472itemId: 60fb7732587fd1522d88c216itemId: 60fb774c587fd1522d88c368itemId: 60fb7766e1c5b602eafb027d itemId: 60fb777be7c40c5b01153238itemId: 60fb77b1587fd1522d88c93b itemId: 60fb77d42403d31f96cbf5d3itemId: 60fb77e9a1252f6b5f4ec79412若 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的不等式是（只填序号）．<<01a 1b <1a +b 1ab |a |+b >0a −>b −1a 1b−ab >−a 213已知正数 ， 满⾜ ，则 的最⼩值为．x y x +2y =2x +8y xy14不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为．ax 2+2x +c >0(−,)1312−cx 2+2x −a >015已知 ，，则 的最⼩值为．xy >0x +y =3+x 2y +1y 2x +2三、解答题：本⼤题共 4 ⼩题，共 40 分，将解题过程及答案填写在答题纸上．16已知集合 ，，全集 ．(1)当 时，求 ；(2)若 ，求实数 的取值范围．A ={x |a −1<x <2a +3}B ={x |−2⩽x ⩽4}U =R a =2A ∪B A ∩B =A a 17设集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．(1)求集合 ；(2)设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，求 的取值范围．A ={x |x ⩽−2x ⩾3}x (x −2a )(x +a )>0B a <0B p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q a 18已知关于的 不等式 ．(1)若此不等式的解集为 ，求实数 的值；(2)若 ，解这个关于 的不等式；(3)， 恒成⽴，求 的取值范围．x (ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12a a ∈R x ∀1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a 19正实数 ，， 满⾜ 当 最⼤值时，求 最⼤值．a b c a 2−3ab +4b 2−c =0ab c +−2a 1b2c itemId: 60fb780b8794351efdc8a013itemId: 60fb78234e37b51aa450718e itemId: 60fb783ae828662beba387df itemId: 60fb78508794351efdc8a298itemId: 60bf3e7f587fd1721d4cc8ff itemId: 60fb78a3e1c5b602eafb1283itemId: 60fb78e72403d31f96cc0231itemId: 60fb7904a6352b760ac5b360⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 4 分，共 32 分，在每⼩题的 4 个选项中，只有项是符合题⽬要求的，将答案涂在答题卡上．12020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷设集合 ，，，则 A ．B ．C ．D ．答案A 解析【分析】：根据集合补集和交集的运算规则直接求解．因为 ，，所以 ．故选 A 备注【考点】：交、并、补集的混合运算．【点评】：本题考查集合的基本运算，属简单题．U ={x ∈N |0<x ⩽8}S ={1,2,4,5}T ={3,5,7}S ∩(∁U T )=(){1,2,4}{1,2,3,4,5,7}{1,2}{1,2,4,5,6,8}U ={1,2,3,4,5,6,7,8}∁U T ={1,2,4,6,8}S ∩(∁U T )={1,2,4}22020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，答案C 解析【分析】：根据特称命题的否定的全称命题进⾏求解即可．“，”是特称命题，根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：，．故选 C 备注【考点】：命题的否定；存在量词和特称命题．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，⽐较基础．∃x ∈R x 2+2x +2⩽0()∃x ∈R x 2+2x +2>0∃x ∈R x 2+2x +2⩾0∀x ∈R x 2+2x +2>0∀x ∈R x 2+2x +2⩽0∵∃x ∈R x 2+2x +2⩽0∴∀x ∈R x 2+2x +2>0itemId: 60fb76c7a1252f6b5f4eb635itemId: 60fb76ebe7c40c5b01152888若 ，则 等于A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：先由 得出 的取值范围，再将 化简成：的形式，最后利⽤绝对值的定义化简即得．由 得：．则故选 C 备注【考点】：函数的值．【点评】：本⼩题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能⼒，属于基础题．−2x 2+5x −2>0√4x 2−4x +1+2|x −2|()4x −5−335−4x−2x 2+5x −2>0x √4x 2−4x +1+2|x −2||2x −1|+2|x −2|−2x 2+5x −2>0<x <212∴√4x 2−4x +1+2|x −2|=|2x −1|+2|x −2|=2x −1+2(2−x )=3已知条件 ：，条件 ：，则 是 的A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析【分析】：由题意条件 ：，写出其 中 的范围，将条件 ：，由分式不等式的解法解出 的范围，然后判断 是 之间能否互推，从⽽进⾏判断． 条件 ：，：；条件 ：，，解得 或 ，或 ，反之则不能；， 推不出 ， 是 的充分⽽不必要条件．故选 A 备注【考点】：充分条件、必要条件、充要条件．【点评】：此题主要考查逻辑关系的条件和分式⽅程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出 和 ，各⾃ 的范围．p x ⩽1q <11x¬p q ()p x ⩽1−p x q <11xx −p q ∵p x ⩽1∴¬p x >1∵q <11x∴<01−x xx >1x <0∵x >1⇒x >1x <0∴−p ⇒q q −p ∴−p q −p q x集合 ，，定义 ，则 的真⼦集个数为A ．B ．C ．D ．答案B 解析【分析】：根据条件即可求出集合 的元素个数，从⽽可得出集合 的真⼦集个数．根据题意得， 的元素个数为 个，的真⼦集个数为 个．故选 B 备注【考点】：⼦集与真⼦集．【点评】：考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应⽤，集合真⼦集个数的计算公式．P ={3,4,5}Q ={6,7}P ∗Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q }P ∗Q ()31633264P ∗Q P ∗Q P ∗Q C 13⋅C 12=6∴P ∗Q 26−1=6362020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷设 ，则下列不等式中恒成⽴的是A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：通过举反例说明选项 A ，B ，D 错误，通过不等式的性质判断出 C 正确．A ．例如 ， 此时满⾜ 但 故 A 错；B ．例如 ， 此时满⾜ 但 故 B 错；C ． 故 C 正确；D ．例如 此时满⾜ ， 故 D 错．故选 C 备注【考点】：不等关系与不等式．【点评】：想说明⼀个命题是假命题，常⽤举反例的⽅法加以论证．a >1>b >−1()<1a 1b>1a 1ba >b 2a 2>2ba =2b =−12a >1>b >−1>1a 1b a =2b =12a >1>b >−1<1a 1b∵−1<b <1∴0⩽b 2<1∵a >1∴a >b 2a =b =9834a >1>b >−1a 2<2b itemId: 60fb774c587fd1522d88c368如果存在 ，使得不等式 成⽴，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．答案B 解析【分析】：由已知结合 成⽴，可转化为⼆次不等式的成⽴，结合⼆次函数的性质可求．由成⽴，⼜ 恒成⽴，，整理可得， 成⽴，① 当 时， 可得 成⽴；② 时，(1) 时，存在 ，使得 成⽴，符合题意，(2) 时，则 解可得，．综上可得， 的范围为 ．故选 B 备注【考点】：其他不等式的解法．【点评】：本题主要考查了⼆次不等式的成⽴问题求解参数，体现了分类讨论思想的应⽤．x ∈R <1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +3m ()(1,3)(−∞,+∞)(∞,1)∪(2,+∞)(−∞,3)4x 2+6x +3>0<1mx 2+2mx +m 4x 2+6x +34x 2+6x +3>0∴mx 2+2mx +m <4x 2+6x +3(m −4)x 2+(2m −6)x +m −3<0m =42x +1<0x <−12m ≠4m <4x ∈R (m −4)x 2+(2m −6)x +m −3<0m >4{m >4Δ=(2m −6)2−4(m −4)(m −3)>0m >4m R设正实数 ， 满⾜ ，，不等式 恒成⽴，则 的最⼤值为A ．B ．C ．D ．答案C 解析【分析】：不等式 恒成⽴，转化为求 的最⼩值，可得 的最⼤值．将分⺟转化为整数，设 ，则 ，令 ，，利⽤基本不等式的性质即可得出．设 ，则 ，令 ，，，．那么当且仅当 即 ， 时取等号．的最⼩值为 ，则 的最⼤值为 ．故选 C 备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了基本不等式的性质的运⽤解决恒成⽴的问题，利⽤了换元法转化求解，多次使⽤基本不等式解决问题的关键，属于中档题．x y x >12y >1+⩾m 4x 2y −1y 22x −1m ()2√24√2816+⩾m 4x 2y −1y 22x −1+4x 2y −1y 22x −1m y −1=b y =b +12x −1=a x =(a +1)12y −1=b y =b +12x −1=a x =(a +1)12a >0b >0+=+⩾2=2=2(+√ab +)⩾2(2√√ab ⋅+)=2(2+2)=84x 2y −1y 22x −1(b +1)2a (a +1)2b (a +1)(b +1)√abab +(a +b )+1√ab 1√aba +b √ab 1√ab2√ab √aba =b =1x =1y =2∴+4x 2y −1y 22x −18m 8⼆、填空题；本⼤题共 7 ⼩题，每⼩题 4 分，共 28 分，将答案填写在答题纸上．92020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷已知集合 ，，，则 ．答案或 或 解析【分析】：根据 即可得出 ，从⽽得出 或 ，解出 的值，并检验是否满⾜题意即可．，，或 ，或 或 或 ， 时，不满⾜集合元素的互异性， 或 或 ．故答案为： 或 或 ．备注【考点】：交集及其运算．【点评】：考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及⼦集的定义，集合元素的互异性．A ={1,2,m 3}B ={1,m }A ∩B =B m =20−1A ∩B =B B ⊆A m =2m =m 3m ∵A ∩B =B ∴B ⊆A ∴m =2m =m 3∴m =2m =0m =−1m =1∵m =1∴m =20−120−1itemId: 60fb77b1587fd1522d88c93b102020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷若集合 ⾄多有⼀个元素，则 的取值范围是．答案或 解析【分析】：由集合 ⾄多有⼀个元素，得到 或，由此能求出 的取值范围．集合 ⾄多有⼀个元素， 或 解得 或 ，的取值范围是 或 ．故答案为： 或 ．备注【考点】：集合的表⽰法．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、⼀元⼆次函数的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a {a |a =0a ⩾1}A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }a =0{a ≠0Δ=4−4a ⩽0a ∵A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }∴a =0{a ≠0Δ=4−4a ⩽0a =0a ⩾1∴a {a |a =0a ⩾1}{a |a =0a ⩾1}itemId: 60fb77d42403d31f96cbf5d3不等式的解集是．答案解析【分析】：由可得，，整理后即可求解．由 可得，，整理可得，，解可得，．故答案为：．备注【考点】：其他不等式的解法．【点评】：本题主要考查了分式不等式的解法的应⽤，属于基础试题．⩾3x +12−x [,2)54⩾3x +12−x −3⩾0x +12−x ⩾3x +12−x −3⩾0x +12−x ⩽04x −5x −2⩽x <254[,2)54若，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的不等式是（只填序号）．答案②④解析【分析】：若，可得 ，利⽤不等式的基本性质即可判断出下列不等式的正误．若 ，，给出下列不等式：① ， 正确；② 由于 ，因此不正确；③ ，，⼜ ，，正确；④ 由 ，，不正确．其中错误的不等式是 ②④．故答案为：②④．备注【考点】：不等式的基本性质．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．<<01a 1b <1a +b 1ab |a |+b >0a −>b −1a 1b −ab >−a 2<<01a 1b b <a <0<<01a 1b ∴b <a <0∵<0<1a +b 1ab ∴<1a +b 1ab|a |+b <0∵<<01a 1b ∴−>−1a 1b a >b ∴a −>b −1a 1bb <a <0∴−ab <−a 2已知正数 ， 满⾜ ，则的最⼩值为．答案解析【分析】：利⽤“乘 法”和基本不等式即可得出．正数 ， 满⾜ ，，当且仅当 时取等号． 的最⼩值为 ．故答案为：．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了“乘 法”和基本不等式的性质，属于基础题．x y x +2y =2x +8y xy 91∵x y x +2y =2∴=(x +2y )⋅(+)=(10++)⩾(10+2√⋅)=9x +8y xy 121y 8x 12x y 16y x 12x y 16y xx =4y =43∴x +8y xy 991不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为．答案解析【分析】：根据不等式的解集求出 ， 的值，从⽽求出不等式 的解集即可．不等式 的解集为 ，，，解得：，，故不等式 即 ，故 ，解得：，故不等式的解集是：．故答案为：．备注【考点】：⼀元⼆次不等式及其应⽤．【点评】：本题考查了解⼆次不等式问题，考查转化思想，是⼀道基础题．ax 2+2x +c >0(−,)1312−cx 2+2x −a >0(−2,3)a c −cx 2+2x −a >0∵ax 2+2x +c >0(−,)1312∴−=−+2a 1312=−c a16a =−12c =2−cx 2+2x −a >0−2x 2+2x +12>0x 2−x −6<0−2<x <3(−2,3)(−2,3)已知 ，，则 的最⼩值为．答案解析【分析】：由题意可得 ，，由柯西不等式可得，即可得到所求最⼩值．，，可得 ，，由柯西不等式可得，可得 ，当 ，即有 ， 时， 的最⼩值为 ．故答案为：．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查柯西不等式的运⽤：求最值，考查化简变形能⼒、以及运算能⼒，属于中档题．xy >0x +y =3+x 2y +1y 2x +232x >0y >0[(y +1)+(x +2)](+)⩾[√y +1⋅+√x +2⋅]2x 2y +1y 2x +2x √y +1y √x +2xy >0x +y =3x >0y >0[(y +1)+(x +2)](+)⩾[√y +1⋅+√x +2⋅]2=(x +y )2=9x 2y +1y 2x +2x √y +1y √x +2+⩾=x 2y +1y 2x +29x +y +332=y +1x x +2y x =43y =53+x 2y +1y 2x +23232三、解答题：本⼤题共 4 ⼩题，共 40 分，将解题过程及答案填写在答题纸上．已知集合 ，，全集 ．(1)当 时，求 ；(2)若 ，求实数 的取值范围．(1)答案解析 时，集合 ，，；⼜ ，或 ．(2)答案解析若 ，则 ，当 ，即 时，，满⾜题意；当 时，应满⾜ 解得 ；综上知，实数 的取值范围是 ．A ={x |a −1<x <2a +3}B ={x |−2⩽x ⩽4}U =R a =2A ∪B A ∩B =A a (−∞,−4]∪[−1,]12a =2A ={x |1<x <7}B ={x |−2⩽x ⩽4}∴A ∪B ={x |−2⩽x <7}U =R ∴(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={x |x <−2x ⩾7}(−∞,−4]∪[−1,]12A ∩B =A A ⊆B a −1⩾2a +3a ⩽−4A =∅a >−4{a −1−22a +34−1⩽a ⩽12a (−∞,−4]∪[−1,]12设集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．(1)求集合 ；(2)设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，求 的取值范围．(1)答案解析【分析】：关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．利⽤⼀元⼆次不等式的解法即可得出．关于 的不等式 的解集为 （其中 ）．解得：，或 ．集合 ，．(2)答案解析【分析】：设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，可得 是 的充分不必要条件，进⽽得出结论．设 ：，：，且 是 的充分不必要条件，是 的充分不必要条件，，等号不能同时成⽴．解得 ．的取值范围是 ．备注【考点】：充分条件、必要条件、充要条件．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定⽅法、不等式的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．A ={x |x ⩽−2x ⩾3}x (x −2a )(x +a )>0B a <0B p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q a B =(−∞,2a )∪(−a ,+∞)x (x −2a )(x +a )>0B a <0x (x −2a )(x +a )>0B a <0x >−a x <2a ∴B =(−∞,2a )∪(−a ,+∞)(a <0)(−∞,−3]p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q q p p x ∈A q x ∈B ¬p ¬q ∴q p ∴{2a ⩽−23⩽−aa ⩽−3∴a (−∞,−3]已知关于的 不等式 ．(1)若此不等式的解集为 ，求实数 的值；(2)若 ，解这个关于 的不等式；(3)， 恒成⽴，求 的取值范围．(1)答案解析【分析】：由题意可得 ， 为⽅程 的两根，由代⼊法可得所求值． 的解集为 ，可得 ， 为⽅程 的两根，可得 ，即 ．(2)答案⻅解析解析【分析】：讨论 ，，，⼜分 ，， 时，由⼆次不等式的解法，即可得到所求解集．当 时，原不等式即为 ，解得 ，解集为 ；当 时，原不等式化为 ，解集为 或 ；当 时，原不等式化为 ，① 若 ，可得 ，解集为 ；② 若 ，，可得解集为 ；③ 若 ，，可得解集为 ．(3)答案解析x (ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12a a ∈R x ∀1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a a =−2−1−12(ax −1)(x +1)=0(a <0)(ax −1)(x +1)>0{x ∣∣∣−1<x <−}12−1−12(ax −1)(x +1)=0(a <0)=−1a 12a =−2a =0a >0a <0a =−1a <−1−1<a <0a =0x +1<0x <−1{x |x <−1}a >0(x −)(x +1)>01a {x ∣∣∣x >1a x <−1}a <0(x −)(x +1)<01a a =−1(x +1)2<0∅a <−1>−11a {x ∣∣∣−1<x <}1a−1<a <0<−11a {x ∣∣∣<x <−1}1a (1,+∞)【分析】：由题意可得 在 恒成⽴，可得 在 恒成⽴，由 ，，结合对勾函数的单调性可得 的最⼤值，可得 的范围．对任意的 ， 恒成⽴，等价为 在 恒成⽴，由于 恒成⽴，可得 在 恒成⽴，由 ，，可得 ，⽽ 在 时取得最⼩值 ，在 时取得最⼤值 ，可得 的最⼤值为 ，则 ．即 的取值范围是 ．备注【考点】：不等式恒成⽴的问题；其他不等式的解法．【点评】：本题考查⼆次不等式的解法和不等式恒成⽴问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能⼒和推理能⼒，属于中档题．a (x 2−x +1)>x 1⩽x ⩽3a >x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=xx 2−x +11⩽x ⩽3f (x )a 1⩽x ⩽3(ax −1)(x +1)>2ax −a −1a (x 2−x +1)>x 1⩽x ⩽3x 2−x +1=(x −)2+>01234a >x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=x x 2−x +11⩽x ⩽3f (x )=1x +−11x y =x +1x x =12x =3103f (x )1a >1a (1,+∞)192020年天津和平区天津市耀华中学⾼⼀上学期⽉考数学试卷正实数 ，， 满⾜ 当最⼤值时，求 最⼤值．答案解析【分析】：由条件可得 ，，运⽤基本不等式可得 时，取得最⼤值，求得 ，代⼊运⽤⼆次函数的性质求出其最⼤值即可得答案．由条件可得 ，，，当且仅当 时， 有最⼤值，，，当 时， 有最⼤值 ．备注【考点】：基本不等式及其应⽤．【点评】：本题考查基本不等式在最值问题中的应⽤．在应⽤基本不等式求最值时要注意“⼀正、⼆定、三相等”的判断．运⽤基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值．a b c a 2−3ab +4b 2−c =0ab c +−2a 1b2c 1c =a 2−3ab +4b 2==ab c ab a 2−3ab +4b 21−3+a b4b a a =2b c =2b 2c =a 2−3ab +4b 2==ab c ab a 2−3ab +4b 21−3+a b4b a ∵+⩾2√4=4a b 4b a a =2b ab c c =2b 2+−=−=−(−1)2+12a 1b 2c 2b 1b 21b b =1+−2a 1b 2c 1itemId: 60fb7904a6352b760ac5b360。
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x |4−xx+1≤0}，那么集合A ∩(∁U B)等于( )A. [−2,4)B. (−1,3]C. [−2,−1]D. [−1,3] 2. 设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10等于( )A. 5B. 10C. 20D. 403. “cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的( )A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件4. 某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为( )A. 32πB. 64√3πC. 64√23πD. 128√2π5. 2018年9月7日，《我不是药神》正式下线，累计票房30.98亿.为了解《我不是药神》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100名此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间[10,60]内)，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数约为( )A. 33B. 34C. 35D. 36 6. 三个数a =0.67,b =70.6,c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. c <a <bC. b <a <cD. c <b <a7. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( )A. 18πB. 12πC. 34πD. 38π8. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√1059. 若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设复数z 满足(1−i)z =1+i(i 为虚数单位)，则z =__________． 11. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答)12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)=________．13. 已知圆C ：x 2+y 2−8y +12=0，直线l ：ax +y +2a =0，若直线l 与圆C 相切，则实数a的值为__________．14. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 15. 若△ABC 的面积为2√3，且A =π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cosA−2cosCcosB=2c−a b．(1)若C =A +π3，求角A 的大小；(2)若cosB =14，△ABC 的周长为5，求b 的值．17. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =AD =2，DC =3，E 在棱PC 上且PE =2EC ． (1)证明：BE//平面PAD ；(2)若PD ⊥平面ABCD ，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为2√55，求二面角E −BD −C 的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．19.已知数列{b n}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，b n=1−3log2(2a n)(n∈N∗).(1)求证：{a n}是等比数列；(2)若数列{c n}满足c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+1)−x．x+1(1)求f(x)的单调区间；(2)求曲线y=f(x)的极值；(3)求证：对任意的正数a与b，恒有lna−lnb≥1−b．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题． 解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出A ∩(∁U B)． 解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， B ={x |4−xx+1≤0}={x|x <−1或x ≥4}， ∴∁U B ={x|−1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤3}， 故选D ．2.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，∴log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=log 3(a 1a 2⋯a 10)=log 3(a 3a 8)5 =5log 3(a 3a 8)=5log 381=20， 故选：C ．利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为5log 3(a 3a 8)，再把已知的条件代入运算求得结果．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质的应用，属于基础题．3.答案：A解析：解：由cos2α=−√32，得2α=2kπ±5π6，即α=kπ±5π12,k ∈Z ， 所以α=kπ±5π12,k ∈Z ，是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故“cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故选：A ．利用充分条件和必要条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法： ①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．4.答案：C解析：本题考查圆柱的体积、圆柱的侧面积及球的体积，属于中档题． 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，根据题意可得，求得r ，h 的值，然后求得圆柱的外接球的半径，进而利用球的体积公式即可求得结果． 解：设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ， ∵柱的体积、侧面积都为16π，，解得{r =2ℎ=4，所以圆柱的外接球的半径R =√r 2+(ℎ2)2=√4+4=2√2，因此该圆柱的外接球的体积为．故选C ．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，求出这100人年龄的中位数．【解答】解：年龄在区间[10,30)内的频率为(0.014+0.024)×10=0.38， 年龄在区间[30,40)内的频率为0.028×10=0.28， 故中位数在区间[30,40)内，设中位数为x ， 则0.38+(x −30)×0.028=0.5，所以x =30+307≈34，故选B ．6.答案：B解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵0<a =0.67<1，b =70.6>1，c =log 0.76<0， ∴c <a <b ， 故选B ．7.答案：D解析：解：将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数y =2sin[2(x −φ)+π4]=2sin(2x +π4−2φ)的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y =2sin(4x +π4−2φ)的图象； 再根据所得图象关于直线x =π4对称，可得π+π4−2φ=kπ+π2(k ∈z)，即φ=3π8−kπ2k ∈z ，∴φ的最小值为3π8， 故选：D ．由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a ，b 的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ，求解双曲线的离心率即可． 解：抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)，可得a 2+b 2=1， ∵两条渐近线和圆(x −1)2+y 2=a 2均关于x 轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay +bx =0与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ， ∴圆心到直线的距离为d =√a 2+b 2=bc =b ，圆的半径为a ， ∴a 2=b 2+(b 2)2=54(c 2−a 2)=54−54a 2， 解得a =√53，所以双曲线的离心率为ca =√53=3√55．故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题． 根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点， 函数y =|(12)x −1|的图象如图：若其图象与直线y =2a 有2个交点，必有0<2a <1， 即0<a <12，即a 的取值范围为(0,12)； 故选A ．10.答案：i解析：本题考查复数的运算，题目基础． 解：由题设得z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i ． 故答案为：i ．11.答案：−40解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 在(2x 2−1x )5的展开式通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得x 的系数．解：(2x 2−1x )5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·25−r ·x 10−2r ·(−1)r ·x −r =(−1)r ·25−r ·C 5r ·x 10−3r ，令10−3r =1，解得r =3，故x 的系数为−22·C 53=−40，故答案为：−40．12.答案：950；1225。
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴() A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.10．设20,a xdx=⎰则二项式5axx⎫-⎪⎭展开式中含2x项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数. 【详解】由题意可得：22211d4222a x x x===⨯=⎰，则5axx⎫⎪⎭即52xx⎫-⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rnT C xx-+=⋅-=3525(2)rr rC x--⋅⋅，令3522r-=可得3r=，则展开式中含2x项的系数是()325281080C-=-⨯=-.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin ,42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=.直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()sin cos θθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，12∴=,解得12a =-±. 故答案为：12-±. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】 ，即又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为，即 ，那么，所以 的最大值是 .【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
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第一套：满分150分2020-2021年天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
求证：222MN AM BN =+。
17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<<L 。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。
求n 的最小值。
18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；（2）设BD=x ，BE •BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．第一套：满分150分2020-2021年天津市耀华中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1.【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2.【答案】C 。
解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－5x ＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。
令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C 。
3.【答案】B 。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20y=x>0,y>0x。
故选B 。
4.【答案】B 。
【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，∴A （0，－2），B （2，0）。
∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S 2013=×6=．故选C．7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．二、填空题9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．三、解答题15.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则MDC MAC △≌△。